BAB
Interpolasi Interpolasi Interpolasi Interpolasi
Berapa nilai estimasinya???!!!
Dua, tiga empat titik.
BAB 4
Interpolasi
Interpolasi
Interpolasi
Interpolasi
Setelah mempelajari persamaan linier serentak, maka sekarang kita akan mempelajari cara untuk mencari nilai tengah diantara titik-titik data yang diketahui. Seringkali dalam melakukan penelitian kita mendapatkan beberapa data dalam bentuk numerik yang mempunyai nilai yang berbeda pada persamaan. Oleh karena itu kita memerlukan suatu metode untuk mengetahui nilai titik tengah yang tidak termasuk dalam data yang dikumpulkan berdasarkan data yang ada. Secara umum metode yang digunakan untuk tujuan ini adalah interpolasi polinomial. Bentuk umum dari interpolasi orde ke-n adalah
= + + + ⋯ + (4.1)
Dimana untuk titik data ke n + 1 ada satu dan hanya satu polinomial orde ke-n yang melewati semua titik data. Misal untuk orde ke-1 hanya ada satu garis lurus yang menghubungkan dua titik data sperti pada Gambar 4.1(a).
Begitu juga untuk orde ke-2 ada satu prabola yang menghubungkan tiga titik data seperti Gambar 4.1(b). Sehingga garis yang mnghubungkan titik-titik ini nantinya digunakan untuk menghitung nilai tengah pada garis yang sudah dihubungkan.
Interpolasi polinomial dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 4.1.
contoh interpolasi polinomial (a) orde
pertama menghubungkan dua titik (b) orde kedua menghubungkan tiga titik (parabola) dan (c) orde ketiga menghubungkan empat titik (kubik)
(a) (b)
(c)
Adapun dalam bab ini akan dibahas secara mendalam mengenai interpolasi polinomial. Metode interpolasi yang akan dibahas dalam bab ini adalah 1. Metode interpolasi newton umum
2. Metode interpolasi lagrange
3. Metode interpolasi newton untuk data dengan jarak sama
4.1 4.1 4.1
4.1 Kompetensi Kompetensi Kompetensi Kompetensi
Mahasiswa diharapkan mampu:
1. Menentukan solusi dari interpoasi polinomial
2. Membedakan penggunaan metode numerik dalam menyelesaikan interpoasi polinomial.
3. Membuat program komputer sederhana untuk menentukan solusi interpoasi polinomial
4.2 4.2 4.2
4.2 Interpolasi Newton Umum Interpolasi Newton Umum Interpolasi Newton Umum Interpolasi Newton Umum
Interpolasi Newton umum biasa disebut dengan polinomial interpolasi Newton dibagi beda. Sebelum menjelaskan bentuk umum dari polinomial interpolasi Newton, akan dijelaskan terlebih dahulu orde pertama dan orde kedua dari interpolsai Newton karena lebih mudah untuk divisualisasikan.
4.2.1 Interpolasi Linier
Bentuk sederhana dari interpolasi adalah menghubungkan dua titik data dengan garis lurus. Tehnik ini disebut interpolasi linier. Dengan menggunakan teori segitiga yang sama, sebagaimana Gambar 4.2 maka didapatkan formulasi untuk interpolasi linier atau interpolasi dua titik
−
− = −
− (4.2)
Dapat ditulis sebagai
= + −
− − (4.3)
Rumus 4.2 dan 4.3 disebut formula dari interpolasi linier. disebut sebagai interpolasi polinomial orde pertama. Disamping sebagai slope dari garis lurus yang menghubungkan titik-titik, − − ⁄ juga disebut sebagai differensiasi dibagi beda yang merupakan pendekatan dari turunan pertama. Secara umum semakin kecil interval antara titik data maka semakin bagus tingkat pendekatannya. Interpolasi linier dapat digambarkan sebagaimana Gambar 4.2
Gambar 4.2
Interpolasi linier. Bagian yang diarsir merupakan segitiga yang sama dan digunakan untuk
menurunkan interpolasi linier, sebagaimana persamaan 4.2
Contoh 4.1
Estimasi nilai ln(2) dengan menggunakan interpolasi linier. Pertama gunakan titik-titik data yang diketahui x0 = 1 dan x1 = 6 dengan nilai f(x0) = 0 dan f(x1) = 1,791759 kemudian lanjutkan dengan menggunakan titik-titik
yang diketahui x0 = 1 dan x1 = 4 dengan nilai f(x0) = 0 dan f(x1) = 1,386294.
Nilai ln(2) yang sebenarnya adalah 0,6931472.
Penyelesaian :
a. Dengan menggunakan interpolasi linier dan titik-titik yang digunakan adalah x0 = 1 dan x1 = 6, didapatkan hasil.
