05 Kunci Jawaban Dan Pembahasan Mat 12 Ips Ktsp

Integral

Integral Fungsi Aljabar

• Integral tak tentu

• Integral tentu •• Integral substitusiIntegral parsial Luas daerah

• Bersikap teliti dan cermat dalam menyelesaikan permasalahan. • Mampu menentukan hasil integral tak tentu fungsi aljabar. • Mampu menentukan hasil integral tentu fungsi aljabar.

• Mampu menentukan hasil integral menggunakan metode substitusi. • Mampu menentukan hasil integral menggunakan metode parsial. • Mampu menentukan luas daerah menggunakan integral.

A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: e

∫

(4x3 ₊ 1 2x2 + 3x) dx = 4 × 1₄x4 ₊ 1 2 × 1 3x3 + 3 × 1 2x2 + c = x4 ₊ 1 6x3 + 3 2x2 + c 2. Jawaban: b ∫ f(x) dx = ∫ x dx = ∫ x12 _dx = 1 2 1 1 + x 1 2 + 1 + c 1 = 2₃x32 + c 1 = 2₃x x+ c₁ ∫ g(x) dx = ∫ 2x3 _dx = 2 × _{3 1}1₊ x3 + 1 _{+ c} 2 = 2₄x4 _{+ c} 2 = 1₂x4 _{+ c} 2 ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx = 2₃x x + ₂1x4 _{+ c} 3. Jawaban: a ∫ 3x 4x−_{x x}2 x dx = ∫ 3x 4x2 x x x x x ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠dx = ∫ (3x–12 – 4x) dx = 1 2 3 1 − + x –1 2 + 1 – 4 1 1+ x1 + 1 + c = 1 2 3 x12 _– 4 2x2 + c = 6 x – 2x2 _{+ c} 4. Jawaban: d f′(x) = 3x2 _{+ 6x – 5 dan f(–1) = 8} f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (3x2 _{+ 6x – 5) dx} = 3 × ₃1x3 _{+ 6 ×} 1 2x2 – 5x + c = x3 _{+ 3x}2 _{– 5x + c} f(–1) = 8 ⇒ (–1)3 _{+ 3(–1)}2 _{– 5(–1) + c = 8} ⇔ –1 + 3 + 5 + c = 8 ⇔ c = 1 Jadi, f(x) = x3 _{+ 3x}2 _{– 5x + 1.} 5. Jawaban: a MC = 1.000 – 8x + 6x2 TC =

_∫

MC dx = (1.000 – 8x + 6x2_{) dx} = 1.000x – 4x2 _{+ 2x}3 _{+ c} x = 0 ⇒ TC = 40.000 ⇔ 0 – 0 + 0 + c = 40.000 ⇔ c = 40.000

Jadi, rumus biaya totalnya adalah TC = 2x3 _{– 4x}2 _{+ 1.000x + 40.000.} 6. Jawaban: e 4 2 ∫(–x2 _{+ 6x – 8) dx} = ₃1 3 2 4 2 x 3x 8x ⎡_{− + −} ⎤ ⎣ ⎦ = (–1₃(4)3 _{+ 3(4)}2 _{– 8(4)) – (–}1 3(2)3 + 3(2)2 – 8(2)) = (–64₃ + 48 – 32) – (–8₃ + 12 – 16) = (–16₃ ) – (–20₃ ) = 4₃ 7. Jawaban: e 2 1 −

∫

(x – 1)(3x + 1) dx = 2 1 −

∫

(3x 2 _{– 2x – 1) dx} = 3 2 2 1 x x x − ⎡ _{− −} ⎤ ⎣ ⎦ = (8 – 4 – 2) – (–1 – 1 + 1) = 2 – (–1) = 3

8. Jawaban: d 3 a (2x 1)+

∫

dx = 10 ⇔ _⎡x2_+x ⎣ x2 + x 3 a ⎤ ⎦ = 10 ⇔ (9 + 3) – (a2 _{+ a) = 10} ⇔ 12 – a2 _{– a = 10} ⇔ a2 _{+ a – 2 = 0} ⇔ (a + 2)(a – 1) = 0 ⇔ a = –2 atau a = 1 Jadi, salah satu nilai a adalah 1. 9. Jawaban: c 2x + y = 3 ⇔ x = 3 y₂− 1 1 −∫ x dy = 1 1 −∫ 3 y 2 − _dy = ₂1 1 1 −∫ (3 – y) dy = 1₂ 1 1 1 2 3y y − ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = 1₂((3 – 1₂) – (–3 – ₂1)) = 1₂(6) = 3 10. Jawaban: b 4 0

∫

f(x) dx = 2 4 2

∫

2f(x) dx = 2 ⇔ 2 4 2

∫

f(x) dx = 2 ⇔ 4 2

∫

f(x) dx = 1 4 0

∫

f(x) dx = 2 0

∫

f(x) dx + 4 2

∫

f(x) dx ⇔ 2 = 2 0

∫

f(x) dx + 1 ⇔ 2 0

∫

f(x) dx = 2 – 1 = 1 Jadi, 2 0

∫

f(x) dx = 1. 1. a. ∫ x4 _{dx =} 1 4 1+ x4 + 1 + c = ₅1x5 _{+ c} b. ∫ 3 1 x dx = ∫ x–3 dx = _{− +3 1}1 x–3 + 1 _{+ c} = ₋1₂x–2 _{+ c} = – 2 1 2x + c c. ∫ _{x x}1 dx = ∫ x–32 dx = 3 2 1 1 − + x –3_{2 + 1 + c} = –2x–12 + c = – 2 x + c d. ∫ x2_x dx = ∫ x2 – 12 dx = ∫ x32 dx = 3 2 1 1 + x 3 2 + 1 + c = 2₅x52 + c = 2₅x2 _{x + c} 2. a. ∫ f(x) dx = ∫ (6x2 _{– 3x + 2) dx} = 6 × ₃1x3 _{– 3 ×} 1 2x2 + 2x + c = 2x3 _– 3 2x2 + 2x + c b. ∫ f(x) dx = ∫ x(3x – 4 x) dx = ∫ (3x x – 4x) dx = ∫ (3x32 _{– 4x) dx} = 3 × 2₅x52 _{– 4 ×} 1 2x2 + c = 6₅x2 _{x – 2x}2 _{+ c} B. Kerjakan soal-soal berikut.

c. ∫ f(x) dx = ∫ (3x + 2)2 _dx = ∫ (9x2 _{+ 12x + 4) dx} = 9 × 1₃x3 _{+ 12 ×} 1 2x2 + 4x + c = 3x3 _{+ 6x}2 _{+ 4x + c} d. ∫ f(x) dx = ∫ (2 x + 1)(3 x – 2) dx = ∫ (6x – x– 2) dx = ∫ (6x – x12 _{– 2) dx} = 6 × 1₂x2 _– 2 3x 3 2 – 2x + c = 3x2 _– 2 3x x– 2x + c 3. f′(x) = 2x + 2 y = f(x) =

∫

f′(x) dx =

∫

(2x + 2) dx = x2 _{+ 2x + c} Kurva melalui titik (2, 5).

y = x2 _{+ 2x + c} ⇔ 5 = 22 _{+ 2(2) + c} ⇔ 5 = 4 + 4 + c ⇔ 5 = 8 + c ⇔ c = –3

Jadi, persamaan kurva tersebut y = x2 _{+ 2x – 3.} 4. MC = 12x – 8 TC = ∫ MC dx = ∫ (12x – 8) dx = 6x2 _{– 8x + c} TC(5) = 130 ⇔ 6(5)2 _{– 8(5) + c = 130} ⇔ 150 – 40 + c = 130 ⇔ 110 + c = 130 ⇔ c = 20

Jadi, bentuk fungsi biaya total (dalam ribuan rupiah) adalah TC = 6x2 _{– 8x + 20.} 5. a. f′(x) = 4 – 6x f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (4 – 6x) dx = 4x – 3x2 _{+ c} f(3) = –12 ⇒4(3) – 3(3)2 _{+ c = –12} ⇔ 12 – 27 + c = –12 ⇔ c = 3 Jadi, f(x) = –3x2 _{+ 4x + 3.} b. 2 1 −∫ f(x) dx = 2 1 −∫ (–3x2 _{+ 4x + 3) dx} = 3 2 2 1 x 2x 3x − ⎡_{− + +} ⎤ ⎣ ⎦ = (–8 + 8 + 6) – (1 + 2 – 3) = 6 – 0 = 6 6. f(x) = 12x2 _{– 4x + 2} g(x) = 8 – 2x a. −

∫

1 2 g(x) dx =1 2 −

∫

(8 – 2x) dx = 2 1 2 8x x − ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = (8 – 1) – (–16 – 4) = 7 – (–20) = 27

∫

3 1 g(x) dx =

_∫

3 1 (8 – 2x) dx = 2 3 1 8x x ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = (24 – 9) – (8 – 1) = 15 – 7 = 8 −

∫

1 2 g(x) dx – 3

_∫

1 g(x) dx = 27 – 8 = 19 b. 3 2 f(x) dx −

∫

= 3 2 −

∫

(12x2 _{– 4x + 2) dx} = 3 2 3 2 4x 2x 2x − ⎡ _{− +} ⎤ ⎣ ⎦ = (108 – 18 + 6) – (–32 – 8 – 4) = 96 – (–44) = 140 3 2 g(x) dx −

∫

= 1 2 g(x) dx −

∫

+ 3 1 g(x) dx

∫

= 27 + 8 = 35 3 2 f(x) dx −

∫

+ 3 2 g(x) dx −

∫

= 140 + 35 = 175 c. 3 2 (2f(x) 5g(x)) dx − −

∫

= 23 2 f(x) dx −

∫

– 5 3 2 g(x) dx −

∫

= 2 × 140 – 5 × 35 = 280 – 175 = 105 7. a. 4 0

∫

10r r dr = 104 0

∫

_r32 _dr = 10 5 2 4 2 5 0 r ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 4( 5 5 2 2 4 −0 ) = 4(32 – 0) = 128

b. 2 1 −

∫

(2p – 5) dp = 2 2 1 p 5p − ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = ((2)2 _{– 5(2) – ((–1)}2 _{– 5(–1))} = (4 – 10) – (1 + 5) = –6 – 6 = –12 c. 2 2 4 (y − −

∫

+ 2 1 y ) dy = 2 2 4 (y − −

∫

+ y–2_{) dy} = 2 3 1 4 1 3y y − − − ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = (1₃(–2)3 _{– (–2)}–1_{) – (}1 3(–4)3 – (–4)–1) = –₃8+ ₂1+ 64₃ −₄1 = –32 6 256 3 12 + + − = 227₁₂ = 18₁₂11 d. 0 2 (x −

