INTERPOLASI HERMITE PADA BILANGAN REAL

INTERPOLASI HERMITE PADA BILANGAN REAL

MAKALAH

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Laurencia Rosarianes Yogimurti NIM : 063114008

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

ii

HERMITE INTERPOLATION ON REAL NUMBERS

PAPER

Presented as Partial Fulfillment of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree

in Mathematics

by :

Laurencia Rosarianes Yogimurti Student Number : 063114008

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Jika kita mengerjakan apa yang bisa kita kerjakan,

maka Tuhan mengerjakan apa yang tidak bisa kita kerjakan.

Majalah intisari

-In this life we cannot always do great things. But we

can do small things with great love.

Mother Teresa

-Karya ini ku persembahkan untuk :

Tuhan Yesus yang selalu menyertai di setiap langkah dan doaku

Bapak dan ibuku tercinta yang selalu mendoakanku

Kedua adikku yang ku sayangi

Dia yang selalu memberiku semangat

Sahabat – sahabatku yang selalu menemaniku

vii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, karena

atas berkat dan perlindunganNya, penulis dapat menyelesaikan makalah yang

berjudul “Interpolasi Hermite pada Bilangan Real” sebagai salah satu syarat untuk

menyelesaikan pendidikan strata satu di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas

Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah

memberikan dorongan, motivasi, saran, maupun bantuan finansial sampai

terselesaikannya makalah ini, terutama kepada :

1. Lusia Krismiyati Budiasih, M.Si., selaku Kaprodi Fakultas Sains dan Teknologi

dan dosen penguji, serta dosen pembimbing yang telah sabar membimbing,

memberi saran dan kritik, dorongan dan motivasi selama penulisan makalah ini.

2. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen penguji, terima kasih telah

meluangkan waktu untuk menguji, memberikan kritik dan saran demi

kesempurnaan makalah ini.

3. Ch. Enny Murwaningtyas, M.Si., selaku dosen penguji, terima kasih telah

meluangkan waktu untuk menguji, memberikan kritik dan saran demi

kesempurnaan makalah ini.

4. MV. Any Herawati, M.Si., selaku dosen pembimbing akademis, terima kasih

viii

5. Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

6. Kedua orang tuaku tercinta yaitu Tarcicius Giyono dan Lucia Indri Haryati,

terima kasih atas doa, dukungan, cinta, bantuan finansial dan semangat untuk

pengerjaan makalah ini.

7. Kedua adikku yaitu Katarina Septi Widyaningrum dan Eufrasia Viany Prawesti,

serta keluargaku yang selalu mendukungku agar tetap semangat menyelesaikan

makalah.

8. Basilius Agung Wikaryanto terima kasih untuk waktu, dukungan, perhatian dan

kesetiaannya menemani dan mendengarkan keluhan dalam setiap kesempatan

terutama selama penyusunan makalah ini.

9. Seluruh petugas sekretariat, terima kasih atas bantuannya dalam penyempurnaan

makalah ini.

10. Semua orang dan semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu di sini,

baik secara langsung maupun tidak langsung telah banyak membantu

terselesaikannya makalah ini.

Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini jauh dari sempurna. Oleh karena itu,

penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun.

x

ABSTRAK

Makalah ini bertujuan untuk memahami bagaimana mengaproksimasikan suatu nilai dengan interpolasi Hermite dimana diketahui nilai fungsi dan turunan pertamanya, dan bagaimana menerapkan algoritma interpolasi Hermite.

Interpolasi merupakan salah satu metode dari pencocokan kurva sebagai metode pendekatan dari nilai fungsi pada interval. Interpolasi bertujuan untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diberikan dalam interval. Dalam interpolasi, data-data yang dibangun harus selalu melalui data yang diketahui. Sebagian besar interpolasi hanya membutuhkan informasi mengenai nilai fungsinya saja. Untuk mencari solusi dari suatu interpolasi, dapat dilakukan dengan metode interpolasi yang sesuai. Namun, untuk mencari solusi dari interpolasi terkadang tidak hanya membutuhkan nilai fungsinya saja,tetapi juga nilai turunannya sebagai prasyarat. Interpolasi yang seperti itu adalah interpolasi Hermite, dimana dalam interpolasi Hermite ini membutuhkan prinsip-prinsip interpolasi Newton beda-terbagi dan interpolasi Lagrange dalam mencari penyelesaiannya.

xi

ABSTRACT

This paper aims to understand how to approximate value with Hermite interpolation given the value of the function and the first derivative and how to implement the Hermite interpolation algoritm.

Interpolation is one methods of curve-fitting an approximation method of the value of the function in an interval. Interpolation aims to approximate the value between some given points of data in an interval. In interpolation, the value of the approximation must through the given data. Most of the interpolations only need the information of function value. To find the solution of the interpolation, it can be done with the appropriate interpolation method. However, to find the solution of the interpolation sometimes the prerequisite is not only function value, but also the derivative value. The interpolation is called Hermite interpolation, where it needs the principles of Newton divide-difference interpolation and Lagrange interpolation.

xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... HALAMAN PERSETUJUAN AKADEMIS... v vi KATA PENGANTAR ... vii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... ix

