MAKALAH INTERPOLASI MAJU Makalah ini Dia

MAKALAH INTERPOLASI MAJU

Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas

Mata Kuliah Metode Numerik

Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc

Disusun oleh: Kelompok 5/7A2

1. Paryati Dwi Jayanti (14144100021)

2. Ariyandhini Mukti Dwi Pertiwi (14144100039)

3. Eka Novi Lestari (14144100049)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

KATA PENGANTAR

Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT, yang atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan makalah metode numerik dengan harapan dapat bermanfaat dalam menambah ilmu dan wawasan kita.

Makalah ini dibuat dalam rangka memenuhi tugas mata kuliah metode numerik. Dalam membuat makalah ini, dengan keterbatasan ilmu pengetahuan yang penyusun miliki, penyusun berusaha mencari sumber data dari berbagai sumber informasi, terutama dari media internet dan media cetak. Penyusun juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah ikut serta membantu dalam pembuatan makalah ini dan beberapa sumber yang kami pakai sebagai data dan acuan.

Dalam penulisan makalah ini penyusun merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan keterbatasan kemampuan yang penyusun miliki. Tidak semua bahasan dapat dideskripsikan dengan sempurna dalam makalah ini. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penyusun harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini.Akhirnya kami selaku penyusun berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pembaca.

Yogyakarta, Desember 2017

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR...i

DAFTAR ISI...ii

BAB I...1

PENDAHULUAN...1

A. Latar Belakang...1

B. Rumusan Masalah...1

C. Tujuan...2

BAB II...3

KAJIAN PUSTAKA...3

A. Metode Numerik...3

B. Angka Signifikan/Bena...4

1. Pengertian Angka Bena...4

2. Aturan-aturan tentang Angka Bena...5

3. Aturan Pembulatan...7

4. Aturan-aturan pada Operasi Aritmetika Angka Bena...8

5. Contoh Soal...8

C. Deret Taylor...9

1. Pengertian Deret Taylor...9

2. Contoh SoalDeret Taylor...10

D. Deret Mc. Laurin...12

1. Pengertian Deret Mc. Laurin...12

2. Contoh SoalDeret Mc. Laurin...12

E. Error/Galat...13

1. Pengertian Error/Galat...13

2. Nilai Galat...14

3. Macam-macam Error/Galat...15

F. Metode Biseksi...17

1. Pengertian Metode Biseksi...17

3. Algoritma Metode Biseksi...18

G. Metode Regula Falsi...19

1. Pengertian Metode Regula Falsi...19

2. Algoritma Metode Regula Falsi...21

H. Metode Newton Rapshon...21

1. Pengertian Metode Newton Raphson...21

2. Algoritma Newton Raphson...21

I. Metode Secant...22

1. Pengertian Metode Secant...22

2. Algoritma Metode Secant...22

BAB III...24

PEMBAHASAN...24

A. Pengertian Polinom Interpolasi Maju...24

B. Algoritma Polinom Interpolasi Maju...28

C. Contoh Soal dan Penyelesaian Polinom Interpolasi Maju...28

BAB IV...31

STUDI KASUS...31

BAB V...33

KESIMPULAN...33

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang

Metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Secara harafiah metode numerik berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Perhitungan ini melibatkan sejumlah besar operasi-operasi hitungan yang berulang-ulang.

Interpolasi adalah suatu cara untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui. Dalam kehidupan sehari-hari, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi di mana fungsi tersebut tidak terdaftar dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data-data atau tabel yang tersedia.

Ada berbagai macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah interpolasi linier, interpolasi kuadrat, dan interpolasi polinomial. Dengan berbagai macam metode antara lain metode Newton dan metode Lagrange, namun disini kita akan membahas dengan metode Newton. Berdasarkan dua macam tabel selisih tersebut, maka ada dua macam Polinom Newton-Gregory, yaitu polinom Newton-Gregory Maju dan Polinom Newton-Gregory Mundur atau dapat disebut Polinom Newton Maju dan Polinom Newton Mundur

B. Rumusan Masalah

1. Apa pengertian Polinom Newton Maju?

2. Bagaimanakah algoritma dari Polinom Newton Maju?

3. Bagaimanakah contoh dan penyelesaian dengan menggunakan Polinom Newton Maju

C. Tujuan

Tujuan yang ingin dicapai dalam penyusunan makalah ini adalah: 1. Memahami apa yang dimaksud dengan Polinom Newton Maju. 2. Memahami algoritma dari Polinom Newton Maju

3. Memahami bagaimana cara menyelesaikan persoalan non linier menggunakan Polinom Newton Maju

BAB II

KAJIAN PUSTAKA A. Metode Numerik

Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan menggunakan

operasi hitungan (arithmatic) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi.

Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Solusi dari metode numerik selalu berbentuk angka dan menghasilkan solusi hampiran. Hampiran, pendekatan, atau aproksimasi (approximation) didefinisikan sebagai nilai yang mendekati

solusi sebenarnya atau sejati (exact solution). Sedangkan galat atau kesalahan

(error) didefinisikan sebagai selisih nilai sejati dengan nilai hampiran.

Metode numerik dapat menyelesaikan permasalahan matematis yang sering nonlinier yang sulit diselesaikan dengan metode analitik. Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberi solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol. Jika terdapat penyelesaian secara analitik, mungkin proses penyelesaiannya sangat rumit, sehingga tidak effisien. Contohnya: menentukan akar-akar polynomial. Jadi, jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin digunakan dengan metode analitik maka kita dapat menggunakan metode numerik sebagai alternatif penyelesaian persoalan tersebut.

Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah. Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul

pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan)

Penggunaan metode numerik biasanya digunakan untuk menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, yaitu:

1. Menyelesaikan persamaan non linear 2. Menyelesaikan persamaan simultan 3. Menyelesaikan differensial dan integral 4. Menyelesaikan persamaan differensial 5. Interpolasi dan Regresi

6. Masalah multivariabel untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat

Keuntungan penggunaan Metode Numerik: 1. Solusi persoalan selalu dapat diperoleh

2. Dengan bantuan komputer, perhitungan menjadi cepat dan hasilnya dapat dibuat sedekat mungkin dengan nilai sesungguhnya

Kekurangan penggunaan Metode Numerik:

1. Nilai yang diperoleh adalah hampiran(pendekatan)

2. Tanpa bantuan alat hitung (komputer), perhitungan umumnya lama dan berulang-ulang.

B. Angka Signifikan/Bena 1. Pengertian Angka Bena

Angka bena (significant figure) atau angka berararti telah dikembangkan secara formal untuk menandakan keandalan suatu nilai numerik.Angka bena merupakan jumlah angka yang digunakan sebagai batas minimal tingkat keyakinan.Angka bena terdiri dari angka pasti dan angka taksiran.Letak angka taksiran berada di akhir angka bena.

Contoh:

2. Aturan-aturan tentang Angka Bena

a. Angka bena adalah setiap angka yang bukan nol pada suatu bilangan Contoh:

Bilangan 4678; terdiri dari 4 angka bena Bilangan 987, 654; terdiri dari 6 angka bena Bilangan 4550679; terdiri dari 7 angka bena

b. Angka bena adalah setiap angka nol yang terletak di antara angka-angka bukan nol.

Contoh:

Bilangan 2001; terdiri dari 4 angka bena Bilangan 201003 terdiri dari 6 angka bena

Bilangan 2001, 400009 terdiri dari 10 angka bena

c. Angka bena adalah angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan dibelakang tanda desimal.

Contoh:

Bilangan 23, 3000; terdiri dari 6 angka bena Bilangan 3, 10000000 terdiri dari 9 angka bena Bilangan 345, 60000000 terdiri dari 11 angka bena

d. Dari aturan b dan c dapat diberikan contoh angka bena adalah sebagai berikut:

Bilangan 34, 060000; terdiri dari 8 angka bena

Bilangan 0, 00000000000000566; terdiri dari 3 angka bena Bilangan 0, 600; terdiri dari 3 angka bena

Bilangan 0, 060000; terdiri dari 5 angka bena

Bilangan 0, 000000000000005660; terdiri dari 4 angka bena

e. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol terakhir dan tanpa tanda desimal bukan merupakan angka bena.

Contoh:

f. Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama bukan merupakan angka bena.

