Laporan Penelitian
Menghitung Percepatan Gravitasi dengan Menggunakan
Bandul Matematis dengan Metode Kuadrat Terkecil
Laporan penelitian ini diajukan sebagai
tugas akhir Pengolahan Data
Oleh
Raden Muhammad Hadi 1106608
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
Abstrak
Oleh Raden Muhammad Hadi
Telah dilakukan eksperimen Menghitung Percepatan Gravitasi Menggunakan Bandul Matematis dengan Metode Kuadrat Terkecil yang dilaksanakan pada bulan November 2012 sampai dengan Januari 2013. Tujuan dari percobaan ini adalah untuk mengamati ayunan bandul matematis, menentukan periode sebagai variabel terikat, dan percepatan gravitasi bumi. Dari hasil eksperimen diperoleh bahwa percepatan gravitasi bumi sebesar
atau (dalam 2 angka penting).
Kata kunci : Bandul matematis, metode kuadrat terkecil, gerak harmonis sederhana dan
I.
Pendahuluan
1.1Tujuan
1. Mengamati ayunan bandul matematis 2. Menentukan periode sebagai variabel terikat 3. Menentukan percepatan gravitasi bumi 1.2 Landasan Teori
1.2.1 Percepatan Gravitasi
Percepatan gravitasi suatu obyek yang berada pada permukaan laut dikatakan
ekivalen dengan 1 g, yang didefinisikan memiliki nilai 9,80665 m/s2. Percepatan di tempat lain seharusnya dikoreksi dari nilai ini sesuai dengan ketinggian dan juga pengaruh benda-benda bermassa besar di sekitarnya. Umumnya digunakan nilai 9,81 m/s2 untuk mudahnya.
Nilai percepatan gravitasi diperoleh dari perumusan umum gaya gravitasi antara dua benda (obyek dan bumi), yaitu
di mana
G adalah konstanta gravitasi M adalah massa bumi m dalah mass obyek
r adalah jarak antara titik pusat massa bumi dengan titik pusat massa obyek
Dalam bidang fisika bumi dikenal pula metoda gravitasi yaitu suatu metoda pengukuran perbedaan percepatan gravitasi suatu tempat untuk memperkirakan kandungan tanah yang berada di bawah titik pengukuran. Dengan cara ini dapat diduga (bersama-sama dengan pemanfaatan metoda fisika bumi lainnya) struktur dan juga unsur-unsur pembentuk lapisan tanah yang tersusun atas elemen yang memiliki rapat massa yang berbeda-beda.
1.2.2 Bandul Matematis
Bandul matematis adalah sebuah bandul dengan panjang L dan massa m dan membuat
GHS dengan sudut kecil ( <<). Gaya yang menyebabkan bandul ke posisi
kesetimbangan dinamakan gaya pemulih yaitu mg sin dan panjang busur adalah s =
L . Bila amplitudo getaran tidak kecil namun tidak harmonik sederhana sehingga
periode mengalami ketergantungan pada amplitudo.
Menurut literatur lain apa yang dinamakan bandul matematis (mathematical pendulum) merupakan suatu persamaan mekanis lain yang memperlihatkan perilaku serupa dengan persamaan getar pegas lenting sempurna. Panjang tali bandul adalah θA = L dan massanya nol, sehingga massa sistem dianggap terkumpul hanya pada pembeban bandul. Bandul kemudian diganggu dari titik kesetimbangannya dengan memberikan sudut simpangan θ yang kecil. Syarat sudut θ kecil penting sekali untuk keperluan pendekatan.
Jika sebuah benda kecil dan berat kita gantungkan pada sebuah tali penggantung (ringan dan tidak mulur) dan berayun dengan sudut simpangan kecil maka susunan ini disebut bandul matematis. Periode dari bandul matematis dapat ditentukan dengan rumus
Dimana : T = periode ayunan (detik)
L = panjang tali (cm)
g = percepatan gravitasi bumi (cm/dt2)
1.2.3 Periode
Periode (T) adalah waktu untuk satu siklus lengkap pada suatu osilasi, gerak gelombang atau proses berulang teratur yang lain. Merupakan kebalikan dari frekwensi dan dihubungkan dengan frekwensi angular:
Dimana merupakan kecepatan sudut.