ABSTRAK... x

ABSTRACT... xi

DAFTAR ISI... xii

DAFTAR GAMBAR ... xv

DAFTAR LAMPIRAN... xvi

BAB I. PENDAHULUAN ... 1

xiii

B. Perumusan Masalah... 4

C. Pembatasan Masalah ... 4

D. Tujuan Penulisan ... 4

E. Manfaat Penulisan ... 5

F. Metode Penulisan... 5

G. Sistematika Penulisan... 5

BAB II. TEOREMA FUNDAMENTAL, ROLLE, DAN INTERPOLASI... 6

A. Teorema Fundamental Aljabar ... 6

B. Teorema Rolle ... 8

C. Interpolasi ... 15

1. Interpolasi Linear ... 20

2. Interpolasi Kuadratik... 22

D. Interpolasi Newton ... 27

1. Interpolasi Newton Beda-Terbagi ... 27

xiv

3. Contoh Interpolasi Newton... 31

E. Interpolasi Lagrange... 33

BAB III. METODE HERMITE ... 37

A. Interpolasi Hermite... 37

BAB IV. PENUTUP ... 75

A. Kesimpulan ... 75

B. Saran ... 76

DAFTAR PUSTAKA ... 77

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Polinomial orde satu ... 18

Gambar 2.2. Polinomial orde dua ... 19

Gambar 2.3. Polinomial orde tiga ... 19

xvi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Program untuk contoh 3.1.1 pada kasus I …...…..……….. 79

Lampiran 2. Program untuk contoh 3.1.1 pada kasus II …...…...…….. 80

Lampiran 3. Program untuk contoh 3.1.2 ………...……..……….. 81

Lampiran 4. Program untuk contoh 3.1.3 pada kasus Interpolasi Lagrange………

83

Lampiran 5. Program untuk contoh 3.1.3 pada kasus Interpolasi Hermite……….

84

1

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam disiplin

ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, dan atau pada persoalan

rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Teknik Elektro, dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang rumit,

sehingga adakalanya model yang rumit tersebut tidak dapat diselesaikan dengan

metode analitik yang biasa digunakan untuk mendapatkan solusi eksak atau solusi

yang sebenarnya. Metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika

dengan rumus-rumus aljabar, persamaan diferensial, ataupun geometri yang biasa

digunakan. Namun, metode analitik ini hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang

terbatas. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali nonlinear serta

melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Bila metode analitik tidak dapat lagi

diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan

menggunakan metode numerik. Metode numerik adalah suatu cara untuk

menyelesaikan masalah matematik melalui pendekatan secara numerik dan hasilnya

merupakan solusi pendekatan yang berupa bilangan, serta mendekati solusi yang

sebenarnya. Dan biasanya metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma yang

pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik juga mampu

menangani sistem persamaan besar, nonlinear, dan geometri yang rumit yang dalam

praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik. Serta, metode

numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika,

karena metode numerik ditemukan dengan menyederhanakan matematika yang lebih

tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.

Tentu saja ada perbedaan antara metode numerik dengan metode analitik.

Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua

hal. Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk bilangan,

sedangkan dalam metode analitik menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi

ma-tematik dan selanjutnya fungsi mama-tematik tersebut dapat dievaluasi untuk

menghasilkan nilai dalam bentuk bilangan. Kedua, dengan metode numerik solusi

yang dihasilkan hanyalah merupakan hampiran atau pendekatan dengan solusi yang

sebenarnya, sehingga solusi numerik ini disebut solusi hampiran (approximation) atau solusi pendekatan. Sedangkan solusi yang dihasilkan dalam metode analitik

adalah solusi eksak atau solusi yang sebenarnya. Solusi hampiran jelas tidak sama

dengan solusi eksak, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut

dengan galat (error). Semakin kecil error, maka ketelitian dalam metode tersebut lebih baik.

Ada enam tahap yang dilakukan dalam pemecahan persoalan dunia nyata

numerik, pemrograman, operasional, dan evaluasi. Salah satu persoalan yang

penyelesaiannya lebih mudah bila diselesaikan dengan metode numerik adalah

interpolasi. Interpolasi merupakan salah satu metode dari pencocokan kurva.

Interpolasi adalah suatu metode untuk mengaproksimasikan nilai-nilai fungsi di suatu

titik pada interval. Interpolasi bertujuan untuk mencari nilai di antara beberapa titik

data yang telah diketahui nilainya dan nilai tersebut berada di dalam interval yang

telah ditentukan. Dalam interpolasi data-data yang dibangun oleh titik-titiknya harus

selalu melalui data yang diketahui. Bila fungsi cocokan yang digunakan berbentuk

polinomial, polinomial tersebut dinamakan polinomial interpolasi. Sedangkan

pekerjaan menginterpolasi titik data dengan sebuah polinomial disebut interpolasi

polinomial atau dengan kata lain interpolasi polinomial adalah suatu metode untuk

mengaproksimasikan sebuah fungsi, dimana fungsi yang digunakan adalah fungsi

polinomial.

Sebagian besar interpolasi hanya membutuhkan informasi mengenai nilai

fungsinya saja dan untuk mencari penyelesaian dari interpolasi tersebut dapat

dilakukan dengan cara mengerjakan dengan interpolasi yang sesuai. Namun,

terkadang tidak hanya nilai fungsinya yang dibutuhkan, tetapi ada juga yang

membutuhkan nilai turunannya sebagai prasyarat untuk mencari penyelesaian

interpolasi tersebut. Interpolasi yang seperti itu adalah interpolasi Hermite, dimana

dalam interpolasi Hermite ini membutuhkan prinsip-prinsip interpolasi Newton

B. PERUMUSAN MASALAH

Pokok– pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan sebagai berikut:

1. Bagaimana mencari aproksimasi sebuah fungsi dengan interpolasi

Her-mite?

2. Bagaimana algoritma interpolasi Hermite serta implementasinya

menggunakan bahasa pemrogramanMATLAB?

C. PEMBATASAN MASALAH

Dalam penulisan makalah ini, penulis akan membatasi beberapa hal yaitu

macam-macam interpolasi yang dibahas dalam makalah ini adalah interpolasi Newton

beda-terbagi dan Lagrange, sedangkan untuk interpolasi yang lain tidak akan dibahas

secara detail.

