TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK- KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLIDE

45 TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK-

KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS)

DARI RUANG EUCLIDEⁿ KE RUANG BARISAN ^p, (1p<) Aniswita

(Jurusan Pendidikan Matematika STAIN Bukit Tinggi, Email: anesa.mq81@gmail.com)

Abstract: In this paper we discuss Henstock Equi  -integrable and Uniformly Locally Small Riemann Sums (UESRS) properties for Henstock-Kurzweil integrable functions from the Euclidean spaces ⁿ into the Sequences space ^p,(1 p)

Keywords: Henstock Equi  -integrable, Uniformly Locally Small Riemann Sums (UESRS) and Henstock-Kurzweil integrable functions from the Euclidean spaces ⁿ into the Sequences space ^p,(1 p)

46 PENDAHULUAN

Pada tahun 1960, Henstock dan Kurzweil secara terpisah mengitlakkan integral Riemann dengan mengubah konstanta  menjadi fungsi positif  dan ternyata integral yang di susun ekuivalen. Oleh karena itu integral tersebut dikenal dengan integral Henstock-Kurzweil atau integral Riemann yang diperluas (Gordon, 1994).

Integral ini mendapat perhatian yang sangat besar dari para peneliti, berbagai penelitian dilakukan untuk menggali sifat-sifat dan aplikasinya. Diantara sifat tersebut adalah sifat Locally Small Riemann Sums (LSRS) Pengertian LSRS untuk fungsi bernilai Real pada himpunan bilangan Real yang terintegral Henstock diberikan dan dibukukan oleh Lee (1989). Indrati (2002) mengitlakkanya untuk fungsi bernilai real pada ruang Euclide berdimensi n, kemudian Suherman (2003) mengembangkannya untuk fungsi bernilai vektor pada ruang Euclide berdimensi n, sedangkan untuk fungsi bernilai barisan ^p, (1p<) dikembangkan oleh Aniswita (2006).

Berdasarkan uraian diatas akan diselidiki teorema kekonvergenan fungsi terintegral Henstock serentak dengan fungsi yang bersifat Locally Small Riemann Sums (LSRS) dari ruang Euclide ⁿ ke ruang barisan ^p, (1p<).

Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan . Untuk bilangan asli n,

nmenyatakan himpunan semua pasangan atas n bilangan real, yaitu

n= .... (n factor) =



^x



^x₁,...,^xn



:^xi^dan1ⁱⁿ



.

Untuk titik xⁿ, persekitaran (neighborhood) titik x dengan jari- jari r> 0, dinotasikan dengan B( rx, )dan didefinisikan

B( rx, ) =



^{y: yn dan xy} _ ^r



^.

Untuk (1p<), ^p merupakan koleksi semua barisan x=

 

x_k W sehingga





^ 

1 k

p

xk atau ditulis,

p=

 







  



^ 

1

,

k p k

k W x

x

x . (Kreyszig, E, 1978).

47 Perlu diperhatikan bahwa fungsi f :Eⁿ ^p merupakan barisan fungsi

 

fk dengan f_k :Eⁿ , untuk setiap k(k 1,2,3,...) sehingga f

 

^{x =}

 

^fk^(x)

 ^p untuk setiap xE.

Selanjutnya jika f , g fungsi dari E ⁿ ke ^p didefinisikan nilai fungsi k f dan f + g sebagai berikut

(i) (k f ) (x) = k f (x), untuk setiap x E dan k suatu skalar.

(ii) ( f + g ) (x) = f (x) + g (x), untuk setiap x E.

Untuk setiap f 

 

fk dan g 

 

gk , untuk setiap kN didefinisikan

(i) f  g jika dan hanya jikaf_k g_k, yaitu ^fk

   

^x ^gk ^x , untuk setiap x E dan setiap kN.

(ii) f < g jika dan hanya jika f_k g_k, yaitu ^fk

   

^x ^gk ^x , untuk setiap x E dan setiap kN.