= + −
− − 2 = 0 +1,791759 − 0
6 − 1 2 − 1 =1,791759
5 = 0,35835 Nilai εt = 48,3%
b. Dengan menggunakan titik-titik x0 = 1 dan x1 = 4 didapatkan hasil = + −
− − 2 = 0 +1,386294 − 0
4 − 1 2 − 1 =1,386294
2 = 0,4620981 Nilai εt = 33,38%
Berdasarkan dua jawaban tersebut bahwa error dari titik-titik (interval) yang berdekatan lebih kecil dibandingkan dengan titik-titik (interval) yang lebih jauh. Secara mudah dapat dilihat pada Gambar 4.2
Gambar 4.2 Interpolasi linier untuk
mengestimasi ln(2), dimana interval lebih kecil mendapatkan hasil yang lebih bagus.
Berdasarkan Gambar 4.2 terlihat bahwa nilai estimasi ln(2) dengan interpolasi linier yang mempunyai interval lebih pendek yaitu 1 dan 4 lebih baik di bandingkan dengan interval yang lebih panjang yaitu 1 dan 6
4.2.2 Interpolasi Kuadratik
Polinomial orde ke-2 yang biasa disebut polinomial kuadratik atau parabola mempunyai bentuk
= + − + − − (4.4)
Bentuk tersebut dapat di uraikan menjadi
= + − + + − − (4.5)
Atau dikumpulkan dalam bentuk polinomial umum
= + + (4.6)
Dimana :
= − + = − − =
Prosedur yang sederhana yang sederhana dapat digunakan untuk menentukan nilai dari koefisien. b0 dapat dihitung dengan menggunakan fungsi polinomial dimana nilai x = x0, sehingga
= (4.7)
Dengan mensubstitusi nilai b0 pada fungsi polinomial, maka nilai b1 dapat dihitung dengan memasukkan nilai x = x1, sehingga
= −
− (4.8)
Dengan mensubstitusi nilai b0 dan b1 pada fungsi polinomial, maka nilai b2
dapat dihitung dengan memasukkan nilai x = x2, sehingga
=
−
− − − −
−
(4.9)
Nilai b0 dan b1 sama dengan interpolasi polinomial orde pertama. Sedangkan − − merupakan kurva pada polinomial orde kedua.
Contoh 4.2
Berdasarkan contoh 4.1 maka estmasi nilai ln(2) dengan menggunakan interpolasi kuadratik dengan titik-titik data yang diketahui x0 = 1, x1 = 4, dan x2 = 6, dimana nilai masing-masing fungsi adalah f(x0) = 0, f(x1) = 1,386294, dan f(x2) = 1,791759 Nilai ln(2) yang sebenarnya adalah 0,6931472.
Penyelesaian :
Dengan menggunakan interpolasi polinomial orde kedua dan titik-titik yang digunakan adalah x0 = 1, x1 = 4 dan x3 = 6, didapatkan hasil.
= + − + − − Dimana :
= = 0 = −
− =1,386294 − 0
4 − 1 =1,386294
3 = 0,462098
=
−
− − − −
−
=
1,791759 − 1,386294
6 − 4 − 0,462098
6 − 1 = −0,051873
Sehingga persamaan interpolasi kuadratik adalah = 0 + 0,462098 − 1 − 0,051873 − 1 − 4
Dengan persamaan tersebut nilai ln(2) adalah pada x = 2, hasilnya 2 = 0 + 0,4620982 − 1 − 0,0518732 − 12 − 4 = 0,565844
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik nilai error menjadi 18,4%
dibandingkan dengan interpolasi linier maka hasil ini lebih baik. Secara jelas akan digambarkan pada Gambar 4.3
Gambar 4.3 Interpolasi kuadratik untuk
mengsestimasi nilai ln(2)
Berdasarkan Gambar 4.3 terlihat bahwa nilai ln(2) dengan menggunakan interpolasi kuadratik lebih baik dibandingkan dengan menggunakan interpolasi linier.
4.2.3 Bentuk Umum Polinomial Interpolasi Newton
Secara umum untuk mengetahui polinimial orde ke-n untuk n+1 titik data.
Polinomial orde ke-n adalah
= + − + ⋯ + − − … − (4.10) Sebagaimana pada interpolasi linier dan kuadaratik, maka titik data pada interpolasi polinomial orde ke-n dapat digunakan untuk menghitung koefisien , , … , dengan persamaan
= (4.11)
= , (4.12)
= , , (4.13)
. . .
