KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR
Seg
Segala ala pujpuji i bagbagi i AllAllah ah SWT SWT yanyang g teltelah ah menmenoloolong ng hahambamba-Ny-Nya a menmenyelyelesaesaikaikann makalah ini
makalah ini dengan penuh kedengan penuh kemudahan. Tanpmudahan. Tanpa pertolongan Allah SWT munga pertolongan Allah SWT mungkin penyusunkin penyusun tidak akan sanggup menyelesaikannya dengan baik.
tidak akan sanggup menyelesaikannya dengan baik. Mak
Makalaalah h ini diini disussusun agaun agar pembr pembacaca dapa dapat menat mengetgetahuahui prosei proses pems pemececahaahan dann dan pengayaka
pengayakan n yang kami yang kami sajikan berdasarkan sajikan berdasarkan pengamatan dari pengamatan dari berbagai sumber. berbagai sumber. Makalah Makalah iniini di susun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penyusun di susun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penyusun maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari Tuhan akh
dari Tuhan akhirnya Makalah irnya Makalah ini dapat terselesaini dapat terselesaikan.ikan. Makalah
Makalah ini memuini memuat tentang at tentang “ Pengg“ Penggunaan unaan Aplikasi TuAplikasi Turunan ” runan ” dan sedan sengaja dngaja dipilihipilih karena menarik perhatian penulis untuk dicermati dan perlu mendapat dukungan dari semua karena menarik perhatian penulis untuk dicermati dan perlu mendapat dukungan dari semua pihak
pihak yang yang peduli peduli terhadap terhadap dunia dunia Kesehatan Kesehatan Penyusun Penyusun juga juga mengucapkamengucapkan n terima terima kasihkasih ke
kepapada da gugururu/d/dososen en pepembmbimimbibing ng yayang ng tetelalah h babanynyak ak memembmbanantu tu pepenynyususun un agagar ar dadapapatt menyelesaikan Makalah ini.
menyelesaikan Makalah ini. Semoga Makala
Semoga Makalah h ini dapat memberikaini dapat memberikan wawasan yang lebn wawasan yang lebih luas kepada pemih luas kepada pembaca.baca. Wala
Walaupun Makalaupun Makalah h ini memiliki kelebiini memiliki kelebihan dan han dan kekukekurangrangan. Penyusan. Penyusun mohon untuk saranun mohon untuk saran dan kritiknya. dan kritiknya. Wassalam Wassalam Penulis Penulis
BAB I BAB I PENDAHULUAN PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1.1 Latar Belakang Kalkulus (
Kalkulus (Bahasa LatinBahasa Latin:: calculuscalculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah
ca
cabanbang g ilmilmuu matematikamatematika yang yang mencmencakupakup limitlimit,, turunanturunan,, integralintegral, , ddaann derederet t taktetakterhingrhinggaga.. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana
Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometrigeometri adalah ilmu mengenaiadalah ilmu mengenai bentuk
bentuk dandan aljabar aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan sertaadalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta apl
aplikaikasinsinya. ya. KalKalkulkulus us memmemiliiliki ki aplaplikaikasi si yanyang g lualuas s dadalam lam bidbidangang-bid-bidangangsains,sains, ekonomi,ekonomi, dan
dan teknikteknik; ; sesertrta a dadapapat t memememecacahkhkan an beberbrbagagai ai mamasasalalah h yayang ng titidadak k dadapapat t didipepecacahkhkanan dengan
dengan aljabar elementer aljabar elementer ..
Kalkulus memiliki dua cabang utama,
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensialkalkulus diferensial dandan kalkulus integralkalkulus integral yangyang saling berhubungan melalui
saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulusteorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang m
meennuujju u ppeellaajjaarraan n mmaatteemmaattiikka a llaaiinnnnyya a yyaanng g lleebbiih h ttiinnggggii, , yyaanng g kkhhuussuuss mempelajari
mempelajari fungsifungsi dandan limitlimit, yang secara umum dinamakan, yang secara umum dinamakan analisis matematikaanalisis matematika..