1.2.4 Gerak Harmonik Sederhana
Dimana adalah suatu konstanta. Selama gerak tak terjadi perubahan energi kinetik dan potensial, jumlah kedua energi itu tetap (bila tak ada redaman).
Periode (T) dinyatakan oleh:
Dimana f adalah frekwensi dan sebagai pulsatans.
1.2.5 Metode Kuadrat Terkecil
Metode kuadrat terkecil, yang lebih dikenal dengan nama Least-Squares Method, adalah salah satu metode pendekatan yang paling penting dalam dunia keteknikan untuk regresi ataupun pembentukan persamaan dari titik-titik data diskretnya (dalam pemodelan), dan analisis kesalahan pengukuran (dalam validasi model).
Metode kuadrat terkecil termasuk dalam keluarga metode-metode pendekatan kesalahan terdistribusi (“distributed error” approximation methods), berdasarkan karakteristik kerjanya yang melakukan pengurangan kesalahan menyeluruh (global error) yang terukur berdasarkan interval pendekatan keseluruhan (whole approximation interval) sesuai denganorder pendekatan yang meningkat. Metode ini
berbeda dengan metode-metode asimptotis, khususnya yang dikembangkan melalui pendekatan melalui deret Taylor, karena metode asimptotis memiliki karakteristik kerja yang memperkecil sesatan pada beberapa titik tertentu, sesuai dengan order pendekatan yang meningkat.
1.2.5.1 Proyeksi Ortogonal Dipandang Sebagai Aproksimasi
Jika P adalah sebuah titik di dalam ruang berdimensi 3 biasa dan W adalah sebuah bidang yang melewati titik asal ruang tersebut, maka titik Q pada
memproyeksikan P secara tegak lurus terhadap W. Sehingga, jika u = panjang OP, jarak antara P dan W diberikan oleh
||u –projw u||…(6)
Dengan kata lain, di antara semua vektor w pada W, vektor w = projw u meminimalkan jarak ||u – w||
Untuk setiap vektor w pada W yang bukan projW u.
1.2.5.2 Menentukan Garis Lurus Terbaik y = mx + n dengan Metode Kuadrat Terkecil
Dengan metode kuadrat terkecil, kita tidak perlu menggambarkan grafik, melainkan hanya menghitung m, n, Δm, dan Δn dari data-data xi dan yi
yang diperoleh dari percobaan.
Untuk percobaan berulang N kali yang memberikan sekumpulan data xi dan yi dapat kita nyatakan
Teorema Aproksimasiasi Terbaik
“Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari ruang
hasilkali dalam V, dan jika u adalah sebuah vektor pada V, maka projW u
adalah aproksimasi terbaik bagi u pada W, dalam pengertian bahwa
Sy dihitung dengan persamaan (12), yaitu
II.
Metode
2.1Waktu & Tempat
Rentang waktu penelitian : November, 2012 – Januari, 2012
Waktu : - (Tidak tentu)
6. Meteran tukang jahit 150 cm 7. Stopwatch
2.3 Cara Kerja
Mengatur peralatan bandul matematis agar stabil atau kokoh, benang diposisikan tepat di tengah busur (di sudut 90º), mengukur panjang benang. Bandul disimpangkan dari pusat sejauh 10º dari keadaan semula dan bandul dilepaskan agar berosilasi kemudian mencatat waktu untuk beberapa kali osilasi. Percobaan diulangi dengan panjang benang yang berbeda.
Perlu diketahui bahwa dalam mencari nilai percepatan gravitasi dapat menggunakan
penurunan rumus dari persamaan (2) dengan cara pelurusan persamaan
Supaya grafik berupa garis lurus, kita ambil sebagai y dan L sebagai x, dan
kemiringan
Karena percobaan berulang, maka untuk menghitung Δg harus menggunakan persamaan (14), yaitu
dimana m, n bilangan bulat, pecahan, positif maupun negatif.
