13. Persamaan Aliran Fluida ... (Supahar)

PERSAMAAN ALIRAN FLUIDA FASA TUNGGAL PADA MEDIA POROUS

Oleh : Supahar

Jurusan Pendidikan Fisika FMIPA UNY

ABSTRAK

Telah diturunkan secara matematis persamaan aliran fluida fasa tunggal pada medium porous yang dinyatakan dalam parameter besaran termodinamika terukur. Hukum-hukum kekekalan diterapkan pada perasamaan transport Boltzmann untuk menghasilkan persamaan kontinuitas (konservasi massa). Dengan merumuskan kembali persamaan kontinuitas yakni dengan menambahkan bobot porositas sehingga diperoleh persamaan aliran fluida dalam media porous. Persamaan aliran fluida dalam media porous selanjutnya dinyatakan dalam parameter besaran termodinamika terukur tekanan (P), sehingga menjadikan persamaan tersebut bersifat applicable, khususnya dalam bidang eksplorasi minyak dan gas alam lainnya.

1. PENDAHULUAN

Sistem aliran total bagi reservoir terdiri atas empat tahap, yakni: fasilitas pipa alir permukaan, aliran tegak dalam wellbore, aliran gas yang melalui media porous menuju wellbore, dan gerakan air pada tepi dari gelembung gas. Aliran yang terjadi dapat berupa aliran fasa tunggal (seperti: air, gas, atau kondensat), aliran dua fasa (seperti: gas/air atau gas/kondensat), dan aliran tiga fasa (gas/kondensat/air).

Pembahasan pada makalah ini dibatasi pada perumusan persamaan aliran fluida fasa tunggal untuk mendapatkan solusi persamaan aliran fluida melalui media porous pada wellbore, dan gerakan air pada tepi gelembung gas yang digambarkan melalui persamaan cairan murni (air) dan solusinya pada tepi dari gelembung gas.

Konsekuensi dari hukum-hukum kekekalan yang diterapkan pada persamaan

transport Boltzmann akan menghasilkan persamaan persamaan kontinuitas. Dengan merumuskan kembali persamaan kontinuitas (konservasi massa) dalam parameter besaran termodinamika terukur: Tekanan (P), menjadikan persamaan kontinuitas bersifat applicable, khususnya dalam bidang eksplorasi minyak dan gas alam lainnya.

2. KONSEKUENSI PERSAMAAN TRANSPORT BOLTZMANN TERHADAP

HUKUM-HUKUM KEKEKALAN

distribusi sebagai sebuah fungsi waktu. Sejumlah sifat dari solusi persamaan Boltzmann kemungkinan dapat diperoleh dari fakta bahwa dalam tumbukan molekul di sini terdapat kuantitas dinamik yang kekal.

Misal χ

( )

r,v adalah kuantitas dari kecepatan sebuah molekul (v) yang berada di r,

sedemikian rupa sehingga saat tumbukan di r, berlaku:

{ v1,v2}

{ }

2' ' 1,v

v

→ dan '

2 ' 1 2

1 χ χ χ

χ + = + dimana χ

( )

r,v disebut kuantitas

kekal.

Dalil:

3

( ) (

, , ,

)

=0   

 ∂ ∂

∫

coll

t t v r f v r v

d χ (I.1)

dimana

coll

t f      

∂ ∂

diperoleh dari ruas kanan persamaan PTB berikut:

_{1 1} 3 ₂

( )

_{1 2}

(

₂' ₁' _{2 1}

)

1

.

. f d d v v v f f f f

m F v

t r v  = Ω Ω − −

 



 _{+ ∇ + ∇}

∂ ∂

∫ ∫

τ (I.2) dimana:

f1 ≡ f ( r, v1,t ) dan f f

(

r,v1',t

)

'

1 ≡

f2 ≡ f ( r, v2,t ) dan f f

(

r,v ,t

)

' 2 '

2 ≡

τ

( )

Ω adalah deferensial penampang lintang tumbukan { v1,v2}

{ }

2' ' 1,v

v →

Subtitusi ruas kanan dari persamaan (I.2) ke dalam persamaan (I.1) diperoleh:

( )

 =     

∂ ∂

∫

coll

t f v r v

d3 χ ,

( )

(

1 2

)

' 2 ' 1 1 1 2 2

3 1 3

f f f f v v d

v d v

d Ω Ω − −

∫ ∫ ∫

τ χ (I.3)

integral ini invarian terhadap:

