PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING) INTERPOLASI

PENCOCOKAN KURVA

(CURVE FITTING)

Interpolasi :

Interpolasi :

• Interpolasi Linier

• Interpolasi Kuadratik

• Interpolasi Polinomial

• Interpolasi Lagrange

Regresi :

Regresi :

• Regresi Linier

• Regresi Eksponensial

• Regresi Polinomial

INTERPOLASI

Interpolasi digunakan untuk menaksir nilai antara (intermediate value) diantara titik-titik data yang tepat.

Metode yang sering digunakan adalah interpolasi polinomial yang terdiri dari beberapa orde sbb :

Interpolasi Linier (orde 1) Interpolasi Kuadratik (orde 2) Interpolasi Kubik (orde 3)

INTERPOLASI LINIER

Tujuan : menentukan titik antara dari 2 titik data

dengan menggunakan garis lurus.

1 2 1 1 2 1

x

x

x

x

y

y

y

y

−

−

=

−

−

Sehingga :

(

_{2 1}

)

1 2 1 1

y

y

x

x

x

x

y

y

−

−

−

+

=

Semakin kecil interval P1 & P2 semakin baik hasil interpolasi.

INTERPOLASI LINIER

Algoritma interpolasi linier :

1. Tentukan 2 titik P₁ dan P₂ dg koordinat masing-masing (x₁,y₁) dan (x₂,y₂)

2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (Q) 3. Hitung nilai y dengan :

4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : (x,y)

(

2 1

)

1 2 1 1

y

y

x

x

x

x

y

y

−

−

−

+

=

INTERPOLASI LINIER

Contoh :

Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi linier serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data : a. ln(1) dan ln(6) b. ln(1) dan ln(4) Jawab (a) : x₁= 1, y₁ = ln(1) = 0 x₂= 6, y₂ = ln(6) = 1,791759 x = 2 Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → ε_r= 48,4% 0 1 2 3 4 5 6 7 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y = ln(x)

(

1,791759

)

0,358352 1 6 1 2 0 ˆ = − − + = y

INTERPOLASI LINIER

Jawab (b) : x₁= 1, y₁ = ln(1) = 0 x₂= 4, y₂ = ln(4) = 1,386294 x = 2 Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → ε_r= 33,3% 0 1 2 3 4 5 6 7 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y = ln(x)

(

1,386294

)

0,462098 1 4 1 2 0 ˆ = − − + = y

INTERPOLASI KUADRATIK

Tujuan : menentukan titik antara dari 3 titik data

dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.

Bentuk umum persamaan utk interpolasi kuadratik :

(

0

)

2

(

0

)(

1

)

1 0 2

(

x

)

b

b

x

x

b

x

x

x

x

f

=

+

−

+

−

−

P0(x0,y0) P1(x1,y1) P2(x2,y2) Q(x,y) ... (1)

INTERPOLASI KUADRATIK

Bentuk umum tersebut jika ditulis dalam fungsi kuadrat sbb :

dimana :

Bagaimana mendapatkan nilai b₀, b₁ dan b₂ ?

2 2 1 0 2

(

x

)

a

a

x

a

x

f

=

+

+

2 2 1 2 0 2 1 1 1 0 2 0 1 0 0

b

a

x

b

x

b

b

a

x

x

b

x

b

b

a

=

−

−

=

−

−

=

INTERPOLASI KUADRATIK

Untuk x = x₀, persamaan (1) menjadi : b₀ = y₀ ... (2)

Untuk x = x₁ dan substitusi pers. (2) kedalam (1) :

Untuk x = x₂ dan substitusi pers. (2) dan (3) kedalam (1) : 0 1 0 1 1

x

x

y

y

b

−

−

=

... (3) 0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 2

x

x

x

x

y

y

x

x

y

y

b

−

−

−

−

−

−

=

... (4)

INTERPOLASI KUADRATIK

Selain menggunakan bentuk umum persamaan (1) dengan nilai b₀, b₁ dan b₂ pada persamaan (2) s/d (4), untuk menghitung nilai y pada interpolasi kuadratik bisa juga menggunakan persamaan sbb :

(

)(

)

(

)(

)

(

(

)(

)(

)

)

(

)(

)

(

_{2 0}0

)(

₂ 1₁

)

2 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

x

x

y

y

−

−

−

−

+

−

−

−

−

+

−

−

−

−

=

INTERPOLASI KUADRATIK

Algoritma interpolasi kuadratik :

1. Tentukan 3 titik input P₀(x₀,y₀), P₁(x₁,y₁) dan P₂(x₂,y₂)

2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (Q) 3. Hitung nilai y dengan :

4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : (x,y)

(

)(

)

(

)(

)

(

(

)(

)(

)

)

(

(

2 0

)(

)(

2

)

1

)

1 0 2 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0 x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y y − − − − + − − − − + − − − − =

INTERPOLASI KUADRATIK

Contoh :

Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi kuadratik serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4) dan ln(6) Jawab : x₀= 1, y₀= ln(1) = 0 x₁= 4, y₁= ln(4) = 1,386294 x₂= 6, y₂= ln(6) = 1,791759 x = 2 Harga-harga tsb dimasukkan

kedalam rumus sehingga diperoleh : ŷ = 0.565844 Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → ε_r= 18,4% 0 1 2 3 4 5 6 7 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y = ln(x)

INTERPOLASI POLINOMIAL

Tujuan : menentukan titik antara dari n titik data

dg menggunakan pendekatan fungsi polinomial. Metode yang bisa digunakan untuk memperoleh hasilnya adalah interpolasi polinomial beda terbagi Newton (divided difference interpolation polynomial by Newton).