D. TUJUAN PENULISAN

Tujuan penulisan ini adalah untuk memahami bagaimana mengaproksimasikan

suatu nilai dengan interpolasi Hermite dimana diketahui beberapa titik data dan nilai

turunan pertamanya sebagai prasyarat, serta bagaimana mengimplementasikan

E. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat

me-mahami interpolasi Hermite untuk mencari hampiran suatu fungsi, serta dapat

menyelesaikan fungsi interpolasi Hermite dengan bantuan pemrograman komputer

bila diketahui beberapa titik data dan nilai turunan pertamanya yang merupakan

prasyarat.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan

mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik Interpolasi Hermite ini,

sehingga tidak ada hal-hal baru.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I. PENDAHULUAN, pada bab ini akan dibahas tentang latar belakang,

rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode

penulisan, dan sistematika penulisan makalah ini.

BAB II. INTERPOLASI, pada bab ini akan dibahas tentang teorema

fundamental aljabar, teorema Rolle, macam-macam interpolasi, interpolasi Newton

beda terbagi, interpolasi Lagrange.

BAB III. METODE HERMITE, pada bab ini akan dibahas tentang interpolasi

Hermite, algoritma interpolasi Hermite, dan contoh interpolasi Hermite.

6 BAB II

TEOREMA FUNDAMENTAL, ROLLE, DAN INTERPOLASI

A. TEOREMA FUNDAMENTAL ALJABAR Teorema 2.1.1 :

Misalkan p

 

x a a xa x2 a_nxn

2 1

0 , xR, dimana a0 0. maka p

 

x 0 mempunyai paling banyak n akar R.

(Untuk pembuktian Teorema Fundamental Aljabar (T.2.1.1) tidak dibuktikan.

Teorema Fundamental Aljabar tersebut merupakan bentuk umum yang menyatakan

bahwa jika p

 

x a a xa x anxn

2 2 1

0 , dimana koefisien ak mungkin

bilangan real atau kompleks dan a_n 0, maka p

 

x 0 mempunyai tepat n akar dalam C, dengan C adalah himpunan semua bilangan kompleks.)

Teorema 2.1.2 :

Misalkan a

 

x R

 

x mempunyai derajat m0, maka paling sedikit mempunyai satu bilangan kompleks u sedemikian sehingga a

 

u 0.

Teorema 2.1.3 :

Setiap polinomial yang berderajat positif di C

 

x mempunyai paling sedikit satu akar di C.

Bukti :

Misal f

 

x c₀ c₁x....c_nxn , c_n 0,n1, dan c₀,c₁,....,c_n di C. Didefinisikan f

 

x c₀ c₁x....c_nxn, dimana c_i adalah konjugat dari c_i.

Misalkan a

 

x  f

   

x  f x

 



  n k k kx a x a 2 0



 





 



n n n n n n n n n n n n x a x a x a a x c c x c c c c c c x c c c c c c x c c x c c x c c x c c x c c x c c c c x c x c c x c x c c                                 2 2 1 0 2 2 1 1 2 0 2 0 1 0 1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 0 2 2 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1

0 .... ....

dimana



     k k j i j i j i

k cc

a 0 , 0 . Perhatikan bahwa

(i) untuk 0k n

0 1 1 1

1

0c cc .... c c c c c

ak  k  k   k  k

dan 0 1 1 1 1

0c cc .... c c c c c

ak  k  k   k  k

n k n n k n n

n k n n k

k c c c c c c c c

a  _  _{ 1 1}.... _{1  1} _ dan

n k n n k n n

n k n n k

k c c c c c c c c

a  _  _{ 1 1}.... _{1  1} _ .

Jika dalam kedua kasus di atas (kasus (i) dan (ii)), maka a_kadalah jumlahan yang sama dengan a_k. Karena a_k= a_k untuk semua k, ini berarti bahwa bilangan

n

a a

a₀, ₁,...., ₂ semuanya adalah bilangan real, dan oleh karena itu a

 

x R

 

x . Derajat dari a

 

x adalah 2n, karena a_2n c_nc_n  c_n 2 0. Jadi, a

 

x mempunyai derajat positif, maka dengan Teorema 2.1 ada suatu bilangan kompleks u sedemikian sehingga a

 

u 0. Maka f

   

u f u 0. Oleh karena itu, salah satu f

 

u 0, dalam kasus f

 

x mempunyai akar kompleks u, atau lainnya f

 

u 0. Akan tetapi

 

u c u c u f

 

u f

n k

k k n

k k

k  









0 0

, jadi f

 

u 0 ini berarti f

 

u 0. Maka f

 

x mempunyai sebuah akar kompleks dalam kasus ini._■

B. TEOREMA ROLLE

Definisi 2.2.1 (Minimum Relatif) :

Definisi 2.2.2 (Maksimum Relatif) :

Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c apabila terdapat suatu selang terbuka yang memuat c, dimana f terdefinisi, sehingga f

 

c  f

 

x untuk semua x dalam selang tersebut.

Teorema 2.2.1 :

Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka I yang memuat c, kecuali pada c sendiri. Misalkan pula terdapat suatu bilangan M

sehingga terdapat  0 _{yang memenuhi jika 0< x}_{c <} _{maka f}

 

_x _{M . Jika}

 

x

f c x

lim ada dan sama dengan L, maka LM .

Bukti :

Andaikan bahwa M < L dan tunjukkan bahwa terdapat kontradiksi dalam pengandaian tersebut.