2 1 v

v ⇔

' 1 1 v

v ⇔ dan v2 ⇔v2' '

2 1 v

v ⇔ dan v₂ ⇔v₁'

Konsekuensi dari sifat invarian di atas, maka masing-masing keadaan invarian diperoleh bentuk deferensial untuk integral yang sama. Dengan demikian persamaan (I.3) menjadi:

( )

 =

    

∂ ∂

∫

coll

t f v r v

d3 χ , 3 ₁ 3 ₂

( )

_{2 1}

(

₁' ₂' _{1 2}

)(

_{1 2 1}' ₂'

)

4

1 _{Ωτ Ω − − χ +χ −χ −χ}

∫ ∫ ∫

d v d v d v v f f f f = 0

Relevansi dari hukum kekekalan ini dengan persamaan transport Boltzmann adalah

dengan mengalikan persamaan transport Boltzmann pada kedua sisi dengan χ dan

mengintegrasikan untuk seluruh v , suku yang mengandung tumbukan dihilangkan dengan sifat dari persamaan (I.1), kita dapatkan:

( )

, 1

(

, ,

)

0

3 =     ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

∫

f r v t

v F m x v t v r v d i i i i

χ (I.5)

atau:

(

F f

)

v v d m f v x v d f v v d x f v d

t i i

i i i i χ χ χ

∫

∫

∫

∫

+ _∂∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂

∂ 3 3 3 1 3

0 1

1 3 3 =

∂ ∂ −

∂ ∂

−

∫

∫

f

v F v d m f F v v d m _i i i i χ χ (I.6)

keempat suku dapat dihilangkan jika f (r,v,t ) diasumsikan ketika v →∞.

Dengan mendifinisikan nilai rata-rata 〈A〉

〉

〈A d vAf

n vf d vAf d

∫

∫

∫

₌ ≡ 3 3 3 1 dimana:

( )

r t d vf

(

r v t

)

n , ≡

∫

3 , , (I.7)

Teorima kekekalan makroskopik:

0 = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ _{χ χ} χ _χ i i i i i i v F m n x v n nv x n

t (I.8)

dimana χ adalah sejumlah sifat kekal. Dengan catatan bahwa nA =n A sebab n tak

bergantung pada v. Dari sekarang kita membatasi perhatian untuk kecepatan yang tak

bergantung pada gaya eksternal , maka suku terakhir dari persamaan (I.8) dapat dihilangkan. Untuk molekul sederhana sifat kekal tak bergantung massa, momentum, dan energi.

Untuk χ =m (massa)

( )

=0

∂ ∂ + ∂ ∂ i i nmv x nm

t (I.9)

atau dengan memasukkan kerapatan massa

( )

r,t ≡nm

( )

r,t

ρ (I.10)

kita peroleh:

( )

=0

dengan u = kecepatan aliran fluida.

Persamaan (I.11) disebut persamaan kontinuitas massa untuk aliran fluida. Bila persamaan tersebut diterapkan pada persamaan aliran pada medium porous, maka persamaan (I.11)

harus dikoreksi yakni dengan menambahkan bobot porositas pada term t ∂ ∂ρ

, sehingga

menjadi:

( )

=0

∇ + ∂ ∂

u

t ρ

ρ

φ (I.12)

3. PERSAMAAN ALIRAN FLUIDA PADA MEDIA POROUS

Persamaan kontinuitas adalah generalisasi dari konservasi massa : kecepatan

aliranan massa dalam negatif kecepatan aliran keluar massa = kecepatan akumulasi massa , divergensi dari: ρ u

( )

( )

u

t φρ =∇.ρ ∂

∂

−

=

( )

( )

( )

z

u y

u x

ux y z

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂

∂ ρ ρ ρ

, ( untuk koordinat kartesian)

=

( )

+ ∂

∂

r

u r r

r ρ

1

( )

+ ∂

∂ θ ρ

θ u

r

1

( )

z u_z ∂ ∂ ρ

( untuk koordinat silinder) (I.13)

Dimana (φ ) adalah porositas ,( ρ) densitas, dan (u ) adalah vektor kecepatan

superfisial. Tinjauan geometri sumur gas dan sekelilingnya menggunakan model silindris untuk menggambarkan aliranan dalam reservoir. Sehingga , dalam kasus 1-dimensi , persamaan (I.13) menjadi:

( )

r u r r t φρ ∂ ρ

∂ = ∂

∂

− 1 (I.14)

