PELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER (TSAS) PADA GABUNGAN GRAF ULAT
BULU DAN BIPARTITE LENGKAP
I W. Sudarsana1, Fitria2 and S. Musdalifah3
1,2,3
Combinatorial and Applied Mathematics Research Group, Tadulako University Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonesia
1 sudarsanaiwayan@yahoo.co.id 2
fitria_matematika@yahoo.co.id
3 Selvymusdalifah@yahoo.com
ABSTRACT
An ( , ) edge anti-magic total labelling, ( , )-EAMT, on graph �( ,�) with vertices and
edges is bijektion � ∶ � ∪ � � ⟶ 1,2,3,…, + , which has a set of edge weights =
= � +� +� ∀ = ∈ � � = , + ,…, + −1 with > 0 and
0. A ( , ) super edge anti-magic total labelling �, , -SEAMT, if the vertex set of � obtain
the smallest labels � = {1,2,3,…, }. An ( , )-EAMT (SEAMT) labelling � is called EMT
(SEMT) labelling if = 0 and = . Furthermore, is called the magic constant. A graph � is said
EMT, SEMT, , -EAMT and , -SEAMT if there is EMT, SEMT, , -EAMT and ,
-SEAMT labelling on graph �, respectively. In this paper, we showed that the union of caterpillars and
complete bipartite graph are SEAMT and SEMT, especialy for �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
)
has (11 −2,0)-SEAMT and (5 + 3 ,2)-SEAMT with 6; graph �3, ∪ �2, −2 has (6 + 7,0)
-SEAMT and (2 + 9 ,2)-SEAMT for 3; and graph � , ∪ �2 ( 1, 2,…, 2 ) has (3 2+ +
1,0)-SEAMT and ( 2+ 2 + 3,2)-SEAMT with 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3= 2 −2= 1;
2 −1= −4; 2 −3= −2; 2 +3 = −1 where = 2,3,… , −2 and = 1,2,… , −4 for
5. Thus, graph �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
) is SEMT with = 11 −2 for 6;
graph �3, ∪ �2, −2 also SEMT with = 6 + 7 for 3; as well graph � , ∪ �2 ( 1, 2,…, 2 )
is SEMT with = 3 2+ + 1 for 5.
Keywords : Caterpillars, Complete Bipartite, EMT, SEMT,(�,�)-SEAMT,(�,�)-SEAMT.
ABSTRAK
Pelabelan total ( , ) sisi anti ajaib, notasi ( , )-TSAA, pada graf �( ,�) dengan titik dan sisi
adalah pemetaan bijektif � ∶ � ∪ � � ⟶ 1,2,3,…, + , yang mempunyai himpunan bobot
sisi = = � +� +� ∀ = ∈ � � = { , + ,…, + −1 } dengan
bobot sisi awal > 0 dan beda 0. Pelabelan total ( , ) sisi anti ajaib super dari �, notasi ( , )
-TSAAS yaitu jika mempunyai sifat bahwa setiap titik memperoleh label terkecil � = {1,2,3,…, }.
Pelabelan ( , )-TSAA (TSAAS) dari � disebut pelabelan TSA (TSAS) jika = 0 dan = .
Selanjutnya disebut konstanta ajaib. Sebuah graf � dikatakan TSA, TSAS, ( , )-TSAA dan
( , )-TSAAS jika terdapat pelabelan TSA, TSAS, ( , )-TSAA dan ( , )-TSAAS pada graf tersebut, berturut-turut. Pada penelitian ini telah berhasil ditunjukkan bahwa gabungan graf ulat bulu
dan bipartite lengkap adalah TSAAS dan TSAS khususnya graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
mempunyai (11 −2,0)-TSAAS dan (5 + 3 ,2)-TSAAS untuk 6; graf �3, ∪ �2, −2
mempunyai (6 + 7,0)-TSAAS dan (2 + 9 ,2)-TSAAS untuk 3; serta graf � , ∪
�2 ( 1, 2,…, 2 ) mempunyai (3 2+ + 1,0)-TSAAS dan ( 2+ 2 + 3,2)-TSAAS dengan
1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3= 2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3 = −2; 2 +3 = −1 dimana
= 2,3,… , −2 dan = 1,2,… , −4 untuk 5. Dengan demikian, Graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
) adalah TSAS dengan = 11 −2 untuk 6; graf �3, ∪
�2, −2 juga TSAS dengan = 6 + 7 untuk 3; serta � , ∪ �2 ( 1, 2,…, 2 ) adalah TSAS
dengan = 3 2+ + 1 untuk 5.