Jika M < L, maka terdapat suatu  0 _{sehingga M}  _{L. Karena f}

 

_{x L} c

x 

lim ,

maka terdapat suatu ₁ 0 _sehingga

jika 0< _x_c <_{1, maka f}

 

_{x -L <}

Substitusi L menjadi _M _{, maka ini mengakibatkan bahwa terdapat suatu 0}

1 



sehingga jika 0< _x_c <_{1, maka}



_M 



 _{< f}

 

_x

 jika 0< _x_c <_{1, maka M < f}

 

_{x (2.1)}

Tetapi, menurut hipotesa terdapat suatu  _sehingga

jika _{0< x}_{c <} _{, maka f}

 

_x _{M (2.2)}

Oleh karena itu,terjadi kontradiksi dalam pernyataan (2.1) dan (2.2). Jadi,

pengandaian salah, sehingga LM

Teorema 2.2.2:

Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka I yang memuat c, kecuali pada csendiri. Misalkan pula terdapat suatu bilangan M sehingga terdapat  0 _{yang memenuhi jika 0< x}_{c <} _{maka f}

 

_x _{M . Jika f}

 

_x

c x

lim

ada dan sama dengan L, maka LM .

Bukti :

Andaikan bahwa M L dan tunjukkan bahwa terdapat kontradiksi dalam

pengandaian tersebut.

Jika M L, maka terdapat suatu  0 _{sehingga M}  _{L. Karena f}

 

_{x L} c

x 

lim ,

maka terdapat suatu ₁ 0 _sehingga

 jika 0< _x_c <_{1, maka L}_{< f}

 

_{x <L}

Substitusi L menjadi _M  _{, maka ini mengakibatkan bahwa terdapat suatu 0}

1 



sehingga jika 0< _x_c <_{1, maka}



_M 



  _f

 

_x

 jika 0< _x_c <_{1, maka M}  _f

 

_{x (2.3)}

Tetapi, menurut hipotesa terdapat suatu  _sehingga

jika _{0< x}_{c <} _{, maka f}

 

_x _{M (2.4)}

Oleh karena itu,terjadi kontradiksi dalam pernyataan (2.3) dan (2.4). Jadi,

pengandaian salah, sehingga LM

Teorema 2.2.3 (Ekstrim Relatif) :

Bila f

 

x ada untuk semua nilai-nilai x dalam selang terbuka

 

a,b dan bila f

mempunyai ekstrim relatif di c, dimana a<c<b, maka f '

 

c ada dan f'

 

c 0.

Bukti :

(i). Untuk kasus f mempunyai nilai minimum relatif di c. Bukti :

Bila f'

 

c ada maka

 

   

c x

c f x f c

f

c

x 

 



lim

Karena f mempunyai nilai minimum relatif di c, menurut Definisi 2.1.1 terdapat  0 _{sehingga jika 0< x}_{c <} _{maka f}

   

_x  _{f c} _0.

Bila x mendekati c dari kanan, xc0, dan bila _{0< x-c<} _maka

   

0

 



c x

c f x f

.

Berdasarkan Teorema 2.2.2, bila limitnya ada maka lim

   

0

  

 _{x c}

c f x f c x

.

(2.6)

Dengan cara yang sama, bila x mendekati c dari kiri, x-c<0, dan bila 0

< c -< x 

 maka

jika  < x-c<0 _maka

   

₀

 

c x

c f x f

sehingga berdasarkan Teorema 2.2.1 , bila limitnya ada maka

   

0

lim 

  

 _{x c}

c f x f c x

. (2.7)

Karena f '

 

x ada, limit-limit di ketaksamaan (2.6) dan (2.7) pasti sama dan keduanya sama dengan f'

 

c .

Jadi dari (2.6) diperoleh f'

 

c 0 (2.8) dan dari (2.7) diperoleh '

 

_0

c

f (2.9)

karena (2.7) dan (2.9) kedua-duanya berlaku maka f'

 

c 0 (ii). Untuk kasus f mempunyai nilai maksimum relatif di c.

Bila f'

 

c ada maka

 

   

c x

c f x f c

f

c

x 

 



lim '

. (2.10)

Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di c, menurut Definisi 2.2 terdapat  0 _{sehingga jika 0< x}_{c <} _{maka f}

   

_x  _{f c} _0.

Bila x mendekati c dari kanan, x-c<0, dan bila  < x-c<0 _maka

   

0

 



c x

c f x f

.

Berdasarkan Teorema 2.2.1, bila limitnya ada maka lim

   

0

  

 _{x c}

c f x f c x

.

(2.11)

Dengan cara yang sama, bila x mendekati c dari kiri, xc0, dan bila



< c -<

0 x maka

jika _{0< x-c<} _maka

   

₀

 

c x

c f x f

sehingga berdasarkan Teorema 2.2.2 , bila limitnya ada maka

   

0

lim 

  

 _{x c}

c f x f c x

. (2.12)

Karena f'

 

x ada, limit-limit di ketaksamaan (2.11) dan (2.12) pasti sama dan keduanya sama dengan f'

 

c .

karena (2.13) dan (2.14) kedua-duanya berlaku maka f'

 

c 0._■

Definisi 2.2.3 (Maksimum Mutlak) :

 

c

f dikatakan nilai maksimum mutlak fungsi f apabila c di daerah asal f dan

 

c f

 

x

f  untuk semua nilai x dalam daerah asal f .

Definisi 2.2.4 (Minimum Mutlak) :

 

c

f dikatakan nilai minimum mutlak fungsi f apabila c di daerah asal f dan

 

c f

 

x

f  untuk semua nilai x dalam daerah asal f .

Teorema 2.2.4 (Teorema Nilai Ekstrim) :

Bila fungsi f kontinu pada selang tertutup

 

a,b maka f mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada

 

a,b .

Teorema 2.2.5 (Teorema Rolle) :

Jika f kontinu pada selang tertutup

 

a,b , terdiferensial pada selang ter-buka

 

a,b , dan f

 

a  f

 

b 0, maka terdapat bilangan c pada selang terbuka

 

a,b sedemikian sehingga '

 

_0 c

f .

