KAJIAN MATEMATIS DAN PENDIDIKAN ATAS MODEL TRANSMISI PENYAKIT VIRUS CORONA 2019 (COVID-19)
Mathematical and Educational Studies on the Corona Virus Disease 2019 (COVID-19) Transmission Model
TESIS
Caecilia Dian Pratiwi 191442101
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA 2021
i
KAJIAN MATEMATIS DAN PENDIDIKAN ATAS MODEL TRANSMISI PENYAKIT VIRUS CORONA 2019 (COVID-19)
Mathematical and Educational Studies on the Corona Virus Disease 2019 (COVID-19) Transmission Model
TESIS
Caecilia Dian Pratiwi 191442101
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA 2021
iv
HALAMAN MOTTO
“Bersukacitalah dalam pengharapan, sabarlah dalam kesesakan, dan bertekunlah dalam doa.”
(Roma 12: 12)
“Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh kepercayaan, kamu akan menerimanya”
(Matius 21: 22)
“Opportunities are usually disguised as hard work, so most people don’t recognize them.”
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Tesis ini saya persembahkan untuk
Diri saya sendiri yang sudah mampu bertahan dan berjuang serta untuk Bapak Riyanto Petrus Canisius dan Alm. Ibu Agnes Wiwik Avianti
viii
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS
Sebagian hasil dari penelitian tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi internasional yaitu the 3rd International Conference on Life Sciences and Technology (ICoLiST
2020). Konferensi ini diselenggarakan oleh Universitas Negeri Malanga secara daring pada
ix ABSTRAK
Pratiwi, Caecilia Dian. 2021. Kajian Matematis dan Pendidikan Atas Model Transmisi Penyakit Virus Corona 2019 (COVID-19). Tesis. Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Penelitian tesis ini bertujuan untuk meyelesaikan model pandemik SEIR-NDC pada transmisi virus Corona penyebab COVID-19 dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun serta serta merancang rencana pembelajaran pada jenjang SMA terkait model penyebaran penyakit. Metode penelitian yang digunakan oleh penulis adalah studi literatur dengan bersumber dari buku dan jurnal-jurnal yang relevan. Hasil penelitian ini ditunjukkan berdasarkan simulasi yang dilakukan dengan metode Euler maupun Heun, diperoleh bahwa hasil dari kedua metode tersebut serupa. Meskipun kedua metode tersebut menghasilkan hasil yang serupa, namun metode Heun secara teoritis lebih akurat dibandingkan metode Euler. Berdasarkan hasil simulasi tersebut, dapat dikatakan bahwa kedua metode tersebut dapat memprediksi perilaku dari penyebaran penyakit virus Corona (COVID-19). Rancangan pembelajaran dari penelitian ini juga dapat digunakan untuk membelajarkan siswa pada jenjang SMA terkait model penyebaran penyakit dengan memperhatikan langkah-langkah pemodelan dan penerapan di kehidupan sehari-hari. Adapun aspek pendidikan dari penelitian ini yaitu bagaimana rancangan rencana pembelajaran untuk mempelajari penyebaran penyakit di Sekolah Menengah Atas serta membuat karya tulis ilmiah sebagai output dari pembelajaran.
Kata kunci: transmisi penyakit virus Corona (COVID-19), model pandemik SEIR- NDC, metode Euler, metode Heun.
x
ABSTRACT
Pratiwi, Caecilia Dian. 2021. Mathematical and Educational Studies on the Corona Virus Disease 2019 (COVID-19) Transmission Model. Thesis. Master of Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics and Natural Sciences Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This research aims to complete the SEIR-NDC pandemic model of the transmission of the Coronavirus that causes COVID-19 by using the Euler method and the Heun method and to educate students at the high school level regarding the disease spread model. The research method used by the author is a literature study sourced from relevant books and journals. The results of this study are shown based on simulations carried out by the Euler and Heun methods. It is found that the results of the two methods are similar. Although the two methods produce similar results, the Heun method is theoretically more accurate than the Euler method. Based on the simulation results, it can be said that the two methods can predict the behavior of the spread of the Corona virus disease (COVID-19). The learning design of this study can also be used to teach students at the high school level related to disease spread models by paying attention to modeling steps and application of daily life. The educational aspect of this research is how to design lesson plans for learning about the spread of disease in high school and make scientific papers as learning outcomes.
Keywords: transmission of Corona virus disease (COVID-19), the SEIR-NDC pandemic model, the Euler method, the Heun method.
xiii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
LEMBAR PENGESAHAN ... iii
HALAMAN MOTTO ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... vii
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ... viii
ABSTRAK ... ix
ABSTRACT ... x
KATA PENGANTAR ... xi
DAFTAR ISI ... xiii
DAFTAR GAMBAR ... xvi
DAFTAR TABEL ... xvii
DAFTAR LAMPIRAN ... xviii
BAB I ... 1 PENDAHULUAN ... 1 A. Latar Belakang ... 1 B. Rumusan Masalah... 4 C. Batasan Masalah ... 4 D. Tujuan Penelitian ... 4
xiv E. Manfaat Penulisan ... 5 F. Metode Penelitian ... 5 G. Tinjauan Pustaka... 6 H. Kebaruan Penelitian ... 7 I. Sistematika Penulisan ... 7 BAB II ... 9 LANDASAN TEORI ... 9 A. Pemodelan Matematika ... 9 B. Persamaan Diferensial ... 9
C. Penyakit Virus Corona (COVID-19) ... 10
D. Model Pandemik SEIR (Susceptible-Exposed-Infectious-Removed)-NDC .... 11
E. Metode Euler ... 13
F. Metode Heun ... 15
G. Karya Ilmiah Remaja ... 19
H. Kerangka Berpikir ... 23
BAB III ... 24
ASPEK MATEMATIS PADA PENYAKIT VIRUS CORONA (COVID-19) ... 24
A. Model SEIR Transmisi Virus Corona ... 24
B. Penyelesaian Model pada Virus Corona dengan Metode Euler ... 30
C. Penyelesaian Model pada Virus Corona dengan Metode Heun ... 36
BAB IV ... 43
ASPEK PENDIDIKAN ... 43
xv
B. Pengenalan Model SIR dan SEIR-NDC bagi siswa jenjang SMA Sebagai
Bahan Pendampingan Bagi Karya Ilmiah Remaja. ... 46
C. Refleksi ... 59
DAFTAR PUSTAKA ... 62
xvi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3. 1 Timeline penyebaran virus Corona menurut Lin et al (2020) ... 25 Gambar 3. 2 Skema populasi manusia untuk transmisi
virus Corona (Lin el at, 2020) ... 26 Gambar 3. 3 Grafik dari sistem transmisi penyakit virus Corona (COVID-19) model
SEIR-NDC menggunakan metode Euler oleh Pratiwi dan Mungkasi (2021) ... 35 Gambar 3. 4 Grafik dari sistem transmisi penyakit virus Corona (COVID-19) model
SEIR-NDC menggunakan metode Heun oleh Pratiwi dan Mungkasi (2021) ... 41 Gambar 4. 1 Skema populasi manusia untuk transmisi penyakit virus Corona
(COVID-19) model SIR ... 49 Gambar 4. 2 Skema populasi manusia untuk transmisi penyakit virus Corona
xvii
DAFTAR TABEL
Tabel 3. 1 Definisi Variabel dan Parameter Model Laju Transmisi Virus Corona Model Pandemik SEIR-NDC (Lin et al, 2020) ... 26 Tabel 3. 2 Nilai Awal dan Nilai Parameter Transmisi Penyakit Virus Corona
(COVID-19) ... 32 Tabel 4. 1 Nilai Parameter Transmisi Penyakit Virus Corona (COVID-19)
Model SIR ... 49 Tabel 4. 2 Nilai Parameter Transmisi Penyakit Virus Corona (COVID-19)
Model SEIR-NDC ... 54 Tabel Lampiran 3. 1 Data Hasil Penghitungan untuk Sistem Transmisi Penyakit virus
Corona dengan Menggunakan Metode Euler ... 70 Tabel Lampiran 3. 2 Data Hasil Penghitungan untuk Sistem Transmisi Penyakit virus
xviii
DAFTAR LAMPIRAN
LAMPIRAN 1: Program MATLAB dengan Menggunakan Metode Euler ... 65
LAMPIRAN 2: Program MATLAB dengan Menggunakan Metode Heun ... 67
LAMPIRAN 3: Data Hasil Penghitungan untuk Sistem Transmisi Penyakit virus Corona dengan Menggunakan Metode Numeris ... 70
LAMPIRAN 4: Rancangan Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Sekolah Menengah Atas ... 78
LAMPIRAN 5: Letter of Accepted (LoA) ICOLIST 2020 ... 87
LAMPIRAN 6: Artikel ICOLIST 2020 ... 88
1 BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini, peneliti membahas mengenai latar belakang penelitian, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, tinjauan pustaka, kebaruan penelitian, sistematika penulisan, dan metode penelitian.