∫

– 2)(x + 5) dx = 0 2 2 (x −

∫

+ 3x – 10) dx = 0 3 2 2 1 3 3x 2x 10x ₋ ⎡ _{+ −} ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 0 – (₃1(–2)3 ₊ 3 2(–2)2 – 10(–2)) = 8₃ – 12₂ – 20 = 22₃ – 6 – 20 = –231₃ 8. a. 3 1 ∫(4x – a) dx = 12 ⇔ 2 3 1 2x ax ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = 12 ⇔(18 – 3a) – (2 – a) = 12 ⇔ 16 – 2a = 12 ⇔ –2a = –4 ⇔ a = 2 b. a 1 −∫ (3 – 2x) dx = –14 ⇔ 3x x2 a₁ − ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = –14 ⇔ (3a – a2_{) – (–3 – 1) = –14} ⇔ 3a – a2 _{+ 4 = –14} ⇔ a2 _{– 3a – 18 = 0} ⇔ (a + 3)(a – 6) = 0 ⇔ a = –3 atau a = 6 Jadi, nilai a = 6. 9. y2 _{= 2 – x ⇔ x = 2 – y}2 a. 1 1 −∫ x dy = 1 1 −∫ (2 – y 2_{) dy} = 1 3₃ 1 1 2y y − ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = (2 – ₃1) – (–2 + 1₃) = 2 – ₃1 + 2 – 1₃ = 3₃1 b. 1 0∫(x + x 2_{) dy} = 1 0∫((2 – y 2_{) + (2 – y}2₎2_{) dy} = 1 0∫(2 – y 2 _{+ 4 – 4y}2 _{+ y}4_{) dy} = 1 0∫(6 – 5y 2 _{+ y}4_{) dy} = ⎡_⎣6y– 5₃y3 ₊ 1 5y5 1 0 ⎤ ⎥⎦ = (6 – 5₃ + 1₅) – 0 = 4₁₅8 10. a. 5 2 −∫ 2g(x) dx = 6 ⇔ 2 5 2 −∫ g(x) dx = 6 ⇔ 5 2 −∫ g(x) dx = 3 b. 5 2 −∫ (2f(x) – 3g(x)) dx = 25 2 −∫ f(x) dx – 3 5 2 −∫ g(x) dx = 2(8) – 3(3) = 7

1. Jawaban: d Misalkan: u = 8 – x du dx = –1 ⇔ –du = dx

∫

(8 – x)5 _{dx =}

∫

_u5 _{(–du) = –}

∫

_u5 _du = –₆1u6 _{+ c = –}1 6(8 – x)6 + c 2. Jawaban: e Misalkan u = x2 _{– 2} du dx = 2x ⇔ du = 2x dx ∫ 2x x2−2dx = ∫ _x2_{−2× 2x dx} = ∫ udu = ∫ _u12_du = 2₃ 3 2 u + c = 2₃u u+ c = ₃2(x2 _{– 2) x}2_{−2+ c} 3. Jawaban: c Misalkan u = x2 _{– 6x + 2} du dx = 2x – 6 ⇔ du dx = 2(x – 3) ⇔ du = 2(x – 3) dx ∫ (x – 3)(x2 _{– 6x + 2) dx} = ∫ (x2 _{– 6x + 2)(x – 3) dx} = ∫ u × 1₂ du = 1₂∫ u du = ₂1(1₂u2_{) + c} = 1₄u2 _{+ c} = ₄1(x2 _{– 6x + 2)}2 _{+ c} 4. Jawaban: c Misalkan u = 3x2 _{+ 9x – 1} du dx = 6x + 9 = 3(2x + 3) ⇔ (2x + 3) dx = du₃ ∫ 2 2x 3 3x 9x 1 + + − dx = ∫ (3x2 _{+ 9x – 1)}–12 × (2x + 3) dx = ∫ _u−12 _× du 3 = ₃1 ∫ _u−12 _du = 1₃ × 2u21 + c = 2 3 2 3x +9x 1− + c 5. Jawaban: a Misalkan u = x3 _{+ 6x + 1 maka:} du dx = 3x2 + 6 = 3(x2 + 2) ⇔ (x2 _{+ 2) dx =} du 3 Sehingga diperoleh:

∫

_(x2_+2)(x3_{+6x 1)+} 12 _dx =

∫

1 2 3 (x +6x 1)+ × (x2 _{+ 2) dx} =

∫

1 2 u × du₃ = 1₃

∫

1 2 u du = 3 2 1 2 3×3u + c = 2₉u u + c = ₉2(x3 _{+ 6x + 1) x}3_{+6x 1+ + c} 6. Jawaban: a ∫ 8x(6x – 1 3 1) dx = 8₆ ∫ x(6x – 1 3 1) × 6 dx = 4₃ ∫ x(6x – 1 3 1) d(6x – 1)

= 4₃ ∫ x d3₄(6x – ₁₎43 = 4₃(x × 3₄(6x – ₁₎43 _– ∫3 4(6x – 4 3 1) dx) = x(6x – ₁₎43 _– 1 6 ∫ (6x – 4 3 1) × 6 dx = x(6x – ₁₎43 _– 1 6 × 3 7(6x – 7 3 1) + c = x(6x – ₁₎43 _– 1 14(6x – 7 3 1) + c 7. Jawaban: a 4 1 ∫f(x) dx = 6 Misalkan u = 5 – x du dx = –1 ⇔ dx = –du x = 1 ⇒ u = 5 – 1 = 4 x = 4 ⇒ u = 5 – 4 = 1 4 1 ∫f(5 – x) dx = 1 4∫f(u)(–du) = – 4 1∫f(u)(–du) = 4 1 ∫f(u) du = 6 8. Jawaban: b Misalkan u = 4 – 2x du dx = –2 ⇔ dx = du 2 − x = 1 ⇒ u = 4 – 2 = 2 x = 2 ⇒ u = 4 – 4 = 0 2 1 ∫(4 – 2x)4 _{dx =} 0 2∫u 4 _× du 2 − = ₋1₂ 0 2∫u 4 _du = –₂1 1 5₅ 0 2 u ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = –₁₀1 (05 _{– 2}5₎ = –₁₀1 (–32) = 3,2 9. Jawaban: c Misalkan u = 9 – x3 _{⇒ du = –3x}2 _dx ⇔ –1₃du = x2 _dx 3 2 2 3 x (9 x )−

∫

dx =∫(9 – x3₎−32 _{× x}2 _dx = –₃1 3 2 u−

∫

du = –1₃(–2)u−12 _{+ c} = 1 3 2 2 3(9 x )− + c = 3 2 3 9 x− + c 2 3 2 2 0 3 x (9 x )−

∫

dx = 2 3 0 2 3 9 x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ = _{3 9 8}2₋ – _{3 9 0}2₋ = 2₃ – 2₉ = 6₉ – 2₉ = ₉4 10. Jawaban: c ∫ x 4x 1+ dx = 1₄∫ x 4x 1+ × 4 dx = ₄1∫ x(4x + 1 2 1) d(4x + 1) = 1₄∫ x d2₃(4x + 3 2 1) = ₄1(x × 2₃(4x + 3 2 1) – ∫ 2₃(4x + 3 2 1) dx) = ₄1(2₃x (4x + 3 2 1) – 1₆ ∫ (4x + 3 2 1) × 4 dx) = 1₄(2₃x(4x + 3 2 1) – ₆1 × 2₅(4x + 5 2 1) ) + c 2 0 x 4x 1+

∫

dx = ₄1 3 5 2 2 2 0 2 1 3 15 ( x(4x 1) (4x 1) ⎡ ⎤ + − + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ₄1((2₃× 2 × 27 – ₁₅1× 243) – (0 – ₁₅1)) = ₄1(36 – 243₁₅ + ₁₅1 ) = 1₄ × 298₁₅ = 298₆₀ = 429₃₀ 1. a. Misalkan u = 5 – x du dx = –1 ⇔ dx = –du

∫ _{5 x}2₋ dx = ∫ 2_u(–du) = –2 ∫ u–21 du = –2 × 2u12 + c = –4 5 x− + c b. Misalkan u = x2 _{– 3} du dx = 2x ⇔ 2x dx = du ∫ 2x(x2 _{– 3)}3 _{dx = ∫ (x}2 _{– 3)}3 _{× 2x dx} = ∫ u3 _du = ₄1u4 _{+ c} = ₄1(x2 _{– 3)}4 _{+ c} c. Misalkan u = 2x – 3 du dx = 2 ⇔ dx = du 2 ∫ (4x – 6) 2x 3− dx = ∫ (2(2x – 3)(2x – 3)21 dx = 2 ∫ (2x – 3)32 dx = 2 ∫ u32 × du 2 = ∫ u32 du = 2₅u52 + c = 2₅(2x – 3)2 _{2x 3− + c} d. Misalkan u = 4 – 3x2 du dx = –6x ⇔ x dx = du 6 − ∫ 2 2 3x (4 3x )− dx = 3 ∫ (4 – 3x2)–2 × x dx = 3 ∫ u–2 _× du 6 − = ₋3₆ ∫ u–2 _du = – ₂1 × ₋1₁u–1 _{+ c} = _2u1 + c = 2 1 2(4 3x )− + c = 2 1 8 6x− + c 2. Misalkan u = x2 _{– 4x – 1} du dx = 2x – 4⇔ du = (2x – 4) dx = –2(2 – x) dx ⇔ (2 – x) dx = –₂1 du x = 0 ⇒ u = 0 – 0 – 1 = –1 x = 2 ⇒ u = 4 – 8 – 1 = –5 2 2 2 0 2 x (x 4x 1) − − −

∫

dx = 2 2 0 (x

∫

– 4x – 1)–2 _{(2 – x) dx} = 5 2 1 u − − −

∫

× (–1₂) du = –₂1 5 2 1 u − − −

∫

du = –₂1 1 5 1 1u− − − ⎡₋ ⎤ ⎣ ⎦ = 1₂ 5 1 1 u − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 1₂⎛⎜_⎝−1₅ – ₋1₁⎞⎟_⎠ = 1₂(4₅) = 2₅ 3. Misalkan u = x4 _{– 3x}3 _{+ 2} du dx = (4x3 – 9x2) dx 2 0

∫

3 2 4 3 2 (4x 9x ) (x 3x 2) − − + dx = 2 0

∫

(x 4 _{– 3x}3 _{+ 2)}–2_(4x3 _{– 9x}2_{) dx} = 2 0

∫

u –2 _du = – 2 0 1 u ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = – _{4 3} 2 0 1 x 3x 2 ⎡ ⎤ ⎢ _{− +} ⎥ ⎣ ⎦ = –(_{16 24 2−}1 ₊ – _{0 0 2− +}1 ) = –(–₆1 – ₂1) = –(–4₆) = 2₃ 4. a.

∫

x (2x – 1)4 _dx Misalkan u = x ⇒ du_dx = 1 ⇔ du = dx dv = (2x – 1)4 _dx

⇒ v =

∫

(2x – 1)4 _dx =

∫

(2x – 1)4 _× 1 2d(2x – 1) = 1₂

∫

(2x – 1)4 _{d(2x – 1)} = 1₂ × 1₅ (2x – 1)5 = ₁₀1 (2x – 1)5

∫

u dv = uv – ∫ v du

∫

x (2x – 1)4 _dx = x × ₁₀1 (2x – 1)5 _{– ∫} 1 10(2x – 1)5 dx = ₁₀1 x(2x – 1)5 _{– ∫} 1 10 × 1 2(2x – 1)5 × 2 dx = ₁₀1 x(2x – 1)5 _– 1 20 × 1 6(2x – 1)6 + c = ₁₀1 x(2x – 1)5 _– 1 120(2x – 1)6 + c b.

