TIN309 - Desain Eksperimen Materi #5 Genap 2015/2016 TIN309 DESAIN EKSPERIMEN

(1)

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d

TIN309 – DESAIN EKSPERIMEN

Materi #5

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

RCBD

2



Randomized Complete Block Design

(RCBD):



Adalah perluasan dari konsep

Analysis of

Varians

(ANOVA) dengan prinsip membagi

eksperimen menjadi beberapa blok.



Hal ini dilakukan bila terdapat

nuisance factors

(faktor-faktor

selain

yang

diujikan)

yang

keberadaannya diketahui dan dapat dikontrol,

tetapi kita tidak ingin mengujinya dalam

eksperimen.

(2)

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Prinsip Desain Blok

Materi #5 Genap 2015/2016 TIN309 - Desain Eksperimen

3



Blok

adalah suatu metode untuk mengatasi pengaruh dari

nuisance factors

.



Nuisance factor

adalah suatu faktor yang mempengaruhi

percobaan tetapi orang yang melakukan eksperimen tidak

ingin mengujinya dalam eksperimen tersebut.



Dengan demikian variabilitas yang ditimbulkan oleh

nuisance factor

tersebut perlu diminimumkan.



Contoh

nuisance factors : batches of raw material,

operator, peralatan, waktu (shifts, hari), dll.



Kebanyakan pengujian eksperimen melibatkan prinsip

blok.

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Prinsip

Blocking

4



Jika variabel

nuisance

diketahui (

known

)

dan

dapat

dikontrol (

controllable

)

, kita dapat menggunakan

blocking

.



Jika variabel

nuisance

diketahui (

known

)

tetapi

tidak

dapat dikontrol (

uncontrollable

)

, maka digunakan

analysis of covariance

untuk menghilangkan efek dari

nuisance factor

.



Jika

nuisance factor

tidak diketahui (

unknown

)

dan

tidak dapat dikontrol (

uncontrollable

)

, digunakan

prinsip

randomisasi

seperti yang dipelajari pada

pengujian dengan satu faktor.

(3)

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Contoh

(Pengujian Kekerasan Bahan/

Hardness

)

5

Seorang Penguji ingin melihat pengaruh dari 4 jenis ujung

(tip) alat penguji kekerasan Rockwell yang berbeda terhadap

pembacaan kekerasan pada alat Rockwell tersebut. Untuk

masing-masing jenis ujung penguji akan dilakukan pengujian

(observasi) sebanyak 4 kali dengan cara menekan ujung (tip)

penguji pada suatu lembaran plat baja. Ada 4 jenis lembaran

plat baja yang digunakan, dan ternyata masing-masing jenis

plat baja diproduksi pada temperatur yang berbeda dan

dapat mempengaruhi hasil pengujian kekerasan. Penguji

hanya ingin menguji pengaruh dari tipe ujung alat penguji,

dan mengeliminasi pengaruh dari tipe lembaran plat baja

dengan melakukan desain blok terhadap eksperimen ini.

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Pengujian Kekerasan Bahan (

Hardness

)

6



Eksperimen didesain sebagai RCBD.



Keempat jenis ujung alat penguji kekerasan diujikan pada setiap tipe

lembaran baja.



Masing-masing lembaran baja disebut sebagai suatu

“blok”

yang

sifatnya homogen.



Variabilitas antar blok besar, sedangkan variabilitas di dalam satu blok

relatif lebih kecil.



Secara umum, suatu

blok

merepresentasikan satu level dari

nuisance

factor

.



Replikasi terhadap eksperimen dilakukan pada masing-masing blok.



Suatu blok merepresentasikan pembatasan dari proses randomisasi.



Randomisasi hanya dilakukan dalam suatu blok.

(4)

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Desain Blok

7

Blok 1

y

₁₁

y

₂₁

y

₃₁

.

y

_a1

Blok 2

y

₁₂

y

₂₂

y

₃₂

.

y

_a2

Blok 3

y

₁₃

y

₂₃

y

₃₃

.

y

_a3

Blok b

y

_1b

y

_2b

y

_3b

.

y

_ab

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Desain Pengujian Hardness

8



Ada 4 blok yaitu lembaran pengujian baja

(metal test coupon) nomor 1, 2, 3 dan 4.



Randomisasi dilakukan di dalam

masing-masing blok.



Contoh pada blok 1, setelah randomisasi

didapat urutan pengujian yang pertama

tip

3, kedua

tip 1, ketiga

tip 4 dan keempat

tip

2, dst.

(5)

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Tabel Desain Pengujian Hardness

9 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Hasil Eksperimen Pengujian Hardness

10

Tipe Ujung

(Tip)

Lembaran baja (Blok)

y

_i.

1

2

3

4

1

9.3

9.4

9.6

10.0

38.3

2

9.4

9.3

9.8

9.9

38.4

3

9.2

9.4

9.5

9.7

37.8

4

9.7

9.6

10.0

10.2

39.5 y

_.j

37.6

37.7

38.9

39.8 y

_..

