a) Kalimat Tertutup - Logika dan Himpunan

1

Logika dan Himpunan

A. Logika Matematika Definisi

Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar.

1) Kalimat Matematika Definisi

Kalimat matematika adalah kumpulan kata yang mengungkapkan suatu konsep pikiran dan perkataan.

a) Kalimat Tertutup Definisi

Kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang dapat dinyatakan nilai kebenarannya, bernilai benar atau salah, dan tidak keduanya. Contoh:

Tomy : Siapakah presiden pertama Republik Indonesia?

Rizky : Presiden pertama Republik Indonesia adalah Ir. Soekarno. Tomy : Berapakah dua ditambah lima?

Rizky : Dua ditambah lima sama dengan tujuh. Tomy : Berapakah enam dikurang satu?

Rizky : Enam dikurang satu adalah sepuluh.

b) Kalimat Terbuka Definisi

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, bernilai benar saja atau salah saja. Variabel atau peubah adalah simbol yang ditulis dengan huruf kecil. Contoh:

 Negara Republik Indonesia ibukotanya 𝑥.  Provinsi 𝑚 terletak di Sulawesi.

 Dua ditambah 𝑎 sama dengan delapan.  _{𝑏 + 28 = 40}

 _{𝑥 + 4 = 10}

2) Kata Penghubung Definisi

Kata penghubung adalah kata-kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat.

a) Dan Definisi

Kata penghubung dan adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat serta berlaku untuk semuanya. Dinotasikan '∧'. Contoh:

 Saya sekolah di SMP Negeri 2 Pare dan saya tinggal di kecamatan Pare.  ₁₃ adalah bilangan ganjil dan bilangan prima.

b) Atau

Definisi

Kata penghubung atau adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat serta berlaku untuk salah satu. Dinotasikan '∨'. Contoh:

2

 Saya berangkat sekolah lewat jalan ke arah utara atau ke arah selatan.

c) Jika ..., maka ... Definisi

Kata penghubung Jika ..., maka ... adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan dan mengandaikan suatu keinginan yang belum terpenuhi, tetapi bermaksud untuk melakukan hal tersebut. Dinotasikan '⇒'. Contoh:

 Jika saya berangkat sekolah lewat jalan ke arah utara, maka akan terlambat masuk sekolah.

d) ... jika dan hanya jika ... Definisi

Kata penghubung ... jika dan hanya jika ... adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan dan mengandaikan keinginan yang harus dipenuhi. Dinotasikan '⇔'. Contoh:

 𝑥 = 3, jika dan hanya jika 4𝑥 = 12.  _{𝑥 = 3 ⇔ 4𝑥 = 12}.

B. Himpunan

1) Pengertian Himpunan Definisi

Himpunan adalah sekumpulan objek yang dapat dinyatanan dengan jelas. Himpunan dinotasikan dalam huruf Kapital, misalnya: 𝐴, 𝐵, 𝐶, dll. Contoh:

 Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan. Kumpulan binatang berkaki empat!

Jawab: Kumpulan binatang berkaki empat merupakan himpunan karena kita dapat mendefinisikan dengan jelas binatang yang berkaki empat dan binatang yang tidak berkaki empat.

 Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan. Kumpulan makanan enak!

Jawab: Kumpulan makanan enak bukan merupakan himpunan karena kita tidak dapat mendefinisikan dengan jelas makanan yang enak dan yang tidak enak. Makanan yang enak sangat bergantung pada orang yang merasakannya dan tidak sama menurut setiap orang.

2) Elemen atau Anggota Definisi

Elemen atau anggota adalah setiap objek yang termasuk dalam sebuah himpunan. Elemen dinotasikan dalam huruf Kecil, misalnya: 𝑎, 𝑏, 𝑐, dll. Contoh: 𝐴 = {1,2,3}

𝑎 = 3, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 ∈ 𝐴 𝑏 = 4, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑏 ∉ 𝐴

Jika 𝑎 termasuk dalam anggota himpunan 𝐴, maka ditulis 𝑎 ∈ 𝐴 (dibaca 𝑎 merupakan anggota dari himpunan 𝐴)

3 3) Kardinalitas Himpunan

Definisi

Kardinalitas himpunan adalah banyak anggota suatu himpunan. Contoh:

𝑃 = {5,10,15,20} 𝑄 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}

● Himpunan𝑃 memuat 4 anggota, disimbolkan dengan 𝑛(𝑃) = 4. ● Himpunan𝑄 memuat 5 anggota, disimbolkan dengan 𝑛(𝑄) = 5.