∫

3x 2_{x 4}+₋ dx =

∫

(3x + 2)(x – 4)–12 dx Misalkan u = 3x + 2 ⇒ du_dx = 3 ⇔ du = 3 dx dv = (x – 4)–12 dx ⇒ v =

∫

(x – 4)–12 dx =

∫

(x – 4)–21 d(x – 4) = ₁ 2 1_{(x – 4)2}1 = 2(x – 4)12

∫

u dv = uv – ∫ v du

∫

3x 2_{x 4}+₋ dx = (3x + 2) × 2(x – 4)12 – ∫ 2(x – 4) 1 2 × 3 dx = (6x + 4) x 4− – 6 ∫(x – 4)12 _{d(x – 4)} = (6x + 4) x 4− – 6 × 2₃(x – 4)32 + c = (6x + 4) x 4− – 4(x – 4) x 4− + c = (6x + 4 – 4x + 16) x 4− + c = (2x + 20) x 4− + c 5. a. Misalkan u = 4x ⇒ du = 4 dx dv = 1 4 x− dx = 1 2 (4 x)− − dx ⇒ v =

∫

1 2 (4 x)− − dx = –

∫

1 2 (4 x)− − × (–1)dx = –

∫

1 2 (4 x)− − d(4 – x) = –2 1 2 (4 x)−

∫

u dv = uv –

∫

v du

∫

4x 4 x− dx =

∫

4x d(–2 1 2 (4 x)− ) = 4x (–2 1 2 (4 x)− ) – ∫(–2 1 2 (4 x)− ) × 4 dx = –8x 1 2 (4 x)− – 8 ∫ 1 2 (4 x)− × (–1) dx = –8x 1 2 (4 x)− – 8 ∫ _{(4 x)}− 12 _{d(4 – x)} = –8x 1 2 (4 x)− – 8 × 2₃ 3 2 (4 x)− + c = –8x 4 x− – 16₃ (4 x)− 3 + c Jadi, ∫ f(x) dx = –8x 4 x− – 16₃ (4 x)− 3 + c. b. 3 0

∫

f(x) dx = 3 16 3 3 ₀ 8x 4 x (4 x) ⎡_{− − − −} ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = (–24 – 16₃ ) – (0 – 128₃ ) = –88₃ + 128₃ = 40₃

A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: c Persamaan garis: 2x + 3y – 12 = 0 ⇔ 3y = –2x + 12 ⇔ y = –2₃x + 4

Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis y = –2₃x + 4 dan sumbu X pada interval –1 ≤ x ≤ 3. Luas daerah yang diarsir: L = 3 1 −

∫

(–2₃x + 4) dx 2. Jawaban: c

Luas daerah yang diarsir:

L = 1 1 −

∫

y dx = 1 1 −

∫

(4 – x 2_{) dx} = 1 3₃ 1 1 4x x − ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = (4 – 1₃) – (–4 + 1₃) = 11₃ – (–11₃) = 22₃ = 71₃

Jadu, luas daerah yang diarsir 71₃ satuan luas.

3. Jawaban: d

Luas daerah yang diarsir:

L = 5 1 −

∫

y dx = 5 1 −

∫

(–x 2 _{+ 3x + 10) dx} = 1 3 3 2 5 3x 2x 10x ₋₁ ⎡_{− + +} ⎤ ⎣ ⎦ = (–125₃ + 75₂ + 50) – (₃1 + 3₂ – 10) = –125₃ – 1₃ + 75₂ – 3₂ + 50 + 10 = –126₃ + 72₂ + 60 = –42 + 36 + 60 = 54

Jadi, luas yang diarsir adalah 54 satuan luas. 4. Jawaban: c

Daerah yang diarsir dibatasi parabola y = x2 _{+ 1 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.} Luas daerah yang diarsir:

L = 2 0

∫

(x2 _{+ 1) dx} = ⎡_⎢⎣ 1 3x3 + x 2 0 ⎤ ⎥⎦ = (8₃ + 2) – 0 = 42₃

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 42₃satuan luas.

Y X y = 4 – x2 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Y X y = –x2 _{+ 3x + 10} –2 –1 0 1 2 3 4 5 10

Y X y = x x + y – 6 = 0 0 ₄ 6 I II 5. Jawaban: c

Daerah yang diarsir dibatasi oleh parabola y = (3 – x)2 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 3.

Luas daerah yang diarsir: L = 3 0

∫

(3 – x)2 _dx = 3 0

∫

(9 – 6x + x2_{) dx} = 2 1₃ 3 3 0 9x 3x x ⎡ _{− +} ⎤ ⎣ ⎦ = (27 – 27 + 9) – 0 = 9

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 9 satuan luas. 6. Jawaban: d

Perpotongan kedua kurva:

Substitusikan y = xke persamaan x + y – 6 = 0. ⇒ x + x – 6 = 0 ⇔ ( x)2 _{+ x – 6 = 0} ⇔ ( x + 3)( x – 2) = 0 ⇔ x = –3 atau x = 2 ⇔ (tidak ada) x = 4

Daerah I dibatasi oleh kurva y = x dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 4.

Luas daerah I: L_I =

4 0

∫

x dx

Daerah II dibatasi oleh garis y = 6 – x dan sumbu X pada interval 4 ≤ x ≤ 6.

Luas daerah II: L_II =

6

4

∫

(6 – x) dx

Luas daerah yang diarsir: L = L_I + L_II = 4 0

∫

x dx + 6 4

∫

(6 – x) dx = 4 0

∫

x dx – 6 4

∫

(x – 6) dx 0 Y X 3 y = (3 – x)2 9 7. Jawaban: c y = x2 y = 2x –––––– – 0 = x2 _{– 2x} ⇔ x(x – 2) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 2

Diperoleh batas integrasi x = 0 dan x = 2. Luas daerah yang diarsir:

L = 2 0

∫

(2x – x2_{) dx} = ⎡_⎢⎣x2 _– 1 3x3 2 0 ⎤ ⎥⎦ = (22 _– 1 3(2)3) – 0 = 4 – 8₃ = 4₃

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 4₃satuan luas. 8. Jawaban: b

Luas daerah yang diarsir: L = 2 0

∫

((4 – x2_{) – (–x + 2)) dx} = 2 0

∫

(2 – x2 _{+ x) dx} = ₃1 3 1₂ 2 2 0 2x x x ⎡ _{− +} ⎤ ⎣ ⎦ = (2(2) – 1₃(2)3 ₊ 1 2(2)2) – 0 = 4 – 8₃ + 2 = 10₃

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva-kurva tersebut adalah 10₃ satuan luas.

9. Jawaban: c

Parabola y2 _{= 4x untuk y > 0 dapat dituliskan} menjadi y = 2 x.

Pada interval 0 < x < 2 daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = 2 x dan sumbu X, luasnya L₁ =

2 0

∫

2 x dx. 0 Y X 2 y = 4 – x2 4 y = –x + 2 2

Pada interval 2 < x < 4 daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = 2 x dan garis y = 2x – 4, luasnya

L₂ =

4

2

∫

(2 x – (2x – 4)) dx.

Luas daerah yang diarsir: L = L₁ + L₂= 2 0

∫

2 xdx + 4 2

∫

(2 x – (2x – 4)) dx = 2 0

∫

2 xdx + 4 2

∫

2 xdx – 4 2

∫

(2x – 4) dx = 4 0

∫

2 xdx – 4 2

∫

(2x – 4) dx 10. Jawaban: e

Daerah I pada interval 2 ≤ x ≤ 4 dan dibatasi oleh garis y₁ = x – 2 dan sumbu X.

Luas daerah I: L_I = 4 2

∫

y₁ dx = 4 2

∫

(x – 2) dx = 2 4 2 1 2x 2x ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = (8 – 8) – (2 – 4) = 0 – (–2) = 2 satuan luas

Daerah II pada interval 4 ≤ x ≤ 5 dan dibatasi oleh garis y₁ = x – 2 dan parabola y₂ = x2 _{– 6x + 8.} Luas daerah II:

L_II = 5 4

∫

(y₁ – y₂) dx = 5 4

∫

((x – 2) – (x2 _{– 6x + 8)) dx} = 5 4

∫

(7x – x2 _{– 10) dx} = 2 3 5 4 7 1 2x 3x 10x ⎡ _{− −} ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = (175₂ – 125₃ – 50) – (56 – 64₃ – 40) = –41₆ – (–51₃) = 1₆1 satuan luas

Luas daerah yang diarsir: L = L_I + L_II = 2 + 1₆1 = 3₆1

Jadi, luas daerah tersebut 31₆satuan luas.

1. a. Daerah yang diarsir dibagi menjadi dua bagian. Daerah I dibatasi parabola y = 1₂x2 _dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.

Daerah II dibatasi garis y = 4 – x dan sumbu X pada interval 2 ≤ x ≤ 4.

Luas daerah yang diarsir: L = L_I + L_II = 2 0

∫

1 2x2 dx + 4 2

∫

(4 – x) dx = ⎡_⎢⎣61x3 2 0 ⎤ ⎥⎦ + ⎡⎢⎣4x – 21x2 4 2 ⎤ ⎥⎦ = (8₆ – 0) + (16 – 8) – (8 – 2) = 4₃ + 2 = 31₃

Jadi, luas daerah yang diarsir 3₃1satuan luas. b. Daerah yang diarsir dibatasi parabola y = 8 – 2x2 _{dan garis y = 2 – x pada interval} 0 ≤ x ≤ 2.

Luas daerah yang diarsir: L = 2 0

∫

((8 – 2x2_{) – (–x + 2)) dx} = 2 0

∫

(6 – 2x2 _{+ x) dx} = 2 3 1 2 2 3 2 ₀ 6x x x ⎡ _{− +} ⎤ ⎣ ⎦ = 12 – 16₃ + 2 – 0 = 82₃

Jadi, luas daerah yang diarsir 82₃satuan luas. 2. a. Daerah D dibatasi garis y = 2x, y = 3 – x, dan

sumbu X. Y X 0 2 4 5 y₂ = x2 _{– 6x + 8} y1 = x – 2 I II 0 Y X 3 y = 3 – x 1 y = 2x 3 2

b. Luas daerah D: L = 1 0

∫

2x dx + 3 1

∫

(3 – x) dx = ⎡_⎢⎣x2 1 0 ⎤ ⎥⎦ + ⎡⎢⎣3x – 21x2 3 1 ⎤ ⎥⎦ = (1 – 0) + (9 – 9₂) – (3 – 1₂) = 1 + 4₂1 – 2₂1 = 3

Jadi, luas daerah D adalah 3 satuan luas. 3. Daerah D dibatasi

pa-rabola y = –x2 _{+ x + 6} dan garis y = 2x + 4. y = 2x + 4 y = –x2 _{+ x + 6} ––––––––––––– – 0 = x2 _{+ x – 2} ⇔ (x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x = –2 atau x = 1

Diperoleh batas pengintegralan –2 ≤ x ≤ 1. Luas daerah yang diarsir:

L = 1 2 −

∫

((–x2 _{+ x + 6) – (2x + 4)) dx} = 1 2 −

∫

(–x2 _{– x + 2) dx} = ⎡_⎢⎣–₃1x3 _– 1 2x2 + 2x 1 2 − ⎤ ⎥⎦ = (–1₃ – 1₂ + 2) – (8₃ – 2 – 4) = (1₆1) – (–3₃1) = 41₂

Jadi, luas daerah yang diarsir 4₂1satuan luas. 4. a. b. Luas daerah D L_I = 1 0

∫

(y₁ – y₂) dx = 1 0

∫

((–x + 2) – x 2_{) dx} = 1 0

∫

(–x + 2 – x2_{) dx} = 1₂ 2 1₃ 3 1 0 x 2x x ⎡_{− + −} ⎤ ⎣ ⎦ = (–1₂ + 2 – ₃1) = –3₆ + 12₆ – 2₆ = 7₆ L_II= 2 1

∫

(y₂ – y₁) dx = 2 1

∫

(x2 _{– (–x + 2)) dx} = 2 1

∫

(x2 _{+ x – 2) dx} = 1₃ 3 1₂ 2 2 1 x x 2x ⎡ _{+ −} ⎤ ⎣ ⎦ = (8₃ + 4₂ – 4) – (₃1 + ₂1 – 2) = (8 3 – 2) – ( 1 3 + 1 2 – 2) = 8₃ – ₃1 – 1₂ – 2 + 2 = 8₃ – ₃1 – 1₂ = 16 6 – 2 6 – 3 6 = 11₆

Luas daerah yang diarsir: L = L_I + L_II

= 7₆ + 11₆ = 18

6 = 3

Jadi, luas daerah D adalah 3 satuan luas.