Biasanya gaya gravitasiρz

(

g/g_c

)

dalam arah z dapat diabaikan bagi gas. Persamaan

kecepatan diturunkan melalui truncating term orde lebih tinggi (u3, u4, … ) adalah:

- u u2

k dr dP

βρ µ +

= atau

dr dP k

u δ

µ −

= (I.15)

Dimana ( µ ) adalah viscositas,( ß ) koefisien kecepatan tinggi dan (δ ) adalah faktor koreksi aliran :

1

1

−

  

 ₊ =

µ βρ

Untuk gas nyata,

ZRT PM =

ρ (I.17)

Dimana M adalah berat molekul gas, z faktor kompresibilitas, dan R tetapan gas, dan T temperatur reservoir. Penggabungan persamaan ( I.14), ( I.15), dan (I.17 ) menghasilkan:

  



∂ ∂ ∂

∂ =       ∂

∂

r P Z P r r r Z P t

k µ δ

φ 1

(I.18)

Yang menganggap reservoir isotermal (tanpa perubahan temperatur). Asumsi tambahan

yang diperlukan untuk persamaan (I.18) adalah sbb:

1. suatu model silindrik radial (aliranan dimensi satu) 2. aliranan fasa tunggal (hanya aliranan gas)

3. reservoir adalah homogen: k adalah sama meskipun posisi (k ≠ f

( )

r dan

efek Klinkenberg dapat diabaikan (k ≠ f

( )

P ) , juga porositas (φ )

adalah konstan

4. efek grafity dapat diabaikan ( + ≈0 ∂

∂ g Z P

ρ )

Validitas asumsi-asumsi ini adalah esensi bagi persamaan (I.18).

Non linearitas tinggi yang disebabkan oleh faktor koreksi aliran (δ ) menyebabkan persamaan itu tak dapat dipecahkan. Suatu asumsi tambahan diperlukan:

Asumsi (5) aliranan adalah viscous ( β =0 dan δ =1 ).

Dengan asumsi ini persamaan (1.18) menjadi :

  

 ∂ ∂ ∂

∂ =       ∂

∂

r P Z P r r r Z P t

k µ

φ 1

(1.19)

Untuk aliranan gas yang mencakup term sink atau source, q (massa persatuan volume persatuan waktu), persamaan kontinuitas dapat ditulis,

q t

u −

∂ ∂ − =

∇(ρ ) φρ

(1.20)

=     ∂ ∂ Z P t φ + _      _∇ ∇ P Z P k µ . q M RT (1.21)

Suku pertama ruas kiri dapat diperluas menjadi persamaan:

    ∂ ∂ Z P t φ = _            ∂ ∂ + ∂ ∂ Z t P t P Z 1 1 φ = _            − ∂ ∂ dP dZ Z P t P Z

P 1 1

φ = t P Z cP ∂ ∂ φ (1.22) c r dP dρ ρ 1 ≡ = dP dZ Z P 1 1 ₋ (1.23)

4. DALAM SUKU TEKANAN TERUKUR , P

Ruas kiri dari (1.21) dapat ditulis:

      ∇ ∇ P Z P k µ . =

(

) (

)

    ∇ ∇ + ∇ ∇ Z P P k P k Z P µ µ . . =

(

)

(

) ( )

  

_{∇ ∇ +} ln / _∇ 2

. k P

dP Z P d P k Z P µ

µ (1.24)

Gabungkan persamaan (1.21) dan (1.22), dan (1.24) diperoleh :

(

∇

)

+

∇.k P ln

(

/

) ( )

k P 2

dP Z P d ∇ µ = t P c ∂ ∂ µ

φ + q

MP Z RTµ

(1.25)

Asumsi 6: Gradien tekanan kecil: 0

2 →       ∂ ∂ r P atau Z P

µ konstan., maka persamaan

(1.25) dapat disederhanakan menjadi:

(

k∇P

)

∇. = t P c ∂ ∂ µ

φ + q

MP Z RTµ

(1.26)

5. KESIMPULAN

wellbore dan gerakan air pada tepi gelembung gas. Persamaan ini sangat bermanfaat, khususnya dalam bidang engineering pemboran miyak dan gas alam lainnya.

REFERENSI

Katz, D.L and Lee, R.L. Nateral Gas Engineering: McGraw-Hill Publishing Co(1990).

Huang, K. Statistical Mechanics, John Willey and Son (1963)