= 154

(6)

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Model RCBD

…(1/6)



Jika ada

a

level percobaan dan

b

blok, maka:



Model statistik (model efek) untuk RCBD adalah:

Dimana:



μ = rata-rata total,



τ

_i

= efek dari percobaan ke-i,



β

_j

= efek dari blok ke-j,



ε

_ij

= random error yang berdistribusi NID(0,σ

2 ).

Materi #5 Genap 2015/2016

11

TIN309 - Desain Eksperimen

1, 2,...,

ij

i

j

ij

i

a

y

j

b

  







  



_{ }



6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Model RCBD

…(2/6)

12



Hipotesis untuk model efek tersebut adalah:



𝑯

_𝟎

∶ 𝝁

_𝟏

= 𝝁

_𝟐

= … = 𝝁

_𝒂

Dimana:

𝝁

_𝟏

= 𝟏 𝒃

𝒃

_𝒋=𝟏

𝝁 + 𝝉

_𝒊

+ 𝜷

_𝒋

= 𝝁 + 𝝉

_𝒊



𝑯

_𝟏

∶ 𝐩𝐚𝐥𝐢𝐧𝐠 𝐬𝐞𝐝𝐢𝐤𝐢𝐭 𝐬𝐚𝐭𝐮 𝝁

_𝒊

≠ 𝝁

_𝒋



Atau hipotesis dalam bentuk:



𝑯

_𝟎

∶ 𝝉

_𝟏

= 𝝉

_𝟐

= … = 𝝉

_𝒂

= 𝟎

(7)

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Model RCBD

…(3/6)

13



ANOVA partitioning of total variability:

2 .. . .. . .. 1 1 1 1 2 . . .. 2 2 . .. . .. 1 1 2 . . .. 1 1

(

)

[(

)

(

)

(

)]

(

)

(

)

(

)

a b a b ij i j i j i j ij i j a b i j i j a b ij i j i j T Treatments Blocks E

y

b

y

a

y

SS

       









































6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Model RCBD

…(4/6)

14

𝑺𝑺

𝑻

= 𝒚

𝒊𝒋

− 𝒚

..

𝟐 𝒃

𝒋=𝟏

𝒂

𝒊=𝟏

𝑺𝑺

𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕

= 𝒃 𝒚

𝒊.

− 𝒚

..

𝟐 𝒂

𝒊=𝟏

𝑺𝑺

_{𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌}

= 𝒂 𝒚

_.𝒋

− 𝒚

_..

𝟐 𝒃

𝒋=𝟏

𝑺𝑺

𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓

= 𝒚

𝒊𝒋

− 𝒚

.𝒋

− 𝒚

𝒊.

+ 𝒚

..

𝟐 𝒃

𝒋=𝟏

𝒂

𝒊=𝟏

(8)

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Model RCBD

…(5/6)

15

𝑺𝑺

𝑻

= 𝒚

𝒊𝒋

𝟐 𝒃

𝒋=𝟏

𝒂

𝒊=𝟏

−

𝒚

..

𝟐 𝑵

𝑺𝑺

𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕

=

𝟏 𝒃

𝒚

𝒊.

𝟐 ₋

𝒚

..

𝟐 𝑵

𝒂

𝒊=𝟏

𝑺𝑺

𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌

=

𝟏 𝒂

𝒚

.𝒋

𝟐 ₋

𝒚

..

𝟐 𝑵

𝒃

𝒋=𝟏

𝑺𝑺

𝑬

= 𝑺𝑺

𝑻

− 𝑺𝑺

𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕

− 𝑺𝑺

𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Model RCBD

…(6/6)

16



Derajat bebas untuk the

sums of squares

:

𝑺𝑺

𝑻

= 𝑺𝑺

𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕

+ 𝑺𝑺

𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌

+ 𝑺𝑺

𝑬



Adalah:

𝑺𝑺

𝑻

= 𝑵 − 𝟏

;

𝑺𝑺

𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕

= 𝒂 − 𝟏

𝑺𝑺

𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌

= 𝒃 − 𝟏

;

𝑺𝑺

𝑬

= 𝒂 − 𝟏 𝒃 − 𝟏



Rasio

sums of squares

terhadap derajat bebasnya disebut

mean

squares treatment, mean square blocks

dan

mean square error

untuk menguji hipotesis dengan statistik F:

𝑴𝑺

𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕

=

𝑺𝑺

𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕

𝒂 − 𝟏

;

𝑴𝑺

𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌

=

𝑺𝑺

𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌

𝒃 − 𝟏

𝑴𝑺

𝑬

=

𝑺𝑺

𝑬

𝒂 − 𝟏 𝒃 − 𝟏

(9)

6

2

3 T

a

u

fi

qu

r

R

a

ch

m

a

n

Tabel ANOVA Untuk RCBD

17 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d