Y X x = 2 y₁ = –x + 2 y₂ = x2 –2 –1 0 1 2 4 3 2 1 I II

A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: d

∫

x xdx =

∫

_x1+12_dx =

∫

_x32_dx = 2_5x52_{+ c} = 2₅x2 x+ c 2. Jawaban: a ∫ (2x + 3) dx = _{1 1}2₊ x1 + 1 _{+ 3x + c} = 2₂x2 _{+ 3x + c} = x2 _{+ 3x + c} 3. Jawaban: a ∫ x(2 + 3x) dx = ∫ (2x + 3x2_{) dx} = 2 × 1₂x2 _{+ 3 ×} 1 3x3 + c = x2 _{+ x}3 _{+ c} 4. Jawaban: b ∫ (x + 3)(3x – 1) dx = ∫ (3x2 _{+ 8x – 3) dx} = 3 ∫ x2 _{dx + 8 ∫ x}1 _{dx – 3 ∫ x}0 _dx = _{2 1}3₊ x2 + 1 ₊ 8 1 1+ x1 + 1 – 3 0 1+ x0 + 1 + c = x3 _{+ 4x}2 _{– 3x + c} 5. Jawaban: c ∫ 3x_x4 dx =

∫

3x3 _x = 3 ∫ x72 dx = 3 × 2₉x92 _{+ c} = 2₃x4 _{x + c} 6. Jawaban: c f′(x) = 4x – 3 f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (4x – 3) dx = 2x2 _{– 3x + c} f(–1) = 9 ⇔ 2(–1)2 _{– 3(–1) + c = 9} ⇔ 2 + 3 + c = 9 ⇔ c = 4 Jadi, f(x) = 2x2 _{– 3x + 4.} 7. Jawaban: a f(x) =

_∫

f′(x) dx =

∫

(x2 _{+ 3x – 1) dx} = ₃1x3 ₊ 2 3 x2 _{– x + c} f(1) = 3 1 × 13 ₊ 2 3 × 12 _{– 1 + c =} 6 5 ⇔ ₃1 + ₂3 – 1 + c = ₆5 5. a. Titik potong antara kedua kurva

(x + 2)2_{= 10 – x}2 ⇔ x2 _{+ 4x + 4 = 10 – x}2 ⇔ 2x2 _{+ 4x – 6 = 0} ⇔ x2 _{+ 2x – 3 = 0} ⇔ (x – 1) (x + 3) = 0 ⇔ x = 1 atau x = –3 b. Luas daerah D L = ∫ − 1 3 ((10 – x2_{) – (x + 2)}2_{) dx} = ∫ − 1 3((10 – x 2_{) – (x}2 _{+ 4x + 4)) dx} = _∫ − 1 3 (6 – 2x2 _{– 4x) dx} = 2 3₃ 2 1 3 6x x 2x − ⎡ _{− −} ⎤ ⎣ ⎦ = (6 – 2₃ – 2) – (–18 – (–54₃ ) – 18) = (31₃) – (–18) = 21₃1

Jadi, luas daerah D adalah 21₃1 satuan luas. y = (x + 2)2 y = 10 – x2 Y X –3 1 D

⇔ ₆5 + c = 6 5 ⇔ c = 0 Jadi, f(x) = 3 1 x3 ₊ 2 3 x2 _{– x.} 8. Jawaban: b dy dx = 3x2 + 4x – 5 Persamaan kurva: y = ∫ (3x2 _{+ 4x – 5) dx = x}3 _{+ 2x}2 _{– 5x + c} Kurva melalui titik (1, 2).

(1, 2) ⇒ 2 = 1 + 2 – 5 + c ⇔ c = 4 Persamaan kurva: y = x3 _{+ 2x}2 _{– 5x + 4} 9. Jawaban: d MC = 8x – 5 TC = ∫ MC dx = ∫ (8x – 5) dx = 4x2 _{– 5x + c} TC(5) = 80 ⇔ 4(52_{) – 5(5) + c = 80} ⇔ 100 – 25 + c = 80 ⇔ 75 + c = 80 ⇔ c = 5 Jadi, TC = 4x2 _{– 5x + 5.} 10. Jawaban: d 2 0

∫

2x(8 – x2_{) dx =} 2 0

∫

(16x – 2x3_{) dx} = 2 4 2 0 16 2 2 x 4x ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 2 4 2 0 1 2 8x x ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = (32 – 8) – 0 = 24 11. Jawaban: d 3 b (2x

∫

– 1) dx = 2 3 b x x ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = (32 _{– 3) – (b}2 _{– b)} = 6 – b2 _{+ b} 3 b (2x

∫

– 1) dx = 6 ⇔ 6 – b2 _{+ b = 6} ⇔ b2 _{– b = 0} ⇔ b (b – 1) = 0 ⇔ b = 0 atau b = 1

Jadi, salah satu nilai b yang memenuhi adalah 1.

12. Jawaban: d 3 1

∫

3 a x dx = 4 ⇔ 3 1

∫

ax–3 _{dx = 4} ⇔ a 2 3 2x ₁ − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = 4 ⇔ –a₂( 2 1 3 – 2 1 1 ) = 4 ⇔ –a₂(₉1 – 1) = 4 ⇔ –a₂(–8₉) = 4 ⇔ 4a₉ = 4 ⇔ 4a = 36 ⇔ a = 9 13. Jawaban: b 3 1 −

∫

f(x) dx = 3 3 1 −

∫

2g(x) dx = –4 ⇔ 2 3 1 −

∫

g(x) dx = –4 ⇔ 3 1 −

∫

g(x) dx = –2 3 1 −

∫

(2f(x) – g(x)) dx = 2 3 1 −

∫

f(x) dx – 3 1 −

∫

g(x) dx = 2(3) – (–2) = 8 14. Jawaban: b b a

∫

(3x – 2)2 _{dx = 8} c b

∫

(3x – 2)2 _{dx = –}b c

∫

(3x – 2)2 _{dx = –5} c a

∫

(3x – 2)2 _{dx =} b a

∫

(3x – 2)2 _{dx +} c b

∫

(3x – 2)2 _dx = 8 + (–5) = 3 15. Jawaban: e Misalkan u = 2x + 5 du dx = 2 ⇔ 1 2du = dx

∫ 2 6 (2x 5)+ dx = ∫ 2 6 u × 1 2 du = 3∫ u–2 _du = 3 × ₋1₁u–1 _{+ c} = –3_u + c = –_{2x 5}3₊ + c 16. Jawaban: c Misalkan u = 3x2 _{– 1} du dx = 6x ⇔ du = 6x dx ∫ 3x(3x2 _{– 1)}2 _{dx = ∫ (3x}2 _{– 1)}2 _{3x dx} = ∫ u2₍1 2 du) = 1₂∫ u2 _du = ₂1 × 1₃u3 _{+ c} = 1₆(3x2 _{– 1)}3 _{+ c} 17. Jawaban: d Misalkan u = 1 + 2x – x2 du dx = 2 – 2x = –2(x – 1) ⇔ (x – 1) dx = du₋₂ ∫ 2 3 x 1 (1 2x x ) − + − dx = ∫ (1 + 2x – x2₎–3 _{× (x – 1) dx} = ∫ u–3 _× du 2 − = ₋1₂ ∫ u–3 _du = –1₂ × ₋1₂u–2 _{+ c} = ₄1(1 + 2x – x2₎–2 _{+ c} = 1 _{2 2} 4(1 2x x )+ − + c 18. Jawaban: b Misalkan u = 1 – 2x2 du dx = –4x ⇔ du = –4x dx ∫ 4x ₂ 1 2x− dx = – ∫ (1 – 2x 2₎–12(–4x dx) = – ∫ u–21 _du = –1 2 1_u21 _{+ c} = –2 u + c = –2 1 2x− 2 + c 19. Jawaban: c Misalkan u = x2 _{– 3x + 8} du dx = 2x – 3 ⇔ du = (2x – 3) dx

∫

2 4x 6 x 3x 8 − − + dx =

∫

(x 2 _{– 3x + 8)}−12_{× 2(2x – 3) dx} =

_∫

1 2 u− × 2 du = 2 × ₁ 2 1 + 1 − 1 2 1 u− + + c = 2 × 2 1 2 u + c = 4 u + c = 4 x2−3x 8+ + c 20. Jawaban: d Misalkan u = x2 _{– 2} du dx = 2x ⇔ du = 2x dx 2 0

∫

4x(x 2 _{– 2)}4 _{dx =} 2 0

∫

(x2 _{– 2)}4 _{4x dx} = 2 0

∫

u4_{(2 du)} = 2 2 0

∫

u 4 _du = 2 ₅1 5 2 0 u ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = 2₅ 2 5 2 0 (x 2) ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = 2₅(25 _{– (–2)}5₎ = 2₅(32 – (–32)) = 2₅(64) = 128₅

21. Jawaban: c 1 0

∫

3x 2 3x +1dx = 1₂ 1 0

∫

_3x2_{+1 × 6x dx} = 1₂ 1 0

∫

(

)

1 2 ₂ 3x +1 d (3x2 _{+ 1)} = ₂1 3 2 1 2 2 3 0 (3x 1) ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ₃1( 3 3 2 2 (3 1)+ −(0 1)+ ) = ₃1(8 – 1) = 7₃ 22. Jawaban: c Misalkan u = 4x ⇒ du = 4 dx dv = (x – 2)3 _dx ⇒ v = ∫ (x – 2)3 _dx = ∫ (x – 2)3 _{d(x – 2)} = 1₄(x – 2)4 ∫ u dv = uv – ∫ v du ∫ 4x(x – 2)3 _dx = (4x) × ₄1(x – 2)4 _{– ∫} 1 4(x – 2)4 (4 dx) = x(x – 2)4 _{– ∫ (x – 2)}4 _{d(x – 2)} = x(x – 2)4 _– 1 5(x – 2)5 + c = ₅1 (x – 2)4 _{(5x – (x – 2)) + c} = ₅1 (4x + 2)(x – 2)4 _{+ c} 23. Jawaban: d

Daerah yang diarsir dibatasi oleh parabola y = (2 – x)2 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.