(iii)  g jika dan hanya jika f_k g_k, yaitu f_k(x)g_k(x), untuk setiap x E dan setiap kN.

Berikut ini diberikan definisi kekonvergenan barisan fungsi. Diberikan fungsi

p n

n f E

f , :   untuk setiap nN.

i) Barisan fungsi

 

fn dikatakan konvergen ke fungsi f pada E, ditulis dengan _n

n f



lim

= f atau lim f_n(x)

n = f (x ), jika untuk setiap x  E barisan

 

^fn^(x) konvergen ke f (x ), yaitu untuk setiap bilangan



> 0 danx  E terdapat bilangan asli m = m( ,x ) sehingga jika n m berakibat  

n x f x p

f ( ) ( ) .

ii) Barisan fungsi

 

fn dikatakan konvergen seragam ke fungsi f pada E jika untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli m = m() sehingga jika nm berakibat







n x f x p

f ( ) ( ) , untuk setiap x  E.

Selanjutnya karena sel E tertutup dan terbatas maka sel E merupakan himpunan kompak sehingga untuk setiap barisan fungsi yang konvergen pada sel E merupakan barisan fungsi yang konvergen seragam pada sel yang sama.

f

48 Berikut diberikan definisi, sifat dasar dan sifat lanjut dari integral Henstock dari ruang Euclide ⁿ ke ruang barisan ^p, (1p<).

Definisi 1.1 Diberikan fungsi volume  pada ⁿdan Eⁿ sel. Fungsi

p

E n

f :   dikatakan terintegral Henstock pada E, ditulis dengan



^{, ,}



* E ^p R

f   jika terdapat a 

 

ak ^p dengan sifat untuk setiap bilangan  0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap partisi Perron  -fine

 

  

^D,^x 



^Di,^xi



:ⁱ1,2,...,^r



D

 pada E berlaku

  

^{  }



^{  }

 p

r

i i i

p f x D a

a D x f

1

) ( ) ( )

( )

D

( ^.

Selanjutnya nilai a

 

a_k ^p yang dimaksud di atas disebut nilai integral- Henstock fungsi f pada E di tulis dengan ^



E

d f R

a ( *)  .

Definisi 1.2 Diberikan fungsi volume  pada ⁿ, E ⁿ sel, dan fungsi





ⁿ

f :k untuk setiap k, (k=1,2, ...). Barisan fungsi {fk} dikatakan terintegral-

Henstock serentak (Henstock Equi  -integrable) pada E dengan Fk sebagai primitifnya jika untuk setiap bilangan  0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap partisi Perron - fine

D

^

   

^D,x pada E berlaku

  ^D 

^fk

 

^x

 

^D ^Fk

 

^E ,untuk setiap k.

Teorema 1.3 (Kriteria Cauchy) Diberikan fungsi volume  padaⁿdanEⁿ sel.

Fungsi ^{f R*}



^E,p,



jika dan hanya jika untuk setiap bilangan  0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap dua partisi

D

1

  

^{D ,}1 ^x



^dan

 



^{D ,}2 ^x



2 

D

pada E berlaku

  _

^{ }

  _

^{ }

p

D x f D

x

f( ) ( ₁) ( ) ( ₂)

1

D

2

D

^.

Teorema 1.4 (Lemma Henstock) Diberikan fungsi volume  pada ⁿ dan sel En. Jika ^{f R*}



^E,p,



dengan F sebagai primitifnya, yaitu untuk setiap

49 bilangan  0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap partisi Perron

 -fine

D

^

   

^D,x pada E berlaku

  _

^{  }

p

E F D x

f( ) ( ) ( )

D

, maka untuk setiap jumlah bagian



1 dari

  D _

^berlaku

  ^D 

1 ^f(x)(D)^F(E) _p ^2.