Turunan merupakan salah satu bagian dari kalkulus yang mempunyai peranan yang Turunan merupakan salah satu bagian dari kalkulus yang mempunyai peranan yang sangat be
sangat besar sar baik dalam baik dalam bidang–bidanbidang–bidang lain mag lain maupun dalaupun dalam matematika m matematika itu sendiri. itu sendiri. DenganDengan mempelajari turunan, maka dapat
mempelajari turunan, maka dapat mempermudah kita dalam mempermudah kita dalam menyelesaikmenyelesaikan masalah–masalahan masalah–masalah yang berkaitan dengan fungsi, integral dan bidang kalkulus lainnya. Turunan juga dapat yang berkaitan dengan fungsi, integral dan bidang kalkulus lainnya. Turunan juga dapat di
digugunanakakan n ununtutuk k dadapapat t memengnggagambmbararkakan n grgrafafik ik susuatatu u fufungngsi si alaljajababar r yayaititu u dedengnganan menggunakan penerapannya. Untuk menentukan turunan suatu fungsi biasanya digunakan menggunakan penerapannya. Untuk menentukan turunan suatu fungsi biasanya digunakan konsep limit.
BAB 2 BAB 2 PEMBAHASAN PEMBAHASAN APLIKASI TURUNAN APLIKASI TURUNAN
I.1 Maksimum dan Minimum I.1 Maksimum dan Minimum Definisi:
Definisi:
Andaikan S, daerah a
Andaikan S, daerah asal dari f, mengandung sal dari f, mengandung titik c. Kita katakan bahwa:titik c. Kita katakan bahwa:
•
• f(c) adalah nilai maksimum f pada f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S;S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S; •
• f(c) adalah nilai minimum f pad f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;a S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S; •
• f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia ad f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minalah nilai maksimum atau minimum.imum. •
• Fungsi yang ingin kita maksimumka Fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adn atau minimumkan adalah fungsi objektif.alah fungsi objektif.
Teorema A Teorema A Teo
Teoremrema a kekeberberadaadaan an makmaksimsimum-um-minminimuimum m jikjika a f f padpada a selselang ang tuttutup up [a[a,b],b], , makmaka a f f mencapai nilai maksimum dan minimum disana.
mencapai nilai maksimum dan minimum disana. Dimana terjadinya nilai ekstrim?
Dimana terjadinya nilai ekstrim?
Nilai-nilai
Nilai-nilai ekstrim ekstrim dari dari fungsi fungsi yang yang didedinisikan didedinisikan pada pada selang selang tertutup tertutup seringkaliseringkali terjadi pada titik-titik ujung.
terjadi pada titik-titik ujung.
Jika c sebuah titik tempat f’(c) = 0 kita sebut c titik stasioner. Pada titik stasioner Jika c sebuah titik tempat f’(c) = 0 kita sebut c titik stasioner. Pada titik stasioner grafik f mendatar, karena garis
grafik f mendatar, karena garis singgung mendatar.singgung mendatar.
Jika c adalah titik didalam I tempat f aksen tidak ada, kita sebut c titik singular yang Jika c adalah titik didalam I tempat f aksen tidak ada, kita sebut c titik singular yang berupa titik
berupa titik tempat tempat grafik grafik f f berpojok tajam, berpojok tajam, garis garis singgung tegak, singgung tegak, atau atau berupa loncatan berupa loncatan atauatau didekatnya grafik bergoyang sanagt buruk. Sembarang titik dalam daerah asal fungsi f yang didekatnya grafik bergoyang sanagt buruk. Sembarang titik dalam daerah asal fungsi f yang termasuk salah satu dari tipe ini disebut titik kritis
termasuk salah satu dari tipe ini disebut titik kritis f.f. Teorema B
Teorema B
Teorema titik kritis: Teorema titik kritis:
Andaikan f terdefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika (c) adalah nilai ekstrim, Andaikan f terdefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika (c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:
maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:
•
• Titik ujung dari I;Titik ujung dari I; •
• Titik stasioner dari f(f’(c)=0); atauTitik stasioner dari f(f’(c)=0); atau •
• Titik singular dari f(f’(c) tidak Titik singular dari f(f’(c) tidak ada)ada)
Bukti: Bukti:
f (c) berupa nilai maksimum f pada
f (c) berupa nilai maksimum f pada I I dan andaikan c bukan titik ujung ataupun titikdan andaikan c bukan titik ujung ataupun titik
singular. Karena f(c) adalah nilai maksimum, maka f(x) ≥ f(c) untuk semua x dalam I yaitu singular. Karena f(c) adalah nilai maksimum, maka f(x) ≥ f(c) untuk semua x dalam I yaitu f(x) – f(c) ≤ 0
f(x) – f(c) ≤ 0 Jadi jika x < c,
Jadi jika x < c, sehingga x-c < 0 sehingga x-c < 0 maka maka (1) f(x) – f(c) ≥ 0 x – c se(1) f(x) – f(c) ≥ 0 x – c sedangkan jika x dangkan jika x > c, maka:> c, maka: (2) f(x) – f(c) ≤ 0 x – c Tetapi f’(c) ada, karena c bukan titik singular. Akibatnya bila kita (2) f(x) – f(c) ≤ 0 x – c Tetapi f’(c) ada, karena c bukan titik singular. Akibatnya bila kita biarkan
biarkan x x c¯ c¯ dalam dalam (1) (1) dan dan x x cc++dalam (2), kita memperoleh masing-masing f’(c) ≥ 0 dandalam (2), kita memperoleh masing-masing f’(c) ≥ 0 dan
f’(c) ≤ 0. kita
f’(c) ≤ 0. kita simpulkansimpulkan bahwa f’(c) = 0.