Untuk maka
Jadi g akan dihitung dengan persamaan (13) dan dengan Persamaan (15). Untuk mencari nilai-nilai tersebut, haruslah sebelumnya menghitung m dan sm dengan metode
III.
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1Hasil Percobaan
Hasil yang diperoleh dari percobaan bandul matematis
Diperoleh dari percobaan Yang dihitung
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
Deviasi 0,276857364 3,492124814 0,349212 1,118005 1,528981 0,370706 6,320118
Gambar 2. Grafik T2 terhadap L pada percobaan bandul matematis berbentuk garis lurus.
Adapun perhitungan didasarkan pada tabel diatas. Dari kolom (1) diperoleh = 8
Berdasarkan nilai yang didapat, akan dihitung terlebih dahulu penyebut dari persamaan (8) dan (9) yang persis sama, yaitu
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20
Dari persamaan (10) diperoleh
Sekarang akan dihitung g dengan persamaan (13) dan dengan persamaan (15)
Berdasarkan aturan pada pengukuran berulang ketidakpastian relatif sekitar 10% berhak atas 2 angka penting.
Jadi,
3.2 Pembahasan
Sebuah bandul dengan panjang L dan massa m dan membuat GHS dengan sudut kecil
( <<) disebut bandul matematis. Gaya yang menyebabkan bandul ke posisi
kesetimbangan dinamakan gaya pemulih yaitu mg sin dan panjang busur adalah s = L .
karena bandul bergerak dari suatu posisi ke posisi lain lalu kembali dalam posisi semula dalam satu siklus lengkap yang disebut periode. Periode inilah yang dibutuhkan untuk
mencari nilai percepatan gravitasi berdasarkan persamaan .
Dalam percobaan ini teramati adanya gerak osilasi dari bandul ketika diberi simpangan pada bandul tersebut. Osilasi ini dipengaruhi oleh besar simpangan yang diberikan pada
bandul. Semakin besar simpangannya semakin besar pula jarak osilasinya dan begitu juga sebaliknya. Hal ini juga dipengaruhi oleh panjang benang yang menahan pembeban pada bandul. Semakin panjang benangnya maka semakin besar pula jarak osilasinya dan begitu juga sebaliknya.
Dengan dikuranginya panjang benang yang menahan pembeban dalam setiap percobaan pada bandul maka nilai periodenya pun semakin kecil. Hal ini berarti periode berbanding lurus dengan panjang benang.
Dari hasil pengolahan data menggunakan MS-Excel, diperoleh bahwa percepatan
gravitasi bumi sebesar atau
IV.
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1Kesimpulan
Dari eksperimen yang telah dilakukan, teramati adanya pengaruh pengurangan panjang benang penahan beban terhadap osilasi. Pengurangan pada panjang tali menyebabkan berubahnya nilai periode bandul yang berbanding lurus dengan panjang tali. Dari
percobaan diperoleh bahwa percepatan gravitasi bumi sebesar
atau .
4.2 Saran
Agar diperoleh nilai pendekatan yang lebih baik, maka penulis memberikan saran: 1. Sertakan elemen (menggunakan variabel) yang lebih lengkap;
2. Menggunakan alat eksperimen yang jauh lebih canggih atau memiliki ketelitian lebih tinggi;
Daftar Pustaka
Dasar, T. L. (2009). Bab I Teori Ketidakpastian. In T. L. Dasar, Teori Ketakpastian (pp. 1-10). Bandung.
Fornasini, P. (2008). The Uncertainty in Physical Measurements: An Introduction to Data Analysis in the Physics Laboratory. New York: Springer.
Kanginan, M. (2002). Fisika SMU Jilid 1A. Cimahi: Penerbit Erlangga.
Percepatan Gravitasi. (n.d.). Diperoleh pada 12 2012, dari Wikipedia: http://id.wikipedia.org/wiki/percepatan_gravitasi
Permana, S. (2010). Laporan Praktikum Eksperimen Fisika II Analisis Bandul Fisis.
