interpolasi fisika komputasi

TUGAS

MATA KULIAH PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI

MODUL 3 : INTERPOLASI

Disusun oleh

Izzah Nida’ul Fitrah NIM. 24040122120007 Asisten Praktikum

1. Adam Gilbran NIM. 24040121130065

2. Rahardian Prasetya NIM.24040121140091

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO

SEMARANG 2024

1 1. Flowchart

1.1 Metode Polinomial Orde N (Orde 1)

mulai

N(orde), t1, t2, a1, a2, tx

ax=0

j=1:N+1

a1=1, a2=1

k=1:N+1

a1=a1*(tx-t(k)) a2=a2*(t(j)-t(k))

ax=ax+a1*a(j)/a2

ax

selesai

Gambar 1.1 Flowchart Metode Polinomial Orde N (Orde 1) tidak

ya

tidak

ya

2 1.2 Metode Polinomial Orde N (Orde 2)

mulai

N(orde), t1, t2, t3, a1, a2, a3, tx

ax=0

i=1:N+1

a1=1, a2=1

j=1:N+1

a1=a1*(tx-t(j)) a2=a2*(t(i)-t(j))

ax=ax+a1*a(i)/a2

ax

selesai

Gambar 1.2 Flowchart Metode Polinomial Orde N (Orde 2) tidak

ya

tidak

ya

3 1.3 Metode Interpolasi Orde 1 (Linier)

mulai

N(orde), t1, t2, a1, a2, t

A0=((t2*a1)-(t1*a2)) A1=(a2-a1)/(t2-t1)

Fx=A0+(A1*t)

fx

selesai

Gambar 1.3 Flowchart Metode Interpolasi Orde 1 (Linier)

4 2. Script

2.1 Metode Interpolasi Orde 1 (Linier)

clc clear all

%Interpolasi Orde 1(linier)

%NIM=07 dibalik menjadi 70, lalu dibagi 10 = 7

%waktu (t) = 6 8 (sb x)

%percepatan (a) = 6.64 5.23 (sb y)

%Mencari percepatan pada waktu (t) = 7

t1=input('t1='); %nilai waktu t1 t2=input('t2='); %nilai waktu t2

a1=input('a1='); %nilai percepatan pada waktu 1 a2=input('a2='); %nilai percepatan pada waktu 2

t=input('t='); %nilai waktu (t) yang akan dicari tahu percepatannya A0 = ((t2*a1)-(t1*a2))/(t2-t1) %rumus mencari A0

A1 = (a2-a1)/(t2-t1) %rumus nencari A1

ax=A0+(A1*t) %rumus polinomial mencari percepatan

2.2 Metode Polinomial Orde N (Orde 1)

clc

clear all

%Metode polinomial orde N (Orde 1)

N=input('N='); %nilai N (orde interpolasi) t(1)=input('t1='); %nilai waktu t1

t(2)=input('t2='); %nilai waktu t2

a(1)=input('a1='); %nilai percepatan pada waktu 1 a(2)=input('a2='); %nilai percepatan pada waktu 2

tx=input('tx='); %nilai waktu (tx) yang akan dicari tahu percepatannya ax=0; %inisialisasi variabel sigma

for j=1:N+1 %iterasi variabel sigma

a1=1; %inisialisasi variabel pi(perkalian) a2=1; %inisialisasi variabel pi(perkalian) for k=1:N+1 %iterasi variabel pi(perkalian) if j~=k %jika i tidak sama dengan k a1=a1*(tx-t(k));

a2=a2*(t(j)-t(k));

end end

ax=ax+a1*a(j)/a2; %rumus interpolasi Lagrange orde N end

ax %nilai percepatan yang dicari

5 2.3 Metode Polinomial Orde N (Orde 2)

clc

clear all

%metode Polinomial orde N

%NIM=07 menjadi 70/10=7.didapatkan nilai tx=7.