Contoh:

Bilangan 0, 0000023; terdiri dari 2 angka bena

Bilangan 0, 000000000002424; terdiri dari 4 angka bena Bilangan 0, 12456; terdiri dari 5 angka bena

g. Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir, dan terletak di depan tanda deimal merupakan angka bena. Contoh:

Bilangan 340, 67; terdiri dari 5 angka bena Bilangan 123000, 6; terdiri dari 7 angka bena

h. Untuk menunjukkan jumlah angka bena, kita dapat memberi tanda pada angka yang merupakan batas angka bena dengan garis bawah, garis atas, atau cetak tebal

Contoh:

56778 adalah bilangan yang memiliki 5 angka signifikan

56778

_{adalah bilangan yang memiliki 5 angka signifikan}

56778 adalah bilangan yang memiliki 5 angka signifikan

Penulisan angka bena dalam notasi ilmiah mengikuti aturan bentuk

umum notasi ilmiah yaitu a×10n _dengan a _{adalah bilangan riil yang}

memenuhi

1

≤|

a

|<

10

dan n adalah bilangan bulat.

Contoh:

Bilangan 29000 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi

2,9

×

10

4

Bilangan 2977000 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi

2,977

×

10

6

Bilangan 14, 98 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi 1,498×101

Bilangan -0, 00029 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi

−

2,9

×

10

−4

3. Aturan Pembulatan

Pembulatan suatu bilangan berarti menyimpan angka bena dan membuang bukan angka bena dengan mengikuti aturan-aturan berikut: a. Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih besar dari 5, maka digit

terakhir dari angka bena ditambah 1. Selanjutnya buang bukan angka bena.

Contoh:

Jika bilangan 567864 akan dibulatkan menjadi 4 angka bena, maka ditulis menjadi 5679

Jika bilangan 145,89 akan dibulatkan menjadi 4 angka bena, maka ditulis menjadi 145,9

Jika bilangan 123,76 akan dibulatkan menjadi 3 angka bena, maka ditulis menjadi 124

b. Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih kecil dari 5, maka buang bukan angka bena

Contoh:

Jika bilangan 123,74 akan dibulatkan menjadi 4 angka bena, maka ditulis menjadi 123,7

Jika bilangan 13416 akan dibulatkan menjadi 3 angka bena, maka ditulis menjadi 134

c. Jika digit pertama dari bilangan bukan angka bena sama dengan 5, maka:

1) Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit terakhir angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka tidak signifikan

Jika bilangan 13,356 akan dibulatkan menjadi 3 angka bena, maka ditulis menjadi 13,4

2) Jika digit terakhir dari angka signifikan genap, maka buang angka tidak signifikan

Contoh:

Jika bilangan 13,456 akan dibulatkan menjadi 3 angka bena, maka ditulis menjadi 13,4

4. Aturan-aturan pada Operasi Aritmetika Angka Bena

a. Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh mempunyai angka dibelakangkoma sebanyak angka di belakang koma yang paling sedikit pada bilanganbilanganyang dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan.

Contoh

0,4567 + 4,677 = 5,1337 (dibulatkan menjadi 5, 134) 345,31 + 3,5= 348,81 (dibulatkan menjadi 348, 8)

b. Hasil perkalian atau pembagian hanya bolehmempunyai angka bena sebanyak bilangan dengan angka bena paling sedikit.

Contoh:

 6, 78 x 8, 9123 = 60, 425394 ditulis menjadi 60, 4

 420 : 2, 1 = 200 ditulis menjadi 2, 0 x 102

 46, 5 x 1,4 = 65, 1 ditulis menjadi 6, 5 x 101

5. Contoh Soal

a. [(4,84 : 0, 40) x 2, 32] – [9, 12 x (4, 05 x 0, 212)] b. [(3, 12 x 4, 87) + (0, 49 : 0, 7)]

c. 0, 00000121 : 1, 1

Penyelesaian

a. [(4,84 : 0, 40) x 2, 32] – [9, 12 x (4, 05 x 0, 212)] = [12, 1 x 2, 32] – [9, 12 x 0, 8586]

Pembulatan sesuai aturan angka bena pada perkalian dan pembagian = [12 x 2, 32] – [9, 12 x 0, 859]

= 27, 84 – 7, 83408

Pembulatan sesuai aturan angka bena pada perkalian = 28 – 7, 83

= 20, 17

Pembulatan sesuai aturan angka bena pada pengurangan = 20

b. [(3, 12 x 4, 87) + (0, 49 : 0, 7)] = [15, 1944 + 0, 7]

Pembulatan sesuai aturan angka bena pada perkalian dan pembagian = [15, 2 + 0, 7]

= 15, 9

c. 0, 00000121 : 1, 1 = 1, 1 x 10-6

d. Banyak angka penting dari bilangan 0, 50300 adalah 5 angka penting

C. Deret Taylor

1. Pengertian Deret Taylor

Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.