A. Latar Belakang
Kehidupan yang semakin berkembang menuntut adanya perkembangan ilmu pengetahuan baik melalui informasi maupun teknologi. Pada kenyataannya banyak permasalahan yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu permasalahan yang sering muncul dan sedang berkembang pada saat ini adalah permasalahan pada bidang kesehatan. Pada bidang kesehatan inilah kebanyakan penyakit-penyakit menular merupakan penyakit yang disebabkan oleh virus atau bakteri. Wabah penyakit menular ini merupakan ancaman bagi masyarakat dan dapat merubah struktur perekonomian, pendidikan dan kesehatan masyarakat sekitar. Salah satu virus baru yang sedang berkembang dan banyak menyerang manusia adalah virus Corona, dimana virus ini dapat menular dengan cepat dari manusia ke manusia. Berdasarkan worldometers untuk data terbaru (diperbarui per pukul 18.46 WIB, data pada tanggal 12 Januari 2021) di dunia terdapat 1.954.118 jiwa yang meninggal dunia dengan 91.364.076 terindikasi positif virus Corona serta 63.383.131 jiwa sembuh dari penyakit tersebut. Sedangkan untuk di Indonesia sendiri berdasarkan perolehan data pada Satuan Tugas Penanganan COVID-19 terdapat 24.343 jiwa yang meninggal dunia dengan 836.718 jiwa yang positif dan 688.739 jiwa sembuh dari penyakit ini. Menurut Zein (2020) infeksi dari virus Corona atau COVID-19 dapat menyebabkan penderitanya mengalami gejala flu, seperti hidung berair dan meler, sakit kepala, batuk, nyeri tenggorokan, dan demam atau gejala penyakit infeksi pernapasan berat seperti demam tinggi, batuk berdahak bahkan berdarah, sesak napas dan nyeri dada. Menurut
McKibbin and Fernando (Aulia dkk., 2020) Pandemi ini langsung ditangani oleh WHO karena cara penyebaran yang sangat mudah menulari orang lain.
Adanya berbagai permasalahan dan berkembangnya informasi serta ilmu pengetahuan maka diperlukan adanya suatu solusi dari permasalahan tersebut. Permasalahan di berbagai bidang seperti bidang kesehatan, fisika, biologi, kimia, ekonomi, atau pada teknik sipil, teknik mesin dan berbagai bidang lainnya banyak melibatkan model matematika dalam penyelesaiannya. Kholisoh dan Kharis (2012) mengatakan bahwa perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika juga turut memberikan peranan penting dalam mencegah meluasnya penyebaran penyakit. Peranan tersebut berupa model matematika yang mempelajari penyebaran penyakit. Hal ini sesuai dengan apa yang disampaikan oleh Yulida dan Karim (2020) yang mengatakan bahwa matematika memiliki peran sangat penting dalam mempelajari dinamika suatu wabah penyakit, mulai dari kajian pencarian sumber, penyebaran, prediksi pola, hingga strategi penanganannya dimana bidang kajian tersebut dinamakan matematika epidemiologi. Pada penelitian ini, model matematis yang digunakan adalah model SEIR-NDC. Model ini merupakan pengembangan dari model SEIR dengan variabel tambahan N, D, dan C. Pemilihan model ini dikarenakan model ini belum banyak dikembangkan dan diteliti serta model ini juga memiliki parameter-parameter yang signifikan. Namun demikian, tidak sedikit diantaranya model matematika yang dapat diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu, diperlukan adanya penghitungan numerik agar mempermudah penyelesaian yang tidak bisa diselesaikan secara analitik. Berdasarkan hal tersebut salah satu upaya yang dapat dilakukan yaitu dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik menurut Atmika (2016) merupakan teknik penyelesaian permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan. Selaras dengan Atmika, Widodo (2014) mengatakan bahwa metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Selain itu, sejalan dengan berbagai permasalahan yang muncul dari berbagai bidang, Atmika (2016) mengatakan bahwa metode numerik juga
merupakan alat yang sangat ampuh untuk menyelesaikan permasalahan dalam berbagai bidang seperti bidang teknik (teknik mesin, teknik sipil, teknik elektro, teknik kimia dan sebagainya), kedokteran, sosial, ekonomi dan bidang ilmu lainnya. Sehingga dapat disimpulkan bahwa metode numerik adalah suatu teknik penyelesaian yang memformulasikan persoalan matematik di berbagai bidang.
Pada metode numerik, terdapat berbagai macam metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu permasalahan diantaranya metode biseksi, metode secant, metode Newton Raphson, metode Euler serta metode Heun. Hal ini sejalan dengan apa yang disampaikan oleh Munir (Nurofi’atin dan Abadi, 2018) bahwa penyelesaian persamaan diferensial dapat ditentukan dengan menggunakan metode numerik dan terdapat beberapa metode numerik yang sering digunakan untuk penyelesaian persamaan diferensial adalah metode Euler, metode Heun, metode deret Taylor, metode Runge-Kutta, dan metode banyak langkah. Pada penelitian ini, peneliti akan menyelesaikan suatu model dari persamaan diferensial dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun sebagai salah satu kajian matematisnya. Metode Euler sendiri merupakan metode yang paling dasar untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial biasa yang memiliki nilai awal. Sedangkan metode Heun merupakan metode lanjutan dari metode Euler yang berguna untuk memperbaiki keakuratan metode Euler.
Selain itu, peneliti membuat sebuah rancangan pembelajaran sebagai kajian aspek pendidikan pada jenjang SMA. Pada rancangan tersebut, peneliti memberikan permasalahan terkait masalah kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan materi turunan fungsi. Kemudian, siswa diberikan kembali permasalahan terkait bagaimana memodelkan penyebaran penyakit virus Corona dengan model sederhana SIR, dan SEIR-NDC. Pada aspek pendidikan ini, setelah siswa berhasil membuat model penyebaran penyakit dengan model SIR dan SEIR-NDC, siswa didampingi dalam sebuah mini-research untuk membuat sebuah karya tulis ilmiah berdasarkan hasil diskusi tersebut. Hal ini bertujuan agar pada jenjang SMA, siswa sudah bisa membuat sebuah karya tulis ilmiah sebagai output dalam pembelajarn yang selama ini dilakukan.
persamaan transmisi virus Corona penyebab COVID-19 model SEIR-NDC dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun serta juga akan dikaji aspek pendidikannya.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan masalah yang telah dipaparkan di atas, maka masalah tersebut dapat dirumuskan di dalam penelitian ini sebagai berikut:
1. Bagaimana menyelesaikan model pandemik SEIR-NDC pada transmisi virus Corona penyebab COVID-19 dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun?
2. Bagaimana rancangan rencana pembelajaran untuk mempelajari penyebaran penyakit di Sekolah Menengah Atas?
C. Batasan Masalah
Penelitian ini membahas mengenai transmisi virus Corona penyebab COVID-19 yang penyelesaian modelnya menggunakan metode Euler dan Metode Heun. Berikutnya, peneliti juga membahas mengenai keterkaitan antara topik dari penelitian ini dengan penerapannya di dalam materi yang dipelajari dijenjang Sekolah Menengah Atas.
D. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang telah dipaparkan di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Untuk menyelesaikan model pandemik SEIR-NDC pada transmisi virus Corona penyebab COVID-19 dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun. 2. Untuk mengetahui rancangan rencana pembelajaran dari penyebaran penyakit di
E. Manfaat Penulisan
Adapun manfaat dari penulisan ini antara lain:
1. Mengetahui beberapa hal yang akan terjadi pada populasi manusia yaitu S (Susceptible), E (Exposed), I (Infectious), R(Removed) dengan N merupakan total ukuran populasi, D merupakan persepsi publik tentang risiko terkait jumlah kasus dan kematian yang parah dan kritis serta C mewakili jumlah kumulatif baik kasus yang dilaporkan maupun yang tidak dilaporkan.
2. Mengetahui beberapa metode numeris yakni metode Euler dan metode Heun yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial terkait model pandemik SEIR-NDC pada transmisi virus corona yang mengakibatkan COVID-19. 3. Tesis ini dapat dijadikan referensi bagi peneliti lain untuk menyelesaikan suatu
model persamaan dengan menggunakan metode numeris yang sama dan untuk permasalahan yang lebih kompleks.
4. Tesis ini juga dapat dijadikan sebagai salah satu contoh nyata penerapan metode numeris terhadap permasalahan yang ada di kehidupan nyata.
F. Metode Penelitian
Penelitian ini menggunakan metode studi literatur. Adapun langkah-langkah yang dilakukan oleh peneliti adalah sebagai berikut:
1. Peneliti mencari berbagai literatur dari sumber buku dan jurnal penelitian, yang berkaitan dengan penyebaran Coronavirus Disease-19, model penyebaran penyakit SEIR, serta metode Euler dan metode Heun.
2. Membuat program MATLAB untuk melakukan simulasi dari persamaan yang digunakan oleh peneliti agar memperoleh solusi dari penggunaan dua metode numeris yaitu metode Euler dan metode Heun.
3. Merancang pelaksanaan pembelajaran yang berkaitan dengan konsep dari model matematika SEIR-NDC dan konsep dari metode Euler serta metode Heun pada siswa jenjang Sekolah Menengah Atas. Pada rancangan ini peneliti menggunakan
pendekatan saintifik dengan model pembelajaran discovery learning. Rancangan ini dibuat untuk dua kali pertemuan dan setelah rencana pembelajaran tersebut dilakukan, peneliti melakukan pendampingan dalam pembuatan karya tulis ilmiah berdasarkan hasil diskusi yang telah dilakukan pada pertemuan sebelumnya.
G. Tinjauan Pustaka
Penyelesaian dari permasalahan mengenai transmisi penyakit dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun dalam persamaan diferensial linear dan nonlinear telah banyak dibahas dalam berbagai buku, jurnal nasional dan jurnal internasional yang telah di publikasikan. Untuk menyelesaian persamaan dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun ini, peneliti menggunakan beberapa sumber buku, artikel dan jurnal yang dijadikan sebagai acuan dari peneliti. Adapun buku-buku dan jurnal tersebut membahas mengenai model SEIR, penerapan metode Euler dan penerapan dari metode Heun. Adapun beberapa tinjauan pustaka tersebut, adalah sebagai berikut:
1. Penelitian yang dilakukan oleh Sihotang, Simbolon, Hartiny, Tindaon, & Sinaga (2020). Penelitian ini menghasilkan model SEIR dari transmisi penyakit campak. 2. Penelitian yang dilakukan oleh Zhu et al. (2020). Penelitian ini mengidentifikasi
penyebab pasien Pneumonia yang terinfeksi Virus Corona.