bahwa f’(c) = 0.
4.2 Kemonotonan dan
4.2 Kemonotonan dan kecekungankecekungan Definisi:
Definisi:
Andaikan f terdefinisi
Andaikan f terdefinisi pada selang I (pada selang I (terbuka, tertutup, atau terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dapat katakantak satupun). Dapat katakan bahwa:
bahwa:
•
• f naik pada I jika, untuk setiap pa f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan xsang bilangan x11dan xdan x22 dalam I,dalam I, •
• x x11< x< x22f(xf(x11 ) < f(x ) < f(x22 ) ) •
• f turun pada I jika, untuk setiap pa f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan sang bilangan x1 dan x2 dalam I,x2 dalam I, •
• x x11< x< x22f(xf(x11 ) > f(x ) > f(x22 ) ) •
• f monoton murni pada I jika f naik pada I atau tu f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I.run pada I.
Turunan pertama dan kemonotonan Turunan pertama dan kemonotonan
Turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik f Turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik f dititik x. Kemudian jika f’(x) > 0 maka garis singgung naik kekanan. Dan jika f’(x) < 0 maka dititik x. Kemudian jika f’(x) > 0 maka garis singgung naik kekanan. Dan jika f’(x) < 0 maka garis singgung turun
garis singgung turun kekanan.kekanan. Teorema A
Teorema A
Teorema kemonotonan: Teorema kemonotonan:
Andaikan f kontinue pada selang I dan terdefinisikan pada setiap titik-dalam dari I. Andaikan f kontinue pada selang I dan terdefinisikan pada setiap titik-dalam dari I.
•
• Jika f’(x) > 0 Jika f’(x) > 0 semua x titik-dalam I, maka f naik pada I.semua x titik-dalam I, maka f naik pada I. •
• Jika f’(x) < 0 Jika f’(x) < 0 semua x titik-dalam I, maka f turun pada Isemua x titik-dalam I, maka f turun pada I
Turunan kedua dan kecekungan Turunan kedua dan kecekungan
Suatu fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang bergoyang. Jika garis Suatu fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang bergoyang. Jika garis singgung berbelok secara tetap dalam arah yang berlawanan arah outaran jarum jam, kita singgung berbelok secara tetap dalam arah yang berlawanan arah outaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, dan
katakan bahwa grafik cekung ke atas, dan jika garis singguang berbelok searah putaran jarumjika garis singguang berbelok searah putaran jarum jam, maka grafik ce
jam, maka grafik cekung ke arah bkung ke arah bawah.awah.
Definisi kecekungan Definisi kecekungan
Andaikan f terdiferensialkan pada selang terbuka I, kita mengatakan bahwa f (dan grafiknya) Andaikan f terdiferensialkan pada selang terbuka I, kita mengatakan bahwa f (dan grafiknya) cekung ke atas pada I jika f’
cekung ke atas pada I jika f’ naik pada I, dan kita mengatakan bahwa f cekung ke bawah padanaik pada I, dan kita mengatakan bahwa f cekung ke bawah pada I jika f’ turun pada I.
I jika f’ turun pada I. Teorema A
Teorema A Teorema
Teorema kecekungakecekungan:n:
Andaikan f terdeferensiasikan dua kali pada selang buka I. Andaikan f terdeferensiasikan dua kali pada selang buka I.
•
• Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam I, Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I.maka f cekung ke atas pada I. •
• Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam I, Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I.maka f cekung ke bawah pada I.
Titik balik Titik balik
Andaikan f kontinue di c, kita sebut (c.
Andaikan f kontinue di c, kita sebut (c. f(c) f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung keatas) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung keatas
pada satu sisi d
pada satu sisi dan cekung ke an cekung ke bawah pada bawah pada sisi lainnya dari csisi lainnya dari c..