= , , … , , (4.14)
Dimana fungsi yang terdapat dalam tanda kurung adalah merupakan differensisi dibagi hingga. Nilai differensisi dibagi hingga pertama secara umum dapat dinyatakan
!", #$ =" − #
"− # (4.15)
Nilai differensisi dibagi hingga kedua secara umum dapat dinyatakan
!", #, %$ = !", #$ − !#, %$
"− % (4.16)
Sehingga dapat diketahui nilai differensisi dibagi hingga ke-n untuk bentuk umum dinyatakan dengan
, , … , , =, , … , , − , , … , ,
− (4.17)
Nilai differensisi pada persamaan 4.15 sampai 4.17 dapat digunakan untuk menghitung koefisien-koefisien pada persamaan 4.11 sampai 4.14 dan disubstitusikan kedalam persamaan 4.10, hasilnya adalah persamaan 4.18
yaitu interpolasi polinomial yang biasa disebut dengan polinomial interpolasi Newton dibagi beda
= + − , + − − , ,
+ ⋯ + − − … − , , … , , (4.18)
Perlu dijadikan catatan bahwa titik-titik data yang digunakan pada persamaan 4.18 tidak harus mempunyai jarak yang sama dan nilai absis tidak harus berurutan menaik. Disamping itu persamaan 4.15 sampai 4.17 adalah recursive (berulang) yaitu differensisi pada order tertinggi dapat diperoleh dari differensisi pada order terendah sebagaimana tergambar pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Fungsi Recursive nilai differensisi dibagi hingga i xi f(xi) Pertama Kedua Ketiga 0 x0 f(x0) f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0] 1 x1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2,x1]
2 x2 f(x2) f[x3,x2] 3 x3 f(x3)
Contoh 4.3
Berdasarkan contoh 4.1 dan contoh 4.2 estimasi nilai ln(2) dengan menambahkan titik-titik data yang diketahui manjadi empat titik yaitu x0 = 1, x1 = 4, x2 = 5 dan x3 = 6, dimana nilai fungsi dari masing-masing titik – titik data tersebut adalah f(x0) = 0, f(x1) = 1,386294, f(x2) = 1,609438 dan f(x3) = 1,791759. Bagaimanakah hasil dari estimasi nilai ln(2) dibandingkan dengan contoh 4.1 dan contoh 4.2.
Penyelesaian :
Karena titik – titik data yang diketahui pada soal sebanyak empat titik maka orde polinomial maksimal yang bisa digunakan dalam interpolasi polinomial Newton adalah interpolasi polinomial orde ketiga. Adapun formula yang digunakan adalah
& = + − + − − + & − − − Dengan menggunakan differensisi bagi hingga sebagaimana persamaan 4.15 sampai persamaan 4.17 maka didapatkan hasil
• Orde Pertama
, = −
− =1,386294 − 0
4 − 1 = 0,462098 , = −
− =1,609438 − 1,386294
5 − 4 = 0,223144
&, =& −
&− =1,791759 − 1,609438
6 − 5 = 0,182321
• Orde Kedua
, , = , − ,
−
=0,223144 − 0,462098
4 − 1 = −0,05974 &, , = &, − ,
&−
=0,182321 − 0,223144
6 − 4 = −0,02041
• Orde Ketiga
&, , , =&, , − , ,
&−
=−0,02041 − −0,05974
6 − 1 = 0,007866
Atau dalam bentuk tabel
Tabel 4.2 Hasil perhitungan differensisi beda hingga i xi f(xi) Pertama Kedua Ketiga 0 1 0 0,462098 -0,05974 0,007866 1 4 1,386294 0,223144 -0,02041
2 5 1,609438 0,182321 3 6 1,791759
Berdasarkan perhitungan dan Tabel 4.2 maka persamaan polinomial orde ketiga yang didapatkan
& = 0 + 0,462098 − − 0,05974 − − + 0,007866 − − −
Sehingga ln(2) yaitu persamaan orde ketiga mengganti nilai x dengan 2 menjadi
& = 0 + 0,4620982 − 1 − 0,059742 − 12 − 4 + 0,0078662 − 12 − 42 − 5 = 0,628769
Dengan menggunakan interpolasi kubik maka nilai error menjadi lebih kecil dibandingkan dengan pada dua contoh sebelumnya yaitu 9,3%. Secara jelas estimasi polinomial dapat dilihat pada Gambar 4.4
Gambar 4.4 Interpolasi kubik untuk
mengestimasi nilai ln(2)
Berdasarkan penjelasan mengenai interpolasi Newton umum maka dapat dinyatakan dalam algoritma berikut :
Langkah 1. Definisikan fungsi x, nilai n dan nilai xvalue Langkah 2. untuk i = 0 : n, ulangi langkah 3 dan 4 Langkah 3. x[i,0] = xi
Langkah 4. y[i] = f(x[i,0]) Langkah 5. Sum = 0
Langkah 6. Untuk j = 1 : n ulangi langkah 6 dan 7 Langkah 7. Untuk i = 0 : n-j,ulangi langkah 7
Langkah 8. f(x[I,j] = (f(x[i+1,j-1])-f(x[I,j-1]))/(x[i+j,0) – x[i,0]) Langkah 9. xterm = 1
Langkah 10. Yiter[0] = f(x[0,0])
Langkah 11. Untuk order = 1 : n, ulangi langkah 11 Langkah 12. Hitung xterm = xterm * (xvalue-x[order-1,0])
Langkah 13. Hitung yiter1 = yiter[order – 1] + f(x[0,order]) * xterm Langkah 14. Hitung yiter[order]=yiter1
4.3 4.3 4.3
4.3 Interpolasi Lagrange Interpolasi Lagrange Interpolasi Lagrange Interpolasi Lagrange
Interpolasi polinomial Lagrange secara sederhana diformulasikan ulang dari interpolasi polinomial newton untuk perhitungan differensisi dibagi. Interpolasi ini dapat dinyatakan sebagai
= ' (""
")
(4.19)
Dimana :
(" = * − #
"− #
#)#+"
(4.20)
Misal n = 1 (versi linier) = −
− + −
− (4.21)
Versi orde kedua (n=2) = − −
− − + − − − − + − −
− −
(4.22)
Contoh 4.4
Berdasarkan contoh 4.3. Carilah nilai ln(2) dengan menggunakan metode interpolasi lagrange.