Luas daerah yang diarsir: L = 2 0

∫

(2 – x)2 _dx = 2 0

∫

(4 – 4x + x2_{) dx} = 2 1₃ 3 2 0 4x 2x x ⎡ _{− +} ⎤ ⎣ ⎦ = (8 – 8 + 8₃) – 0 = 8₃

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 8₃satuan luas.

24. Jawaban: c

Luas daerah yang diarsir:

L = 4 1

∫

y dx = 4 1

∫

(–x2 _{+ 4x + 5) dx} = ₃1 3 2 4 1 x 2x 5x ⎡_{− + +} ⎤ ⎣ ⎦ = (–64₃ + 32 + 20) – (–1₃ + 2 + 5) = (–64₃ + 52) – (–1₃ + 7) = −64₃ + ₃1 + 52 – 7 = −63₃ + 45 = –21 + 45 = 24

Jadi, luas daerah yang diarsir 24 satuan luas. 25. Jawaban: c L = 3 2 1 ( x−

∫

+ 4x) dx = 3 2 3 1 1 3x + 2x ⎡₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = (–9 + 18) – (–₃1 + 2) = 7₃1 satuan luas 26. Jawaban: a

Tentukan titik potong antara kedua kurva

y = x2 _x2_{= x} y = x ⇔ x2 _{– x = 0} ⇔ x(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 1 L = 1∫ 0(x – x 2_{) dx} = 1 2 3 0 1 1 2x 3x ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = (₂1 – 1₃) – 0 = ₆1

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah 1 6 satuan luas. Y X y = –x2 _{+ 4x + 5} 8 5 –1 0 1 2 3 4 5 Y X 0 1 2 3 4 y = –x2 _{+ 4x}

27. Jawaban: e

y = 2 ⇒ x2 _{– 4x – 3 = 2} ⇔ x2 _{– 4x – 5 = 0} ⇔ (x + 1)(x – 5) = 0

⇔ x = –1 atau x = 5

Parabola dan garis berpotongan di titik (–1, 0) dan (5, 0).

Luas daerah yang diarsir: L = 5 1 −∫ (2 – (x2 _{– 4x – 3)) dx} = 5 1 −∫ (–x2 _{+ 4x + 5) dx} = –5 1 −∫ (x2 _{– 4x – 5) dx} = –⎡_⎢⎣1₃x3 _{– 2x}2 _{– 5x} 5 1 − ⎤ ⎥⎦ = –((125₃ – 50 – 25) – (–₃1 – 2 + 5)) = –(–331₃ – 22₃) = 36

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah 36 satuan luas.

28. Jawaban: e

Luas daerah pada interval 0 ≤ x ≤ 1 L_I = 1 0

∫

((2 – x) – x2_{) dx} = 1 0

∫

(2 – x – x2_{) dx} = 1 2 1 3 1 2 3 ₀ 2x x x ⎡ _{− −} ⎤ ⎣ ⎦ = (2(1) – ₂1(1)2 _– 1 3(1)3) – 0 = 2 – ₂1 – ₃1 = 7₆ satuan luas

Luas daerah pada interval 1 ≤ x ≤ 2 L_II= 2 1

∫

(x2 _{– (2 – x)) dx} = 2 1

∫

(x2 _{+ x – 2) dx} = 1₃ 3 ₂1 2 2 1 x x 2x ⎡ _{+ −} ⎤ ⎣ ⎦ = (8₃ + 2 – 4) – (1₃ + ₂1 – 2) = 2₃ – (–7₆) = 11₆ satuan luas Luas daerah yang diarsir: L = L_I + L_II

= 7₆ + 11₆ = 18₆ = 3

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah 3 satuan luas.

29. Jawaban: c

Menentukan titik potong antara kedua kurva y = x2 _{– x – 2} y = x + 1 ––––––––––––––––– – 0 = x2 _{– 2x – 3} ⇔ (x + 1)(x – 3) = 0 ⇔ x = –1 atau x = 3

Luas daerah yang diarsir: L = 3 0

∫

(y₁ – y₂) dx = 3 0

∫

((x + 1) – (x2 _{– x – 2)) dx} = 3 0

∫

(2x – x2 _{+ 3) dx} = 2 1₃ 3 3 0 x x 3x ⎡ _{− +} ⎤ ⎣ ⎦ = (9 – 9 + 9) – 0 = 9

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah 9 satuan luas. Y X y₁ = x + 1 y₂ = x2 _{– x – 2} 1 –1 –2 0 2 3 0 Y X y = x2 _{– 4x – 3} 5 –1 y = 2 2

30. Jawaban: c

Titik potong kedua kurva: y₁= y₂ ⇔ 6x – x2_{= x}2 _{– 2x} ⇔ 2x2 _{– 8x = 0} ⇔ 2x(x – 4) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 4 Luas = ∫ 4 0((6x – x 2_{) – (x}2 _{– 2x)) dx} = ∫ 4 0(8x – 2x 2_{) dx} = 2 2₃ 3 4 0 4x x ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = 4(4)2 _– 3 2 (4)3 _{– 0 =} 64 3

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah 64 3 satuan luas. 1. a. ∫ (2x + 3)(3x – 2) dx = ∫ (6x2 _{+ 5x – 6) dx} = 6 × 1₃x3 _{+ 5 ×} 1 2x2 – 6x + c = 2x3 ₊ 5 2x2 – 6x + c b. ∫ (3 – 2 x)2 _dx = ∫ (9 – 12x12 + 4x) dx = 9x – 12 × 2 3x 3 2 + 4 × 1 2x2 + c = 9x – 8x x + 2x2 _{+ c} 2. a. 1 0

∫

2 3x 2x x − _{dx =} 1 0

∫

(3 – 2x) dx = 2 1 0 3x x ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = (3 – 1) – (0 – 0) = 2 b. 2 1

∫

(12 – 14x + x2_{) dx} = ⎡_⎢⎣12x – 7x2 ₊ 1 3x3 2 1 ⎤ ⎥⎦ = (24 – 28 + 8₃) – (12 – 7 + ₃1) = –62₃ 3. a. 4 1 −

∫

y dx = 4 1 −

∫

(2x + 1) dx = ⎡_⎢⎣x2 _{+ x} 4 1 − ⎤ ⎦ = (16 + 4) – (1 + (–1)) = 20 b. 2 0

∫

(y2 _{– y) dx} = 2 0

∫

((2x + 1)2 _{– (2x + 1)) dx} = 2 0

∫

(4x2 _{+ 4x + 1 – 2x – 1) dx} = 2 0

∫

(4x2 _{+ 2x) dx} = ⎡_⎢⎣4₃x3 _{+ x}2 2 0 ⎤ ⎥⎦ = (32₃ + 4) – 0 = 142₃

4. Diketahui f′(x) = mx – 4 dengan f′(1) = 2 dan f(–1) = 3.

a. Tentukan rumus fungsi f(x). b. Tentukan hasil ∫ f(x) dx. Jawaban: a. f′(x) = mx – 4 f′(1) = 2⇒ m – 4 = 2 ⇔ m = 6 Diperoleh f′(x) = 6x – 4 f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (6x – 4) dx = 3x2 _{– 4x + c} f(–1) = 3⇒ 3(–1)2 _{– 4(–1) + c = 3} ⇔ 3 + 4 + c = 3 ⇔ c = –4 Jadi, f(x) = 3x2 _{– 4x – 4.} Y X 0 2 4 y = 6x – x2 y = x2 _{– 2x} 6

b. ∫ f(x) dx = ∫ (3x2 _{– 4x – 4) dx} = x3 _{– 2x}2 _{– 4x + c} 5. Misalkan u = x2 _{– x + 8} du dx = 2x – 1 ⇔ du = (2x – 1) dx ∫ (6x – 3) _x2_{− +x 8 dx} = 3 ∫ _x2_{− +x 8(2x – 1)dx} = 3 ∫ u du = 3 ∫ u21 du = 3 × 2₃u32 + c = 2 _u3 _{+ c} = 2u u+ c = 2(x2 _{– x + 8) x}2_{− +x 8+ c} 6. Misalkanu = x2 _{– 4x + 2} du dx = 2x – 4 ⇔ du = (2x – 4) dx x = 0 → u = 0 – 0 + 2 = 2 x = 1 → u = 1 – 4 + 2 = –1 1 0

∫

2 2 8x 16 (x 4x + 2) − − dx = 1 0

∫

(x2 _{– 4x + 2)}–2 _{× 4(2x – 4) dx} =

4

1 2 −

∫

u–2 _du = 4 1 1 2 1 1u − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = –4 1 2 1 u − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = –4(₋1₁ – 1₂) = –4 × (–3₂) = 6 7. 4 2

∫

4x(x – 3) 3 _dx Turunan Integral 4x (x – 3)3 4 1₄(x – 3)4 0 ₂₀1 (x – 3)5 4 2

∫

4x(x – 3)4 _dx = 1₄ 4 ₂₀1 5 4 2 4x( (x 3) ) 4( (x 3) ) ⎡ _{− − −} ⎤ ⎣ ⎦ = 4 1₅ 5 4 2 x(x 3) (x 3) ⎡ _{− − −} ⎤ ⎣ ⎦ = 4 1₅ 4 2 (x 3) (x (x 3)) ⎡ _{− − −} ⎤ ⎣ ⎦ = 4₅1 4 2 (x 3) (5x x 3) ⎡ _{− − +} ⎤ ⎣ ⎦ = 4₅1 4 2 (x 3) (4x 3) ⎡ _{− +} ⎤ ⎣ ⎦ = (1)41 5(16 + 3) – (–1)4 1 5(8 + 3) = 19₅ – 11₅ = 8₅ = 13₅ Jadi, 4 2

∫

4x(x – 3) 3 _{dx = 1}3 5.

8. a. Titik potong kurva dengan sumbu X x2 _{– 4x + 3 = 0} ⇔ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ x = 1 atau x = 3 L = – 3∫ 1(x 2 _{– 4x + 3) dx} = – ₃1 3 2 3 1 x 2x 3x ⎡ _{− +} ⎤ ⎣ ⎦ = –((9 – 18 + 9) – (1₃ – 2 + 3)) = –(0 – 11₃) = 1₃1

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 1₃1 satuan luas.

b. Titik potong kurva dengan sumbu X 8 – 2x2_{= 0} ⇔ 2x2_{= 8} ⇔ x2_{= 4} ⇔ x = 2 atau x = –2 L = 2 2 (8 −

∫

– 2x2_{) dx} = 2 3₃ 2 2 8x x − ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ = (16 – 16₃ ) – (–16 – (–16₃ )) = 102₃ – (–102₃) = 21₃1

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 211₃ satuan luas.

+ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

– ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

9. L_I = 0 3 −

∫

x 3 _dx = 0 4 3 1 4x ₋ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = –(0 – 81₄) = 81₄ satuan luas

L_II simetris dengan L_I ⇒ L_II = 81₄ satuan luas Jadi, L = L_I + L_II = 81₄ + 81₄ = 162₄ = 40₂1

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva tersebut adalah 401₂ satuan luas.