4.3 Maksimum dan Minimum Lokal 4.3 Maksimum dan Minimum Lokal Definisi
Definisi
Andaikan S daerah a
Andaikan S daerah asal dari f, mengandung titik c, dapsal dari f, mengandung titik c, dapat dikatakan bahwa:at dikatakan bahwa:
•
• f(c) adalah suatu nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang f(c) adalah suatu nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang
berisi c s
berisi c sehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f ehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f pada (a,b) simbol gabungan S;pada (a,b) simbol gabungan S;
•
• f(c) f(c) adalah suatu adalah suatu nilai minimum nilai minimum lokal dari lokal dari f jika f jika terdapat sebuah terdapat sebuah interval interval (a,b) yang (a,b) yang
berisi c s
berisi c sehingga f(c) adalah nilai minimum dari f ehingga f(c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b) simbol gabungan S;pada (a,b) simbol gabungan S;
•
• f(c) f(c) adalah adalah suatu suatu nilai nilai ekstrim ekstrim lokal lokal dari dari f f jika jika kedua-duanya kedua-duanya adalah adalah sebuah sebuah nilainilai
maksimum lokal atau sebuah nilai minimum lokal. maksimum lokal atau sebuah nilai minimum lokal. Teorema A
Teorema A
Uji turunan pertama: Uji turunan pertama:
Andaikan f kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c. Andaikan f kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c.
•
• Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai
maka f(c) adalah nilai maksimum lokal.maksimum lokal. •
• Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b),Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal.
maka f(c) adalah nilai minimum lokal. •
• Jika f(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.Jika f(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.
Bukti (i) Bukti (i)
Karena f’(x) > 0
Karena f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c), maka menurut teorema kemonotonan f untuk semua x dalam (a,c), maka menurut teorema kemonotonan f naik padanaik pada (a,c].
Karena f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f turun pada [c,b). Jadi f’(x) < f’(c) untuk Karena f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f turun pada [c,b). Jadi f’(x) < f’(c) untuk semua x dalam (a,b), kecuali tentu saja di x = c. Kita menyimpulkan bahwa f(c) adalah semua x dalam (a,b), kecuali tentu saja di x = c. Kita menyimpulkan bahwa f(c) adalah maksimum lokal. Demikian juga untuk bukti (ii) dan (iii).
maksimum lokal. Demikian juga untuk bukti (ii) dan (iii).
Teorema B Teorema B
Uji Turunan kedua: Uji Turunan kedua:
Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0.
f’(c) = 0. •
• Jika f”(c) < 0, f(c) Jika f”(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f.adalah nilai maksimum lokal f. •
• Jika f”(c) > 0, f(c) Jika f”(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.adalah nilai minimum lokal f.
1.
1. Kemonotonan dan KecekunganKemonotonan dan Kecekungan Definisi :
Definisi :
Andaikan
Andaikan f f terdefinisi pada selangterdefinisi pada selang I I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa :katakan bahwa :
i.i. f f adalah naik padaadalah naik pada I I jika untuk setiap pasang bilangan xjika untuk setiap pasang bilangan x11 dan xdan x22 dalamdalam I I , , xx11 < < xx22 →→
f(x
f(x11) < f(x) < f(x22))
ii.
ii. f f adalah turun padaadalah turun pada I I jika untuk setiap pasang bilangan xjika untuk setiap pasang bilangan x11dan xdan x22 dalamdalam I I , , xx11 > > xx22 →→
f(x
f(x11) > f(x) > f(x22))
iii.
iii. f f monoton murni padamonoton murni pada I I jika ia naik padajika ia naik pada I I atau turun padaatau turun pada I I Teorema A
Teorema A
(Teorema Kemonotonan)
(Teorema Kemonotonan). Andaikan. Andaikan f f kontinu pada selangkontinu pada selang I I dan dapat dideferensialkandan dapat dideferensialkan
pada setiap titik da
pada setiap titik dalam darilam dari I I
ii.. JJiikkaa f’ f’ (x) > 0 untuk semua titik (x) > 0 untuk semua titik dalam x daridalam x dari I, I,makamaka f f naik padanaik pada I I
iiii.. JJiikkaa f’ f’ (x) < 0 untuk semua titik (x) < 0 untuk semua titik dalam x daridalam x dari I, I,makamaka f f turun padaturun pada I I Turunan Pertama dan Kemonotonan
Turunan Pertama dan Kemonotonan
Ingat kembali bahwa turunan pertama
Ingat kembali bahwa turunan pertama f’ f’ (x) memberi kita kemiringan dari garis(x) memberi kita kemiringan dari garis
singgung
singgung f f dititik x, kemudian jikadititik x, kemudian jika f’ f’ (x) > 0, garis (x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jikasinggung naik ke kanan, serupa, jika f’ f’ (x) <(x) <
0, garis singgung jatuh ke
Turunan Kedua dan Kecekungan Turunan Kedua dan Kecekungan
Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam, grafik katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung ke bawah pada
cekung ke bawah pada I. I. Teorema B
Teorema B
(Teorema kecekungan).