3. Penelitian yang dilakukan oleh Lin et al. (2020). Penelitian ini membahas mengenai transmisi dari virus corona dan menghasilkan model persamaan SEIR-NDC.
4. Penelitian yang dilakukan oleh Oktaviani, Prihandono, & Helmi, (2014). Penelitian ini melakukan penyelesaian numerik sistem persamaan diferensial non-linear dengan menggunakan metode Heun pada model Lotka Volterra.
5. Penelitian yang dilakukan oleh Tang et al. (2020). Penelitian ini membahas mengenai transmisi virus corona dan menggunakan model persamaan SEIR sebagai salah satu model persamaan.
6. Penelitian yang dilakukan oleh Hurit (2020). Penelitian ini membahas mengenai penyelesaian model SEIR untuk penyebaran penyakit meningitis menggunakan metode Euler, metode Heun dan metode Runge Kutta Orde Empat.
7. Penelitian yang dilakukan oleh Z. Tang, Li, & Li (2020). Penelitian ini menghasilkan simulasi model yang menunjukkan bahwa tanpa tindakan apapun maka tingkat orang yang terinfeksi akan mencapai 2.384.803 jiwa sedangkan jika Kota Wuhan mengambil tindakan lockdown maka jumlah orang yang terinfeksi akan berkurang menjadi 19.773 jiwa.
Pada penelitian di atas terlihat bahwa pembahasan mengenai model SEIR, metode Euler dan metode Heun telah banyak dilakukan oleh para peneliti. Berdasarkan hal tersebut kebaruan dari penelitian ini peneliti akan menyelesaikan persamaan transmisi virus corona model pandemik SEIR-NDC yang telah dimodelkan oleh Lin et al. (2020) dengan menggunakan dua metode yakni metode Euler dan metode Heun dan akan mengkaji aspek pendidikannya.
H. Kebaruan Penelitian
Pada penelitian ini akan ditentukan penyelesaian dari suatu sistem persamaan transmisi Coronavirus Disease 2019 (COVID-19) dengan menggunakan model pandemik SEIR-NDC dimana penyelesaiannya menggunakan metode Euler dan metode Heun. Sejauh ini, jarang sekali ditemukan penelitian yang membahas mengenai mengenai model persamaan yang rumit dan diselesaikan dengan metode-metode sederhana yaitu metode-metode Euler dan metode-metode Heun.
I. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tesis ini adalah sebagai berikut:
1. Bab I: Pada bagian ini, peneliti akan membahas mengenai pendahuluan yang terdiri dari latar belakang masalah, tinjauan pustaka, rumusan masalah, Batasan masalah, tujuan penelitian, kebaruan penelitian, manfaat penulisan, sistematika penulisan dan metode penelitian.
2. Bab II: Pada bagian ini, peneliti akan membahas mengenai landasan teori yang akan digunakan. Adapun landasan teori yang digunakan meliputi: pemodelan matematika, persamaan diferensial, transmisi penyakit virus corona (COVID-19), metode Euler, metode Heun dan kerangka berpikir.
3. Bab III: Pada bagian ini, peneliti akan membahas mengenai hasil dari penelitian yang berisikan penyelesaian dari persamaan transmisi virus corona model SEIR-NDC dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun.
4. Bab IV: Pada bagian ini, peneliti akan membahas mengenai aspek Pendidikan yang berisikan rancangan pembelajaran di sekolah yang berkaitan dengan penyelesaian suatu persamaan diferensial dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun.
9 BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini, peneliti memaparkan beberapa teori pendukung yang dibutuhkan pada penulisan ini. Teori pendukung ini akan menjadi landasan teori dari penelitian ini antara lain mengenai pemodelan matematika, persamaan diferensial, virus Corona, model pandemik SEIR-NDC, metode Euler, metode Heun dan teori mengenai karya tulis ilmiah.
A. Pemodelan Matematika
Model matematika merupakan representasi dari masalah nyata yang ada di kehidupan sehari-hari yang kemudian diubah kedalam bentuk matematika. Oleh karena itu, permasalahan tersebut dapat diselesaikan secara sistematis. Fathoni dkk., (2019) mengungkapkan bahwa model matematika digunakan untuk menjelaskan fenomena dalam bidang biologi terlebih dalam kasus penyebaran penyakit menular yang dimodelkan dengan persamaan diferensial dengan representasi proses waktu yang kontinu. Hal yang serupa juga diungkapkan oleh ahli yang lain bahwa suatu model matematika secara luas dapat didefinisikan sebagai sebuah formulasi atau persamaan yang mengungkapkan segi utama suatu sistem atau proses fisika dalam istilah matematika disampaikan oleh Chapra (1991). Adapun hasil dari model matematika tersebut berupa persamaan, sistem persamaan, pertidaksamaan dan lain sebagainya.
B. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan dimana dalam persamaan tersebut memuat suatu turunan. Sedangkan Kosasih (2006) mengatakan bahwa persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial dari satu variabel
bebas beserta derivatif-derivatif dari fungsi variabel tersebut. Biasanya yang akan menjadi variabel bebas adalah waktu (𝑡) atau jarak (𝑥).
Pada penelitian ini sistem persamaan transmisi virus corona model SEIR berbentuk sistem persamaan diferensial dan akan diselesaikan dengan menggunakan metode Euler dan metode Heun.
C. Penyakit Virus Corona (COVID-19)
Menurut Riyanti (Yufajjiru dan Dharma, 2020) virus Corona dapat menginfeksi dari manusia ke manusia sehinga penyebarannya begitu cepat. Virus Corona merupakan sebuah virus yang menyebabkan penyakit yang dimulai dari gejala ringan sampai gejala yang berat. Terdapat dua jenis coronavirus yang dapat menyebabkan gejala yang berat yaitu Middle East Respiratory Syndrome (MERS-CoV) dan Severe Acute Respiratory Syndrome (SARS-CoV) sedangkan Novel Coronavirus (2019-nCoV) merupakan jenis baru yang belum pernah diidentifikasi pada manusia. Penyakit ini ditandai dengan adanya gejala gangguan pada pernapasan akut, demam, batuk dan sesak napas bahkan dapat menyebabkan pneumonia hingga berujung pada kematian. Penularan coronavirus ini jika terjadi kontak dari manusia ke manusia (seorang yang sudah positif terinfeksi). Berdasarkan hal tersebut, salah satu cara yang dilakukan untuk mencegah penyebaran virus ini adalah dengan melakukan cuci tangan secara teratur, tidak memasak atau memakan makanan mentah, melakukan physical distancing, menerapkan etika batuk dan bersin yang tepat, serta menggunakan masker agar terhindar dari virus ketika bepergian.
Berikut ini beberapa sindrom klinis yang dapat muncul jika terinfeksi menurut PDPI (Yuliana, 2020):
1. Tidak Berkomplikasi
Pada kondisi ini merupakan golongan dari kondisi yang ringan, dimana gejala yang muncul berupa gejala yang tidak spesifik. Namun terkait dengan gejala utama tetap muncul seperti demam, batuk, dapat disertai dengan nyeri tenggorokan, kongesti
hidung, malaise, sakit kepala, dan nyeri otot. Perlu diperhatikan untuk pasien dengan usia lanjut dan pasien immunocompromises presentasi gejala menjadi tidak khas atau atipikal. Hal itu dikarenakan terdapat beberapa kasus yang ditemui tidak disertai dengan demam dan gejala relative ringan. Pada kondisi ini pasien tidak memiliki gejala komplikasi diantaranya dehidrasi, sepsis, atau napas pendek. 2. Pneumonia Ringan
Gejala yang muncul ada orang dewasa yang terinfeksi pneumonia ringan adalah demam, batuk dan sesak. Namun demikian, pada individu tersebut tidak muncul gejala pneumonia berat. Sedangkan pada anak-anak gejala yang muncul adalah batuk atau susah bernapas.
3. Pneumonia Berat
Pada orang dewasa, gejala yang muncul adalah demam atau infeksi saluran napas. Kemudian diikuti dengan tanda yang muncul yaitu takipnea dimana frekuensi napas > 30 ×/menit, distress pernapasan berat atau saturasi oksigen.
D. Model Pandemik SEIR (Susceptible-Exposed-Infectious-Removed)-NDC
Model SEIR merupakan suatu model matematika untuk wabah penyakit yang mempunyai masa laten dimana Diekmann dan Heesterbeck (Kharis, 2012) mendefinisikan sebagai masa suatu individu telah terinfeksi oleh penyakit tetapi individu tersebut belum dapat menularkan penyakit kepada individu yang lainnya. Pada model SEIR ini, subpopulasi manusia terbagi menjadi empat bagian dimana S (Susceptible) merupakan subpopulasi yang rentan terhadap suatu penyakit, E (Exposed) merupakan subpopulasi yang tertular tetapi belum menjadi penderita, I (Infectious) merupakan subpopulasi yang telah menjadi penderita dan aktif menularkan penyakit, R(Removed) merupakan subpopulasi yang telah sembuh dari penyakit karena adanya pengobatan. Berikut ini disajikan model persamaan dari SEIR menurut Brauer dan Chavez (2000) dimana penyebaran penyakit dengan model ini diasumsikan sebagai berikut:
1. Seorang individu yang terinfeksi rata-rata menghasilkan 𝛽 penularan baru berdasarkan waktu ketika mereka melakukan kontak dengan seseorang yang rentan tetapi kemudian laju ini dikurangi dengan 𝑆/𝑁.