10. a. Daerah D b. Luas daerah D L = 4 1 −

∫

(y₁ – y₂) dx = 4 1 −

∫

((–x2 _{+ 3x + 4) – (x}2 _{– 3x – 4)) dx} = 4 1 −

∫

(–2x2 _{+ 6x + 8) dx} = 2 3₃ 2 4 1 x 3x 8x − ⎡_{− + +} ⎤ ⎣ ⎦ = (–128₃ + 48 + 32) – (2₃ + 3 – 8) = (–128₃ + 80) – (2₃ – 5) = –130₃ + 85 = –130₃ + 255₃ = 125₃ = 41₃2

Jadi, luas daerah D adalah 412₃ satuan luas.

–3 0 3 Y X I II Y X y₁ = –x2 _{+ 3x + 4} y₂ = x2 _{– 3x – 4} 4 –4 –1 0 4

• Pertidaksamaan linear dua variabel (PLDV).

• Himpunan penyelesaian perti-daksamaan linear dua variabel. • Sistem pertidaksamaan linear

dua variabel.

Nilai Optimum Fungsi Objektif

• Model matematika. • Metode uji titik pojok. • Metode garis selidik.

• Bersikap kreatif dalam menyelesaikan permasalahan program linear.

• Mampu menentukan daerah penyelesaian sistem pertidak-samaan linear dua variabel.

• Mampu menentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dari suatu daerah penyelesaian.

• Mampu menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. • Mampu menentukan nilai optimum fungsi objektif

mengguna-kan metode uji titik pojok.

• Mampu menentukan nilai optimum fungsi objektif mengguna-kan metode garis selidik.

• Mampu menyelesaikan model matematika.

• Mampu menafsirkan penyelesaian model matematika. • Mampu merancang dan menyelesaikan model matematika

masalah program linear. Sistem Pertidaksamaan Linear

Dua Variabel

1. Jawaban: b

Garis 3x – 5y = 15 memotong sumbu X di titik (5, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3). Uji titik (0, 0) ke 3x – 5y ≤ 15.

3 × 0 – 5 × 0 ≤ 15 (bernilai benar)

Daerah penyelesaian 3x – 5y ≤ 15 dibatasi garis 3x – 5y = 15 dan memuat titik (0, 0).

Jadi, grafik daerah himpunan penyelesaiannya seperti grafik di bawah ini.

2. Jawaban: c

Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan titik (0, 1): y 0 1 0 − − = x 2 0 2 + + ⇔ y₁ = x 2₂+ ⇔ 2y = x + 2 ⇔ 2y – x = 2

Titik (–1, 0) pada daerah penyelesaian. Uji titik (–1, 0) ke 2y – x.

2y – x = 0 – (–1) = 1 < 2

Jadi, pertidaksamaannya 2y – x < 2. 3. Jawaban: c

Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab.

1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (6, 0) adalah 4x + 6y = 24 ⇔ 2x + 3y = 12. Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian. Uji titik (1, 1) ke 2x + 3y.

2x + 3y = 2 × 1 + 3 × 1 = 5 < 12 Jadi, PtLDV-nya 2x + 3y ≤ 12

2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan titik (–2, 0) adalah 3x – 2y = –6 ⇔ –3x + 2y = 6. Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian. Uji titik (1, 1) ke –3x + 2y.

–3x + 2y = –6 ⇔ –3 × 1 + 2 × 1 = –1 ≤ 6 Jadi, PtLDV-nya –3x + 2y ≤ 6.

3) Daerah penyelesaian di kanan dan pada sumbu Y, maka x ≥ 0.

4) Daerah penyelesaian di atas dan pada sumbu X, maka y ≥ 0.

Jadi, sistem pertidaksamaannya: x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 3y ≤ 12; –3x + 2y ≤ 6

A. Pilihlah jawaban yang tepat.

X Y

0 5 –3

4. Jawaban: a

Garis –3x + 2y = 21 melalui titik (0, 21₂) dan titik (–7, 0).

Daerah penyelesaian –3x + 2y ≤ 21 di kanan dan pada garis –3x + 2y = 21.

Garis –2x + 3y = 12 melalui titik (0, 4) dan titik (–6, 0).

Daerah penyelesaian –2x + 3y ≥ 12 di kiri dan pada garis –2x + 3y = 12.

Daerah penyelesaian x ≤ 0 di kiri dan pada sumbu Y. Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidak-samaan sebagai berikut.

5. Jawaban: d

1) Garis x + y = 3 melalui titik (3, 0) dan titik (0, 3). Daerah penyelesaian x + y ≥ 3 dibatasi garis x + y = 3 dan tidak memuat (0, 0).

2) Garis y – x = 0 melalui titik (0, 0) dan titik (5, 5). Daerah penyelesaian y – x ≥ 0 dibatasi garis y – x = 0 dan memuat titik (0, 3)

3) Garis 5y – x = 20 melalui titik (0, 4) dan titik (5, 5). Daerah penyelesaian 5y – x ≤ 20 dibatasi garis 5y – x = 20 dan memuat titik (0, 0). 4) Daerah penyelesaian x ≥ 0 merupakan daerah

di kanan dan pada sumbu Y.

Dari 1), 2), 3), dan 4) diperoleh irisan keempat daerah tersebut yaitu daerah IV.

6. Jawaban: b

1) Daerah penyelesaian y ≤ 2x di kanan dan pada garis y = 2x.

2) Daerah penyelesaian 3y ≥ 2x di kiri dan pada garis 3y = 2x.

3) Daerah penyelesaian 2y + x ≤ 20 di kiri dan pada garis 2y + x = 20.

4) Daerah penyelesaian x + y ≥ 3 di kanan dan pada garis x + y = 3. Y X 21 2 –7 –6 0 4 –3x + 2y = 21 –2x + 3y = 12

Y X 0 10 3 3 20 y = 2x 3y = 2x 2y + x = 20 x + y = 3

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:

Dari gambar terlihat daerah penyelesaian berbentuk segi empat.

7. Jawaban: b

1) Garis x – 3y = –3 melalui titik (–3, 0) dan titik (0, –1).

Uji titik (0, 0) ke x – 3y ≤ –3: 0 – 3 × 0 ≤ –3 (bernilai salah)

Daerah penyelesaian x – 3y ≤ –3 dibatasi garis x – 3y = –3 dan tidak memuat titik (0, 0). 2) Garis 3x + 4y = 12 melalui titik (4, 0) dan titik

(0, 3).

Uji titik (0, 0) ke 3x + 4y ≤ 12: 3 × 0 + 4 × 0 ≤ 12 (bernilai benar)

Daerah penyelesaian 3x + 4y ≤ 12 dibatasi garis 3x + 4y = 12 dan memuat titik (0, 0). 3) Daerah penyelesaian yang memenuhi x ≥ 0

di kanan dan pada sumbu Y.

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:

Daerah yang diarsir berbentuk segitiga. Panjang alas = AC = 3 – 1 = 2

Menentukan koordinat titik B.

Garis x – 3y = –3 dan 3x + 4y = 12 berpotongan di titik B. Eliminasi x dari kedua persamaan garis. 3x + 4y = 12 × 1 3x + 4y = 12 x – 3y = –3 × 3 3x – 9y = –9 ––––––––––– – 13y = 21 ⇔ y = ₁₃21 Substitusikan y = ₁₃21 ke x – 3y = –3. x – 3y = –3 ⇔ x – 3 × ₁₃21 = –3 ⇔ x – ₁₃63 = –3 ⇔ x = 63₁₃ – 39₁₃ = 24₁₃

Diperoleh koordinat titik B (₁₃24, ₁₃21). Tinggi segitiga = x_B = 24₁₃

L = 1₂ × a × t = 1₂ × AC × x_B = 1₂ × 2 × 24₁₃ = 24₁₃ = 1₁₃11

Jadi, luas daerah yang diarsir 1₁₃11 satuan. 8. Jawaban: e

a.

ABCD berbentuk trapesium. Luas ABCD = 1₂ × AB(AD + BC)

= 1₂ × 5(4 + 9) = 32₂1 satuan b.

ABCD berbentuk layang-layang. Luas ABCD = ₂1 × AC × BD = 1₂ × 7 × 4 = 14 satuan Y X x – 3y = –3 –3 3x + 4y = 12 4 C 1 B A 3 0 _{–3 –2 –1 0 1 2 3} 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 A B C D 5x + 2y = –10 x + y = 2 x – y = –2 5x – 2y = 10 X Y X –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 4 3 2 1 –1 –2 –3 Y A B C D y = 3 y = –2 x = –2 x + y = 5

Y X –4 –3 –2 –1 1 2 3 5x – 3y = 15 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 3x + 5y = 15 3x + 4y = –12 Y X 3x + 2y = –4 y = 1 y = –2 3x + 2y = 11 1 –2 –2 0 3 5 Y X y = 2 x + 3y = –4 2x – y = –2 x = –4 –4 0 2 2 –2 –3 –2 –1 0 1 2 3 5 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 Y A B C D 3x + 2y = –6 3x + 2y = 6 3x – 2y = –6 3x – 2y = 6 X c.

ABCD berbentuk persegi. Luas ABCD = AB × BC

= 13 × 13 = 13 satuan d.

ABCD berbentuk segitiga. Luas ABCD = 1₂ × BC × AD

= 1₂ × 10 × 6 = 30 satuan e.

ABCD berbentuk belah ketupat. Luas ABCD = 1₂ × AC × BD

= 1₂ × 6 × 4 = 12 satuan Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan yang memiliki luas 12 satuan adalah pilihan e.

9. Jawaban: b

1) Pada pilihan a, d, dan e, titik (1, –2) dan (2, –1) tidak memenuhi pertidaksamaan y ≥ 0 karena –2 < 0 dan –1 < 0.

2)

Titik (1, 2), (1, –2), (2, 1), (2, –1) di dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan pilihan b.

3) Pada pilihan c, titik (1, –2) tidak memenuhi pertidaksamaan 5x – 3y ≥ 15 karena 5 × 1 – 3 × (–2) = 11 ≤ 15.

Jadi, sistem pertidaksamaan yang benar pilihan b. 10. Jawaban: c

a.

Daerah penyelesaian berbentuk jajargenjang. b.

Daerah penyelesaian berbentuk segi empat. –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 Y A B C D 2x + 3y = 9 2x + 3y = –4 3x – 2y = –6 3x – 2y = 7 X –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 Y A B C D y = –3 x – y = –1 3x + 2y = 12 X

c.

Daerah penyelesaian berbentuk belah ketupat. d.

Daerah penyelesaian berbentuk layang-layang. e.

Daerah penyelesaian berbentuk trapesium. Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penyele-saiannya berbentuk belah ketupat pilihan c.

B. Uraian

1. 1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan titik (–2, 0): y – 3 0 – 3 = x – 0 2 – 0 − ⇔ y 3₋−₃ = ₋x₂ ⇔ –2(y – 3) = –3x ⇔ –2y + 6 = –3x ⇔ 3x – 2y = –6

Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 3x – 2y = –6, maka pertidaksamaannya 3x – 2y ≥ –6.

2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan titik (6, 0): y 4 0 4 − − = x 0 6 0 − − ⇔ y 4₋−₄ = ₆x ⇔ 6(y – 4) = –4x ⇔ 6y – 24 = –4x ⇔ 4x + 6y = 24 ⇔ 2x + 3y = 12

Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 2x + 3y = 12, maka pertidaksamaannya 2x + 3y ≤ 12.

