PERKONGRUENAN LINEAR
PERKONGRUENAN LINEAR
Perkongruenan Linear :Perkongruenan Linear : •
• Merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekongruenanMerupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekongruenan •
• Pangkat tertinggi satuPangkat tertinggi satu •
• Bean Bean untuk untuk nuntuk nuntuk Umum Umum : : ax ax ≡ ≡ b b (mod (mod m)m) Contoh :
Contoh : •
• 3x ≡ 4 (mod 3x ≡ 4 (mod 5), merupakan perkongruenan linear 5), merupakan perkongruenan linear •
• XX44 – 5x + 7 – 5x + 7 ≡ 5 (mod 7), ≡ 5 (mod 7), bukan merupakbukan merupakan pengkoreaan pengkoreanan linear.nan linear. Untuk perkongruenan linear 3x ≡ 4 (mod
Untuk perkongruenan linear 3x ≡ 4 (mod 5),5), Jika
Jika x x = = 3 3 maka maka : : 3.3 3.3 ≡ ≡ 4 4 (mod (mod 5)5) 9
9 ≡ ≡ 4 4 ((mmood d 55)), , mmeerruuppaakkaan n ssuuaattu u kkaallimimaatt pengkongruenan linear yang benar.
pengkongruenan linear yang benar. Ji
Jika ka x x = = -7 -7 mamaka ka :: 3 3 (-7(-7) ≡ ) ≡ 4 4 (m(mod od 5)5)
-21 ≡ 4 (mod 5), merupakan suatu kalimat -21 ≡ 4 (mod 5), merupakan suatu kalimat pengkongruenan linear yang benar.
pengkongruenan linear yang benar. Dan untuk nilai – nilai x yang lainnya, seperti : ...,
-Dan untuk nilai – nilai x yang lainnya, seperti : ..., -12, -7, -2, 3, 8. ....12, -7, -2, 3, 8. .... Karena
Karena ax ≡ ax ≡ b (mob (mod m), d m), berarti ax berarti ax – b – b = mk, = mk, untuk untuk k k Z ataϵϵ Z atau ax u ax = b = b + mk+ mk Jadi perkongruenan linier ax ≡ b (mod
Jadi perkongruenan linier ax ≡ b (mod m) akan mempunyai solusi ataum) akan mempunyai solusi atau penyelesaian jika dan hanya jika ada x dan k anggota z yang memenuhi penyelesaian jika dan hanya jika ada x dan k anggota z yang memenuhi persamaan ax – b = k.
persamaan ax – b = k.
Misalkan r memenuhi perkongruenan linier ax ≡ b (mod m),berarti ar Misalkan r memenuhi perkongruenan linier ax ≡ b (mod m),berarti ar kongruen ar ≡ b (mod m),maka setiap bilangan bulat ( (r + m), (r + 2m), kongruen ar ≡ b (mod m),maka setiap bilangan bulat ( (r + m), (r + 2m), (r + 3m), ...,
(r + 3m), ..., (r – m), (r (r – m), (r – 2m),...) memenuhi perkongruenan itu sebab– 2m),...) memenuhi perkongruenan itu sebab a(r
a(r +mk) +mk) ≡ ≡ ar ar ≡ ≡ b b (mod (mod m) m) untuk untuk k k Z.ϵϵ Z.
Diantara bilangan-bilangan bulat ( r + mk ) dengan k = 0, 1, 2, 3, ...,-1, Diantara bilangan-bilangan bulat ( r + mk ) dengan k = 0, 1, 2, 3, ...,-1, -2, -3,... ad
-2, -3,... ada tepat saa tepat satu dan hantu dan hanya satu katya satu katakan s denakan s dengan 0 ≤ s < m gan 0 ≤ s < m sebasebabb suatu bilangan bulat meski terletak diantara dua kelipatan m
Jadi jika r memenuhi perkongruenan ax ≡ b (mod m) dan km ≤ r < (k+1)m untuk suatu bilangan bulat k maka 0 ≤ ( r – km) < m , jadi s = r – km untuk suatu bilangan bulat k.
Ini berarti s merupakan solusi ( penyelesaian ) dari perkongruenan ax ≡ b (mod m).