%titik x yang diambil = waktu (t) = 6 8 10 (sb x)

%titik y yang diambil = percepatan (a) = 6.64 5.23 1.66 (sb y)

N=input('N='); %nilai N (orde interpolasi) t(1)=input('t1='); %nilai waktu t1

t(2)=input('t2='); %nilai waktu t2 t(3)=input('t3='); %nilai waktu t3

a(1)=input('a1='); %nilai percepatan pada waktu 1 a(2)=input('a2='); %nilai percepatan pada waktu 2 a(3)=input('a3='); %nilai percepatan pada waktu 3

tx=input('tx='); %nilai waktu (tx) yang akan dicari tahu percepatannya ax=0; %inisialisasi variabel sigma

for i=1:N+1 %iterasi variabel sigma

a1=1; %inisialisasi variabel pi(perkalian) a2=1; %inisialisasi variabel pi(perkalian) for j=1:N+1 %iterasi variabel pi(perkalian) if i~=j %jika i tidak sama dengan j a1=a1*(tx-t(j));

a2=a2*(t(i)-t(j));

end end

ax=ax+a1*a(i)/a2; %rumus interpolasi Lagrange orde N end

ax %nilai percepatan yang dicari

6 2. Hitungan manual

2.1 Orde 1

2.1.1 Metode Interpolasi Orde 1 (Linier)

Dua angka terakhir NIM=07, maka x=7. Titik yang dipilih x0=6, x1=8, y0=6.64, y1=5.23.

𝑓(𝑥) =𝑥₁𝑓(𝑥₀) − 𝑥₀𝑓(𝑥₁)

𝑥₁− 𝑥₀ +𝑓(𝑥₁) − 𝑓(𝑥₀) 𝑥₁− 𝑥₀ 𝑥

𝑓(𝑥) =8 × 6.64 − 6 × 5.23

8 − 6 +5.23 − 6.64 8 − 6 (7) 𝑓(𝑥) = 5.935

2.1.2 Metode Polinomial Orde N

N=1, x=7, Titik yang dipilih x0=6, x1=8, y0=6.64, y1=5.23.

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑥₁

𝑥₀− 𝑥₁𝑓(𝑥₀) + 𝑥 − 𝑥₀

𝑥₁− 𝑥₀𝑓(𝑥₁) 𝑓(𝑥) =7 − 8

6 − 86.64 +7 − 6 8 − 65.23 𝑓(𝑥) = 5,935

2.2 Orde 2 (Metode Polinomial Orde N)

N=2, x=7, Titik yang dipilih x0=6, x1=8, x2=10, y0=6.64, y1=5.23, y3=1.66.

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂)

(𝑥₀− 𝑥₁)(𝑥₀− 𝑥₂)𝑓(𝑥₀) + (𝑥 − 𝑥₀)(𝑥 − 𝑥₂)

(𝑥₁− 𝑥₀)(𝑥₁− 𝑥₂)𝑓(𝑥₁) + (𝑥 − 𝑥₀)(𝑥 − 𝑥₁)

(𝑥₂− 𝑥₀)(𝑥₂− 𝑥₁)𝑓(𝑥₂) 𝑓(𝑥) =(7 − 8)(7 − 10)

(6 − 8)(6 − 10)6.64 +(7 − 6)(7 − 10)

(8 − 6)(8 − 10)5.23 + (7 − 6)(7 − 8)

(10 − 6)(10 − 8)1.66 𝑓(𝑥) = 6.205

7 3. Pembahasan

Pada hari Rabu, 23 April 2024 telah dilaksanakan praktikum fisika komputasi modul 3 dengan judul “Interpolasi“. Praktikum ini menggunakan software berupa Matlab versi R2024a. Tujuan dari praktikum ini adalah untuk menentukan harga atau nilai dari suatu fungsi atau persamaan linier di suatu titik.

Metode yang digunakan dalam praktikum ini yaitu metode interpolasi orde 1 (linier) dan metode polinomial orde N. Interpolasi orde 1 (linier) adalah interpolasi yang menggunakan pendekatan fungsi sesungguhnya dengan fungsi berupa garis lurus. Ini merupakan bentuk interpolasi yang paling sederhana. Interpolasi linear dapat ditentukan jika diketahui dua titik, melalui kedua titik tersebut dapat dibuat satu garis linear.

Misalnya terdapat dua titik pasangan data {x0, x1 ; f(x0), f(x1)}.