Bukti :

Maka f'

 

x 0 untuk semua x pada

 

a,b , sehingga setiap bilangan di antara a dan b dapat di ambil sebagai c.

Kasus 2 : f

 

x 0 untuk suatu x pada selang terbuka

 

a,b .

Karena f kontinu pada selang tertutup

 

a,b maka menurut Teorema nilai ekstrim, f mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada

 

a,b . Dan diketahui bahwa f

 

a  f

 

b 0. Selanjutnya f

 

x 0 untuk suatu x pada selang terbuka

 

a,b . Maka f akan mempunyai nilai maksimum mutlak yang positif untuk suatu c₁ pada

 

a,b atau mempunyai nilai minimum mutlak yang negatif di suatu c₂ pada

 

a,b , atau dua-duanya terjadi. Jadi untuk cc₁ atau cc₂ atau kedua-duanya, terdapat ekstrim mutlak di titik dalam selang

 

a,b . Oleh karena itu, ekstrim mutlak f

 

c juga ekstrim relatif. Karena f'

 

c ada berdasarkan hipotesis, maka menurut Teorema 2.5, f'

 

c 0. _■

C. INTERPOLASI

Interpolasi merupakan salah satu metode dari pencocokan kurva.

Interpolasi adalah suatu metode untuk mengaproksimasikan nilai-nilai fungsi di suatu

titik pada interval. Interpolasi bertujuan untuk mencari nilai di antara beberapa titik

data yang telah diketahui nilainya dan nilai tersebut berada di dalam interval yang

selalu melalui data yang diketahui. Bila fungsi cocokan yang digunakan berbentuk

polinomial, polinomial tersebut dinamakan polinomial interpolasi. Sedangkan

pekerjaan menginterpolasi titik data dengan sebuah polinomial disebut interpolasi

polinomial atau dengan kata lain interpolasi polinomial adalah suatu metode untuk

mengaproksimasikan sebuah fungsi, dimana fungsi yang digunakan adalah fungsi

polinomial. Bentuk umum persamaan polinomial orde n adalah

 

n

nx a x

a x a a x

p    2 

2 1

0 (2.15) dengan a₀,,a_{n adalah parameter yang akan dicari berdasarkan titik data, n adalah} derajat (orde) dari persamaan polinomial, dan x adalah variabel bebas.

Teorema 2.3.1 :

Jika diketahui fungsi f yang bernilai real dan n1 titik yang berbeda, maka terdapat tepat satu polinomial berderajat n yang melalui semua titik.

Bukti :

Akan ditunjukkan bahwa paling sedikit terdapat satu polinomial berderajat n pada n1 titik yang berbeda x₀,,x_{n. Oleh karena itu, akan digunakan polinomial} bentuk Lagrange, yaitu

 

x a L

 

x a L

 

x a L

 

x

p    _{n n}

1 1 0

0 (2.16)

dengan

 



  

  n

k i

i k i

i k

x x

x x x

L

0

adalah polinomial Lagrange untuk titik-titik x0,,xn. Fungsi Lk

 

x adalah hasil kali

dari n faktor linear, sehingga L_k

 

x adalah suatu polinomial yang tepat berderajat n. Oleh karena itu, persamaan (2.15) memang melukiskan suatu polinomial berderajat

n

 . Untuk selanjutnya L_k

 

x akan bernilai nol untuk x x_i dan akan bernilai satu untuk x x_k yang disimbolkan sebagai berikut :

 

i n

x x

x x x

L

i k i

k , 0, ,

, 0

, 1

  

 

 

 .

Ini menunjukkan bahwa

 

x a L

 

x a i n

p _{k i i}

n k

k

i , 0, ,

0



 







yakni koefisien-koefisien a0,,an dalam bentuk Lagrange yang tidak lain adalah

polinomial p

 

x_i pada titik-titik x₀,,x_{n. Oleh karena itu, untuk suatu fungsi} sembarang misal f

 

x ,

 



   

  n

k

k k L x x f x

p

0

(2.18)

merupakan suatu polinomial berderajat n yang menginterpolasi f

 

x pada

n

x x₀,, _.

■

Misalnya, hanya ada satu garis lurus (polinomial orde satu) yang

menghubungkan dua titik (Gambar 2.1), demikian juga tiga buah titik dapat

dihubungkan oleh fungsi parabola (polinomial orde dua), sedang untuk empat titik

Gambar 2.3. Di dalam interpolasi ditentukan suatu persamaan polinomial orde n yang melalui n1 titik data, yang kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai diantara titik data tersebut.

Gambar 2.1

Gambar 2.1 merupakan salah satu contoh grafik polinomial orde satu yang dibentuk

Gambar 2.2

Gambar 2.2 merupakan salah satu contoh grafik polinomial orde dua yang dibentuk

dari tiga buah titik.

Gambar 2.3

Gambar 2.3 merupakan salah satu contoh grafik polinomial orde tiga yang dibentuk

Ada banyak metode interpolasi yang diterapkan di antaranya adalah :

1. Interpolasi Linear

Bentuk paling sederhana dari interpolasi adalah menghubungkan dua buah

titik data dengan garis lurus, dengan diperoleh polinomial berderajat satu. Metode ini

disebut dengan interpolasi linear. Misalkan diberikan dua buah titik, yaitu



x₀,y₀



dan



x₁,y₁



. Polinomial yang menginterpolasikan kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk :

 

x a a x

p₁  ₀  ₁ (2.19) Gambar 2.4 memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik



x₀,y₀



dan



x₁,y₁



.



x1,y1





x0,y0



Gambar 2.4 Interpolasi Linear

Koefisien a₀ dan a₁ dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan mensubstitusikan



x₀,y₀



dan



x₁,y₁



ke dalam persamaan (2.19), diperoleh dua persamaan linear, yaitu

1 1 0 1 a a x

y   .