Teorema Taylor: Hanya ada satu deret pangkat dalam x-c memenuhi untuk f(x) sehingga:

= n

∑

=0

∞

a

_n

(

x

−

c

)

n

Berlaku untuk semua dalam beberapa interval di sekitar c dengan

a

_n

=

f

Teorema tersebut dijelaskan sebagai berikut:

Jika f(x) kontinu dalam selang (c-h, c+h) dengan 0 ≤ h ≤ ∞ dan andaikan f didefinisikan sebagai:

(1)

f

(

x

)=

a

0

+

a

1

(

x

−

c

)+

a

2

(

x

−

c

)

2

+

a

3

(

x

−

c

)

3

+

...

+

a

n

(

x

−

c

)

n

+

...

Untuk semua x dalam selang (c-h, c+h), maka:

f '(x)=a₁+2a₂(x−c)+3a₃(x−c)2+4a₄(x−c)3+5a₅(x−c)4+6a₆(x−c)5+...

f''(x)=2a₂+2.3a₃(x−c)+3.4a₄(x−c)2+4 .5a₅(x−c)3+5.6a₆(x−c)4+...

f'''(x)=2.3a3+2.3. 4a4(x−c)+3. 4.5a5(x−c)2+4 .5.6a6(x−c)3+... ...

fn(x)=n ! a_n+(n+1)! a_n+1(x−c)+(n+2)! a_n+2(x−c)2+(n+3)! a_n+3(x−c)3+...

Jika pada fungsi-fungsi turunan tersebut ditetapkan x = c maka diperoleh:

Jadi deret taylor dari f(x)=ln x di sekitar x = h adalah

1. Pengertian Deret Mc. Laurin

Bila deret taylor diterapkan c = 0, maka terjadi deret Mac. Laurin yaitu:

f

(

x

)=

f

(

0

)+

f '

(

0

)

Sering dikatakan deret taylor daalam bentuk x – c dari suatu f (x) adalah uraian Taylor tentang f di sekitar titik c, sedangkan deret Mac. Laurin uraian Maclaurin tentang f di sekitar titik asal (c = 0).

2. Contoh SoalDeret Mc. Laurin

a. Deretkan

f

(

c

)=

e

x di sekitar c = 0

E. Error/Galat

1. Pengertian Error/Galat

Error/Galat/kesalahan berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya maka semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.

Galat= |Nilai sejati ( nilai sebenarnya ) –Nilai hampiran (aproksimasi)| Ukuran galat kurang bermakna karena tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat tersebut , maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat relatif.

ε_r=ε_R=ε

a

dengan

ε

_{r = error relatif sebenarnya}

a _{= nilai sebenarnya}

Contoh:

Misalkan nilai sejati = 20/ 6 dan nilai hampiran = 3, 3333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif, dan galat relatif hampiran

Penyelesaian

Galat relatif hampiran = 2

6000

3,333=

2. Nilai Galat

Besarnya kesalahan atas suatu nilai taksiran dapat dinyatakan secara kuantitatif dan kualitatif. Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kuantitatif disebut kesalahan absolut. Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kualitatif disebut dengan kesalahan relatif.

Nilai eksak dapat diformulasikan sebagai hubungan antara nilai perkiraan dan nilai kesalahan sebagai berikut:

v=v'+ε Dimana:

v = nilai eksak v’ = nilai perkiraan

ε _{= nilai kesalahan/galat}

Berikut adalah penjelasan dari kesalahan absolut dan kesalahan relatif. a. Kesalahan Absolut

Kesalahan absolut menunjukkan besarnya perbedaan antara

nilai eksak dengan nilai perkiraan:

ε

=|

v

−

v

'

|

Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan, tetapi hanya sekedar menunjukkan selisih perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan.

b. Kesalahan Relatif

Kesalahan relatif menunjukkan besarnya tingkat kesalahan antara nilai perkiraan dengan nilai eksaknya yang dihitung dengan membandingkan kesalahan absolut terhadap nilai eksaknya (biasanya dinyatakan dalam %)

ε

_r

=|

ε

a

v

|×

100

dengan:

v = nilai eksak

ε

_{a = kesalahan absolut}

Semakin kecil kesalahan relatifnya, maka nilai perkiraan yang diperoleh akan semakin baik.

Contoh:

Pengukuran kabel listrik 40 meter dari sebuah toko alat-alat elektronika. Setelah diukur ulang oleh pembeli A, kabel tersebut memiliki panjang 39, 96 meter. Berapa kesalahan absolut dan kesalahan relatif hasil pengukuran yang dilakukan oleh si pembeli?