C. Penyajian Himpunan 1) Dengan Kata-kata

Contoh:

Misalkan diketahui himpunan lima bilangan asli yang pertama adalah 12,3,4, dan 5. Jawab: 𝐴 = himpunan lima bilangan asli pertama

2) Dengan Mendaftar Contoh:

Misalkan diketahui himpunan lima bilangan asli yang pertama adalah 12,3,4, dan 5. Jawab: 𝐴 = {1,2,3,4,5}

3) Dengan Notasi Contoh:

Misalkan diketahui himpunan lima bilangan asli yang pertama adalah 12,3,4, dan 5. Jawab: 𝐴 = {𝑥|𝑥 < 6, 𝑥 ∈ 𝑵} atau 𝐴 = {𝑥|𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ 𝑵}

4) Diagram Venn Definisi

Diagram venn merupakan suatu cara untuk menyajikan suatu himpunan. Contoh : 𝑆 = {−2, −1,0,1,2, }

D. Jenis-jenis Himpunan 1) Himpunan Berhingga

Contoh:

𝑃 adalah himpunan nama-nama hari, dapat ditulis

𝑃 = {𝑠𝑒𝑛𝑖𝑛, 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑠𝑎, 𝑟𝑎𝑏𝑢, 𝑘𝑎𝑚𝑖𝑠, 𝑗𝑢𝑚𝑎𝑡, 𝑠𝑎𝑏𝑡𝑢, 𝑚𝑖𝑛𝑔𝑔𝑢}.

Pada himpunan P di atas, semua anggota himpunan P sudah didaftar, yaitu senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, dan minggu. Jadi, banyaknya anggota himpunan adalah 7.

2) Himpunan Tak Hingga Contoh:

𝐺 adalah Himpunan bilangan ganjil, dapat ditulis 𝐺 = {1, 3, 5, 7, … }

4

Tidak semua anggotanya didaftar dan juga tidak dapat ditentukan, berapakah bilangan terbesar yang merupakan anggota himpunan. Karena tidak diketahui anggota yang terbesar maka tidak dapat dihitung banyaknya anggota pada himpunan G_{. Himpunan}

seperti G _{disebut himpunan tak hingga.}

3) Himpunan Kosong Definisi

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan Kosong dinotasikan dengan ∅ 𝑎𝑡𝑎𝑢{ }.

Contoh : 𝐴 = {𝑥: 𝑥2 = 9, 𝑥 adalah bilangan genap} Karena 𝑥 tidah ada yang memenuhi

𝑥2 _{= 9, 𝑥 adalah bilangan genap.} Jadi 𝐴 adalah himpunan kosong, ditulis 𝐴 = ∅ atau 𝐴 = { }.

4) Himpunan Semesta Definisi

Himpunan Semesta adalah himpunan yang terdiri atas semua himpunan bagian yang dibentuk darinya. Himpunan semesta dinotasikan 𝑆.

Contoh :

𝑆 adalah himpunan bilangan bulat atau 𝑆 = {⋯ , −2, −1,0,1,2, ⋯ , }.

E. Relasi Himpunan 1) Himpunan Bagian

Definisi

Himpunan 𝐴 dikatakan himpunan bagian dari 𝐵, jika dan hanya jika setiap anggota 𝐴 juga anggota pada 𝐵. Dinotasikan 𝐴 ⊂ 𝐵.

Contoh : 𝐴 = {1,3,5,7}

5 2) Himpunan Kuasa

Definisi

Himpunan Kuasa dari himpunan 𝐴 adalah semua himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan 𝑃(𝐴). Banyaknya anggota himpunan kuasa dari himpunan 𝐴 dinotasikan dengan 𝑛(𝑃(𝐴)) = 2𝑘.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1,3,5}, carilah himpunan kuasa yang merupakan himpunan bagian dari 𝐴.