Penyelesaian : diketahui :
x0 = 1 f(x0) = 0 x1 = 4 f(x1) = 1,386294 x2 = 5 f(x2) = 1,609438 x3 = 6 f(x3) = 1,791759 a. Polinomial orde pertama
= −
− + −
−
2 =2 − 4
1 − 4 0 +2 − 1
4 − 1 1,386294 = 0,62098 b. Polinomial orde kedua
= − −
− − + − − − − + − −
− − 2 =2 − 42 − 6
1 − 41 − 6 0 +2 − 12 − 6
4 − 14 − 6 1,386294 +2 − 12 − 4
6 − 16 − 4 1,791759 = 0,565844 c. Polinomial orde ketiga
& = − − − &
− − − + − − − &
− − − &
+ − − − &
− − − &
+ − − −
&− &− &− &
& =2 − 42 − 52 − 6 1 − 41 − 51 − 6 0 +2 − 12 − 52 − 6
4 − 14 − 54 − 6 1,386294 +2 − 12 − 42 − 6
5 − 15 − 45 − 6 1,609438 +2 − 12 − 42 − 5
6 − 16 − 46 − 5 1,791759 = 0,628769
Dengan menggunakan interpolasi polinomial lagrange hasil yang didapat sama dengan menggunkan interpolasi newton. Baik untuk orde pertama, kedua maupun ketiga. Sehingga semakin besar orde yan digunakan maka akan semakin mendekati nilai sebenarnya.
Pada dasarnya interpolasi polinomial Lagrange dapat diturunkan secara langsung dari interpolasi polinomial Newton. Misal pada kasus orde pertama, interpolasi Newton diberikan
, = −
− (4.23)
Dapat diformulasikan ulang menjadi , =
− +
− (4.24)
Dengan mensubstitusikan persamaan 4.24 terhadap persamaan 4.3 maka interpolasi Newton menjadi
= +
− − +
− − (4.25)
Akhirnya, dengan menggabungkan bagian yang sama dan menyederhadakan persamaan maka interpolasi Newton menjadi sama dengan persamaan interpoalsi Lagrange orde pertama, yaitu
= −
− + −
− (4.26)
Dengan cara yang sama dapat diturunkan sampai orde ke-n.
Adapun gambaran visual dari interpolasi Lagrange dapat dilihat pada Gambar 4.5 yang menunjukkan suatu kasus orde kedua, dimana masing – masing dari tiga bagian pada persamaan 4.22 melalui satu dari titik-titik data dan nol pada dua titik data yang lain. Jumlahan dari ketiga bagian ini adalah polinomial orde kedua yang secara pasti melalui tiga titik
Gambar 4.5 Gambaran visual dari bagian rasional pada polinomial Lagrange.
Berdasarkan penjelasan mengenai interpolasi Lagrange maka secara umum algoritma dari interpolasi ini adalah
Langkah 1. Definisikan fungsi x, nilai n dan xvalue Langkah 2. Untuk i = 0 : n,ulangi langkah 3 dan 4 Langkah 3. X[I,0]=xi
Langkah 4. Y[i]=f(x[I,0]) Langkah 5. Sum = 0
Langkah 6. Untuk j = 0 : n ulangi langkah 7 sampai 11 Langkah 7. Kali = 1
Langkah 8. Untuk i = 0 : n-j,ulangi langkah 9
Langkah 9. Jika i ≠ j maka kali = kali * (xvalue-x[j])/(x[i] – x[j]) Langkah 10. Sum = sum + kali
Langkah 11. Cetak sum
4.4 Interpolasi Newton untuk Data dengan Jarak Sama
Interpolasi Newton untuk data yang sama ini merupakan pengembangan dari interpolasi Newton. Ada beberapa metode yang bisa digunakan jika jarak antara titik data yang diketahui sama. Pada subbab sebelumnya interpolasi digunakan untuk data yang tidak harus sama, akan tetapi pada subbab ini ini akan dibahas khusus beberapa metode interpolasi Newton jika data mempunyai jarak sama.
4.4.1 Interpolasi Newton Maju
Jika data berjarak sama dan dalam urutan menaik, serta diasumsikan sebagai variabel independen, maka
= + ℎ (4.27)
= + 2ℎ (4.28)
. . .
= + -ℎ (4.29)
Dimana h adalah interval (step) antara data. Pada dasarnya differensisi dibagi hingga dapat dinyatakan dalam bentuk yang ringkas. Sebagai contoh adalah differensisi dibagi forward (maju) orde kedua.