Penyelesaian

Diketahui: v = 40 meter v’= 39, 96 meter

Ditanya: Berapa besar kesalahan absolut dan kesalahan relatif? Jawab:

Kesalahan absolut:

ε

a

=|

40

−

39

,

96

|=

0,04

_meter

Kesalahan relatif: εr=|

0, 04

40 |×100=0,1 _meter

3. Macam-macam Error/Galat

Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai sebenarnya. Berikut adalah tiga macam kesalahan dasar:

a. Galat Bawaan (Inhern)

Galat bawaan biasanya merujuk pada galat dalam nilai data yang terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hokum-hukum fisik dari data yang diukur.

Beberapa batas yang mungkin pada galat inheren diketahui:2,3± 0,1 detik. Berhubungan dengan galat pada data yg dioperasikan oleh suatu komputer dengan beberapa prosedur numerik.

b. Galat Pemotongan

Pengertian galat pemotongan biasanya merujuk pada galat yang disebabkan oleh penggantian ekspresi matematika yang rumit dengan rumus yang lebih sederhana. Istilah ini berawal dari kebiasaan mengganti suatu fungsi rumit dengan deret Taylor terpotong (hanya diambil berhingga suku).

Contoh :

Deret Taylor tak berhingga : Sin x

Dapat dipakai menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian. Jelas kita tidak dapat memakai semua suku dalam deret untuk perhitungan, karena deretnya tak berhingga; kita berhenti sesudah sampai pada sejumlah suku yang berhingga, misalnya x7 _{atau x}9_.

Suku-suku yang dihilangkan (jumlahnya tak berhingga) menghasilkan suatu galat dalam hasil perhitungan. Galat ini disebut galat pemotongan atau pemenggalan, yaitu yang disebabkan oleh pemotongan suatu proses matematika yang tak berhingga.Kebanyakan prosedur yang dipakai dalam perhitungan numerik adalah tak berhingga, sehingga galat jenis ini penting untuk dipelajari.

c. Galat Pembulatan

Akibat pembulatan angka Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka:

Penjumlahan 9,26536 + 7,1625 = 16,42786

F. Metode Biseksi

1. Pengertian Metode Biseksi

Ide awal metode ini adalah metode tabel, di mana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Dinamakan metode biseksi (Bi Section) didasarkan atas teknis metode ini adalah “belah dua”. Metode Biseksi diformulasikan

berdasarkan Teorema 1.1 yang menyatakan bahwa bila fungsi�(x) kontinu

dalam selang/interval (a,b), dan�(�) dan�(b) berlawanan tanda, maka�(�) = 0 untuk suatu bilangan α sedemikian hingga �<α< b .

Dengan metode Biseksi, nilai α pertama kali diaproksimasi dengan

memilih x0 yang didefinisikan dengan x0 = a

+b

2 . Bila�(x0) = 0 atau�(x0)

“dekat” kepada nilai 0 untuk suatu nilai toleransi yang diberikan maka x0

adalah nilai akar dari �(x0) = 0. Sebaliknya bila �(x0) ≠ 0 atau �(x0) “dekat”

kepada nilai 0 tetapi tidak memenuhi suatu nilai toleransi yang diberikan, maka berdasarkan Teorema 1.1 ada dua kemungkinan yakni nilai akar berada di antara � dan xo atau nilai akar berada di antara xo dan b.

Gambar 2. Grafik Metode Biseksi

2. Langkah menggunakan metode biseksi

a. Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan

batas bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah :

x = a+b

2

b. Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan : f(a) . f(b) < 0

c. Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

3. Algoritma Metode Biseksi

a. Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya b. Tentukan nilai a dan b

e. Jika f(a) . f(b)> 0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan

f. Hitung x = a+₂b

g. Hitung f(x)

h. Bila f(x) . f(a) < 0 maka b = x dan f(b) = f(x), bila tidak a = x dan f(a) = f(x)

i. Jika |b-a| < e atau iterasi > iterasi maksimum maka proses dihentikan

dan didapatkan akar = x, dan bila tidak, ulangi langkah 6.