3) Persamaan garis yang melalui titik (0, –3) dan titik (2, 0): y ( 3) 0 ( 3) − − − − = x 0 2 0 − − ⇔ y 3₃+ = x₂ ⇔ 2(y + 3) = 3x ⇔ 2y + 6 = 3x ⇔ 3x – 2y = 6

Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 3x – 2y = 6, maka pertidaksamaannya 3x – 2y ≤ 6.

4) Daerah penyelesaian di kanan dan pada sumbu Y maka x ≥ 0 dan di atas dan pada sumbu X maka y ≥ 0.

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah: 3x – 2y≥ –6

2x + 3y≤ 12 3x – 2y≤ 6

y≥ 0 x≥ 0

2. a. 1) Garis x – y = –2 melalui titik (0, 2) dan titik (–2, 0).

Daerah penyelesian x – y ≥ –2 dibatasi garis x – y = –2 dan memuat titik (0, 0). 2) Garis 2x + 3y = 16 melalui titik (0, 16

3 ) dan titik (8, 0).

Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 16 dibatasi garis 2x + 3y = 16 dan memuat titik (0, 0).

3) Garis x – y = 3 melalui titik (0,–3) dan titik (3, 0).

Daerah penyelesaian x – y ≤ 3 dibatasi garis x – y = 3 dan memuat titik (0, 0). 4) Garis 2x + 3y = 6 melalui titik (0, 2) dan

titik (3, 0).

Daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ 6 dibatasi garis 2x + 3y = 6 dan tidak memuat titik (0, 0). Y X 2x – 3y = –6 2x + 3y = 6 2x – 3y = –18 2x + 3y = –6 4 2 –6 –3 0 Y X y = 1 y = –2 x + y = 1 3x – y = –13 –5 –4 0 3 1 –2 Y X y – x = 0 2x – 5y = 20 2x + 5y = 0 x + y = –4 –2 0 5 –2 –4

I 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 V VI IV II III

Daerah penyelesaian x + 2y ≤ 0 dibatasi garis x + 2y = 10 dan memuat titik (0, 0). 4) Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan dan pada sumbu Y dan daerah penyelesian y ≥ 0 di atas dan pada sumbu X. Daerah penyelesaian:

b. Daerah penyelesaian:

L_I = L_VI = ₂1 × 2 × 1 = 1 satuan L_II = L_III = L_IV = 2 × 2 = 4 satuan L_V = ₂1 × 2 × 2 = 2 satuan

Luas daerah himpunan penyelesaian. = L_I + L_II + L_III + L_IV + L_V + L_VI = 3 L_II + 2 L_I + L_V = 3 × 4 + 2 × 1 + 2 = 12 + 2 + 2 = 16 satuan

Jadi, luas daerah penyelesaiannya 16 satuan luas.

4.

1) Persamaan garis yang melalui titik A(–4, 4) dan D(0, 4) adalah y = 4.

Daerah penyelesaian di bawah dan pada garis y = 4 sehingga pertidaksamaannya y ≤ 4. 2) Persamaan garis yang melalui titik A(–4, 4)

dan B(–4, 0) adalah x = –4.

Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis x = –4 sehingga pertidaksamaannya x ≥ –4. Y X 6 _{x – y = –2} 2 –3 –2 2 6 x + y = 6 x + y = 2 x – 2y = 6 Daerah penyelesaian:

b. 1) Garis x + y = 2 melalui titik (2, 0) dan titik (0, 2).

Daerah penyelesaian x + y ≥ 2 dibatasi garis x + y = 2 dan tidak memuat titik (0, 0).

Garis x – y = –2 melalui titik (–2, 0) dan (0, 2).

Daerah penyelesaian x – y ≥ –2 dibatasi garis x – y = –2 dan memuat titik (0, 0). Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dan (0, 6).

Daerah penyelesaian x + y ≤ 6 dibatasi garis x + y = 6 dan memuat titik (0, 0). Garis x – 2y = 6 melalui titik (6, 0) dan (0, –3).

Daerah penyelesaian x – 2y ≤ 6 dibatasi garis x – 2y = 6 dan memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian:

3. a. 1) Garis 2x + y = 10 melalui titik (5, 0) dan titik (0, 10).

Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 10 dibatasi garis 2x + y = 10 dan memuat titik (0, 0). 2) Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dan

titik (0, 6).

Daerah penyelesaian x + y ≤ 6 dibatasi garis x + y = 6 dan memuat titik (0, 0). 3) Garis x + 2y = 10 melalui titik (10, 0) dan

titik (0, 5). Y X –3 x – y = –2 x – y = 3 2x + 3y = 16 2x + 3y = 6 –2 3 8 16 3 2 0 5 6 10 X Y x + 2y = 10 x + y = 6 2x + y = 10 10 6 5 Y X A B C D –4 0 3 4 –3

A Y X 5 2 0 –2 –3 –4 5x – y = 13 B C D x + 2y = –4 5x – 2y = –20 2 3 –2 3x + 5y = 19

3) Persamaan garis yang melalui titik B(–4, 0) dan titik C(3, –3): B C B y y y y − − = C BB x x x x − − ⇔ _{− −}y 0_{3 0}− = _{3 ( 4)}x 4_{− −}+ ⇔ ₋y₃ = x 4 7 + ⇔ 7y = –3(x + 4) ⇔ 7y = –3x – 12 ⇔ 3x + 7y= –12

Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 3x + 7y = –12 maka pertidaksamaannya 3x + 7y ≥ –12.

4) Persamaan garis yang melalui titik C(3, –3) dan titik D(0, 4): D C D y y y y − − = C DD x x x x − − ⇔ _{− −}y 4_{3 4}− = x 0_{3 0}−₋ ⇔ y 4₋−₇ = x₃ ⇔ 3y – 12 = –7x ⇔ 7x + 3y= 12

Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 7x + 3y = 12 maka pertidaksamaannya 7x + 3y ≤ 12.

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah y≤ 4

x≥ –4 3x + 7y≥ –12 7x + 3y≤ 12

5.

Diagonal-diagonal daerah penyelesaian adalah AC dan BD. Panjang AC = 2 2 C A C A (x −x ) +(y −y ) = (2 2)+ 2+ − −( 3 5)2 = 42+ −( 8)2 = 16 + 64 = 80 = 4 5 Panjang BD = (x_D−x )_B2+(y_D−y )_B 2 = (3 4)+ 2+ +(2 0)2 = ₇2₊₂2 _{= 49 + 4 = 53}

Jadi, panjang diagonal-diagonal daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah 4 5 satuan dan

53satuan.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = x + 3y:

Jadi, nilai maksimum f(x, y) = x + 3y adalah 18. 2. Jawaban: a

Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab.

Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan titik (8, 0) adalah 8x + 8y = 64 ⇔ x + y = 8 . . . (1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan titik (12, 0) adalah 4x + 12y = 48 ⇔ x + 3y = 12 . . . (2) Menentukan koordinat titik potong garis x + y = 8 dan x + 3y = 12.

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2): x + 3y = 12

x + y = 8 ––––––––––– –

2y = 4 ⇔ y = 2

Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan x + y = 8 diperoleh:

x + 2 = 8 ⇔ x = 6

Diperoleh koordinat titik potong kedua garis (6, 2). Titik pojok daerah penyelesaian adalah A(12, 0), B(6, 2), dan C(0, 8).

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y.

Jadi, nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y adalah 26. Titik Pojok (2, 0) (4, 1) (6, 4) (2, 5) (0, 1) f(x, y) = x + 3y 2 + 3 × 0 = 2 4 + 3 × 1 = 7 6 + 3 × 4 = 18 2 + 3 × 5 = 17 0 + 3 × 1 = 3 Titik Pojok A(12, 0) B(6, 2) C(0, 8) f(x, y) = 3x + 4y 3 × 12 + 4 × 0 = 36 3 × 6 + 4 × 2 = 26 3 × 0 + 4 × 8 = 32 ← Minimum

A(0, 8) B(4, 4) C(0, 12) 0 – 2 × 8 = –16 4 – 2 × 4 = –4 0 – 2 × 12 = –24 Titik Pojok z = x – 2y 3. Jawaban: d

Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab.

Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (–2, 0) adalah 4x – 2y = –8 ⇔ 2x – y = –4. Persamaan garis yang melalui titik (0, 2) dan (–3, 0) adalah 2x – 3y = –6.

Persamaan garis yang melalui titik (0, 7) dan (7, 0) adalah 7x + 7y = 49 ⇔ x + y = 7.

Garis 2x – 3y = –6 dan x + y = 7 berpotongan di titik C(3, 4).

Garis 2x – y = –4 dan x + y = 7 berpotongan di titik D(1, 6).

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y – x.

Jadi, nilai maksimum fungsi obyektif f(x, y) = 3y –x adalah 17.

4. Jawaban: b

Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab.

Persamaan garis yang melalui titik (0, –2) dan (3, 0) adalah –2x + 3y = –6.

Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan (10, 0) adalah 5x + 10y = 50 ⇔ x + 2y = 10. Persamaan garis yang melalui titik (1, 0) dan sejajar sumbu Y adalah x = 1.

Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan sejajar sumbu X adalah y = 3.

Menentukan koordinat titik C.

Titik C merupakan titik potong antara garis –2x + 3y = –6 dan x + 2y = 10.

Eliminasi x dari kedua persamaan garis. –2x + 3y = –6 × 1 –2x + 3y = –6

x + 2y = 10 × 2 2x + 4y = 20 –––––––––––– +

7y = 14

⇔ y = 2

Substitusikan y = 2 ke persamaan garis x + 2y = 10. x + 2y = 10

⇔ x + 2 × 2 = 10

⇔ x + 4 = 10

⇔ x = 6

Diperoleh koordinat titik C (2, 6). Menentukan koordinat titik D.

Titik D merupakan titik potong antara garis y = 3 dan x + 2y = 10.

Substitusikan y = 3 ke persamaan garis x + 2y = 10. x + 2y = 10

⇔ x + 2 × 3 = 10

⇔ x + 6 = 10

⇔ x = 4

Diperoleh koordinat titik D (4, 3).

Persamaan fungsi objektif f(x, y) = 5x + 5y. Titik-titik pojok daerah penyelesaian adalah A(1, 0), B(3, 0), C(6, 2), D(4, 3), dan E(1, 3).

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 5x + 5y.

Dari tabel di atas diperoleh nilai minimum f(x, y) adalah 5.

Jadi, persamaan garis selidik yang menyebabkan f(x, y) mencapai minimum adalah 5x + 5y = 5. 5. Jawaban: d

Garis x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan titik (8, 0). Garis 2x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan titik (6, 0). Garis x + y = 8 dan 2x + y = 12 berpotongan di titik B(4, 4).

Uji (0, 0) Penyelesaian

x + y ≥ 8 ⇒ 0 + 0 ≥ 8 Salah Tidak memuat titik (0, 0) 2x + y ≤ 12⇒ 0 + 0 ≤ 12 Benar Memuat titik (0, 0)

Daerah penyelesaian:

Uji titik pojok ke fungsi objektif z = x – 2y:

Nilai maksimum z = x – 2y adalah –4 dan nilai minimum –24.

Dengan demikian, M = –4 dan m = –24. Jadi, nilai M – m = –4 – (–24) = 20. 6. Jawaban: b

Garis 2x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan titik (4, 0). Uji titik (0, 0) ke 2x + y ≤ 8.