Bentuk umum persamaan interpolasi polinomial Newton :

(

)

(

)(

)

(

0

)(

1

) (

1

)

1 0 2 0 1 0

)

(

−

−

−

−

+

+

−

−

+

−

+

=

n n n

x

x

x

x

x

x

b

x

x

x

x

b

x

x

b

b

x

f

L

K

INTERPOLASI POLINOMIAL

dimana : f […,…] disebut beda terbagi hingga ] , , , , [ ] , , [ ] , [ 0 1 1 0 1 2 2 0 1 1 0 0 x x x x f b x x x f b x x f b y b n n n L M − = = = =

→ beda terbagi hingga ke 1 → beda terbagi hingga ke 2

INTERPOLASI POLINOMIAL

Cara menghitung “beda terbagi hingga” :

0 0 2 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 ] , , , [ ] , , , [ ] , , , , [ ] , [ ] , [ ] , , [ ] , [ ] , [ x x x x x f x x x f x x x x f x x x x f x x f x x x f x x y y x x f x x y y x x f n n n n n n n k i k j j i k j i j i j i j i − − = − − = − − = → − − = − − − − L L L Df_j D2_f k Dn_f 0 Simbol :

INTERPOLASI POLINOMIAL

Langkah-langkah perhitungan interpolasi polinomial beda terbagi Newton :

1. Tentukan n titik input untuk interpolasi orde n–1.

2. Buat tabel “beda terbagi hingga” untuk mendapatkan koefisien b_i

3. Masukkan koefisien b_i kedalam bentuk umum persamaan interpolasi polinomial Newton :

4. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari dan hitung nilai y dari persamaan interpolasi polinomial Newton tsb.

(

)

(

)(

)

(

0

)(

1

) (

1

)

1 0 2 0 1 0 ) ( − − − − + + − − + − + = n n n x x x x x x b x x x x b x x b b x f L K

INTERPOLASI POLINOMIAL

Tabel beda terbagi hingga :

y₁ x₁ 1 Df_i y₃ x₃ 3 y₂ x₂ 2 y₀ x₀ 0 D3_f i D2_f i y_i x_i i 2 3 2 3 2 x x y y Df − − = 1 2 1 2 1 x x y y Df − − = 0 1 0 1 0 x x y y Df − − = 1 3 1 2 1 2 x x Df Df f D − − = 0 2 0 1 0 2 x x Df Df f D − − = 0 3 0 2 1 2 0 3 x x f D f D f D − − =

INTERPOLASI POLINOMIAL

Contoh :

Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6) Jawab : x₀= 1, y₀ = ln(1) = 0 x₁= 4, y₁ = ln(4) = 1,386294 x₂= 5, y₂ = ln(5) = 1,609438 x₃= 6, y₃ = ln(6) = 1,791759

INTERPOLASI POLINOMIAL

Tabel beda terbagi hingga :

-0,020411 0,223144 1,386294 4 1 0,182322 0,462098 Df_i 1,791759 6 3 1,609438 5 2 0,007866 -0,059739 0 1 0 D3_f i D2_f i y_i x_i i

INTERPOLASI POLINOMIAL

Sehingga persamaan interpolasi polinomialnya adalah :

Masukkan harga-harga x kedalam persamaan : x = 2, x₀ = 1, x₁ = 4, x₂ = 5 Sehingga diperoleh : ŷ = 0,628769 Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → ε_r= 9,3%

(

)

(

)(

)

(

0

)(

1

)(

2

)

1 0 0 3 0,007866 0,059739 0,462098 0 ) ( x x x x x x x x x x x x x f − − − + − − − − + =

INTERPOLASI LAGRANGE

Metode lain utk mendapatkan interpolasi polinomial adalah model interpolasi Lagrange yg mengguna-kan fungsi polinomial dalam kombinasi deret.

Bentuk umum persamaan interpolasi Lagrange :

∏

∑

≠ = = − − = = n i j j i j j i n i i i x x x x x L x L y y 0 0 ) ( ) ( dengan :

INTERPOLASI LAGRANGE

Dari persamaan tersebut dpt dirumuskan beberapa interpolasi orde n sbb :

• Interpolasi linier (orde 1) :

• Interpolasi kuadratik (orde 2) :

0 1 0 1 1 0 1 0 x x x x y x x x x y y − − + − − =

(

)(

)

(

)(

)

(

(

)(

)(

)

)

(

)(

)

(

2 0

)(

2 1

)

1 0 2 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0 x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y y − − − − + − − − − + − − − − =

INTERPOLASI LAGRANGE

• Interpolasi kubik (orde 3) :

dimana : 3 3 2 2 1 1 0 0L y L y L y L y y = + + +

(

)(

)(

)