2. Individu dalam subpopulasi 𝐸(Exposed) berpindah ke subpopulasi yang terinfeksi dengan kecepatan per kapita 𝑘.
3. Tidak ada kematian akibat penyakit, kekebalan permanen, dan periode terinfeksi rata-rata adalah 1/𝛾.
Didefinisikan bahwa 𝛾 = 𝑟 + 𝜇, sehingga model persamaannya menjadi sebagai berikut: 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑏𝑁 − 𝜇𝑆 − 𝛽𝑆 𝐼 𝑁, (2.1) 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆 𝐼 𝑁− (𝑘 + 𝜇)𝐸, (2.2) 𝑑𝐼 𝑑𝑡= 𝑘𝐸 − (𝑟 + 𝜇)𝐼, (2.3) 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑟𝐼 − 𝜇𝑅. (2.4) Keterangan: t : Waktu N : Total Populasi
k : Parameter laju transmisi dari individu rentan ke individu terinfeksi r : Parameter laju transmisi dari individu terinfeksi ke individu sembuh 𝛽 : Parameter laju transmisi dari individu rentan ke individu terpapar
Model pandemik SEIR-NDC merupakan salah satu model pengembangan dari model SEIR dengan variabel tambahan NDC dimana N merupakan total ukuran populasi, D merupakan persepsi publik tentang risiko terkait jumlah kasus dan
kematian yang parah dan kritis serta C mewakili jumlah kumulatif baik kasus yang dilaporkan maupun yang tidak dilaporkan. Berikut ini merupakan model dari sistem transmisi virus Corona yang dipaparkan oleh (Lin et al., 2020):
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = − 𝛽0𝑆𝐹 𝑁 − 𝛽(𝑡)𝑆𝐼 𝑁 − 𝜇𝑆, (2.5) 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽0𝑆𝐹 𝑁 + 𝛽(𝑡)𝑆𝐼 𝑁 − (𝜎 + 𝜇)𝐸, 𝑑𝐼 𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐼, 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅, 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = −𝜇𝑁, 𝑑𝐷 𝑑𝑡 = 𝑝𝛾𝐼 − 𝜆𝐷, 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝜎𝐸, E. Metode Euler
Salah satu metode mendasar dari metode numerik yaitu metode Euler. Burden, R. L dan Faires J.D (2011) mengatakan bahwa pada metode ini solusi diperoleh dengan pendekatan menggunakan nilai awal:
𝑑𝑦
𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, 𝑦(𝑎) = 𝛼
Berikutnya, fungsi 𝑦(𝑡) memiliki turunan pada interval [𝑎, 𝑏]. Kemudian dengan memilih sembarang bilangan bulat positif dan memilih sembarang titik awal:
𝑡𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ, dengan 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑁.
Kemudian, dapat terlihat bahwa terdapat jarak yang sama antar titik tersebut yaitu ℎ =𝑏−𝑎
𝑁 = 𝑡𝑖+1− 𝑡𝑖 yang disebut sebagai ukuran langkah. Dengan menggunakan
deret Taylor untuk memperoleh metode Euler. Misalkan 𝑦(𝑡) adalah solusi untuk persamaan (2.6) pada interval [𝑎, 𝑏] dengan 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑁 − 1, maka:
𝑦(𝑡𝑖+1) = 𝑦(𝑡𝑖) + (𝑡𝑖+1− 𝑡𝑖)𝑦′(𝑡 𝑖) + (𝑡𝑖+1− 𝑡𝑖)2 2 𝑦 ′′(𝜉 𝑖),
Untuk sembarang 𝜉𝑖 pada (𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1) dan karena ℎ = 𝑡𝑖+1− 𝑡𝑖 maka:
𝑦(𝑡𝑖+1) = 𝑦(𝑡𝑖) + ℎ𝑦′(𝑡 𝑖) + ℎ2 2 𝑦 ′′(𝜉 𝑖),
Dan karena 𝑦(𝑡) memenuhi persamaan diferensial (2.6), maka: 𝑦(𝑡𝑖+1) = 𝑦(𝑡𝑖) + ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑦(𝑡𝑖)) + ℎ2 2 𝑦 ′′(𝜉 𝑖), (2.7)
Metode Euler dibangun dengan menggunakan pendekatan 𝑤𝑖 ≈ 𝑦(𝑡𝑖), untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑁 maka metode Euler menjadi:
𝑤0 = 𝛼,
𝑤𝑖+1= 𝑤𝑖+ ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑤𝑖), untuk setiap 𝑖 = 0,1, … , 𝑁 − 1. (2.8)
Karena metode Euler digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dengan persamaan nonlinear yang berdasarkan persamaan (2.8) maka jika diberikan suatu sistem persamaan diferensial dengan tujuh variabel terikat sebagai berikut:
𝑆′(𝑡) = 𝑓1(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡),
𝐸′(𝑡) = 𝑓2(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡),
𝐼′(𝑡) = 𝑓
𝑅′(𝑡) = 𝑓4(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡), 𝑁′(𝑡) = 𝑓5(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡), 𝐷′(𝑡) = 𝑓 6(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡), 𝐶′(𝑡) = 𝑓 7(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡),
Dengan nilai awalnya adalah 𝑆(𝑡0) = 𝑆0, 𝐸(𝑡0) = 𝐸0, 𝐼(𝑡0) = 𝐼0, 𝑅(𝑡0) = 𝑅0,
𝑁(𝑡0) = 𝑁0, 𝐷(𝑡0) = 𝐷0 and 𝐶(𝑡0) = 𝐶0 maka dengan metode Euler tersebut dapat diterapkan ke sistem persamaan dan diperoleh:
𝑆𝑖+1= 𝑆𝑖 + ℎ𝑓1(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.9) 𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 + ℎ𝑓2(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.10) 𝐼𝑖+1 = 𝐼𝑖 + ℎ𝑓3(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.11) 𝑅𝑖+1= 𝑅𝑖+ ℎ𝑓4(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.12) 𝑁𝑖+1 = 𝑁𝑖+ ℎ𝑓5(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.13) 𝐷𝑖+1 = 𝐷𝑖 + ℎ𝑓6(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.14) 𝐶𝑖+1 = 𝐶𝑖+ ℎ𝑓7(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.15) dengan ℎ = 𝑡𝑖+1− 𝑡𝑖 dimana 𝑆(𝑡0) = 𝑆0, 𝐸(𝑡0) = 𝐸0, 𝐼(𝑡0) = 𝐼0, 𝑅(𝑡0) = 𝑅0,
𝑁(𝑡0) = 𝑁0, 𝐷(𝑡0) = 𝐷0 dan 𝐶(𝑡0) = 𝐶0 untuk setiap 𝑖 = 0, 1, 2, … .
F. Metode Heun
Pada penjelasan metode sebelumnya yaitu metode Euler kita mengetahui bahwa metode tersebut memiliki akurasi yang rendah hal ini dikarenakan galatnya yang besar dan sebanding dengan ℎ. Maka, metode tersebut diperbaiki dengan metode yang baru untuk mengurangi galatnya yakni dengan metode Heun atau yang biasa dikenal dengan Modified Euler’s Method. Pada metode ini, solusi yang kita miliki pada metode
Euler dijadikan sebagai perkiraan awal (predictor) dan kemudian diperbaiki dengan menggunakan metode Heun (corrector). Adapun penurunan dari metode Heun tersebut menurut Chapra (2012):
𝑦𝑖′= 𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖), (2.16)
digunakan untuk mengekstrapolasi secara linear terhadap 𝑦𝑖+1:
𝑦𝑖+10 = 𝑦𝑖 + 𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖)ℎ. (2.17) Pada metode Euler, kita bisa mendapatkan solusi dari persamaan diferensial hanya sampai pada tahap tersebut. Namun demikian, pada metode Heun persamaan dari 𝑦𝑖+10 pada persamaan (2.17) dihitung dan dijadikan sebagai nilai prediksi. Oleh sebab itu, persamaan tersebut dibedakan dengan superscript. Persamaan (2.17) disebut sebagai persamaan prediksi. Adanya prediksi tersebut dapat membuat perkiraan yang memungkinkan penghitungan dari kemiringan di akhir interval:
𝑦𝑖+1′ = 𝑓(𝑡𝑖+1, 𝑦𝑖+10 ). (2.18)
Oleh karena itu, kedua persamaan di atas yaitu persamaan (2.16) dan (2.18) dapat digabungkan untuk memperoleh rata-rata dari interval berikut:
𝑦̅′ =𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) + 𝑓(𝑡𝑖+1, 𝑦𝑖+1
0 )
2 .