Kedua persamaan ini akan diselesaikan dengan proses eliminasi, yang memberikan

0 1 0 1 1 x x y y a  

 (2.20)

dan









0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 x x x y y y x x x x x y y y x a y a                  0 1 1 0 0 1 0 x x y x y x a  

 (2.21)

Substitusikan persamaan (2.20) dan (2.21) ke dalam persamaan (2.19) untuk

mendapatkan persamaan garis lurus, yaitu

 

0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 x x xy xy y x y x x x x y y x x y x y x x p                 

 











0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 x x x x y y y x x x x y x y x xy xy y x y x x p             

 





0



0 1

0 1 0

1 x x

x x y y y x p    

Persamaan (2.22) adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik, yaitu titik



x₀,y₀



dan



x₁,y₁



. Kurva polinomial p₁

 

x ini adalah berupa garis lurus (Gambar 2.4).

Contoh 2.3.1 :

Perkirakan jumlah penduduk Amerika Serikat pada tahun 1968 berdasarkan data

berikut :

Tahun 1960 1970

Jumlah penduduk (juta) 179.3 203.2

Penyelesaian :

Dengan menggunakan persamaan (2.22), diperoleh



















 







1970 1960



1960 1968 3 , 179 2 . 203 1960

1970 3 . 179

1960 1968 1960

1970

3 , 179 2 . 203 3 . 179 1968 1



 

 



 

 



p







1968



198.4 10

2 . 191 1793 1968

1 1



 

p p

Jadi, taksiran jumlah penduduk AS pada tahun 1968 adalah 198.4 juta jiwa.

2. Interpolasi Kuadratik

Untuk mengurangi kesalahan yang terjadi, maka perkiraan dilakukan

dengan menggunakan garis lengkung yang menghubungkan titik-titik data. Apabila

dilakukan dengan polinomial order dua. Untuk maksud tersebut persamaan

polinomial orde dua dapat ditulis dalam bentuk:

 

0 1



0



2



0



1



2 x b b x x b x x x x

p       . (2.23) Meskipun tampaknya persamaan (2.23) berbeda dengan persamaan (2.15), tetapi

sebenarnya kedua persamaan adalah sama. Hal ini dapat ditunjukkan dengan

mengalikan suku-suku persamaan (2.23) sehingga menjadi:

 

2 0 1 2 0 2 1

2 2 0 1 1 0

2 x b bx bx b x b x x b xx b xx

p       

atau

 

2

2 1 0

2 x a a x a x

p   

dengan

1 0 2 0 1 0

0 b bx b x x

a   

1 2 0 2 1

1 b b x b x

a   

2 2 b a  .

Terlihat bahwa persamaan (2.23) sama dengan persamaan (2.15).

Selanjutnya untuk keperluan interpolasi, persamaan polinomial ditulis dalam bentuk

persamaan (2.23). Berdasarkan titik data yang ada kemudian dihitung koefisien b ,₀ 1

b , dan b₂. Berikut ini diberikan prosedur untuk menentukan nilai dari koefisien-koefisien tersebut.

Koefisien b₀ dapat dihitung dari persamaan (2.23), dengan mensubstitusikan nilai 0

x



0 0



2



0 0



0 1



1 0

0 b b x x b x x x x

y      

0 0 y

b  . (2.24)

Bila persamaan (2.24) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.23), kemudian

disubstitusikan ke dalam nilai xx₁, maka akan diperoleh koefisien b₁:



1 0



2



1 0



1 1



1 0

1 b b x x b x x x x

y      

0 1 0 1 1 x x y y b  

 . (2.25)

Bila persamaan (2.24) dan persamaan (2.25) disubstitusikan ke dalam persamaan

(2.23) dan nilai xx₂, maka akan diperoleh koefisien b₂:



_{2 0}



₂



_{2 0}



_{2 1}



0 1

0 1 0

2 x x b x x x x

x x

y y y

y    

   











 











2 1



0 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 0 2 0 1 1 2 0 1 0 1 0 2 1 2 0 2 2 x x x x y y y y y y x x x x y y y y x x x x x x y y y y x x x x b                                           atau







2 0



2 1



1 2 0 1 0 1 1 2 2 x x x x x x x x y y y y b              







2 0



2 1



1 2 0 1 0 1 1 2 2 x x x x x x x x y y y y b             

Dengan memperhatikan persamaan (2.24) dan (2.23) terlihat bahwa dua suku

pertama dari persamaan (2.23) adalah ekivalen dengan interpolasi linear dari titik x₀ ke x₁ seperti yang diberikan oleh persamaan (2.24), dengan

0 0 y b  dan

0 1

0 1 1

x x

y y b

 

 .

Sedangkan suku terakhir dari persamaan (2.23), yaitu b₂



xx₀



xx₁



, merupakan suku kuadratik karena digunakannya kurva orde dua. Koefisien b₁ dan b₂ dari interpolasi polinomial orde dua persamaan (2.25) dan persamaan (2.26) adalah mirip

dengan bentuk beda hingga untuk turunan pertama dan kedua, dengan demikian

penyelesaian interpolasi polinomial dapat dilakukan dengan menggunakan bentuk

beda hingga, jadi berdasarkan persamaan (2.23) dengan mensubstitusikan persamaan

(2.24), (2.25), dan persamaan (2.26), persamaannya akan menjadi

 



























₀



₁



1 2 0 2

1 2 0 1

0 1 1 2 0 0

1 0 1 0

1 0

2 0 1 0 2

x x x x x

x x x

x x x x

y y y y x x x x

y y y

x x x x b x x b b x p

 

    

 

    

 

 

    

 

         

 

   

 

 



 























































2

2 1 2 0 1 0 1 2 0 1 0 1 0 2 1 2 0 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 1 0 2 1 1 y x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p                                              (2.27)

Contoh 2.3.2 :

Diberikan titik ln

 

8.0 2.0794,ln

 

9.0 2.1972,ln

 

9.5 2.2513. Tentukan nilai

 

9.2

ln dengan interpolasi kuadratik.