Contoh :
Misalkan 2x ≡ 4 (mod 2)
Nilai-nilai x yang memenuhi perkongruenan 2x ≡ 4 (mod 2) ini adalah ..., -19, -12, -5, 2, 9, 16, ... dengan solusi perkongruenan adalah 2. Yaitu residu terkecil modulo 7 yang memenuhi perkongruenan linier 2x ≡ 4 (mod 2).
Pada persamaan ax = b dengan a ≠ 0 hanya mempunyai satu solusi, banyak solusi, bahkan ada yang tidak mempunyai solusi.
Contoh :
1. 2x ≡ 1 (mod 4)
Jika 2x ≡ 1 (mod 4) maka 4 │ (2x – 1) tidak mempunyai solusi karena tidak ada suatu bilangan bulat x yang memenuhi 4 │ (2x – 1) berarti 4 │ (2x – 1)
2. 3x ≡ 5 (mod 11)
Jika 3x ≡ 5 (mod 11) maka 11 │ (3x – 5) hanya mempunyai tepat satu solusi yaitu 9
3. 2x ≡ 4 (mod 6)
Jika 2x ≡ 4 (mod 6) maka 6 │ (2x – 4) mempunyai beberapa solusi yaitu yaitu 2 dan 5
TEOREMA 5. 10
Jika (a,m) │b maka perkongruenan linier ax ≡ b (mod m) tidak mempunyai solusi.
BUKTI : (Pembuktian dengan kontraposisi)
Ambil a, b, m Z dengan m > 0 dan ax ≡ b (mod m) mempunyai solusiϵ Adt : ( a, m ) │ b
Karena ax ≡ b (mod m) mempunyai solusimisalkan r maka ar ≡ b (mod m) atau
ar – b = mk untuk suatu bilangan bulat k b = ar – mk
Misalkan ( a, m ) = d maka d │ a dan d │m
Karena d │a maka menurut teorema 2.2 maka d │ar untuk suatu r Zϵ Karena d │m maka menurut teorema 2.2 maka d │mk untuk suatu k Zϵ Karena d │ ar dan d │ mk maka menurut teorema 2.3.3
d │ar – mk atau d │ b
Karena kontraposisi di atas benar maka teorema di atas juga benar. Contoh :
6x ≡ 7 (mod 8) karena ( 6,8 ) = 2 dan 2 │ 7 maka 6x ≡ 7 (mod 8) tidak mempunyai solusi .
TEOREMA 5.11
Jika ( a,m ) = 1 maka perkongruenan linier memiliki tepat satu solusi ax ≡ b (mod m)
BUKTI :
Ambil a, m Z dengan m > 0 dan ( a,m ) = 1ϵ Adt : ax ≡ b (mod m) memiliki tepat satu solusi
1. Akan ditunjukkan ax ≡ b (mod m) Mempunyai solusi
Karena ( a,m ) = 1 maka menurut teorema 2.10 ada bilangan bulat r dan s sehingga
ar + ms = 1 Jika kedua ruas dikalikan dengan b maka (ar) b + (ms) b = b
a (rb) – b = m (-sb)
karena m │ a (rb) – b maka dapat ditulis a (rb) ≡ b (mod m)
Maka residu terkecil dari rb modulo m adalah solusi dari perkongruenan itu.
2. Akan ditunjukkan ax ≡ b (mod m) mempunyai tepat satu solusi (kontradiksi)
Misalkan solusi perkongruenan itu tidak tunggal, misalkan r dan s masing-masing solusi dari ax ≡ b (mod m) maka
ar ≡ b (mod m) dan as ≡ b (mod m) atau ar ≡ as (mod m)
karena ( a,m ) = 1 maka menurut teorema 5.6 maka r ≡ s (mod m)
berarti m │ r – s .... *)
Tetapi karena r dan s adalah solusi dari perkongruenan itu maka r dan s masing-masing residu terkecil modulo m sehingga
0 ≤ r < m dan 0 ≤ s < m atau -m < r – s < m ... **)
Dari *) dan **) yaitu m │ r – s dan -m < r – s < m maka menurut teorema 2.5 iv haruslah r – s = 0 atau r = s
Ini berarti bahwa solusi dari perkongruenan linier tunggal untuk ( a,m ) = 1. Contoh : 1. 4x ≡ 1 ( mod 15 ) 4x ≡ 16 ( mod 15 ) x ≡ 4 ( mod 15 ) x = 4 + 15 k untuk suatu k = 0, ±1, ±2, ±3, ... Residu terkecil dari 4x ≡ 1 ( mod 15 ) adalah 4.