, , =
−
− − − −
−
(4.30)
Karena − = − = − 2⁄ = ℎ, maka persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai
, , = − 2 +
2ℎ (4.31)
Jika,
∆ = − 2 + Maka
, , =∆
2! ℎ (4.32)
Sehingga secara umum didapatkan , … , , =∆
-! ℎ (4.33)
Dengan menggunakan persamaan 4.33 maka interpolasi polinomial newton sebagaimana persamaan 4.18 dapat dinyatakan untuk data dengan jarak yang sama sebagai berikut
= +∆
ℎ − +∆
2! ℎ − − − ℎ + ⋯ +∆
-! ℎ − − − ℎ … − − - − 1ℎ
(4.34)
Jika
0 = − ℎ maka
− = 0ℎ
− − ℎ = 0ℎ − ℎ = ℎ0 − 1 .
. .
− − - − 1ℎ = 0ℎ − - − 1ℎ = ℎ0 − - + 1 Sehingga interpolasi Newton dapat dinyatakan sebagai = + ∆0 +∆
2! 00 − 1 + ⋯ +∆
-! 00 − 1 … 0 − - + 1
(4.35)
Rumus 4.35 dikatakan sebagai interpolasi newton maju, karena perhitungan dilakukan secara forward yaitu dari x terkecil (x0) sampai x terbesar (xn). Perhitungan tersebut secara mudah dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, dimana sel yang di arsir adalah yang digunakan dalam persamaan 4.35. Interpolasi Newton maju digunakan untuk mendapatkan nilai yang mendekati nilai awal tabel.
Tabel 4.3 Interpolasi Newton Maju x y ∆y ∆2y ∆3y x0 y0 ∆y0 ∆2y0 ∆3y0
x1 y1 ∆y1 ∆2y1
x2 y2 ∆y2
x3 y3
Contoh 4.5
Diberikan suatu nilai x dan y yang berpasangan seperti pada tabel berikut :
x 10 11 12 13 14
y 1 1,0414 1,0792 1,1139 1,1461 Carilah nilai f(11,4).
Penyelesaian :
Karena yang dicari f(11,4) maka mendekati nilai awal yaitu f(10) sehingga metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah metode interpolasi newton maju.
Langkah awal adalah membuat tabel untuk mempermudah melakukan perhitungan persamaan polinomial. Adapun tabel diberikan.
Tabel 4.4 Hasil perhitungan untuk Interpolasi Newton Maju x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y
10 1 0,0414 -0,0036 0,0005 0,0001 11 1,0414 0,0378 -0,0031 0,0006 12 1,0792 0,0347 -0,0025
13 1,1139 0,0322 14 1,1461
Dimana ∆y(x=10) = y(x=11) – y(x=10) dst U=x-x0 = 11,4 – 10 = 1,4
Sehingga didapat
1 = + ∆0 +∆
2! 00 − 1 +∆&
3! 00 − 10 − 2 +∆1
4! 00 − 10 − 20 − 3 111,4 = 1 + 0,04141,4 +−0,0036
2! 1,41,4 − 1 +0,0005
3! 1,41,4 − 11,4 − 2 +0,0001
4! 1,41,4 − 11,4 − 21,4 − 3
= 1,0569
4.4.2 Interpolasi Newton Mundur
Interpolasi ini digunakan kebalikan daripada interpolasi Newton maju, yaitu jika titik yang dicari adalah mendekati nilai akhir. Adapun cara mendapatkan formula interpolasi ini sama dengan mendapatkan formula interpolasi Newton maju. Akan tetapi megganti nilai x0 dengan xn, x1 dengan xn-1 dan seterusnya xk dengan xn-k. Sehingga persamaan 4.34 menjadi
= +∆
ℎ − +∆
2! ℎ − + ⋯ +∆
-! ℎ − − … −
(4.36)
Jika
0 = − ℎ
Maka persamaan 4.36 menjadi
= + ∆ 0 +∆
2! 00 + 1 + ⋯ +∆
-! 00 + 1 … 0 + - − 1
(4.37)
Tabel 4.5 Interpolasi Newton Mundur x y ∆y ∆2y ∆3y
x0 y0 ∆y0 ∆2y0 ∆3y0
x1 y1 ∆y1 ∆2y1
x2 y2 ∆y2
x3 y3
Tabel 4.5 menyatakan perhitungan interpolasi Newton mundur dan bagian yang diarsir digunakan untuk perhitungan pada persamaan 4.37
Contoh 4.6 :
Data sebagaimana pada contoh 4.3. Carilah nilai f(14,5) Penyelesaian :
Langkah awal membuat tabel sebagaimana contoh 3.4