Teorema 1.5 (Peluasan Harnack) Diberikan fungsi volume  pada ⁿ, sel E ⁿ, dan fungsi f :Eⁿ ^p. Himpunan X merupakan himpunan tertutup di dalam E dan {Ei} merupakan barisan himpunan tertutup sederhana yang tidak saling tumpang- tindih dengan



^





1

\

i

i E X

E . Jika ^{f R*}



^X,p,



^dan f R^*



Ei^,^p,



, untuk setiap i dengan



^





 p

i E_i

d f R

1

*)

(  maka



^{, ,}



* E ^p R

f   dan



^



^



^_



1

*

*

*) ( ) ( )

(

i E

X x

E _i

d f R d

f R d

f

R    .

Akibat 1.6 (Sifat Cauchy) Diberikan fungsi volume  pada ⁿ, sel Eⁿ, dan fungsi f :Eⁿ ^p. Barisan {Ei} merupakan barisan himpunan sederhana yang tidak saling tumpang-tindih dengan



^





1

0 i

i E

E , dengan E⁰ menyatakan himpunan

titik-dalam (interior point) sel E.. Jika f R*



E_i,^p,



, untuk setiap i dengan





^_





i E_i p

d f R

1

*)

(  maka ^{f R*}



^E,p,



^dan

_{ }

^

_





1

*

*) ( )

(

i E

E _i

d f R d

f

R  

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas tentang beberapa teorema kekonvergenan diantaranya yaitu kekonvergenan terintegral serentak dan teorema kekonvergenan fungsi yang memiliki sifat Unifomly Locally Small Riemann Sums (ULSRS).

50 Definisi 2.1 Diberikan fungsi volume  pada ⁿ, sel E ⁿ, dan fungsi

p n

k E

f :   untuk setiap k, (k=1,2,…). Barisan fungsi

 

f k dikatakan terintegral- serentak (Henstock Equi  -integrable) pada sel E jika untuk setiap bilangan  0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap partisi Perron

 –fine

D

^

   

^D,x pada E berlaku

  _  

^

^{ }

^

  _  

^{ }

E p k

k x D R f xd

f ^*

D

^,

untuk setiap k.

Definisi 2.2 Diberikan fungsi volume  pada ⁿ, sel Eⁿ dan fungsi

p n

k E

f :   untuk setiap k, (k=1, 2, 3, ....).

Barisan fungsi terukur

 

f k bersifat LSRS seragam atau Unifomly Locally Small Riemann Sums (ULSRS) pada selEⁿ jika untuk setiap bilangan  0 terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap yE dan untuk setiap partisi Perron  -fine

D

^

   

^{D,x pada sel CB}



^y,(y)



^{dan yC berlaku}

  ^D 

^fk

 

^x 

 

^D _p ^, untuk setiap k.

Lemma 2.3 Jika Barisan fungsi terukur

 

fk bersifat LSRS seragam pada selEⁿ dan f _k  f h.d. pada sel E maka fungsi f bersifat LSRS.

Bukti:

Tampa mengurangi arti dapat dianggap bahwa f_k  f pada sel E , karena jika f fungsi terintegral Henstock pada sel E dan g = f h.d. pada sel E maka g terintegral Henstock, lebih lanjut g merupakan fungsi bersifat LSRS pada sel E.

Jadi f _k  f berarti untuk setiap bilangan  0 dan untuk setiap xE terdapat bilangan positif k_0,x dengan sifat untuk setiap k  k_0,x berlaku

51

    _{ }

x E f x

f _k

k p 



 2

 .

Barisan fungsi terukur

 

^f_k bersifat LSRS seragam pada sel E ⁿ terdapat fungsi positif  pada E sehingga untuk setiap yE berlaku

  _  

^

^{ }

^

k x D p

D

f ^.

untuk setiap partisi Perron  -fine

D

^

   

^D,x pada sel ^CB



^y,(y)



^{dan yC}

untuk setiap k. Lebih lanjut untuk setiap partisi Perron  -fine

D

^

   

^D,x pada sel E, cacah titik terkait adalah hingga. Dengan demikian menurut lemma Henstock, untuk setiap partisi Perron  -fine

D

^

   

^{D,x pada sel CB}



^y,(y)



^{dan yC berlaku}

  _   ^{ }

^

p

D x

f 

D   ^D 

^f

 

^x

 

^D 

  ^D 

^{f k}

 

^x

 

^D _p 

   

k x p



f

D

3. Dengan ^{k maks}



^k_0,x^:xD



^.