(Teorema kecekungan). AndaikanAndaikan f f terdeferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).terdeferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).
ii.. JJiikkaa f’’ f’’ (x) > 0 (x) > 0 ntuk semua x dalam (a,b) makantuk semua x dalam (a,b) maka f f cekung ke atas pada (a,b)cekung ke atas pada (a,b)
iiii.. JJiikkaa f’’ f’’ (x) < 0 (x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) makantuk semua x dalam (a,b) maka f f cekung ke bawah pada (a,b)cekung ke bawah pada (a,b) Titik Balik
Titik Balik
Andaikan
Andaikan f f kontinu di c, kita sebut (c,kontinu di c, kita sebut (c, f f (c)) suatu titik balik dari grafik(c)) suatu titik balik dari grafik f f jikajika f f cekungcekung
ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah
menunjukkan sejumlah kemungkinan.kemungkinan. Gambar
Gambar
soal : soal :
Jika f(x) = x
Jika f(x) = x33+ 6x+ 6x22+ 9x + 3 + 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?cari dimana f naik dan dimana turun?
Penyelesaian: Penyelesaian: Mencari turunan f Mencari turunan f f’(x) = 3x f’(x) = 3x22+ 12x + 9= 3 (x+ 12x + 9= 3 (x22+ 4x + 3)= 3 (x+3)(X+1)+ 4x + 3)= 3 (x+3)(X+1)
Kita perlu menentukan (
Kita perlu menentukan ( x x +3) (+3) ( x x +1) > 0 dan (+1) > 0 dan ( x x +3) (+3) ( x x + 1) < 0 terdapat titik pemisah+ 1) < 0 terdapat titik pemisah
-3 dan -1, membagi sumbu
-3 dan -1, membagi sumbu x x atas tiga selang ( -∞, -3), (-3, -1) dan (-1, ∞). Dengan memakaiatas tiga selang ( -∞, -3), (-3, -1) dan (-1, ∞). Dengan memakai
titik uji -4, -2, 0 didapat
titik uji -4, -2, 0 didapat f f `(`( x x) > ) > 0 pada pertama dan akhir selan0 pada pertama dan akhir selang dang dan f f `(`( x x) < 0 pada selang) < 0 pada selang
tengah. tengah.
Jadi, f naik pada (-∞, -3] dan [
Jadi, f naik pada (-∞, -3] dan [-1, ∞) dan turun pada [-3, -1]-1, ∞) dan turun pada [-3, -1] Grafik
Grafik f f (-3) = 3(-3) = 3 f f (-1) = -1(-1) = -1 f f (0) = 3(0) = 3
2.
2. Maksimum dan Minimum LokalMaksimum dan Minimum Lokal Definisi :
Definisi :
Andaikan S, daerah asal
Andaikan S, daerah asal f f , memuat titik c. kita katakan bahwa :, memuat titik c. kita katakan bahwa :
i.i. f( f( c) nilai maksimum lokalc) nilai maksimum lokal f f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikianjika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian
sehingga
sehingga f f (c) adalah nilai (c) adalah nilai maksimummaksimum f f pada (a,b) ∩ Spada (a,b) ∩ S
ii.
ii. f f (c) nilai minimum lokal(c) nilai minimum lokal f f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikianjika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian
sehingga
sehingga f f (c) adalah nilai minimum(c) adalah nilai minimum f f pada (a,b) ∩ Spada (a,b) ∩ S
iii.
iii. f f (c) nilai ekstrim lokal(c) nilai ekstrim lokal f f jika ia berupa nilai maksimum lokal ata jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokalu minimum lokal
Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal.
ekstrim lokal.