Tabel 4.6 Hasil Perhitungan untuk Interpolasi Newton Mundur x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y
10 1 0,0414 -0,0036 0,0005 0,0001 11 1,0414 0,0378 -0,0031 0,0006 12 1,0792 0,0347 -0,0025
13 1,1139 0,0322 14 1,1461
U = (xn – x)/h = (14,5-14)/1 = 0,5
1 = 1 + ∆&0 +∆
2! 00 + 1 +∆&
3! 00 + 10 + 2 +∆1
4! 00 + 10 + 20 + 3 114,5 = 1,1461 + 0,03220,5 +−0,0025
2! 0,50,5 + 1 +0,0006
3! 0,50,5 + 10,5 + 2 +0,0001
4! 0,50,5 + 10,5 + 20,5 + 3
= 1,1615
4.4.3 Interpolasi Gauss Maju
Jika interpolassi Newton maju dan mundur digunakan pada tabel secara menaik dan menurun, maka interpolasi Gauss maju ini digunakan untuk perhitungan interpolasi pada bagian tengah dari tabel. Adapun tabel yang digunakan adalah Tabel 4.7
Tabel 4.7 Interpolasi Gauss Maju
x Ux ∆Ux ∆2Ux ∆3Ux ∆4Ux ∆5Ux ∆6Ux
-3 U-3
∆U-3 -2 U-2
∆U-2
∆2U-3
∆3U-3 -1 U-1
∆U-1
∆2U-2
∆3U-2
∆4U-3
∆5U-3
0 U0
∆U0
∆2U-1
∆3U-1
∆4U-2
∆5U-2
∆6U-3
1 U1
∆U1
∆2U0
∆3U0
∆4U-1
2 U2
∆U2
∆2U1
3 U3
Dimana :
∆U-3 = U-2 - U-3
∆2U-2 = ∆U-1 - ∆U-2
∆3U-3 = ∆2U-2 - ∆2U-3
Jika
∆2U0 = ∆2U-1 + ∆3U-1
∆3U0 = ∆3U-1 + ∆4U-1 = ∆3U-1 + ∆4U-2 + ∆5U-2
∆4U0 = ∆4U-1 + ∆5U-1 = ∆4U-2 + ∆5U-2 + ∆5U-1 = ∆4U-2 + 2∆5U-2 + ∆6U-3 + ∆7U-3
Dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan 4.5, maka 02= 0+ ∆0+
2! ∆0+&
3! ∆&0+1
4! ∆10+ ⋯ (4.38)
Berdasarkan pemisalan dan hasil substitusi pada persamaan 4.38 maka akan didapatkan Rumus interpoalsi Gauss maju yaitu
02 = 0+ ∆0+
2! ∆0 + + 1&
3! ∆&0 + + 11 4! ∆10
+ + 23
5! ∆30+ + 24
6! ∆40&+ ⋯
(4.39)
Nilai yang diarsir pada Tabel 4.7 menyatakan nilai yang digunakan untuk perhitungan persamaan 4.39
Contoh 4.7
Carilah nilai t = 1,58 jika diberikan beberapa titik data pada Tabel 4.8 Tabel 4.8 Data anatara t dan Ut
t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Ut 0 0,191460 0,34134 0,43319 0,47725 0,49379 0,49865
Penyelesaian :
Berdasarkan data pada contoh 4.7 ada 7 titik data yang diketahui. maka t0 = 1,5
t = 1,58
x = (t – t0)/h = (1,58 – 1,5)/0,5 = 0,16
kemudian membuat tabel seperti Tabel 4.7 dari data yang ada di Tabel 4.8 didapatkan hasil seperti Tabel 4.9
Tabel 4.9 Hasil Perhitungan Interpolasi Gauss
x tx Utx ∆Utx ∆2Utx ∆3Utx ∆4Utx ∆5Utx ∆6Utx
-3 0 0
0,19146 -2 0,5 0,19146
0,14988
-0,04158
-0,01645 -1 1 0,34134
0,09185
-0,05803
0,01024
0,02669
-0,01666 0 1,5 0,43319
0,04406
-0,04779
0,02027
0,01003
-0,01446
0,0022
1 2 0,47725
0,01654
-0,02752
0,01584
0,00443
2 2,5 0,49379
0,00486
-0,01168
3 3 0,49865
dengan menggunakan persamaan 4.39 maka 02= 0+ ∆0+
2! ∆0 + + 1&
3! ∆&0 + + 11 4! ∆10
+ + 23
5! ∆30+ + 24
6! ∆40&+ ⋯
02= 0,43319 + 0,160,04406 +0,160,16 − 1
2! −0,04779 +0,16 + 10,160,16 − 1
3! 0,02027 +0,16 + 10,160,16 − 10,16 − 2
4! 0,01003
+0,16 + 20,16 + 10,160,16 − 10,16 − 2
5! −0,01446
+0,16 + 20,16 + 10,160,16 − 10,16 − 20,16 − 3
6! 0,0022
= 0,43319 + 0,00705 + 0,00321 − 0,00053 + 0,00012 − 0,000075 − 0,000005
= 0,442964
Dengan menggunakan metode interpolasi Gauss mundur didapatkan hasil bahwa jika t = 1,58 maka Ut = 0,442964
4.4.4 Interpolasi Gauss Mundur
Sebagaimana interpolasi Gauss maju, interpolasi Gauss mundur juga digunakan jika data yang ingin dicari adalah mendekati nilai tengah.