G. Metode Regula Falsi

1. Pengertian Metode Regula Falsi

Metode regula falsi disebut juga metode Interpolasi Linear atau metode Posisi Salah adalah metode yang digunakan untuk mecari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi. Metode regula falsi merupakan metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selilih tinggi dari dua titik batas range. Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan metode Regula Falsi merupakan modifikasi dari Metode Bisection dengan cara memperhitungkan ‘kesebangunan’ yang dilihat pada kurva berikut:

Gambar 3. Representasi grafis metode Regula-Falsi

Metode Regula Falsi menetapkan hampiran akar sebagai perpotongan antara garis yang melalui titik [a, f(a)] dan titik [b, f(b)] dengan sumbu-x.

Perhatikan kesebangunan antara Δ Pcb dan Δ PQR pada Gambar 1 , sehingga didapatkan persamaan berikut dapat digunakan:

Pb

bc

=

PR

RQ

Diketahui :

Tabel 1. Koordinat titik-titik pada Gambar 1 Koordina

t

Titik koordinat

A (a, 0)

B (b, 0)

C (c, 0)

P (b, f(b))

Q (a, f(a))

R (c, f(c))

Dari persamaan di atas diperoleh: f(b)−0

b−c =

f(b)−f(a) b−a Sehingga

c=b− f(b)

(

b−a

)

(

f(b)−f(a)

)

Persamaan di atas disebut sebagai persamaan rekursif dari metode

Regula Falsi.Nilai c merupakan nilai akar x yang dicari. Sehingga jika

dituliskan dalam bentuk yang lain, nilai akar x adalah sebagai berikut:

x=b− f(b)

(

b−a

)

(

f(b)−f(a)

)

Pada kondisi yang paling ekstrim |b – ar| tidak pernah lebih kecil dari

ε _{, sebab salah satu titik ujung selang, dalam hal ini b, selalu tetap untuk}

iterasi r = 1,2,3,..... Titik ujung selang yang tidak berubah itu dinamakan

titik mandek (stagnan point). Pada titik mandek,

|br – ar| = |b – ar| , dimana r = 1,2,3,...

Yang dapat mengakibatkan program mengalami looping. Untyk

mengatasi hal ini, kondisi berhenti pada algoritma Regula-Falsi harus

ditambah dengan memeriksa apakah nilai f(x) sudah sangat kecil hingga

mendekati nol.

2. Algoritma Metode Regula Falsi

Algoritma Metode Regula Falsi secara singkat dapat dijelaskan sebagai berikut:

a. Definisikan fungsi f(x)

b. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)

c. Tentukan toleransi error ( ε ) dan iterasi maksimum (n)

d. Tentukan nilai fungsi f(a) dan f(b)

e. Untuk iterasi I = 1 s/d n

x=b− f(b)

(

b−a

)

(

f(b)−f(a)

)

 Hitung nilai f(x)

 Hitung error = | f(x)|

 Jika f(a).f(x)≤0 _{maka a = c jika tidak b = c}

 Jika | f(x)| ¿ ε , hentikan Iterasi

H. Metode Newton Rapshon

1. Pengertian Metode Newton Raphson

Metode newton raphson termasuk metode terbuka seperti halnya metode iterasi titik tetap. Rumus yang digunakan pada metode Newton-Raphson dapat diturunkan secara grafis maupun perluasan deret Taylor.

2. Algoritma Newton Raphson

Algoritma pada metode newton raphson adalah sebagai berikut:

a. Tentukan harga fungsi f(xi)

b. Tentukan Harga Awal xi

c. Tentukan Interval = [a;b] dengan jumlah pembagi ∇h

d. Tentukan toleransi kesalahan εs dan iterasi maksimum n (jika

belum ditentukan)

e. Hitung nilai fungsi f(xi) dan turunannya f '(xi)

f. Hitung nilai xi+! menggunakan rumus:

x_i+1=x_i− f(xi)

f '(x_i)

g. Hitung kesalahan dan bandingkan dengan toleransi kesalahan yang diizinkan

1) Jika εa>εs , maka ulangi langkah ke-2

2) Jika εa<εs , maka iterasi selesai dan xi+1 sebagai akar

persamaan

h. Akar persamaan adalah xi terakhir yang diperoleh.

I. Metode Secant

1. Pengertian Metode Secant

2. Algoritma Metode Secant

Algortima pada metode Secant yaitu:

a. Definisikan fungsi f(x)

b. Definisikan toleransi eror (εs)

c. Taksir batas atas xidan batas bawah xi-1.

d. Tentukan f(xi) dan f(xi-1). Jika f(xi) = f(xi-1) maka iterasi tidak

dilanjutkan, tetapi jika f(xi) = f(xi-1) maka iterasi dilanjutkan.

e. Lakukan iterasi dengan menghitung nilai taksiran akar selanjutnya dengan:

x_i+1=x_i−f(xi)(xi−xi−1)

f(x_i)−f(x_i−1)

f. Iterasi berhenti jika εrh ≤ εs, dengan:

a.