2. 14 x ≡ 27 ( mod 31 ) 14 x ≡ 58 ( mod 31 ) 7x ≡ 29 ( mod 31 ) 7x ≡ 91 ( mod 31 ) x ≡ 13 ( mod 31 ) x = 13 + 31 k untuk suatu k = 0, ±1, ±2, ±3, ... Residu terkecil dari 14 x ≡ 27 ( mod 31 ) adalah 13.
Jika ( a,m ) = 1 berdasarkan teorema 5.11 maka perkongruenan ax ≡ 1 ( mod m ) juga mempunyai tepat satu solusi. Solusi itu disebut invers dari a modulo m yang disebut a-1.
Contoh : Tentukan 2-1 (mod 13) Jawab : 2x ≡ 1 ( mod 13 ) 2x ≡ 14 ( mod 13 ) x ≡ 7 ( mod 13 ) x = 7 + 13 k untuk k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Residu terkecil dari 2x ≡ 1 ( mod 13 ) adalah 7.
TEOREMA 5.12
Jika ( a,m ) = d dan d │ b maka perkongruenan linier ax ≡ b ( mod m ) memiliki tepat d solusi.
BUKTI :
Ambil a, b, d, m Z dengan m > 0 dan ( a,m ) = d dan d│ b.ϵ
Adt : ax ≡ b ( mod m ) memiliki tepat d solusi 1. Akan ditunjukkan d buah solusi.
Ambil a, b, d, m Z dengan m > 0 dan ( a,m ) = d dan d │ bϵ
Adt : ax ≡ b ( mod m ) memiliki tepat d solusi
Karena ( a,m ) = d berarti akan ada bilangan ( a’ , m’ ) = 1 sehingga berlaku
a = d a’ dan m = d m’
Perhatikan bahwa : ax ≡ b ( mod m ) ( da’) x ≡ db’ ( mod m’d )
Karena ( a,m ) = d dan ( a’ , m’ ) = 1 maka
( da’)x ≡ db’ ( mod dm’) jika kedua ruas dibagi dengan d maka a’ x ≡ db’ ( mod dm’)
Karena ( a’ , m’ ) = 1 maka a’x = b’ ( mod m’) akan memiliki satu solusi, misalkan solusi itu adalah r. Maka d buah bilangan yaitu :
r , r + m’ , r + 2m’ , ... , r + ( d – 1 )m’ atau
r + km’ untuk k = 0, 1, 2, ... , ( d – 1 ) memenuhi perkongruenan ax ≡ b ( mod m ) akan berlaku :
ax = a ( r + km ) = da’ ( r + km’) = da’r + da’km’
Karena a’r ≡ b’ (mad m’) dan m’d = m maka ax ≡ a’rd + a’km’d ( mod m)
≡ b’d + a’km’d ( mod m) ax ≡ b’d ( mod m)
ax ≡ b ( mod m)
Jadi r + km’ untuk k = 0, 1, 2, ..., ( d – 1 ) memenuhi perkongruenan ax ≡ b ( mod m ).