Perhitungan interpolasi secara mudah dapat dilakukan dengan melihat nilai bagian tengah dari tabel 4.10.
Sel yang diarsir pada Tabel 4.10 merupakan nilai yang digunakan untuk perhitungan interpolasi Newton mundur sebagaimana persamaan 4.40.
Jika
∆U0 = ∆U-1 + ∆2U-1
∆3U-1 = ∆3U-2 + ∆4U-2
∆5U-2 = ∆5U-3 + ∆6U-3
Dan disubstitusikan kedalam persamaan 4.39, sehingga menjadi rumus interpolasi Gauss mundur yaitu
02= 0+ ∆0 + + 1
2! ∆0 + + 1&
3! ∆&0
+ + 21
4! ∆10+ + 23
5! ∆30&+ + 34
6! ∆40&+ ⋯
(4.40)
Tabel 4.10 Interpolasi Gauss Mundur
X Ux ∆Ux ∆2Ux ∆3Ux ∆4Ux ∆5Ux ∆6Ux
-3 U-3
∆U-3 -2 U-2
∆U-2
∆2U-3
∆3U-3 -1 U-1
∆U-1
∆2U-2
∆3U-2
∆4U-3
∆5U-3
0 U0
∆U0
∆2U-1
∆3U-1
∆4U-2
∆5U-2
∆6U-3
1 U1
∆U1
∆2U0
∆3U0
∆4U-1
2 U2
∆U2
∆2U1
3 U3
Contoh 4.8
Carilah nilai x = 3,25 jika diberikan beberapa titik data sebagaimana Tabel 4.11. Sudah diketahui bahwa nilai sebenarnya secara analisis dari soal adalah y = 0,01278
Tabel 4.11 Data antara x dan y
x 0 1 2 3 4 5 6
y -0,33 -0,2 -0,08 0 0,04 0,06 0,07
Penyelesaian :
Berdasarkan data pada contoh 4.8 ada 7 titik data yang diketahui, maka x0 = 3
x = 3,25 sehingga
x = (3,25 – 3)/1 = 0,25
karena data yang diketahui mempunyai jarak yang sama maka metode yang digunakan adalah metode interpolasi Gauss. Sehingga perlu dibuat tabel seperti Tabel 4.10 dari data yang ada di Tabel 4.11 didapatkan hasil seperti Tabel 4.12
Tabel 4.12 Hasil Perhitungan Interpolasi Gauss Mundur
x tx Utx ∆Utx ∆2Utx ∆3Utx ∆4Utx ∆5Utx ∆6Utx
-3 0 -0,33
0,13 -2 1 -0,2
0,12
-0,01
-0,03 -1 2 -0,08
0,08
-0,04
0
0,03
-0,01
0 3 0
0,04
-0,04
0,02
0,02
-0,03
-0,02 1 4 0,04
0,02
-0,02
0,01
-0,01 2 5 0,06
0,01
-0,01 3 6 0,07
dengan menggunakan persamaan 4.40 maka
02= 0+ ∆0 + + 1
2! ∆0 + + 1&
3! ∆&0
+ + 21
4! ∆10+ + 23
5! ∆30&+ + 34
6! ∆40&+ ⋯ 02= 0 + 0,250,08 +0,25 + 10,25
2! −0,04 +0,25 + 10,250,25 − 1
3! 0
+0,25 + 20,25 + 10,250,25 − 1
4! 0,02
+0,25 + 20,25 + 10,250,25 − 10,25 − 2
5! −0,01
+0,25 + 30,25 + 20,25 + 10,250,25 − 10,25 − 2
6! −0,02
= 0 + 0,02 − 0,00625 + 0 − 0,00044 − 0,000077 + 0,000026 = 0,013208 Dengan menggunakan interpolasi Gauss mundur didapatkan hasil bahwa jika x = 3,25 maka y = 0,013208 dengan |εt| = 3,35%
4.4.5 Interpolasi Stirling
Interpolasi Stirling merupakan interpolasi yang digunakan jika data berada ditengah-tengah tabel sebagaimana interpolasi Gauss maju dan mundur. Rumus interpolasi ini didapat dengan membuat rata-rata antara rumus interpolasi Gauss maju dan mundur. Adapun rumus interpolasi Stirling adalah :
02= 0+ ∆0 +
2! ∆0 + + 1&
3! ∆&0 +
4 + 1&
3! ∆10
+ + 23
5! ∆30 +
6 + 23
5! ∆40&+ ⋯
(4.41)
Dimana
∆U = 1/2 (∆U-1 + ∆U0)
∆3U = 1/2(∆3U-2 + ∆3U-1)
∆5U = 1/2(∆5U-3 + ∆5U-2)
Contoh 4.9
Dengan menggunakan contoh 4.8 Carilah nilai x = 3,25.