Rata-rata dari kemiringan ini kemudian digunakan untuk mengekstrapolasi secara linear dari 𝑦𝑖 ke 𝑦𝑖+1 dengan menggunakan metode Euler:
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖+𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) + 𝑓(𝑡𝑖+1, 𝑦𝑖+1
0 )
2 ℎ, (2.19)
dimana persamaan ini disebut sebagai corrector. Berikutnya, penurunan dari metode Heun juga dapat dilakukan dengan melakukan pengintegralan kedua ruas. Misalnya diberikan persamaan diferensial biasa sebagai berikut:
𝑑𝑦
Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mengintegralkan kedua ruas, sebagai berikut: ∫ 𝑑𝑦 𝑦𝑖+1 𝑦𝑖 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡. 𝑡𝑖+1 𝑡𝑖 (2.21)
Sehingga diperoleh hasil,
𝑦𝑖+1− 𝑦𝑖 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑡𝑖+1 𝑡𝑖 , (2.22) atau, 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖+ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑡𝑖+1 𝑡𝑖 . (2.23)
Sekarang, kita dapat melihat kembali aturan trapesium pada persamaan sebelumnya yaitu: 𝐼 = ∫ [𝑓(𝑎) +𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎 (𝑥 − 𝑎)] 𝑏 𝑎 𝑑𝑥. (2.24)
Kemudian didefinisikan sebagai berikut:
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑡𝑖+1
𝑡𝑖
=𝑓(𝑡𝑖) + 𝑓(𝑡𝑖+1)
2 ℎ, (2.25)
Dimana ℎ = 𝑡𝑖+1− 𝑡𝑖 . Langkah berikutnya, lakukan substitusi pada persamaan (2.23) hingga persamaan (2.25) sehingga diperoleh:
𝑦𝑖+1= 𝑦𝑖+𝑓(𝑡𝑖) + 𝑓(𝑡𝑖+1)
2 ℎ. (2.26)
Dimana persamaan tersebut ekuivalen dengan persamaan (2.23). Oleh sebab itu, metode Heun terkadang disebut juga dengan aturan trapesium. Berdasarkan penjabaran tersebut jika diberikan suatu sistem persamaan diferensial dengan tujuh variabel terikat sebagai berikut, maka:
𝑆′(𝑡) = 𝑓
1(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡),
𝐸′(𝑡) = 𝑓
𝐼′(𝑡) = 𝑓3(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡), 𝑅′(𝑡) = 𝑓4(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡), 𝑁′(𝑡) = 𝑓 5(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡), 𝐷′(𝑡) = 𝑓 6(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡), 𝐶′(𝑡) = 𝑓7(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡), 𝑁(𝑡), 𝐷(𝑡), 𝐶(𝑡), 𝑡),
Dengan nilai awal 𝑆(𝑡0) = 𝑆0, 𝐸(𝑡0) = 𝐸0, 𝐼(𝑡0) = 𝐼0, 𝑅(𝑡0) = 𝑅0, 𝑁(𝑡0) = 𝑁0, 𝐷(𝑡0) = 𝐷0, 𝐶(𝑡0) = 𝐶0 dimana ℎ = 𝑡𝑟+1− 𝑡𝑟 kemudian dengan menerapkan metode
Heun pada sistem persamaan tersebut, diperoleh: Predictor: 𝑆(0)𝑖+1 = 𝑆𝑖 + ℎ𝑓1(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.27) 𝐸(0) 𝑖+1 = 𝐸𝑖 + ℎ𝑓2(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.28) 𝐼(0) 𝑖+1 = 𝐼𝑖 + ℎ𝑓3(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.29) 𝑅(0) 𝑖+1 = 𝑅𝑖 + ℎ𝑓4(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.30) 𝑁(0) 𝑖+1= 𝑁𝑖 + ℎ𝑓5(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.31) 𝐷(0) 𝑖+1 = 𝐷𝑖 + ℎ𝑓6(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.32) 𝐶(0) 𝑖+1 = 𝐶𝑖 + ℎ𝑓7(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖), (2.33) Corrector: 𝑆𝑖+1 = 𝑆𝑖 +ℎ 2[𝑓1(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑓1(𝑆(0) 𝑖+1, 𝐸(0)𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)], (2.34) 𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 +ℎ 2[𝑓2(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑓2(𝑆(0) 𝑖+1, 𝐸(0)𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)], (2.35)
𝐼𝑖+1 = 𝐼𝑖 +ℎ 2[𝑓3(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑓3(𝑆(0)𝑖+1, 𝐸(0)𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)], (2.36) 𝑅𝑖+1 = 𝑅𝑖 +ℎ 2[𝑓4(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑓4(𝑆(0)𝑖+1, 𝐸(0)𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)], (2.37) 𝑁𝑖+1 = 𝑁𝑖 +ℎ 2[𝑓5(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑓5(𝑆(0) 𝑖+1, 𝐸(0)𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)], (2.38) 𝐷𝑖+1 = 𝐷𝑖 +ℎ 2[𝑓6(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑓6(𝑆(0) 𝑖+1, 𝐸(0)𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)], (2.39) 𝐶𝑖+1 = 𝐶𝑖 +ℎ 2[𝑓7(𝑆𝑖, 𝐸𝑖, 𝐼𝑖, 𝑅𝑖, 𝑁𝑖, 𝐷𝑖, 𝐶𝑖, 𝑡𝑖) + 𝑓7(𝑆(0)𝑖+1, 𝐸(0)𝑖+1, 𝐼(0)𝑖+1, 𝑅(0)𝑖+1, 𝑁(0)𝑖+1, 𝐷(0)𝑖+1, 𝐶(0)𝑖+1, 𝑡𝑖+1)], (2.40)
dengan 𝑖 = 0, 1, 2, 3, … 𝑛. Fungsi 𝑓1, … , 𝑓7 persamaan ruas kanan dari model SEIR-NDC.
G. Karya Ilmiah Remaja
Masa remaja merupakan masa transisi seseorang dari masa kanak-kanak menuju masa dewasa hal ini disampaikan oleh Santrock (Nada dkk., 2020). Sehingga pada fase ini anak-anak banyak mengalami perubahan diri dan mengalami banyak tantangan
untuk menemukan jati dirinya. Dalam menemukan jati dirinya, banyak remaja yang justru terjebak ke dalam kenakalan remaja, namun tidak semua anak-anak terjebak ke dalam hal-hal yang negatif. Anak-anak yang memiliki kemampuan literasi media yang baik maka ia dapat menyaring informasi yang baik dan yang buruk, hal ini selaras dengan apa yang disampaikan oleh (Nada dkk., 2020). Walaupun secara nyata masih sering kita jumpai permasalahan dari kenakalan remaja melalui media televisi (adanya tontonan yang kurang mendidik), handphone (adanya situs-situs atau informasi buruk yang menjurus terhadap kenakalan remaja) dan media lainnya. Oleh sebab itu, perlu adanya upaya yang dilakukan untuk membimbing dan mendampingi para remaja agar para remaja mampu melewati fasenya ke arah yang lebih positif. Salah satu upaya yang dapat dilakukan adalah membimbing dan mendampingi para remaja untuk berkontribusi pada kegiatan pengabdian masyarakat yaitu pada kegiatan membuat karya tulis ilmiah. Djuroto (Pratama dan Casmudi, 2019) memaparkan bahwa karya tulis ilmiah dibagi menjadi dua yaitu karya tulis yang berdasarkan laporan hasil penelitian dan karya tulis yang berdasarkan tinjauan atau gagasan ilmiah. Karya tulis ilmiah yang dikembangkan di sekolah biasanya sebagai salah satu ekstrakurikuler yang juga disebut sebagai Karya Ilmiah Remaja (KIR). Adanya kegiatan KIR dapat menjadikan siswa sebagai generasi yang memiliki sikap ilmiah, mereka mampu untuk memberikan solusi-solusi terhadap masalah yang muncul di sekitar mereka sendiri, hal ini disampaikan oleh Sagala (Madayani, 2020). Sejalan dengan apa yang disampaikan oleh Sagala, Asmara & Kusumaningrum (2020) mengungkapkan bahwa orang yang terampil dalam menulis karya tulis ilmiah akan kaya ilmu pengetahuan, wawasan, bahkan finansial dimana mereka terbiasa untuk berpikir secara sistematis, cermat, mampu mengidentifikasi dan memecahkan permasalahan. Oleh sebab itu, penting bagi para calon guru dan para pendidik untuk mengupayakan pendampingan pembuatan karya tulis remaja sejak dini. Berkaitan dengan hal tersebut karya tulis ilmiah merupakan karya yang memuat dan mengkaji suatu masalah dengan menggunakan kaidah-kaidah keilmuan seperti metode ilmiah, penggunaan bahasa baku dan tata tulis
ilmiah serta prinsip keilmuan yang bersifat logis, objektif, empiris, sistematis, lugas dan konsisten hal ini disampaikan oleh Prayitno (Noorjannah, 2014). Sejalan dengan hal tersebut, maka karya ilmiah remaja merupakan karya yang dikaji dengan menggunakan kaidah keilmuan dan dilakukan oleh para remaja sebagai salah satu kontribusi mereka terhadap pengabdian masyarakat. Beberapa cara yang dapat dilakukan dalam melakukan pendampingan Karya Ilmiah Remaja antara lain:
1. Memberikan gambaran umum
Pada bagian ini, pendidik memberikan gambaran umum mengenai masalah apa saja yang sedang dihadapi saat ini. Hal ini bertujuan agar siswa mengetahui apa permasalahan yang sedang muncul dan penting untuk dihadapi saat ini. Pada tahap ini para siswa secara bebas untuk mencari topik permasalahan, baik permasalahan yang sudah dipaparkan maupun permasalahan yang belum dipaparkan oleh pendidik.
2. Melakukan observasi
Menyadari permasalahan yang ada, maka sebelum melakukan penulisan karya imiah perlu adanya observasi untuk mengetahui kondisi atau masalah yang akan diteliti. Setidaknya observasi perlu dilakukan minimal 2 kali untuk benar-benar memastikan permasalahan tersebut apakah benar-benar muncul dan perlu untuk diteliti.
3. Penyusunan Karya Ilmiah
Setelah kegiatan observasi dilakukan maka penting bagi pendidik sebagai fasilitator untuk membantu para siswa dalam menyiapkan materi dan mulai mencari teori-teori yang relevan. Dalam penyusunan ini, pendidik memfasilitasi siswa dan mendampingi jika siswa mengalami kesulitan. Pada tahap ini juga, pendidik memberikan arahan mengenai penggunaan bahasa yang sistematis dalam penyusunan karya ilmiah remaja.