GAMBAR MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL GAMBAR MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL
Teorema A Teorema A
(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)
(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan. Andaikan f f kontinu pada selang terbukakontinu pada selang terbuka
(a,b) yang memuat titik kritis c. (a,b) yang memuat titik kritis c.
ii.. JJiikkaa f’ f’ (x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’ f’ (x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),
maka
maka f f (c) adalah nilai maksimum lokal(c) adalah nilai maksimum lokal f f
iiii.. JJiikkaa f’ f’ (x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’ f’ (x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),
maka
maka f f (c) adalah nilai minimum lokal(c) adalah nilai minimum lokal f f
iiiiii.. JJiikkaa f’ f’ (x) bertanda sama pada kedua pihak c, (x) bertanda sama pada kedua pihak c, makamaka f f (c) bukan nilai ekstrim lokal(c) bukan nilai ekstrim lokal f f .. Teorema B
(Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal).
(Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). AndaikanAndaikan f f ’ dan’ dan f’’ f’’ ada pada setiap titik dalamada pada setiap titik dalam
selang terbuka (a,b) yang memuat c,
selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikandan andaikan f’ f’ (c) = 0(c) = 0 i.
i. JikaJika f’’ f’’ (c) < 0,(c) < 0, f f (c) adalah nilai maksimum lokal(c) adalah nilai maksimum lokal f f
ii. Jika
ii. Jika f’’ f’’ (c) > 0,(c) > 0, f f (c) adalah nilai minimum lokal(c) adalah nilai minimum lokal f f
Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini. Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.
soal :Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari
soal :Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f f (( x x) =) = x x33 – 3 – 3 x x22+4+4 pada ( -∞, ∞).pada ( -∞, ∞).
Penyelesaia Penyelesaian n :: f f `(`( x x) = 3) = 3 x x22– 6x = x(3– 6x = x(3 x x– 6)– 6) x=0 dan x= 2 x=0 dan x= 2 f f (2) =(2) =00 f f ((00) =) =44
fungsi memiliki nilai maksimum 4 fungsi memiliki nilai maksimum 4 (pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2) (pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2)
5
5.. PPeenneerraappaan n EEkkoonnoommiik k
Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p
bahwa p tergantung pada tergantung pada x. pendapatan total x. pendapatan total yang diharapkan ABC yang diharapkan ABC diberikan oleh diberikan oleh R(x) = R(x) = xx p(x), banyak sa
p(x), banyak satuan kali harga tiap stuan kali harga tiap satuan.atuan.
Untuk memproduksikan dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total Untuk memproduksikan dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total C(x). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar untuk C(x). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar untuk sebuah perusahaa
sebuah perusahaan adalah total laba n adalah total laba P(x), yakni slisih antara P(x), yakni slisih antara pendapatan dan biaya.pendapatan dan biaya.
P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) – C(x) P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) – C(x)
Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total
Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.labanya.
Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x) dan P(x) Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x) dan P(x) pada
pada umumnya umumnya didefinisikan didefinisikan hanya hanya untuk untuk x= x= 0,1,2,3,…..dan 0,1,2,3,…..dan sebagai sebagai akibatnya, akibatnya, grafiknyagrafiknya aka
akan n terterdirdiri i dardari i tittitik-ik-tittitik ik disdiskrikrit. t. AgaAgar r kitkita a dadapat pat memmemperpergungunakaakan n kalkalkulkulus, us, tittitik-ik-tittitikik tersebut kita hubungkan satu sama lainsehingga membentuk kurva. Dengan demikian, R,C, tersebut kita hubungkan satu sama lainsehingga membentuk kurva. Dengan demikian, R,C, dan P dapat dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan.
dan P dapat dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan.
Penggunaaan Kata Marjinal Penggunaaan Kata Marjinal
Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan ntuk sementara direncanakan Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan ntuk sementara direncanakan memproduksi 2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jika memproduksi 2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jika fungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai ∆C/∆X fungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai ∆C/∆X pada saat ∆x =
pada saat ∆x = 1. tetapi kita mengh1. tetapi kita mengharapkan bahwa arapkan bahwa ini akan sangaini akan sangat dekat terhadap nt dekat terhadap nilai Limilai Lim Pada saat x = 2000. ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc/dx, turunn C Pada saat x = 2000. ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc/dx, turunn C terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx.
marjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx. soal :
soal :
Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi 400
400satsatuan uan yanyang g perpertamtama, a, untuntuk uk memmemproprodukduksi si sasatu tu satsatuauan n tamtambabahan han diadiatas tas 400 400 hanhanyaya memerlukan biaya Rp. 1960.
memerlukan biaya Rp. 1960.
6.