Penyelesaian :
Berdasarkan data pada contoh 4.8 ada 7 titik data yang diketahui, maka x0 = 3
x = 3,25 sehingga
x = (3,25 – 3)/1 = 0,25
akan digunakan metode stirling untuk melakukan perhitungan contoh 4.9.
untuk memudahkan dibuat tabel seperti Tabel 4.10 dari data yang ada di Tabel 4.11 didapatkan hasil seperti Tabel 4.13
Tabel 4.13 Hasil Perhitungan Interpolasi Stirling
x tx Utx ∆Utx ∆2Utx ∆3Utx ∆4Utx ∆5Utx ∆6Utx
-3 0 -0,33
0,13 -2 1 -0,2
0,12
-0,01
-0,03 -1 2 -0,08
0,08
-0,04
0
0,03
-0,01
0 3 0
0,04
-0,04
0,02
0,02
-0,03
-0,02 1 4 0,04
0,02
-0,02
0,01
-0,01 2 5 0,06
0,01
-0,01 3 6 0,07
dengan menggunakan persamaan 4.40 maka
02= 0+ ∆0 +
2! ∆0 + + 1&
3! ∆&0 +
4 + 1&
3! ∆10
+ + 23
5! ∆30 +
6 + 23
5! ∆40&+ ⋯ 02= 0 + 0,250,08 + 0,04
2 +0,250,25 − 1
2! −0,04 +0,25 + 10,250,25 − 1
3! 0 + 0,02
2 +0,25
4 0,25 + 10,250,25 − 1
3! 0,02
+0,25 + 20,25 + 10,250,25 − 10,25 − 2
5! −0,01 − 0,03
2 +0,25
6 0,25 + 20,25 + 10,250,25 − 10,25 − 2
5! −0,02
= 0 + 0,015 + 0,00375 − 0,00039 − 0,000049 − 0,00015 − 0,0000064
= 0,01815
Dengan menggunakan interpolasi Gauss mundur didapatkan hasil bahwa jika x = 3,25 maka y = 0,01815 dengan |εt| = 42%
4.5 Latihan Soal
1. Diberikan data sebagai berikut :
x 0 5 10 15 20 25 30 35 40
y -0,33 0,06 0,06 0,05 0,04 0,03 0,03 0,03 0,02 Carilah nilai y jika x=12 dengan menggunakan
a. Interpolasi polinomial Newton b. Interpolasi Lagrange
c. Carilah nilai y jika x = 2 dengan menggunakan Interpolasi Newton maju
d. Carilah nilai y jika x = 42 dengan menggunakan interpolasi Newton mundur
e. Carilah nilai y jika x = 21 dengan menggunakan interpolasi Gauss maju, Gauss mundur dan Stirling
f. Bandingkan hasil dari jawaban a – e dengan fungsi y = (x – 3)/(x2 + 9) 2. Diberikan data sebagai berikut :
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 2 0 0,6667 0 0,4 0 0,2857 0 0,2222 0 0,1818 Turunkan :
a. Fungsi interpolasi polinomial Newton b. Fungsi interpolasi Lagrange
c. Fungsi interpolasi Newton Maju dan mundur
d. Fungsi interpolasi Gauss maju, Gauss mundur dan Stirling
e. Cek hasil fungsi yang didapat dengan menghitung sembarang nilai yang ada diantara titik-titik tersebut
f. Bandingkan hasil pertanyaan d dengan persamaan y = (1 + cos(πx))/(1 + x)
3. Berikut diberikan suatu data dari kekuatan gunting besar dalam kilopascal (kPa) jika di masukkan ke kedalaman tanah liat
kedalaman (m) 1,9 3,1 4,2 5,1 5,8 6,9 8,1 9,3 10 kekuatan (kPa) 14,4 28,7 19,2 43,1 33,5 52,7 71,8 62,2 76,6 Estimasi kekuatan gunting pada kedalaman 4,5 m
4. Berikut diberikan data mengenai gelombang pendek radiasi flux pada batas terluar dari atmospher. Estimasi nilai flux pada garis lintang 35
Garis lintang 0 20 40 60 80 flux 891 856 719 494 219
5. Berikut diberikan data mengenai kapasitas panas dari methylcyclohexane C7H14 sebagai fungsi dari temperatur (K). Estimasi kapasitas panas pada temperatur 175, 225 dan 275
Temperatur 150 200 250 300 kapasitas 1,43 1,54 1,70 1,89
4.6 Jawaban Soal
1. a. 0,0548 b. 0,0548 c. -0,061 d. 0,01
e. Gauss maju = 0,0375, Gauss mundur = 0,0375 dan Stirling = 0,0375 3. 33,29
![Tabel 4.1 Fungsi Recursive nilai differensisi dibagi hingga i x i f(x i ) Pertama Kedua Ketiga 0 x 0 f(x 0 ) f[x 1 ,x 0 ] f[x 2 ,x 1 ,x 0 ] f[x 3 ,x 2 ,x 1 ,x 0 ] 1 x 1 f(x 1 ) f[x 2 ,x 1 ] f[x 3 ,x 2 ,x 1 ]](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/11870695.0/11.918.172.625.526.737/tabel-fungsi-recursive-differensisi-dibagi-hingga-pertama-ketiga.webp)