4. Presentasi proposal
Setelah itu, proposal tersebut akan dipresentasikan dan akan dipertanggungjawabkan hasil tulisannya. Proposal tersebut juga memiliki kemungkinan untuk mengalami perbaikan kembali, jika ada hal-hal yang kurang tepat.
Selain itu, pendampingan juga bisa dilakukan dengan mengadakan kegiatan berkala kepada siswa/i anggota ekstrakurikuler maupun seluruh siswa yang berminat pada Karya Ilmiah Remaja. Rangkaian kegiatan tersebut dipaparkan oleh Asmara dan Kusumaningrum (2020) diantaranya:
1. Observasi
Sebelum melaksanakan kegiatan, perlu adanya observasi untuk mengetahui kondisi dan kesiapan acara dalam melakukan pendampingan karya lmiah.
2. Persiapan Materi dan Pematangan Konsep Kegiatan
Pada bagian ini, maka adanya pembagian tugas untuk menyiapkan berbagai kebutuhan selama kegiatan pendampingan karya ilmiah.
3. Sosialisasi Program
Kegiatan ini bertujuan untuk memberikan gambaran dan mensosialisasikan pentingnya membuat karya ilmiah sebagai luaran dari pendidikan siswa di jenjang SMA.
4. Pelaksanaan Program
Pelaksanaan program ini bisa disesuaikan dengan metode yang digunakan dalam pendampingan. Pendampingan bisa dilakukan secara berkelompok maupun secara individu.
5. Kontes Proposal
Bagi para siswa yang mengikuti program ini, proposal yang telah dibuat kemudian diunggah dan diseleksi untuk di presentasikan.
6. Pendampingan dan Pembimbingan
Pendampingan ini dilakukan sampai semua proposal yang telah dibuat oleh siswa diunggah dan direview.
7. Monitoring dan Evaluasi Kegiatan
Pada tahap ini dilakukan evaluasi dari kegiatan yang bertujuan mengetahui hal-hal yang harus diperbaiki dan hal-hal yang urang selama kegiatan berlangsung. Dengan adanya pendampingan-pendampingan ini, sekiranya siswa dapat memperoleh output selama masa pendidikannya yaitu dengan adanya karya ilmiah remaja sebagai kontribusi siswa terhadap masyarakat. Karya ilmiah yang dibuat oleh siswa/i ini berdasarkan apa yang telah mereka peroleh selama pembelajaran, dimulai dengan dasar dari konsep turunan fungsi. Kemudian pemodelan matematis, dari konsep tersebut siswa dapat membuat sebuah karya ilmiah dari model penyebaran penyakit.
H. Kerangka Berpikir
Pada bagian ini sudah dijelaskan mengenai teori tentang pemodelan matematika, persamaan diferensial, model transmisi penyakit virus corona (COVID-19), model pandemik SEIR-NDC, metode Euler dan metode Heun dan karya tulis remaja. Berdasarkan hal-hal yang sudah dipaparkan oleh peneliti tersebut, maka akan dibahas secara mendalam mengenai bagaimana membuat persamaan diferensial dari transmisi virus corona dengan model pandemik SEIR-NDC yang sudah dirumuskan oleh Lin et al. (2020). Berikutnya, persamaan diferensial yang telah dimodelkan tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan dua metode numeris yang mendasar pada penyelesaian persamaan diferensial yaitu metode Euler dan metode Heun. Hasil dari penyelesaian tersebut akan di paparkan dalam gambar grafik dengan menggunakan program MATLAB.
24 BAB III
ASPEK MATEMATIS PADA PENYAKIT VIRUS CORONA (COVID-19)
Pada bagian ini, peneliti membahas mengenai model matematika yang digunakan dalam penyebaran virus Corona. Model matematika yang digunakan dan akan dicari solusinya adalah model pandemik SEIR-NDC. Dalam mencari solusi dari penyebaran virus Corona menggunakan model tersebut, peneliti menggunakan metode Euler dan metode Heun. Adapun hasil-hasil dari penelitian ini telah diseminarkan di International Conference on Life Sciences and Technology (ICoLiST 2020) oleh Pratiwi dan Mungkasi (2021).
A. Model SEIR Transmisi Virus Corona
Berdasarkan model pandemik SEIR-NDC pada transmisi Virus Corona dengan membentuk populasi manusia menjadi empat sub-populasi yaitu Susceptible dimana subpopulasi ini rentan terhadap suatu penyakit, Exposed yaitu subpopulasi yang tertular tetapi belum menjadi penderita, Infectious yaitu subpopulasi yang telah menjadi penderita dan aktif menularkan virus corona, serta Removed yaitu subpopulasi yang telah sembuh dari penyakit karena adanya pengobatan. Pada model pandemik ini terdapat variabel tambahan yaitu N merupakan total ukuran populasi, D merupakan persepsi publik tentang risiko terkait jumlah kasus dan kematian yang parah dan kritis serta C mewakili jumlah kumulatif baik kasus yang dilaporkan maupun yang tidak dilaporkan.
Menurut Lin et al. (2020) pada model transmisi virus Corona didasarkan pada pertimbangan reaksi perilaku individu dan tindakan pemerintah, misalnya hari libur ekstensi, pembatasan perjalanan, rawat inap dan karantina. Berikut ini peneliti memaparkan timeline dari pemerintah Wuhan:
Gambar 3. 1 Timeline penyebaran virus Corona menurut Lin et al (2020) 16 Desember 2019:
Pertama kali masuk ke RS di Wuhan
31 Desember 2019: Sekelompok penderita Pneumonia yang tidak diketahui penyebabnya di laporkan 01 Januari 2020: Penutupan pasar makanan laut di Huanan 12 Januari 2020: Organisme 2019-nCoV diluncurkan 20 Januari 2020:
Transmisi dari manusia ke manusia terjadi di Guangdong 23 Januari 2020: Angkutan umum di tolak di Wuhan 26 Januari 2020: Mobil dilarang di pusat Kota Wuhan
11 Februari 2020:
WHO menamakan
penyakit yang disebabkan oleh virus corona adalah COVID-19.
07 Januari 2020: Virus Corona dinamakan sebagai 2019-nCov
25 Januari 2020: Angkutan umum di tolak di Hubei
Berdasarkan timeline pada Gambar 3.1 tersebut, maka Lin et al. (2020) menjelaskan bahwa jumlah populasi manusia yang tertular Virus Corona terhadap waktu dipengaruhi oleh beberapa faktor. Laju perubahan dari populasi manusia tersebut dapat diilustrasikan pada Gambar 3.2 berikut ini:
Gambar 3. 2 Skema populasi manusia untuk transmisi virus Corona
Berdasarkan skema populasi manusia tersebut, maka penulis menyajikan beberapa definisi dari variabel dan parameter yang digunakan, sebagai berikut:
Tabel 3. 1 Definisi Variabel dan Parameter Model Laju Transmisi Virus Corona Model Pandemik SEIR-NDC (Lin et al, 2020)
Variabel
Parameter Notasi Rentang Catatan
Jumlah kasus yang disebabkan oleh hewan
𝐹 {0, 10} Fungsi Bertahap
Populasi awal 𝑁0 14 juta Konstan
𝛽0𝑆𝐹 𝑁 𝛽(𝑡)𝑆𝐼 𝑁 Susceptible Exposed Removed Infected D Case 𝜇𝑆 𝜎𝐸 𝜇𝐸 𝛾𝐼 𝜇𝐼 𝜇𝑅 𝜆𝐷 𝑝𝛾𝐼 𝜎𝐸
Variabel
Parameter Notasi Rentang Catatan
Populasi awal yang rentan 𝑆0 0.9𝑁0 Konstan Tingkat Transmisi 𝛽0 {0.5944, 1.68} (/hari) Fungsi Bertahap Tindakan Pemerintah 𝛼 {0,0.4239,0.8478} Fungsi Bertahap Intensitas Tanggapan 𝜅 1117.3 Konstan Tingkat Emigrasi 𝜇 {0, 0.0205} (/hari) Fungsi Bertahap Rata-rata orang yang menunjukkan gejala 𝜎−1 3 (hari) Konstan Periode Menular 𝛾 −1 5 (hari) Konstan Proporsi kasus yang parah 𝑝 0.2 Konstan Durasi redaksi publik 𝜆 −1 11.2 (hari) Konstan
Berdasarkan hal di atas, maka berikut ini merupakan persamaan diferensial nonlinear laju transmisi virus corona pandemik SEIR-NDC:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = − 𝛽0𝑆𝐹 𝑁 − 𝛽(𝑡)𝑆𝐼 𝑁 − 𝜇𝑆, (3.1) 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽0𝑆𝐹 𝑁 + 𝛽(𝑡)𝑆𝐼 𝑁 − (𝜎 + 𝜇)𝐸, 𝑑𝐼 𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐼, 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅, 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = −𝜇𝑁,
𝑑𝐷 𝑑𝑡 = 𝑝𝛾𝐼 − 𝜆𝐷, 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝜎𝐸, Dimana, 𝛽(𝑡) = 𝛽0(1 − 𝛼) (1 − 𝐷 𝑁) 𝜅
Berikut ini penjelasan dari model di atas:
1. Laju perubahan jumlah manusia yang mudah ditulari terhadap waktu (𝑑𝑆
𝑑𝑡) yang
dipengaruhi oleh:
a. Suatu transmisi dari populasi awal yang rentan, yang dapat tertular dan
disebabkan oleh hewan dibagi populasi yaitu 𝛽0𝑆𝐹
𝑁 .
b. Suatu transmisi seiring berjalannya waktu dari populasi awal yang rentan yang
dipengaruhi oleh orang yang terinfeksi dibagi dengan populasi yaitu 𝛽(𝑡)𝑆𝐼
𝑁 .
c. Suatu populasi yang rentan juga dipengaruhi oleh rata-rata orang yang berpindah (emigrasi) yaitu 𝜇. 𝑆.