ε

_rh

=|

x

i+1

−

x

i

BAB III PEMBAHASAN

A. Pengertian Polinom Interpolasi Maju

Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titik-titik yang berjarak sama. Untuk titik-titik yang berjarak sama, rumus polinom Newton menjadi lebih sederhana. Selain itu, tabel selisih-terbagi pun lebih mudah terbentuk yang disebut dengan tabel selisih. Dinamakan dengan tabel selisih karena tidak ada proses pembagian dalam pembentukan elemen tabel. Ada dua macam tabel selisih, yaitu tabel selisih maju (forward difference), dan tabel selisih mundur (backward difference). Berdasarkan dua macam tabel selisih tersebut, maka ada dua macam polinom Newton-Gregory, yaitu polinom Newton-Gregory maju dan polinom Newton-Gregory mundur.

Polinom Newton-Gregory maju diturunkan dari tabel selisih maju. Penurunan rumus polinom Newton-Gregory Maju dikembangkan berdasarkan pada tabel selisih maju.

1. Tabel Selisih Maju

Misal diberikan lima buah titik dengan absis x yang berjarak sama.

Tabel selisih maju yang dibentuk dari ketiga titik itu adalah:

x f(x) ∆f ∆2 _{f ∆}3_{f ∆}4_f

x0 f0 ∆ f0 ∆2 f0 ∆3 f0 ∆4f0

x1 f1 ∆ f1 ∆2 f1 ∆3 f1

x2 f2 ∆ f2 ∆2 f2

x3 f3 ∆ f3

x4 f4

Lambang ∆ menyatakan selisih maju. Arti setiap symbol di dalam tabel adalah:

f0 = f(x0) = y0 f1 = f(x1) = y1

…

f4 = f(x4)

∆f0 = f1 – f0

∆f1 = f2 – f1

…

∆f3 = f4 – f3

Notasi: ∆fp = fp+1 – fp

∆2_f

0 = ∆f1 – ∆f0

∆2_f

1 = ∆f2 – ∆f1

∆2_f

2 = ∆f3 – ∆f2

Notasi: ∆2_f

p = ∆fp+1 – ∆fp

∆3_f

2 = ∆2f1 – ∆2f0

∆3_f

2 = ∆2f2 – ∆2f1

Notasi: ∆3_f

p = ∆2fp+1 – ∆2fp

Bentuk umum: ∆n+1_f

p = ∆nfp+1 – ∆nfp n = 0, 1, 2, …

2. Penurunan Rumus Polinom Newton-Gregory Maju

Penurunan rumus polinom Newton-Gregory Maju didasarkan pada tabel selisih maju.

f

_[

x₁, x₂

_]

=f

(

x1

)

−f

(

x0

)

x₁−x₀

¿Δf

(

x0

)

h

¿Δf0

f

_[

x₁, x₂, x₀

_]

=f

[

x2, x1

]

−f

[

x1, x0

]

Persamaan ini dinamakan polinom Newton-Gregory maju. Persamaan di atas dapat juga ditulis sebagai relasi rekursif:

p_n(x)=p_n−1(x)+

₍

x−x₀

₎₍

x−x₁

₎

.. .

₍

x−x_n−1

₎

Δ n_f

0 n !hn Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan sebagai:

x

_i

=

x

₀

+

ih , i

=

0, 1, 2, . ...

, n

dan nilai x yang diinterpolasikan adalah

x

=

x

₀

+

sh

, s

∈

R

maka persamaan polinom Newton-Gregory maju dapat juga ditulis

dalam parameter s sebagai

atau dalam bentuk relasi rekursif,

Tahap pembentukan polinom Newton-Gregory maju untuk titik-titik berjarak sama dapat dituliskan sebagai berikut:

p_n(x)=f₀+s

B. Algoritma Polinom Interpolasi Maju Algoritma pada Polinom Interpolasi Maju:

1. Definisikan fungsi f(x)

2. Tentukan selang f(x)

3. Tentukan jarak antar selang atau h

4. Tentukan derajat n

5. Buatlah tabel selisih maju 6. Tentukan s

C. Contoh Soal dan Penyelesaian Polinom Interpolasi Maju Contoh soal:

1. Bentuklah tabel selisih untuk fungsi

1

Tabel selisih maju:

i x f(x) ∆ _∆2

∆3

0 0.000 1.000 -0.111 0.022 -0.006

1 0.125 0.889 -0.089 0.016 -0.003

2 0.250 0.800 -0.073 0.013 -0.005

3 0.375 0.727 -0.060 0.008

4 0.500 0.667 -0.052

Hitung f(0.8) dengan polinom Newton-Gregory maju derajat 2.