Jawab: Himpunan-himpunan yang merupakan himpunan bagian dari 𝐴 adalah:  Himpunan yang banyak anggotanya 0 adalah 1, yaitu: ∅.

 Himpunan yang banyak anggotanya 1 adalah 3, yaitu {1}, {3}, {5}  Himpunan yang banyak anggotanya 2 adalah 3, yaitu {1,3}, {1,5}, {3,5}  Himpunan yang banyak anggotanya 3 adalah 1, yaitu {1,3,5}

𝑃(𝐴) = {∅, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}. 𝑛(𝑃(𝐴)) = 23 _{= 8.}

3) Kesamaan Dua Himpunan Definisi

Dua himpunan 𝐴 dan 𝐵 dikatakan sama jika dan hanya jika 𝐴 ⊂ 𝐵 dan 𝐵 ⊂ 𝐴, dinotasikan dengan 𝐴 = 𝐵.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1,3,5} dan 𝐵 = {3,5,1}, apakah himpunan 𝐴 dan himpunan 𝐵 sama?

Jawab:

 _{𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ {1} ⊂ {3,5,1}, {3} ⊂ {3,5,1}, {5} ⊂ {3,5,1}}.  _{𝐵 ⊂ 𝐴 ⇔ {3} ⊂ {1,3,5}, {5} ⊂ {1,3,5}, {1} ⊂ {1,3,5}}.

𝐴 ⊂ 𝐵 dan 𝐵 ⊂ 𝐴, jika dan hanya jika 𝐴 = 𝐵

4) Himpunan Berpotongan Definisi

6 5) Himpunan Saling Lepas

Definisi

Himpunan 𝐴 dan 𝐵 dikatakan saling lepas jika tidak ada anggota himpunan 𝐴 dan 𝐵 yang sama.

F. Operasi Himpunan 1) Irisan

Definisi

Irisan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan 𝐴 dan himpunan 𝐵, dinotasikan dengan 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐵}.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1, 2} dan 𝐵 = {2, 3, 4, 5}, carilah 𝐴 ∩ 𝐵! Jawab:

Jadi, 𝐴 ∩ 𝐵 = {2}.

2) Gabungan Definisi

Gabungan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan 𝐴 atau himpunan 𝐵 atau semuanya, dinotasikan dengan 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 atau 𝑥 ∈ 𝐵}.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1, 2} dan 𝐵 = {2, 3, 4, 5}, carilah 𝐴 ∪ 𝐵! Jawab:

7 3) Komplemen

Definisi

Komplemen dari 𝐴 adalah himpunan yang tediri atas semua anggota 𝑆 tetapi bukan anggota 𝐴, dinotasikan 𝐴′atau 𝐴𝑐 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐴}.

Contoh: Diberikan himpunan 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5} dan 𝐴 = {1, 2, 3}, carilah 𝐴𝑐! Jawab:

Jadi, 𝐴𝑐 = {4, 5}.

4) Selisih Definisi

Himpunan yang elemennya ada di 𝐴, tetapi tidak ada di 𝐵, dinotasikan 𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐴}

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1, 2} dan 𝐵 = {2, 3, 4, 5}, carilah 𝐴 − 𝐵! Jawab:

Jadi, 𝐴 − 𝐵 = {1}

G. Sifat-sifat Operasi Himpunan 1) Komutatif (Pertukaran)

 _{𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴}  _{𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴}

2) Asosiatif (Pengelompokkan)  _{𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶}  _{𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶}

8 4) Himpunan Semesta

 _{𝐴 ∩ 𝑆 = 𝐴}  _{𝐴 ∪ 𝑆 = 𝑆}

5) Distributif (Penyebaran)

 _{𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)}  _{𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)}

6) Komplemen  _(𝐴′₎′_{= 𝐴}  _{𝐴 ∩ 𝐴}′_{= ∅}  _{𝐴 ∪ 𝐴}′_{= 𝑆}  _∅′_{= 𝑆}  _𝑆′_{= ∅}

7) De Morgan