Setiap r + km’ dengan k = 0, 1, 2, ..., ( d – 1 ) memenuhi perkongruenan ax ≡ b ( mod m ) akan berlaku :
= da’r + da’km’
Karena a’r ≡ b’ ( mod m’) dan m’ = m maka ax ≡ a’rd + a’km’d ( mod m)
≡ b’d + a’km’d ( mod m) ≡ b’d ( mod m)
ax ≡ b ( mod m)
Jadi r + km’ untuk k = 0, 1, 2, ... ,(d – 1) memenuhi perkongruenan ax ≡ b ( mod m)
2. Setiap r + km’ dengan k = 0, 1, 2, 3,..., (d – 1) adalah residu terkecil dari modulo m.
Karena r adalah solusi dari a’x ≡ b’ ( mod m’) berarti r ≥ 0 sehingga 0 ≤ r + km’. Perhatikan bahwa : r + km’ ≤ r + (d – 1)m’ ; untuk setiap k = 0, 1, 2, ..., (d – 1) r + (d – 1)m’ < m’ + (d – 1) m’ r + (d -1) m’ < m’ + dm’ – m’ r + (d – 1)m’ < dm’ r + (d – 1) m’ < m ini berarti 0 ≤ r + km’ < m
hal ini menunjukkan bahwa (r + km’) untuk k = 0, 1, 2, ... ,(d – 1) adalah residu – residu terkecil modulo m atau mempunyai d buah solusi yang berbeda.
Artinya tidak ada bilangan dari (r + km’) untuk k = 0, 1, 2, ...,(d – 1) yang kongruen modulo m sebab (r + km’) untuk k = 0, 1, 2,...,(d -1) adalah residu – residu terkecil modulo m yang berbeda.
3. Tidak ada solusi lain kecuali d buah solusi itu.
Karena r adalah solusi dari perkongruenan linear ax ≡ b ( mod m), misalkan ada solusi lain yaitu s, berarti ;
as ≡ b ( mod m) dan ar ≡ b ( mod m). sehingga as ≡ ar ( mod m)
Karena (a , m) = d dan as ≡ ar ( mod m) maka diperoleh s ≡ r ( mod m/d)
s ≡ r ( mod m’)
Ini berarti s – r = tm’ atau s = r + tm’ untuk suatu bilangan bulat t. Karena s residu terkecil modulo m, sedangkan semua residu terkecil modulo m berbentuk (r + km’) dengan k = 0, 1, 2,..., (d – 1).
Maka s = r + tm’ adalah salah satu solusi di antara (r + km’). Jadi tidak ada solusi lain kecuali d buah solusi yaitu (r + km’) dengan k = 0, 1, 2, ..., (d – 1)
Contoh :
Selesaikanlah 6x ≡ 15 ( mod 33) Jawab :
6x ≡ 15 ( mod 33) karena (6 , 33) = 3 maka 2x ≡ 5 ( mod 11) karena (2 , 11) = 1 maka 2x ≡ 16 ( mod 11)
ini berarti x = 8 + 11k, untuk setiap k Zϵ
untuk k = 0 maka x = 8 untuk k = 1 maka x = 19 untuk k = 2 maka x = 30
Jadi 6x ≡ 15 ( mod 33) mempunyai 3 buah solusi yang berbeda yaitu 8, 19, dan 30.
Persamaan Linear DIOPHANTUS
Bentuk umum persamaan linear Diophantus adalah
ax + by = c dengan a, b ≠ 0 dan a, b, c, x , y Zϵ
Dari persamaan ax + by = c dapat dibentuk
ax ≡ c ( mod b) atau by ≡ c ( mod a)
Untuk menyelesaikan persamaan linear Diophantus kita dapat menyelesaikan salah satu perkongruenan linear tersebut.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 9x + 16y = 35 Jawab :
16y ≡ 35 ( mod 9) karena (16 , 9) = 1 maka
16y ≡ 44 ( mod 9)
4y ≡ 11 ( mod 9) karena (4 , 9) = 1 maka
4y ≡ 20 ( mod 9) y ≡ 5 ( mod 9)
Subsitusikan y = 5 + 9t ke persamaan 9x + 16 = 35 9x + 16(5 + 9t) = 35
9x + 80 + 144t = 35
x = -5 – 16t untuk setiap t Zϵ
Jadi himpunan penyelesaian dari 9x + 16y = 35 adalah TEOREMA 5.13
Persamaan linear diophantus a’x + b’y = c’ yang diperoleh dari ax + by = c dengan a’ = a : (a , b), b’ = b : (a , b), c’ = c : (a , b) mempunyai suatu
penyelesaian (solusi) x = r dan y = s, maka himpunan semua penyelesaian dari ax + by = c adalah