Kemudian dari a); b); dan c) dapat dimodelkan sebagai berikut: 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = − 𝛽0𝑆𝐹 𝑁 − 𝛽(𝑡)𝑆𝐼 𝑁 − 𝜇𝑆. (3.2)
2. Laju perubahan jumlah manusia yang memperlihatkan gejala terinfeksi terhadap
waktu (𝑑𝐸
𝑑𝑡) yang dipengaruhi oleh:
a. Suatu transmisi dari populasi awal yang rentan, yang dapat tertular dan
disebabkan oleh hewan dibagi populasi yaitu 𝛽0𝑆𝐹
𝑁 .
b. Suatu transmisi seiring berjalannya waktu dari populasi awal yang rentan yang
dipengaruhi oleh orang yang terinfeksi dibagi dengan populasi yaitu 𝛽(𝑡)𝑆𝐼
c. Kemudian dikurangi dengan sub populasi yang tertular yang dipengaruhi oleh orang yang menunjukkan gejala dan rata-rata orang yang berpindah (emigrasi) yaitu (𝜎 + 𝜇)𝐸.
Kemudian dari a); b); dan c) dapat dimodelkan sebagai berikut: 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝛽0𝑆𝐹 𝑁 + 𝛽(𝑡)𝑆𝐼 𝑁 − (𝜎 + 𝜇)𝐸. (3.3)
3. Laju perubahan jumlah manusia terinfeksi langsung oleh virus terhadap waktu (𝑑𝐼
𝑑𝑡)
yang dipengaruhi oleh:
a. Populasi manusia yang menunjukkan gejala dikalikan dengan exposed (kemungkinan orang yang tertular) yaitu 𝜎𝐸.
b. Kemudian dikurangi dengan rata-rata populasi orang yang terinfeksi ditambah dengan rata-rata orang yang berpindah (emigrasi) dikalikan dengan sub populasi yang terinfeksi yaitu (𝛾 + 𝜇)𝐼.
Kemudian dari a) dan b) dapat dimodelkan sebagai berikut: 𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐼. (3.4)
4. Laju perubahan jumlah manusia yang sembuh dari penyebaran penyakit virus
corona terhadap waktu (𝑑𝑅
𝑑𝑡) yang dipengaruhi oleh:
a. Sub populasi manusia yang terinfeksi langsung oleh virus dengan periode penularan tertentu yaitu 𝛾𝐼.
b. Sub populasi dikurangi dengan rata-rata orang yang berpindah (emigrasi) dari sub populasi manusia yang terinfeksi virus dari manusia yaitu 𝜇𝑅.
Kemudian dari a) dan b) dapat dimodelkan sebagai berikut: 𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅. (3.5)
5. Laju perubahan total ukuran dari populasi manusia terhadap waktu (𝑑𝑁
𝑑𝑡) yang
total. Sehingga berdasarkan faktor tersebut, maka laju perubahan tersebut dapat dimodelkan sebagai berikut:
𝑑𝑁
𝑑𝑡 = −𝜇𝑁. (3.6)
6. Laju perubahan jumlah manusia dari persepsi publik tentang risiko terkait jumlah
kasus dan kematian yang parah dan kritis terhadap waktu (𝑑𝐷
𝑑𝑡) yang dipengaruhi
oleh:
a. Konstanta (p) yang dikalikan dengan sub populasi orang yang terinfeksi yaitu 𝑝𝛾𝐼.
b. Kemudian dikurangi dengan orang yang meninggal tetapi belum tentu terinfeksi yaitu 𝜆𝐷.
Kemudian dari a) dan b) dapat dimodelkan sebagai berikut: 𝑑𝐷
𝑑𝑡 = 𝑝𝛾𝐼 − 𝜆𝐷. (3.7)
7. Laju perubahan dari jumlah kumulatif untuk kasus yang dilaporkan maupun yang
tidak dilaporkan terhadap waktu (𝑑𝐶
𝑑𝑡) yang dipengaruhi oleh orang yang
menunjukkan gejala dikalikan dengan E dimana E adalah orang yang memiliki kemungkinan tertular. Sehingga berdasarkan faktor tersebut, dapat dimodelkan sebagai berikut:
𝑑𝐶
𝑑𝑡 = 𝜎𝐸. (3.8)
B. Penyelesaian Model pada Virus Corona dengan Metode Euler
Berdasarkan (3.1) persamaan diferensial nonlinear laju transmisi corona virus model pandemik SEIR-NDC adalah sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = − 𝛽0𝑆𝐹 𝑁 − 𝛽(𝑡)𝑆𝐼 𝑁 − 𝜇𝑆, (3.1)
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽0𝑆𝐹 𝑁 + 𝛽(𝑡)𝑆𝐼 𝑁 − (𝜎 + 𝜇)𝐸, 𝑑𝐼 𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐼, 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅, 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = −𝜇𝑁, 𝑑𝐷 𝑑𝑡 = 𝑝𝛾𝐼 − 𝜆𝐷, 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝜎𝐸. Dimana, 𝛽(𝑡) = 𝛽0(1 − 𝛼) (1 − 𝐷 𝑁) 𝜅
Namun, penelitian ini terbatas pada 𝛽(𝑡) yang konstan yaitu 0.6 .
Dalam menerapkan metode Euler pada ketujuh persamaan di atas, dapat dilakukan dengan cara mengkonstruksi model tersebut sesuai dengan persamaan (2.8)−(2.14) sehingga diperoleh sebagai berikut:
𝑆𝑖+1= 𝑆𝑖 + ∆𝑡 (− 𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖 𝑁 − 𝛽(𝑡)𝑆𝑖𝐼𝑖 𝑁 − 𝜇𝑆𝑖), (3.9) 𝐸𝑖+1= 𝐸𝑖+ ∆𝑡 ( 𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖 𝑁 + 𝛽(𝑡)𝑆𝑖𝐼𝑖 𝑁 − (𝜎 + 𝜇)𝐸𝑖), (3.10) 𝐼𝑖+1 = 𝐼𝑖+ ∆𝑡(𝜎𝐸𝑖 − (𝛾 + 𝜇)𝐼𝑖), (3.11) 𝑅𝑖+1= 𝑅𝑖 + ∆𝑡(𝛾𝐼𝑖 − 𝜇𝑅𝑖), (3.12)
𝑁𝑖+1= 𝑁𝑖 + ∆𝑡(−𝜇𝑁𝑖), (3.13)
𝐷𝑖+1= 𝐷𝑖+ ∆𝑡(𝑝𝛾𝐼𝑖 − 𝜆𝐷𝑖), (3.14)
𝐶𝑖+1= 𝐶𝑖 + ∆𝑡(𝜎𝐸𝑖). (3.15)
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dari persamaan (3.9)−(3.15) dengan menggunakan metode Euler, maka diperlukan adanya data awal. Berikut ini merupakan data awal yang diberikan pada Tabel 3.2 berikut ini:
Tabel 3. 2 Nilai Awal dan Nilai Parameter Transmisi Penyakit Virus Corona (COVID-19)
Kondisi Awal dan Parameter Nilai Awal Kondisi dan Parameter
𝑆(𝑡0) = 𝑆0 0.9𝑁0= 12.6 𝐸(𝑡0) = 𝐸0 0.1𝑁0 = 1.4 𝐼(𝑡0) = 𝐼0 0 𝑅(𝑡0) = 𝑅0 0 𝑁(𝑡0) = 𝑁0 14 𝐷(𝑡0) = 𝐷0 0 𝐶(𝑡0) = 𝐶0 0 𝐹 10 𝛽0 0.5 𝛽(𝑡) 0.6 𝜇 0.0205 𝜎 1/3 𝜆 1/11.2 𝛾 1/5 𝑑 0.2
Dengan menggunakan nilai awal pada Tabel 3.2 serta ∆𝑡 = 0.5 dan 𝑖 = 0, 1, 2, 3, … 𝑛 pada persamaan (3.9)−(3.15) maka diperoleh iterasi dari perhitungan menggunakan metode Euler sebagai berikut:
𝑆𝑖+1 = 𝑆𝑖+ ∆𝑡 (− 𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖 14 − 𝛽(𝑡)𝑆𝑖𝐼𝑖 14 − (𝜇𝑆𝑖)), (3.16) 𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖+ ∆𝑡 ( 𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖 14 + 𝛽(𝑡)𝑆𝑖𝐼𝑖 14 − (𝜎 + 𝜇)𝐸𝑖), (3.17)
𝐼𝑖+1 = 𝐼𝑖+ ∆𝑡(𝜎𝐸𝑖− (𝛾 + 𝜇)𝐼𝑖), (3.18) 𝑅𝑖+1= 𝑅𝑖+ ∆𝑡(𝛾𝐼𝑖− 𝜇𝑅𝑖), (3.19) 𝑁𝑖+1= 𝑁𝑖+ ∆𝑡(−𝜇𝑁𝑖), (3.20) 𝐷𝑖+1= 𝐷𝑖+ ∆𝑡(𝑝(𝛾)𝐼𝑖− (𝜆)𝐷𝑖), (3.21) 𝐶𝑖+1 = 𝐶𝑖+ ∆𝑡(𝜎𝐸𝑖). (3.22) 𝑆1= 𝑆0+ ((0.5) (− (0.5)𝑆0𝐹0 14000000− (0.6)𝑆0𝐼0 14000000− (𝜇 × 𝑆0))) 𝑆1= 12.6 + ((0.5) (− (0.5 × 12.6 × 10) 14000000 − (0.6 × 12.6 × 0) 14000000 − (0.0205 × 12.6))) 𝑆1= 12.470.847 (3.23) 𝐸1= 𝐸0+ ((0.5) ( (0.5)𝑆0𝐹0 14000000+ (0.6)𝑆0𝐼0 14000000− ((𝜎 + 𝜇)𝐸0))) 𝐸1= 1.4 + ((0.5) ( (0.5 × 12.6 × 10) 14000000 + (0.6 × 12.6 × 0) 14000000 − ((0.3 + 0.0205)1.4))) 𝐸1= 1.152.318 (3.24) 𝐼1= 𝐼0+ ((0.5)(𝜎𝐸0− (𝛾 + 𝜇)𝐼0)) 𝐼1= 0 + ((0.5)(0.3 × 1.4) − ((0.2 + 0.0205)0)) 𝐼1= 0.21 (3.25) 𝑅1= 𝑅0+ ((0.5)(𝛾𝐼0− 𝜇𝑅0) ) 𝑅1= 0 + ((0.5)((0.2 × 0) − (0.0205 × 0))) 𝑅1= 0 (3.26) 𝑁1= 𝑁0+ ((0.5)(−(0𝑁0))) 𝑁1= 14 + ((0.5)(−(0.0205 × 14))) 𝑁1= 13.8565 (3.27)
𝐷1= 𝐷0+ ((0.5)(𝑝𝛾𝐼0− (𝜆𝐷0))) 𝐷1= 0 + ((0.5)(0.2 × 0.2 × 0 − (0.089285714 × 0))) 𝐷1= 0 (3.28) 𝐶1= 𝐶0+ ((0.5)(𝜎𝐸0)) 𝐶1= 0 + ((0.5)(0.3 × 1.4)) 𝐶1= 0.21 (3.29)
Berikutnya, dengan menggunakan MATLAB maka simulasi tersebut dapat terlihat pada Gambar 3.3.