(

)(

)(

)

(

(

)(

)(

)(

)(

)

)

(

)(

)(

)

(

)(

)(

)

(

(

3 0

)(

)(

3 1

)(

)(

3

)

2

)

2 1 0 3 3 2 1 2 0 2 3 1 0 2 3 1 2 1 0 1 3 2 0 1 3 0 2 0 1 0 3 2 1 0 x x x x x x x x x x x x L x x x x x x x x x x x x L x x x x x x x x x x x x L x x x x x x x x x x x x L − − − − − − = − − − − − − = − − − − − − = − − − − − − =

INTERPOLASI LAGRANGE

Contoh :

Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6) Jawab : x₀= 1, y₀ = ln(1) = 0 x₁= 4, y₁ = ln(4) = 1,386294 x₂= 5, y₂ = ln(5) = 1,609438 x₃= 6, y₃ = ln(6) = 1,791759

INTERPOLASI LAGRANGE

0,628769 ŷ = 1,075056 0.6 1,791759 6 3 -3,218876 -2 1,609438 5 2 2,772589 2 1,386294 4 1 0 0.4 0 1 0 y_iL_i L_i y_i x_i i Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → ε_r = 9,3%

INTERPOLASI POLINOMIAL

Ada cara lain untuk mendapatkan persamaan polinomial pada interpolasi polinomial, yaitu dengan cara menyusun sistem persamaan linier simultan dari nilai-nilai x dan y yang diketahui.

Jika ada n titik data yaitu P₁(x₁,y₁) s/d P_n(x_n,y_n) maka:

1 1 2 2 1 0 1 3 1 2 3 2 3 1 0 3 1 2 1 2 2 2 2 2 0 2 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 − − − − − − − −

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

n n n n n n n n n n n n

x

a

x

a

x

a

a

y

x

a

x

a

x

a

a

y

x

a

x

a

x

a

a

y

x

a

x

a

x

a

a

y

K

M

K

K

K

INTERPOLASI POLINOMIAL

Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut adalah nilai-nilai a₀, a₁, a₂, …, a_n-1 yang merupakan koefisien dari persamaan polinomial sbb :

Sehingga dengan memasukkan nilai x pada persamaan tersebut akan didapatkan nilai y dari titik yang akan dicari.

1 1 2 2 1 0 − −

+

+

+

+

=

n n

x

a

x

a

x

a

a

y

K

INTERPOLASI POLINOMIAL

Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut dapat menggunakan metode-metode yang telah dipelajari, seperti metode eliminasi Gauss atau metode eliminasi Gauss Jordan dengan menyusun matriks sbb :

































=

































































− − − − − n n n n n n n n n

y

y

y

y

a

a

a

a

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

M

M

L

M

M

M

M

M

L

L

L

3 2 1 1 2 1 0 1 2 1 3 2 3 3 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1

1

1

1

1

INTERPOLASI POLINOMIAL

Contoh :

Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6) Jawab : x₀= 1, y₀ = ln(1) = 0 x₁= 4, y₁ = ln(4) = 1,386294 x₂= 5, y₂ = ln(5) = 1,609438 x₃= 6, y₃ = ln(6) = 1,791759

INTERPOLASI POLINOMIAL

Dengan metode Gauss Jordan, Augmented matrix :

            1,791759 216 36 6 1 1,609438 125 25 5 1 1,386294 64 16 4 1 0 1 1 1 1 B₂-B₁ B₃-B₁ B₄-B₁             1,791759 215 35 5 0 1,609438 124 24 4 0 1,386294 63 15 3 0 0 1 1 1 1 B₂/3

INTERPOLASI POLINOMIAL

B₁-B₂ B₃-4B₂ B₄-5B₁             − − − − − 0,518731 110 10 0 0 0,238955 40 4 0 0 0,462098 21 5 1 0 0,462098 20 4 0 1 B₃/4             1,791759 215 35 5 0 1,609438 124 24 4 0 0,462098 21 5 1 0 0 1 1 1 1

INTERPOLASI POLINOMIAL

B₁+4B₃ B₂-5B₃ B₄-10B₃             − − − 0,078655 10 0 0 0 0,059739 10 1 0 0 0,760791 29 0 1 0 0,701053 20 0 0 1 B₄/10             − − − − − 0,518731 110 10 0 0 0,059739 10 1 0 0 0,462098 21 5 1 0 0,462098 20 4 0 1

INTERPOLASI POLINOMIAL

B₁-20B₄ B₂+29B₄ B₃-10B₄             − − 0,007866 1 0 0 0 0,138394 0 1 0 0 0,988892 0 0 1 0 0,858363 0 0 0 1             − − − 0,007866 1 0 0 0 0,059739 10 1 0 0 0,760791 29 0 1 0 0,701053 20 0 0 1

INTERPOLASI POLINOMIAL

Sehingga diperoleh persamaan polinomial sbb :

Untuk x = 2, diperoleh : ŷ = 0,628769 Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → ε_r= 9,3% 3 2 0,007866 0,138394 0,988892 0,858363 x x x y =− + − +