6. Limit Limit di di KetakhinggaanKetakhinggaan, , Limit Limit Tak Tak TerhinggaTerhingga
Definisi-definisi Cermat Limit bila x→ ± ∞ Definisi-definisi Cermat Limit bila x→ ± ∞
Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii berikut. Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii berikut.
Definisi: Definisi:
(Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan (Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa
bahwa Lim Lim f(x) f(x) = = L L jika jika untuk untuk masing-masing masing-masing ε ε >0, >0, terdapat terdapat bilangan bilangan M M yang yang x→∞x→∞ berpadanan s
berpadanan sedemikian sehingedemikian sehinggaga X > M → │f(x) - L│ < ε
X > M → │f(x) - L│ < ε
Definisi: Definisi:
(Limit bila x → -∞). Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan (Limit bila x → -∞). Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika u
bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masinntuk masing-masing ε >0, terdapat bilangg ε >0, terdapat bilangan M yang x→ -∞an M yang x→ -∞ berpadanan s
berpadanan sedemikian sehingedemikian sehinggaga X < M → │f(x) – L│ < ε
Definisi: Definisi:
(Limit-limit tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x)
(Limit-limit tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan= ∞ jika untuk tiap bilangan x→c
x→c++ positif M, berpadanan suatu δ>0 demikian sehingga 0 < x – c < positif M, berpadanan suatu δ>0 demikian sehingga 0 < x – c < δ→ f(x) > δ→ f(x) > MM
Hubungan Terhadap Asimtot Hubungan Terhadap Asimtot
Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah asimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical. Dalam nafas asimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical. Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x) jika Lim f(x) = b atau yang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x) jika Lim f(x) = b atau Lim f(x) = b x→∞ x→ -∞ , Garis y = 0 adalah asimtot horizontal.
Lim f(x) = b x→∞ x→ -∞ , Garis y = 0 adalah asimtot horizontal.
7
7.. PPeennggggaammbbaarraan n GGrraaffiik k CCaannggggiihh
Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatka titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik. dapat menempatka titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik. Kita dapat menentukan secara persis dimana grafik naik atau
Kita dapat menentukan secara persis dimana grafik naik atau dimana cekung ke atas.dimana cekung ke atas.
POLINOM
POLINOM. . PoPolilinonom m dederarajajat t 1 1 atatau au 2 2 jejelalas s ununtutuk k di di gagambmbar ar grgrafafikiknynya, a, yayangng
berderajat
berderajat 50 50 hampir hampir mustahil. mustahil. Jika Jika derajatnya derajatnya cukup cukup ukurannya, ukurannya, misalka misalka 3 3 sampai sampai 6. 6. kitakita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.
dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.
FUNGSI RASIONAL
FUNGSI RASIONAL. Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom,. Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom,
lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang dram
perilaku yang dramatis dimanapun patis dimanapun penyebut nol.enyebut nol.
RING
RINGKASAN KASAN METOMETODEDE. . DalDalam am menmenggaggambambarkarkan n gragrafik fik funfungsigsi, , tidtidak ak terterdapdapatat
pengganti
pengganti untuk untuk akal akal sehat. sehat. Tetapi, Tetapi, dalam dalam banyak banyak hal hal prosedur prosedur berikut berikut akan akan sangatsangat membantu. membantu. soal : soal : Sketsakan grafik f(x) = (2x Sketsakan grafik f(x) = (2x55– 30x– 30x33)/108)/108 penyelesaia penyelesaian :n :
karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titik karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titik asal. Dengan menetapk
asal. Dengan menetapkan f(x) = an f(x) = 0 berarti {2x0 berarti {2x55– 30x– 30x33}/108 = 0 dan x}/108 = 0 dan x33(2x(2x22– 30)/108 = 0– 30)/108 = 0
ki
kita ta tetemumukakan n peperprpototonongagan n susumbmbu u x x adadalalah ah 0 0 dadan n 15 15 3,85 3,85 KeKemumudidian an kikitata deferensialkan f’(x) = (10x
deferensialkan f’(x) = (10x44 – 90x – 90x22)/108 = {10x)/108 = {10x22(x(x22-9)}/108-9)}/108
kita peroleh titik kritis -3, 0, 3 kita peroleh titik kritis -3, 0, 3
ff((--33) ) = = 3 3 ff((00) ) = = 00 ff((33) ) = = 1122
kemudian kita deferensialkan kembali f”(x) = (
kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0 kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0
ff((--22..11) ) = = 11..88 ff((22..11) ) = = --11.. ff((00) ) = = 00
8.Teorema Nilai Rata-Rata 8.Teorema Nilai Rata-Rata
Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus – tidak begitu penting, tetapi sering Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus – tidak begitu penting, tetapi sering kali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup
kali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam bahasa geometri,berarti. Dalam bahasa geometri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami.
teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. GAMBAR 1 dan 2
GAMBAR 1 dan 2
Teorema A Teorema A
(Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan)
(Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan). Jika. Jika f f kontinu pada selang tertutup [a,b] dankontinu pada selang tertutup [a,b] dan
terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana
dalam (a,b) dimana
f
f (b) – (b) – f f (a) / b – a =(a) / b – a = f’ f’ (c) (c) atau seatau secara secara setara, dimatara, dimanana f f (b) – (b) – f f (a) =(a) = f’ f’ (c) (b-a)(c) (b-a) Teorema B
Teorema B
Jika F’(x) = G’(x) untuk semua –x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian Jika F’(x) = G’(x) untuk semua –x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga F(x) = G(x) + C
sehingga F(x) = G(x) + C Untuk semua x dalam (a,b) Untuk semua x dalam (a,b) soal:
soal:
Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) =
Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = xx22– 3 pada [1,3]– 3 pada [1,3]
penyelesaia penyelesaian :n :
f’(x) = 2x dan {f(3) – f(1)}/ 3 – 1 = {6 – (-2)}/2 = 8/2 = 4, mjadi kita harus menyelesaikan 2C f’(x) = 2x dan {f(3) – f(1)}/ 3 – 1 = {6 – (-2)}/2 = 8/2 = 4, mjadi kita harus menyelesaikan 2C = 4 maka C = 2
= 4 maka C = 2 jawaban tungga
BAB III BAB III PENUTUP PENUTUP K K ESIMPULANESIMPULAN BEBERAPA
BEBERAPA APLIKASIAPLIKASI TURUNANTURUNAN
1.
1. K K OEFISIENOEFISIEN ARAHARAH GARISGARIS SINGGUNGSINGGUNG, , ((GARISGARIS NORMAL NORMAL,, GARISGARIS SINGGUNGSINGGUNG,, SUBSUB-- NORMAL NORMAL,, SUB
SUB--TANGENTANGEN).).
2.
2. LIMITLIMIT DENGANDENGAN BENTUK BENTUK TAKTENTUTAKTENTU ((DALILDALIL LL’’HOSPITALHOSPITAL))
3.
3. LAJULAJU PERUBAHANPERUBAHAN
4.
4. MAKSIMAMAKSIMA &&MINIMAMINIMA
Kalkulus
Kalkulus ((Bahasa LatinBahasa Latin:: calculuscalculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah
cabang ilmu
cabang ilmu matematikamatematika yang mencakupyang mencakup limitlimit,, turunanturunan,, integralintegral, dan, dan deret takterhinggaderet takterhingga.. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana
Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometrigeometri adalah ilmu mengenaiadalah ilmu mengenai bentuk
bentuk dandan aljabar aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan sertaadalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang
aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains,sains, ekonomiekonomi, dan, dan teknik
teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer
aljabar elementer ..
Kalkulus memiliki dua cabang utama,
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensialkalkulus diferensial dandan kalkulus integralkalkulus integral yangyang
saling berhubungan melalui
saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus.teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbangPelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari
menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsifungsi dandan limit
DAFTAR PUSTAKA DAFTAR PUSTAKA
Purcell, Edwin J. 2003.
Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus jilid 1 Kalkulus jilid 1. Jakarta: Erlangga. Jakarta: Erlangga
Sari, Intan. 2009.
Sari, Intan. 2009. PenggunaaPenggunaan turunan.n turunan.
http://nengint
http://nengintanmsari.wordpranmsari.wordpress.com/2009/0ess.com/2009/03/15/penggunaa3/15/penggunaan-turunan/n-turunan/ (diakses(diakses
tanggal 22 April 2012) tanggal 22 April 2012) Setiawan. 2004.
Setiawan. 2004. PDF Pengantar kalkulus PDF Pengantar kalkulus.. http://Depdiknas.yogyakarta.com/http://Depdiknas.yogyakarta.com/
(diakses taggal 22 April 2012) (diakses taggal 22 April 2012) Sutri
Sutrisno,asno,agunggung. . 20092009.. Matematika Matematika dasardasar..WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COMWWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM ((diakses tanggal 22 April 2012)diakses tanggal 22 April 2012)