Penyelesaian :

i x_i f

 

xi  yi ln

 

x 0 8.0 2.0794 1 9.0 2.1972 2 9.5 2.2513

Dengan menggunakan persamaan (2.27) akan diperoleh

 





























































2

2 1 2 0 1 0 1 2 0 1 0 1 0 2 1 2 0 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 1 0 2 1 1 y x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x p                                             

 



 















































8 9.5





9 9.5





2.2513

  



 



 





 

9.2 2.2193

7204 . 0 6913 . 3 0832 . 0 2513 . 2 32 . 0 1972 . 2 16 . 0 32 . 0 2 . 1 0794 . 2 16 . 0 2 . 1 1 2 . 9 2 2             p p

 























 

  

  

 

9.2 2.2193

0015 . 0 1414 . 0 0794 . 2 2 . 0 2 . 1 5 . 0 5 . 1 0048 . 0 2 . 1 1178 . 0 0794 . 2 9 2 . 9 8 2 . 9 9 5 . 9 8 5 . 9 9 5 . 9 8 9 0794 . 2 1972 . 2 1972 . 2 2513 . 2 8 2 . 9 8 9 0794 . 2 1972 . 2 0794 . 2 2 . 9 2 2                                                      p p

Jadi, dengan interpolasi kuadratik ln

 

9.2 mempunyai nilai 2.2193.

D. INTERPOLASI NEWTON

1. Interpolasi Newton Beda Terbagi

Metode ini digunakan untuk menentukan reprensentasi eksplisit dari

interpolasi polinomial. Metode ini juga digunakan untuk memperoleh teknik

mengaproksimasikan turunan dan integral suatu fungsi, terutama untuk

mengaproksimasi penyelesaian dari persamaan diferensial.

 

















1

 

1



0 1 0 2 0 1 0 ... ...             n n n x x x x x x a x x x x a x x a a x p (2.28)

Konstanta a₀ dapat ditentukan ketika kita mencari p_n di x₀, sehingga

 

₀

 

₀

0 p x f x

a  _n  .

Ketika kita mencari pn dix1, pn

 

x1 adalah konstanta dan berbentuk linear

 

 





 

0 1



0



0 1 0 1 1 x x a x f x x a a x f x p_n       

   

0 1 0 1 1 x x x f x f a  

 (2.29)

Dalam metode ini terdapat perubahan notasi, yaitu

 

xi f

 

xi

f  dan ai  f



x0,x1,...,xn



sehingga menjadi





   

i i i i i i x x x f x f x x f       1 1 1

, (2.30)

Secara umum jika ada k1 beda pembagi f



x_i,x_i1,...,x_ik1



dan



xi xi xi k xi k



f , _1,..., _{ 1}, _ dan nilai keduanya telah ditentukan, maka untuk k beda pembagi untuk titik-titik x_i,x_i1,...,x_ik1,x_ik adalah:







 



i i k i i i k i k i i i k i k i i i x x x x x f x x x x f x x x x f                1 1 1 1 1 1 1 ,..., , , ,..., , , ,...,

, (2.31)

 

   















1

 

1



0 1

0 2 0 1

0 ...

...



 

    

  



n

n n

x x x x

x x a x

x x x a x x x f x f x p

(2.32)

Untuk konstanta a₂,a₃,...,a_n dapat ditulis ke dalam bentuk



k



k f x x x

a  ₀, ₁,...,

sehingga persamaan (2.32) dapat dibentuk menjadi

 

  



















0 1 2





0



1

 

1



1 0

2 1 0 0

1 0 0

, , , ,

, , ,



 



   

  



n n

n

x x x x x x x x x x f

x x x x x x x f x x x x f x f x p

 



atau

 

 







0

 

1



1

2 1 0

0 , , ,..., 



 







n

n

k

n

n x f x f x x x x x x x x

p  _(2.33)

Persamaan (2.33) di atas disebut Newton’s interpolatory divided-differences formula.

Berikut ini akan diberikan contoh tabel dengan i0,1,2,3,4,5 untuk interpolasi polynomial derajat 5 :

i x_i f

 

x_i 1st div-dif 2nd div-dif 3rd div-dif 0 x₀ f

 

x₀ f



x₀,x₁



f



x₀,x₁,x₂



f



x₀,x₁,x₂,x₃



1 x₁ f

 

x₁ f



x₁,x₂



f



x₁,x₂,x₃



f



x₁,x₂,x₃,x₄



2

2

x f

 

x₂ f



x₂,x₃



f



x₂,x₃,x₄



f



x₂,x₃,x₄,x₅



3

3

x f

 

x₃ f



x₃,x₄



f



x₃,x₄,x₅



4 x₄ f

 

x₄ f



x₄,x₅



5 x₅ f

 

x₅

2. Taksiran Galat Interpolasi Newton

Salah satu kelebihan polynomial Newton dibandingkan dengan

polynomial Lagrange adalah kemudahan menghitung taksiran galat interpolasi

meskipun fungsi asli f

 

x tidak diketahui atau kalaupun ada, sulit untuk diturunkan.

Tinjau kembali polynomial Newton :

 

x p 1

  

x x x0



x x1

 

x x 1



f



x ,x 1, ,x1,x0



p_n  _n      _{n n n}  _.