Dari gambar sebelah segitiga ABE

dan ACD memberikan hubungan :

CD BE AC

AB = atau

) ( ) (

) ( ) (

0 1

0 0

1 0

x f x f

x f x f x x

x x

−

= −

−

− atau

) ))(

( ) ( ) ( ( )

( ₀

0 1

0 1

0 x x

x x

x f x x f

f x

f −

− + −

=

x0 x x1

fa

fb

fx

A

E

D

B C

8 yang dapat ditulis dalam bentuk polynomial

P1(x) f(x)=A0 + A1x dengan

A0 =

0 1

1 0 0

1 ( ) ( )

x x

x f x x f x

−

−

A1 =

0 1

0

1) ( )

( x x

x f x f

−

−

Sedangkan, metode Polinomial orde N, PN(x), dapat dicari secara unik melalui (N+1) titik data. Apabila data yang diperoleh melalui N titik data, dapat disusun fungsi penginterpolasi polinomial order N-1. Dengan menggunakan fungsi penginterpolasi Lagrange maka suatu interpolasi polynomial orde N dapat diselesaikan.

Fungsi penginterpolasi Lagrange orde N didefinisikan sebagai :

 

+



=

=

=

















−

−

= ¹

1 1

1

) ( '

) ( ' )

(

N

i N

n

n i N

n

n i

x x

x x f

x g

 





 +

−

−

−

−

− + −

−

−

−

−

−

= − ₂

2 3 2 1 2

2 1 1

1 3 1 2 1

2 1

) ( ) )(

(

) ( ) )(

( ) ( ) )(

(

) ( ) )(

( f

x x x x x x

x x x x x f x

x x x x x x

x x x x x x

N N N

N ₁

1 2 1 1 1

2 1

) (

) )(

(

) ( ) )(

(

+ + +

+ − − −

−

−

+ − _N

N N N

N

N f

x x x x x x

x x x x x x





Kelebihan metode interpolasi orde 1 (linier) adalah rumus yang digunakan singkat sehingga tidak membutuhkan waktu lama untuk mencari nilai fungsi di suatu titik.

Namun, metode ini hanya bisa digunakan untuk interpolasi orde satu atau hanya bisa digunakan jika titik yang diketahui hanya dua. Sedangkan kelebihan metode polinomial orde N adalah dapat digunakan untuk mencari interpolasi orde berapapun. Namun, rumus atau cara yang digunakan untuk mencari nilai suatu fungsi agak panjang dibandingkan metode interpolasi orde 1.

Untuk interpolasi orde satu digunakan dua titik yaitu t1=6, t2=8, a1=6.64, a2=5.23, dan waktu yang akan ditentukan percepatannya adalah t=7. Dari hasil praktikum atau komputasi dengan metode interpolasi orde satu(linier) atau metode polinomial orde N

9

didapatkan nilai percepatan yang sama yaitu ax= 5,9350. Sedangkan untuk interpolasi orde 2 digunakan tiga titik yaitu t1=6, t2=8, t3=10, a1=6.64, a2=5.23, a3=1.66, dan waktu yang akan ditentukan percepatannya adalah tx=7. Dari hasil praktikum didapatkan nilai ax untuk tx=7 adalah 6.2050. Dari dua metode di atas dihasilkan nilai ax yang berbeda dan yang mendekati nilai yang sesuai pada tabel adalah meteode yang kedua sehingga dapat disimpulkan metode polinomial orde 2 lebih baik dibandingkan metode interpolasi orde 1 (linier). Kesalahan pada praktikum dapat terjadi karena kesalahan nilai atau perhitungan dari tabel tugas yang diberikan, kesalahan dalam menentukan titik, atau kesalahan praktikan dalam membuat script.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa untuk menentukan nilai fungsi di suatu titik pada tugas modul 3 dapat diselesaikan dengan metode interpolasi orde 1 (linier) dan metode polinomial orde N. Namun, pada metode interpolasi orde 1 (linier) hanya bisa digunakan oleh interpolasi yang memiliki orde 1. Pada komputasi interpolasi orde satu didapatkan nilai ax=5.9350 pada kedua metode. Untuk komputasi interpolasi orde 2 didapatkan nilai ax=6.5087 pada saat t=7. Metode polinomial orde N lebih bai untuk digunakan, meskipun cara pembuatan scriptnya relatif lebih lama, namun script tersebut dapat digunakan secara berulang dengan orde yang lebih besar dari satu, sedangkan metode interpolasi orde 1 (linier) hanya bisa digunakan untuk orde 1.

10 4. Lampiran

Hasil running pada Matlab

4.1 Interpolasi Orde 1 Metode Interpolasi Orde 1 (Linier)

11 4.2 Interpolasi Orde 1 Metode Polinomial Orde N

12

4.3 Interpolasi Orde 2 Metode Polinomial Orde N