2 × 0 + 0 ≥ 8 (salah)

Daerah 2x + y ≥ 8 dibatasi garis 2x + y = 8 dan tidak memuat titik (0, 0).

Daerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 7 di kanan dan pada garis x = 0, di kiri dan pada garis x = 7.

A(1, 0) B(3, 0) C(6, 2) D(4, 3) E(1, 3) 5 × 1 + 5 × 0 = 5 5 × 3 + 5 × 0 = 15 5 × 6 + 5 × 2 = 40 5 × 4 + 5 × 3 = 35 5 × 1 + 5 × 3 = 20 Titik Pojok f(x, y) = 5x + 5y ← Minimum A(0, 4) B(0, 2) C(3, 4) D(1, 6) 3 × 4 – 0 = 12 3 × 2 – 0 = 6 3 × 4 – 3 = 9 3 × 6 – 1 = 17 Titik Pojok f(x, y) = 3y – x ← Maksimum Y X 0 12 8 6 8 A B(4, 4) C 2x + y = 12 x + y = 8

Daerah penyelesaian 1 ≤ y ≤ 2 di atas dan pada garis y = 1, di bawah dan pada garis y = 2. Daerah penyelesaian:

Garis 2x + y = 8 berpotongan dengan garis y = 4 di titik A(2, 4).

Garis 2x + y = 8 berpotongan dengan y = 1 di titik B(7₂, 1).

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 5x + 10y:

Jadi, nilai minimum f(x, y) = 5x + 10y adalah 27,5. 7. Jawaban: c

a. Garis 4x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan (3, 0). Daerah penyelesaian 4x + y ≥ 12 di kanan dan pada garis 4x + y = 12.

Garis 2x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan (6, 0). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 12 di kiri dan pada garis 2x + y = 12.

Garis x – 2y = –6 melalui titik (0, 3) dan (–6, 0). Daerah penyelesaian x – 2y ≥ –6 di kanan dan pada garis x – 2y = –6.

b. Daerah penyelesaian:

Garis 4x + y = 12 dan x – 2y = –6 berpotongan di titik A(2, 4). Garis 2x + y = 12 dan x – 2y = –6 berpotongan di titik D(18₅ , 24₅ ).

c. Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 10x + 15y.

Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 10x + 15y adalah 108.

8. Jika fungsi f(x, y) = 5.000 – x – y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, x – 2y + 2 ≥ 0, dan 2x+ y – 6 ≥ 0 maka . . . .

a. fungsi f mempunyai nilai minimum dan nilai maksimum

b. fungsi f tidak mempunyai nilai minimum maupun nilai maksimum

c. fungsi f mempunyai nilai minimum dan tidak mempunyai nilai maksimum

d. fungsi f mempunyai nilai maksimum dan tidak mempunyai nilai minimum

e. nilai minimum dan nilai maksimum fungsi f tidak dapat ditentukan

Jawaban: a

Garis x – 2y = 0 melalui titik (0, 1) dan (–2, 0). Daerah penyelesaian x – 2y + 2 ≥ 0 di kanan dan pada garis x – 2y + 2 = 0.

Garis 2x + y – 6 = 0 melalui titik (0, 6) dan (3, 0). Daerah penyelesaian 2x + y – 6 ≥ 0 di kanan dan pada garis 2x + y – 6 = 0.

Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan dan pada sumbu Y.

Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas dan pada sumbu X.

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Uji titik pojok:

Dari tabel terlihat fungsi objektif f(x, y) mempunyai nilai minimum 4.996 dan nilai maksimum 5.000. Jadi, pernyataan yang benar adalah pilihan a.

Y X y = 2 y = 1 8 4 1 0 4 7 2x + y = 8 B C A D A(2, 4) B(7₂, 1) C(7, 1) D(7, 4) 5 × 2 + 10 × 4 = 50 5 × 7₂ + 10 × 1 = 27,5 5 × 7 + 10 × 1 = 45 5 × 7 + 10 × 4 = 75

Titik Pojok f(x, y) = 5x + 10y

← Minimum Y X 12 3 D A B C x – 2y = –6 4x + y = 12 –6 3 6 2x + y = 12 0 A(2, 4) B(3, 0) C(6, 0) D(18₅ , 24₅) 10 × 2 + 15 × 4 = 80 10 × 3 + 15 × 0 = 30 10 × 6 + 15 × 0 = 60 10 × 18₅ + 15 × 24₅ = 108

Titik Pojok f(x, y) = 10x + 15y

← Maksimum Titik Pojok A(0, 1) O(0, 0) B(3, 0) C(2, 2) f(x, y) = 5.000x – x – y 5.000 – 0 – 1 = 4.999 5.000 – 0 – 0 = 5.000 5.000 – 3 – 0 = 4.997 5.000 – 2 – 2 = 4.996 Y X x – 2y + 2 = 0 2x + y –6 = 0 A B C(2, 2) –2 0 3 6 1 O

9. Jawaban: a

Misalkan: x = banyak sepatu jenis I y = banyak sepatu jenis II

Kios hanya cukup ditempati 40 pasang sepatu. Pertidaksamaan yang memenuhi

x + y ≤ 40 . . . (1)

Modal yang dimiliki hanya Rp3.000.000,00. Pertidaksamaan yang memenuhi

60.000x + 80.000y≤ 3.000.000

⇔ 3x + 4y≤ 150 . . . (2)

Banyak sepatu jenis I tidak boleh negatif. Pertidak-samaan yang memenuhi x ≥ 0 . . . (3) Banyak sepatu jenis II tidak boleh negatif. Pertidak-samaan yang memenuhi y ≥ 0 . . . (4) Dari pertidaksamaan (1)–(4) diperoleh SPtLDV:

3x + 4y≤ 150 x + y≤ 40

x≥ 0 y≥ 0 10. Jawaban: d

Misalkan: x = banyak mangga y = banyak apel

Putri harus membeli paling sedikit 3 mangga dan 2 apel, maka diperoleh:

x ≥ 3 dan y ≥ 2 . . . (1)

Jumlah buah yang dibeli paling sedikit 7 buah, maka diperoleh:

x + y ≥ 7 . . . (2)

Putri mempunyai uang Rp12.000,00, sedangkan harga mangga Rp1.800,00 per buah dan harga apel Rp1.500,00 per buah, maka diperoleh:

1.800x + 1.500y≤ 12.000 ⇔ 18x + 15y ≤ 120

⇔ 6x + 5y ≤ 40 . . . (3)

Dari pertidaksamaan (1), (2), dan (3) diperoleh sistem pertidaksamaan berikut.

6x + 5y≤ 40 x + y ≥ 7

x ≥ 3 y ≥ 2

Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah pilihan d.

11. Jawaban: c

Misalkan: x = banyak mobil y = banyak bus

Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan f(x, y) = 2.000x + 3.500y dengan kendala: x + y≤ 58 6x + 24y≤ 600 ⇔ x + 4y ≤ 100 x≥ 0 y≥ 0 Daerah penyelesaian:

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 2.000x + 3.500y

Nilai maksimum f(x, y) = 2.000x + 3.500y adalah 137.000.

Jadi, jika tempat parkir penuh hasil dari biaya parkir maksimum mencapai Rp137.000,00.

12. Jawaban: d

Menentukan model matematika dari permasalah-an pada soal.

Misalkan: x = banyak mobil A yang disewa y = banyak mobil B yang disewa Mobil A memuat 14 orang dan mobil B memuat 7 orang, sedangkan jumlah siswa 98 orang, maka diperoleh 14x + 7y ≥ 98 ⇔ 2x + y ≥ 14 . . . (1) Mobil tipe B yang disewa tidak kurang dari 4₅ banyak mobil tipe A, maka diperoleh y ≥ 4₅x . . . (2) Mobil tipe B yang disewa tidak lebih dari 3₂ banyak mobil tipe A, maka diperoleh y ≤ 3₂x . . . (3) Setiap mobil terisi penuh, maka fungsi objektif adalah meminimumkan f(x, y) = x + y.

Dengan demikian, diperoleh model matematika sebagai berikut. Sepatu Jenis I Jenis II Pembatas Banyak x y 40 Harga 60.000 80.000 3.000.000 Y X A C 58 25 0 58 100 B(44, 14) x + 4y = 100 x + y = 58 Titik Pojok O(0, 0) A(58, 0) B(44, 14) C(0, 25) f(x, y) = 2.000x + 3.500y 2.000 × 0 + 3.500 × 0 = 0 2.000 × 58 + 3.500 × 0 = 116.000 2.000 × 44 + 3.500 × 14 = 137.000 2.000 × 0 + 3.500 × 25 = 87.500 Jenis Kendaraan Mobil Bus Pembatas Banyak x y 58 Luas 6 24 600 Biaya Parkir 2.000 3.500

Meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = x + y dengan kendala: 14x + 7y ≥ 29 y≥ 4₅x y≤ 3₂x Daerah penyelesaian:

Menentukan koordinat titik A.

Titik A merupakan perpotongan antara garis 2x + y = 14 dan y = 4₅x. Substitusikan y = 4₅x ke persamaan 2x + y = 14 diperoleh: 2x + 4₅x = 14 ⇔ 14₅ x = 14 ⇔ x = 5

Substitusi x = 5 ke y = 4₅x sehingga diperoleh y = 4₅× 5 = 4. Dengan demikian, diperoleh koordinat titik A(5, 4).

Menentukan koordinat titik B.

Titik B merupakan perpotongan antara garis y = 3₂x dan 2x + y = 14. Substitusi y = 3 2x ke persamaan 2x + y = 14 sehingga diperoleh: 2x + 3₂x = 14 ⇔ 7₂x = 14 ⇔ x = 4

Substitusi x = 4 ke dalam persamaan y = 3 2x sehingga diperoleh:

y = 3

2 × 4 = 6

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B(4, 6). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = x + y.

Dari tabel di atas diperoleh nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 9.

Jadi, jumlah mobil yang disewa 9. 13. Jawaban: e

Menentukan model matematika. Misalkan: x = banyak pisang cokelat

y = banyak pisang goreng

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 500x + 300y dengan kendala:

x + y ≤ 400

1.000x + 400y ≤ 250.000 ⇔ 5x + 2y ≤ 1.250 x ≥ 0, y ≥ 0

Menentukan daerah penyelesaian.

Garis x + y = 400 melalui titik (0, 400) dan (400, 0). Daerah penyelesaian x + y ≤ 400 di kiri dan pada garis x + y = 400.

Garis 5x + 2y = 1.250 melalui titik (0, 625) dan (250, 0).

Daerah penyelesaian 5x + 2y ≤ 1.250 di kiri dan pada garis 5x + 2y = 1.250.

Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 di kuadran I. Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Titik B merupakan perpotongan antara garis 5x + 2y = 1.250 dan x + y = 400. Titik Pojok A(5, 4) B(4, 6) f(x, y) = x + y 5 + 4 = 9 4 + 6 = 10 Jenis Pisang Cokelat Goreng Pembatas Harga 1.000 400 250.000 Keuntungan 500 300 Banyak x y 400 y = 4₅x X Y 14 y = 3₂x A 2x + y = 14 0 7 B X 5x + 2y = 1.250 x + y = 400 Y 625 A B C 400 0 250 400