Gambar 3. 3 Grafik dari sistem transmisi penyakit virus Corona (COVID-19) model SEIR-NDC menggunakan metode Euler oleh Pratiwi dan Mungkasi (2021)
Berdasarkan apa yang diamati pada Gambar 3.3 mengenai perilaku penyebaran virus Corona dengan model pandemi SEIR-NDC menggunakan metode Euler dan Heun. Pada gambar tersebut kita dapat melihat bahwa, awalnya subpopulasi manusia yang rentan cukup besar, tetapi ketika 𝑡 mendekati tak terhingga atau dalam hal ini merupakan waktu maka subpopulasi berpindah ke subpopulasi yang terpapar, kemudian pindah ke yang terinfeksi. Berdasarkan gambar tersebut dapat diketahui bahwa pada saat 𝑡 mencapai tak terhingga maka subpopulasi manusia yang rentan, terpapar, terinfeksi berkurang atau pada grafik ini menuju nol dimana dalam hal ini dapat dikatakan bahwa penyebaran penyakit virus Corona akan cenderung berhenti. Berbeda dengan subpopulasi rentan, terpapar, terinfeksi, dan sembuh. Jika kita amati pada grafik untuk kasus yang dilaporkan dan tidak dilaporkan, ketika 𝑡 menuju tak terhingga, maka grafik tersebut akan naik ke atas atau dapat kita sebut sebagai fungsi naik. Hal ini dikarenakan C merupakan kasus kumulatif dimana jumlah kasus akan ditambah dari kasus pertama yang dilaporkan sampai dengan waktu 𝑡.
Berdasarkan penyajian gambar tersebut, terlihat bahwa subpopulasi rentan, sub populasi terpapar, sub populasi terinfeksi, sub populasi manusia sembuh, populasi manusia secara keseluruhan (N), dan persepsi publik tentang penyebaran virus Corona (D) akan semakin menurun menuju nol. Artinya berdasarkan simulasi ini, seiring berjalannya waktu penyebaran penyakit virus corona akan punah akibat kematian manusia dan emigrasi. Namun, jika 𝑡 menuju tak terhingga, baik kasus korona yang dilaporkan maupun yang tidak dilaporkan (C) akan meningkat mendekati titik ekuilibrium. Pada simulasi ini, peneliti menggunakan ∆𝑡 = 0.5.
C. Penyelesaian Model pada Virus Corona dengan Metode Heun
Berdasarkan persamaan diferensial nonlinear laju transmisi corona virus model pandemik SEIR-NDC adalah sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = − 𝛽0𝑆𝐹 𝑁 − 𝛽(𝑡)𝑆𝐼 𝑁 − 𝜇𝑆, (3.1) 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽0𝑆𝐹 𝑁 + 𝛽(𝑡)𝑆𝐼 𝑁 − (𝜎 + 𝜇)𝐸, 𝑑𝐼 𝑑𝑡= 𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐼, 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅, 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = −𝜇𝑁, 𝑑𝐷 𝑑𝑡 = 𝑝𝛾𝐼 − 𝜆𝐷, 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝜎𝐸.
Dalam menerapkan metode Heun pada ketujuh persamaan di atas, dapat dilakukan dengan cara mengkonstruksi model tersebut sesuai dengan persamaan (2.26)−(2.39) sehingga diperoleh sebagai berikut:
Predictor: 𝑆(0)𝑖+1= 𝑆𝑖+ ∆𝑡 (− 𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖 𝑁 − 𝛽(𝑡)𝑆𝑖𝐼𝑖 𝑁 − 𝜇𝑆𝑖), (3.30) 𝐸(0)𝑖+1= 𝐸𝑖+ ∆𝑡 (𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖 𝑁 + 𝛽(𝑡)𝑆𝑖𝐼𝑖 𝑁 − (𝜎 + 𝜇)𝐸𝑖), (3.31) 𝐼(0)𝑖+1= 𝐼𝑖 + ∆𝑡(𝜎𝐸𝑖 − (𝛾 + 𝜇)𝐼𝑖), (3.32) 𝑅(0) 𝑖+1 = 𝑅𝑖 + ∆𝑡(𝛾𝐼𝑖− 𝜇𝑅𝑖), (3.33) 𝑁(0) 𝑖+1= 𝑁𝑖 + ∆𝑡(−𝜇𝑁𝑖), (3.34)
𝐷(0) 𝑖+1= 𝐷𝑖 + ∆𝑡(𝑝𝛾𝐼𝑖− 𝜆𝐷𝑖), (3.35) 𝐶(0) 𝑖+1= 𝐶𝑖 + ∆𝑡(𝜎𝐸𝑖). (3.36) Corrector: 𝑆𝑖+1 = 𝑆𝑖 +∆𝑡 2 [(− 𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖 𝑁 − 𝛽(𝑡)𝑆𝑖𝐼𝑖 𝑁 − 𝜇𝑆𝑖) + (−𝛽0𝑆 (0) 𝑖+1𝐹𝑖+1 𝑁 − 𝛽(𝑡)𝑆(0)𝑖+1𝐼(0)𝑖+1 𝑁 − 𝜇𝑆 (0) 𝑖+1)], (3.37) 𝐸𝑖+1= 𝐸𝑖+∆𝑡 2 [( 𝛽0𝑆𝑖𝐹𝑖 𝑁 + 𝛽(𝑡)𝑆𝑖𝐼𝑖 𝑁 − (𝜎 + 𝜇)𝐸𝑖) + (𝛽0𝑆 (0) 𝑖+1𝐹𝑖+1 𝑁 + 𝛽(𝑡)𝑆(0)𝑖+1𝐼(0)𝑖+1 𝑁 − (𝜎 + 𝜇)𝐸(0)𝑖+1)], (3.38) 𝐼𝑖+1= 𝐼𝑖+∆𝑡 2 [(𝜎𝐸𝑖 − (𝛾 + 𝜇)𝐼𝑖) + (𝜎𝐸 (0) 𝑖+1− (𝛾 + 𝜇)𝐼(0)𝑖+1)], (3.39) 𝑅𝑖+1= 𝑅𝑖 +∆𝑡 2 [(𝛾𝐼𝑖− 𝜇𝑅𝑖) + (𝛾𝐼 (0) 𝑖+1− 𝜇𝑅(0)𝑖+1)], (3.40) 𝑁𝑖+1= 𝑁𝑖 +∆𝑡 2 [(−𝜇𝑁𝑖) + (−𝜇𝑁 (0) 𝑖+1)], (3.41) 𝐷𝑖+1= 𝐷𝑖 + ∆𝑡 2 [(𝑝𝛾𝐼𝑖 − 𝜆𝐷𝑖) + (𝑝𝛾𝐼 (0) 𝑖+1− 𝜆𝐷(0)𝑖+1)], (3.42) 𝐶𝑖+1= 𝐶𝑖+ ∆𝑡 2 [(𝜎𝐸𝑖) + (𝜎𝐸 (0) 𝑖+1)]. (3.43)
Dengan menggunakan nilai awal yang telah disajikan pada Tabel 3.2 dengan ∆𝑡 = 0.5 dan 𝑖 = 0, 1, 2, 3, … 𝑛 maka diperoleh iterasi dari perhitungan menggunakan metode Heun sebagai berikut:
Predictor: 𝑆(0) 𝑟+1 =𝑆0+((0.5) (− (0.5)𝑆0𝐹0 14000000− (0.6)𝑆0𝐼0 14000000−(𝜇 × 𝑆0))) (3.44)