Suku



xx0



xx1

 

 xxn1



f



xn,xn1,,x1,x0



dinaikkan dari n sampai n1 menjadi



x x₀



x x₁

 

 x x_{n 1}



x x_n



f



x_{n 1},x_n,x_{n 1},,x₁,x₀



 

 

 

 .

Bentuk terakhir ini bersesuaian dengan rumus galat interpolasi

  



 







 

 



! 1 1 1

1

0    _



 _ 

n t f x x x x x x x x x E

n n n

 _.

Bentuk

 

 



1



!

1





n t f n

dapat dihampiri nilainya dengan f



xn₁,xn,xn₁,,x₁,x₀



yang dalam hal ini f



x_{n 1},x_n,x_{n 1},,x₁,x₀





 adalah selisih terbagi ke



n1



.

Jadi,

 

 







1 1 1 0



1

, , , , , !

1 f x x x x x n

t f

n n n n



 





Sehingga taksiran galat interpolasi Newton dapat dihitung sebagai

  

x x x₀



x x₁

 

x x ₁



x x



f



x ₁,x ,x ₁, ,x₁,x₀



E  _{n n n n n} 

 

 

 



 (2.35)

asalkan tersedia titik tambahan xn_1.

3. Contoh Interpolasi Newton Contoh 2.4.1 :

t x_t f

 

xt

0 1.0 0.76519 1 1.3 0.62008 2 1.6 0.45540 3 1.9 0.28181 4 2.2 0.11036

Tentukan nilai pendekatan untuk f

 

1.5 dengan metode Beda Terbagi Newton untuk interpolasi polinomial derajat 4!

Penyelesaian :





   

0.48370

0 . 1 3 . 1

76519 . 0 62008 . 0 ,

0 1

0 1

1

0 

  

  

x x

x f x f x x f





   

0.54893

3 . 1 6 . 1

62008 . 0 45540 . 0 ,

1 2

1 2

2

1 

  

  

x x

x f x f x x f





   

0.57863

6 . 1 9 . 1

45540 . 0 28181 . 0 ,

2 3

2 3

3

2 _ 

 

  

x x

x f x f x x f





   

0.57150

9 . 1 2 . 2

28181 . 0 11036 . 0 ,

3 4

3 4

4

3 _ 

 

  

x x







 





 



0.10872 0 . 1 6 . 1 48370 . 0 54893 . 0 , , , , 0 2 1 0 2 1 2 1

0 _ 

       x x x x f x x f x x x f







 





 



0.04950 3 . 1 9 . 1 54893 . 0 57863 . 0 , , , , 1 3 2 1 3 2 3 2

1 

        x x x x f x x f x x x f







 





 



0.01188 6 . 1 2 . 2 57863 . 0 57150 . 0 , , , , 2 4 3 2 4 3 4 3

2 _ 

       x x x x f x x f x x x f







 





 



06580 . 0 0 . 1 9 . 1 10872 . 0 04950 . 0 , , , , , , , 0 3 2 1 0 3 2 1 3 2 1 0          x x x x x f x x x f x x x x f







 







06820 . 0 3 . 1 2 . 2 04950 . 0 01188 . 0 , , , , , , , 1 4 3 2 1 4 3 2 4 3 2 1         x x x x x f x x x f x x x x f







 



00200 . 0 0 . 1 2 . 2 06580 . 0 06820 . 0 , , , , , , , , , , 0 4 3 2 1 0 4 3 2 1 4 3 2 1 0        x x x x x x f x x x x f x x x x x f

Bila data-data di atas dibentuk dalam tabel beda hingga akan menjadi

i 0 1 2 3 4

i

x 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2

 

xi

f 0.76519 0.62008 0.45540 0.28181 0.11036



xi,xi1



f -0.48370 -0.54893 -0.57863 -0.57150



xi,xi1,xi2



f -0.10872 -0.04950 0.01188



x_i,x_i1,x_i2,x_i3



f 0.06580 0.06820



xi,xi1,xi2,xi3,xi4



f 0.00200

 

  

















































 





 









 











 

0.51182.

00001 . 0 00066 . 0 01087 . 0 24185 . 0 76519 . 0 9 . 1 5 . 1 6 . 1 5 . 1 3 . 1 5 . 1 0 . 1 5 . 1 00200 . 0 6 . 1 5 . 1 3 . 1 5 . 1 0 . 1 5 . 1 06580 . 0 3 . 1 5 . 1 0 . 1 5 . 1 10872 . 0 0 . 1 5 . 1 48370 . 0 0.76519 , , , , , , , , , , 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 2 1 0 3 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 4                                       x p x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x p

Jadi,nilai pendekatan untuk f

 

1.5 adalah 0.51182.

E. INTERPOLASI LAGRANGE

Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial Newton,

tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial

Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton.

Bentuk polinomial Newton order satu

 

  

0 0





1 0



1 x f x x x f x ,x

p    (2.36) Pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai bentuk





0 1 0 1 0 1 ) ( ) ( , x x x f x f x x f   





1 0 0 0 1 1 0 1 ) ( ) ( , x x x f x x x f x x f     (2.37)

Substitusi persamaan (2.36) ke dalam persamaan (2.37) memberikan

 

 

 

 

₀

1 0 0 1 0 1 0 0

1 f x

x x x x x f x x x x x f x p       

 

 

 

1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0

1 f x

x x x x x f x x x x x x x x x p                atau

 

 

 

1

0 1 0 0 1 0 1

1 f x

x x x x x f x x x x x p     

 (2.38)

Persamaan (2.38) dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order satu.

Dengan prosedur diatas, untuk interpolasi order dua akan didapat

 

 

 

 

2 1 2 1 0 2 0 1 2 1 2 0 1 0 0 2 0 2 1 0 1 2 x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x