Penyelesaian:

a. f x( ) sin( ) x

b. Selang f(x) = [0.1, 1.7] c. h = 0.4

d. n = 2

e. Membuat tabel selisih maju

Tabel selisih maju:

x _{f x( ) f }2_{f }3_f

0.1 0.09983 0.37960 -0.07570 -0.04797

0.5 0.47943 0.30390 -0.12367 -0.02846

0.9 0.78333 0.18023 -0.152134

1.3 0.96356 0.02810

f. s=

x−x₀

h =

0 . 8−0 . 1

0 . 4 =1. 75

g.

2

0 0

2 0

( 1)

(0.8)

1! 2!

(1.75)(0.75)

0.09983 (1.75)0.37960 ( 0.07570) 0.71445

2

s f s s f

p �f     

  

BAB IV STUDI KASUS

Sensus penduduk yang dilaksanakan 10 tahun sekali, merupakan suatu proses keseluruhan dari pengumpulan, pengolahan, penyajian, dan penilaian data penduduk. Penelitian ini menggambarkan “Bagaimana Prediksi Banyaknya Penduduk Sulawesi Tengah dengan Menggunakan metode Polinom Newton Gregory Maju”. Sumber data yang digunakan adalah data sekunder dan jenis data yang digunakan dalam metode polinom newton Gregory Maju untuk memprediksi banyaknya penduduk Sulawesi Tengah disetiap tahun pada periode 1980 sampai dengan 2010. Hasil penelitian menunjukkan bahwa prediksi dengan menggunakan metode polinom Newton Gregory Maju lebih mendekati data prediksi dari Badan Pusat Statistik yang mana keakuratan metode tersebut dapat dilihat berdasarkan perolehan galat relatifnya (eror).

Pelaksanaan sensus yang dilakukan oleh Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Sulawesi Tengah dilaksanakan dalam kurun waktu 10 tahun sekali melalui sensus penduduk. Prediksi penduduk pada tahun berikutnya dalam tiap periode sensus perlu dilakukan untuk mengetahui selisih pertambahan penduduk pada tahun tersebut (BPS, 2003). Polinom Newton Gregory merupakan kasus khusus dari Polinom Newton untuk titik-titik yang berjarak sama, dimana rumus polinom Newtinnya lebih sederhana. Selain itu, tabel selisih maju (forward difference) lebih mudah dibentuk.

Prediksi Polinom Gregory Maju diselesaikan menggunakan persamaan menggunakan dara sensus penduduk Sulawesi Tengah dengan jarak sensus 10 tahun. Pada penelitian ini digunakan Pesamaan Galat Relatif untuk mengetahui seberapa besar error yang dihasilkan dengan mensubtitusikan hasil prediksi dari metode yaitu nilai sejati serta nilai hampiran. Berikut data prediksi dari metode Polinom Newton Gregory Maju:

1981 1328485 0,01014455 1996 2269804 0,004465699

1982 1368202 0,016672416 1997 2316503 0,005972059

1983 1498737 0,023405893 1998 2363000 0,007694581

1984 1450043 0,030331015 1999 2409246 0,009731615

1985 1492070 0,037249968 2001 1756662 0,001568844

1986 1534770 0,043637836 2002 1802378 0,002730135

1987 1578095 0,050198616 2003 1848427 0,003483706

1988 1621995 0,056979651 2004 1894760 0,003830102

1989 1666422 0,064018198 2005 1941327 0,003770944

1991 1988082 0,000249274 2006 2455192 0,003558163

1992 2034974 0,001174214 2007 2500791 0,003027382

1993 2081956 0,001174214 2008 2545992 0,00209709

1994 2128978 0,00212766 2009 2590747 0,000770642

perhitungan. Secara harafiah metode numerik berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Perhitungan ini melibatkan sejumlah besar operasi-operasi hitungan yang berulang-ulang.