Teorema 2.4 Jika Barisan fungsi terukur

 

fk adalah barisan fungsi terintegral Henstock serentak pada sel Eⁿ dan f_k  f h.d. pada sel E untuk k  maka

f terintegral Henstock pada sel E dan _

  _

^

  _

E E

k R^* f kd R^* fd

lim .

Bukti:

Tampa mengurangi arti dianggap f_k  f pada sel E. Berarti untuk setiap bilangan

0

 dan untuk setiap xE terdapat bilangan positif k dengan sifat untuk setiap _x k  k berlaku _x

    _{ }

x E f x

fk p 

 

 .

Barisan fungsi terukur

 

fk adalah barisan fungsi terintegral Henstock serentak pada sel En sehingga terdapat fungsi positif  pada sel E dengan sifat untuk setiap partisi Perron  -fine

D

^

   

^D,x pada E berlaku

52

   

^* ₁

) 2 ( )

(   _

 

^k

E p k

k x D R f d

f   

D

, untuk setiap k

Cacah titik terkait untuk setiap partisi Perron  -fine

D

^

   

^D,x pada E adalah hingga maka dapat diambil ^{K maks}



^k_x^:xD



^.

Dengan demikian untuk k,m N diperoleh

  _

^

  _

^

E E p

m

k d R f

f

R^*  ^*

   

E p k

k x D R f d



f ^{( )( ) *}



^

D

⁺

  ^D 

f k⁽x^)(D^)

  ^D 

fm

 

x^

^{ }

D _p⁺

   

E p m

m x D R f d



f ^{( )( ) *}



^

D

^



₂k ^

  ^D 

^f n

 

^{x  f} m

 

^x _p

^{ }

^{D +}



₂^k

    

^{ }



   



  D 3

E .

Jadi

 

^f _k merupakan barisan Cauchy, akibatnya

 

^f_k konvergen, katakan ke a. Berarti terdapat bilangan positif k₀ dengan sifat untuk setiap k k₀ berlaku

  _

^{  }

E p

kd a

f

R^* .

Untuk setiap partisi Perron  -fine

D

^

   

^{D,x pada E diambil}



^{k k x D}



maks

K ₀, x :  maka untuk setiap partisi Perron  -fine

D

^

   

^D,x pada E berlaku

  _

^{ }

a p

D x f( )( )

D   ^D 

f⁽x^)(D^)

  ^D 

f k

 

x^

^{ }

D _p⁺

   

E p k

k x D R f d



f ^{( )( ) *}



^

D

⁺

 

E p

k a

f R^*



^

3.

Dengan kata lain terbukti f terintegral Henstock pada sel E dan

  _

^

  _



 E E

k R^* f kd R^* fd

lim .

53 Teorema 2.5 Jika Barisan fungsi terukur

 

f k bersifat LSRS seragam pada sel

En maka

 

fk terintegral Henstock serentak pada sel E.

Bukti

Diketahui Barisan fungsi terukur

 

f k bersifat LSRS seragam pada selE , berarti untuk setiap bilangan  0 terdapat fungsi positif _* pada E dengan sifat untuk setiap

E

y dan untuk setiap partisi Perron _*-fine

D _*

^

   

^{D,x pada sel CB}



^y,(y)



^dan

C

y berlaku

    

^

 

^

p

k x D

*

f

D

^,

untuk setiap k.

Barisan fungsi terukur

 

fk konvergen h.d. pada sel E sehingga menurut Teorema Egoroff terdapat himpunan terbuka O dengan

 

^O _k

2

   dengan sifat

 

^f _k konvergen

seragam pada E \O. Jadi terdapat bilangan positif K₀ dengan sifat untuk setiap K0

k  berlaku

    _{ }

x D f x

f k p 



7

 , untuk setiap xE\O.

Untuk setiap k, fk R^*



E^,^p,



sehingga terdapat fungsi positif _k pada sel E dengan sifat untuk setiap dua partisi _k-fine 1

Dk^, 2

Dk pada E berlaku

  ^{ }

) 7 ( )

(     









 



 

p k

k x D f x D

f

2

D k k 1

D

^.

Diambil fungi positif  pada sel E dengan

         

         

 









 

O x setiap untuk O

x d x x

x

O E x setiap untuk x

x x x

K K

, , , ,..., ,

min

\ ,

,..., ,

min

0 0

1

* 1

*













  .

Maka untuk setiap dua partisi  -fine

D 1

^,

D 2

^{pada E}

1. Jika k K₀ diperoleh

  ^{ }

) 7 ( )

(     



 







 





 

p k

k x D f x D

f

D 2

D 1

^.

54 2. Jika k K₀

  ^{ }

) 7 ( )

(     



 







 





 

p k

k x D f x D

f

D 2

D 1



   

p K

k x D f x D



f ^_^{ }_^





 



  

) 0

( )

(

D 1

D 1

⁺

  ^{ }

p K

K x D f x D



f ^_^{ }_^





 



  

0

0( ) ( )

D 2

D 1

⁺



  ^{ }

^









 



 

p k

K x D f x D

f 

D 2



D 2

₀^{( ) ( )}

 







D 1     

^

   

^{ }

 _\ ⁰ 7

 



O p E x

K

k x D f x D

f

  ^{ }

O p x

k x D



f





 



D 1

 ^{+ }_^{ }_^

_   ^{ }

^

O p

x

K x D

f 

0

D 1



D 2



_   ^{ }

^

  ^{ }

^

EO p

x

K

k x D f x D

f

\

0 



  ^{ }

O p x

k x D



f





 



D 1

 ⁺

  ^{ }

O p x

K x D



f





 

 

0

D 1

 











 _{      }

 7 7 7 7 7 7 7 .

Jadi terbukti jika barisan fungsi terukur

 

f k bersifat LSRS seragam pada selE maka

 

fk terintegral Henstock serentak pada sel E.

Teorema 2.6 Jika Barisan fungsi terukur

 

^f _k bersifat LSRS seragam pada selEⁿ dan f_k  f h.d. pada sel E untuk k  maka fungsi f terintegral Henstock pada sel E dan _

  _

^

  _

E E

k R^* f kd R^* fd

lim .

Bukti:

Lemma 2.3 mengakibatkan fungsi f bersifat LSRS pada sel E dan sesuai dengan Teorema 2.5 diperoleh fungsi f terintegral Henstock pada sel E dan dengan menggunakan Teorema 2.4 dan Teorema 2.5 diperoleh _

  _

^

  _

E E

k R^* fkd R^* fd

lim ..

55 KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi yang terintegral Henstock dari ruang Euclide ⁿ ke ruang barisan ^p, (1p<).

Permasalahan-permasalahan lain yang perlu dikembangkan antara lain kajian mengenai teorema kekonvergenan Globally Small Riemann Sums fungsi yang terintegral Henstock dari ruang Euclide ⁿ ke ruang Barisan ^p,(1p<) serta aplikasinya pada disiplin ilmu lain.

DAFTAR PUSTAKA

Gordon, R. A, 1994, The Integral of Lebesque, Denjoy, Perron and Henstock, American Mathematical Society, USA

Indrati, Ch. R, 2002, Integral Henstock-Kurzweil di Dalam Ruang Euclide Berdimensi- n, Disertasi, Universitas Gadjah Mada, Indonesia

Kreyszig, E, 1978, Introduction Functional Analysis with Application, John Wiley and Sons

Lee, P. Y, 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, Word Scientific, Singapore.

Pfeffer, W. F, 1993, The Riemann Approach to Integration, Cambridge University Press, New York, USA

Royden, H. L, 1989, Real Analysis, third edition, Macmillan Publishing Company, New York, USA