Kata Kunci : Ulat Bulu, Bipartite lengkap, TSA, TSAS, (�,�)-TSAA, (�,�)-TSAAS
I. PENDAHULUAN
Graf merupakan pasangan himpunan titik dan
himpunan sisi. Pengaitan titik-titik pada graf
membentuk sisi dan dapat direpresentasikan pada
gambar sehingga membentuk pola graf tertentu.
Pola-pola yang terbentuk didefinisikan dan
dikelompokkan menjadi kelas-kelas graf.
Beberapa kelas graf menurut banyaknya sisi yang
terkait terhadap titik antara lain graf reguler, yang
derajat setiap titiknya adalah sama dan graf
irreguler, yang derajat setiap titiknya ada yang
tidak sama. Pelabelan merupakan pemetaan
injektif yang memetakan unsur himpunan titik dan
atau unsur himpunan sisi ke bilangan asli yang
disebut label. Pelabelan titik adalah pelabelan
dengan domain himpunan titik, pelabelan sisi
adalah pelabelan dengan domain himpunan sisi,
dan pelabelan total adalah pelabelan dengan
domain gabungan himpunan titik dan himpunan
sisi.
Pelabelan titik dan sisi dari graf bisa dilakukan
dengan banyak cara. Salah satu cara yang bisa
digunakan adalah melabelinya dengan bilangan.
Terdapat banyak jenis pelabelan graf yang telah
dikembangkan, diantaranya adalah pelabelan
graceful, pelabelan harmoni, pelabelan total tak
beraturan, pelabelan ajaib, dan pelabelan anti
ajaib. Dalam pengembangan pelabelan ajaib,
dikenal pula pelabelan total titik ajaib, pelabelan
total , -titik anti ajaib super, pelabelan total
sisi ajaib, dan pelabelan total , -sisi-ajaib
super. Berdasarkan Gallian 2012 [1] gabungan
graf ulat bulu dan bipartite lengkap masih menjadi
masalah terbuka. Oleh karena itu permasalahan
yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah
bagaimana menentukan pelabelan total sisi ajaib
super pada gabungan graf ulat bulu dan bipartite
lengkap
Permasalahan ini dibatasi pada pelabelan total
sisi ajaib super khususnya pada graf �3, ∪
�2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) untuk 6 ,
�3, ∪ �2, −2 untuk 3 dan � , ∪
�2 ( 1, 2,…, 2 ) dengan 1= 2= 0; 2 =
2 = 0; 3= 2 −2= 1; 2 −1= −4;
2 −3= −2; 2 +3= −1 dimana =
2,3,… , −2 dan = 1,2,… , −4 untuk 5.
II. HASIL TERDAHULU
Sebelum disajikan hasil penelitian ini,
terlebih dahulu diberikan teorema-teorema
penting yang telah ditemukan sebelumnya yang
dalam penelitian ini. Teorema-teorema tersebut
�′ di definisikan sebagai berikut :
�′ = + 1− � ,∀ ∈ � , dan
membahas mengenai pelabelan TSAS dan
TSAAS untuk graf ulat bulu dan bipartite
lengkap. Berikut adalah gambar dan notasi secara
umum untuk graf � , ∪ �2 ( 1, 2,…, 2 ) :
dan bipartite lengkap dibagi kedalam sub-sub
3.1.Graf � ,�∪ � �( , , , … , ,� − �, , , ,
disajikan pada Gambar 2 berikut.
V1,1 V2,1 V3,1 V4,1 V5,1 V6,1 V7,1 Vn,1
Dengan label tersebut diperoleh konstanta
ajaib sebagai berikut :
=
� ,1 +� ,1 +� +1,1 , 1
� − ,1 +� ,1 +� +2,1 , + 1 2
� −2 ,1 +� ,1 +� +3,1 , 2 + 1 3
=
+ 10 − −3 + + 1 = 11 −2
− + 10 − −3 + 2 + 1 = 11 −2
−2 + 10 − −3 + 3 + 1 = 11 −2
2.Untuk graf kedua
=
� ,2 +� ,2 +� 1+ ,2 , 1 2 −1
� 2,2 +� ,2 +� +1,2 , = 2
� 2 −4,2 +� ,2 +� +1,2 , 2 + 1 3 −5
� 2−1 +� ,2 +� +1,2 , = 3 −4
=
3 + 5 −4 + 3 + 2 = 11 −2 6 +
2 + 1 + 7 − −4 + 2 +
2 + 1 = 11 −2 2 + −1
2 + 1 + 7 − −4 +
6 + + 1
2 + 1 = 11 −2 2 + 7 −5 + 2 + 3 = 11 −2 3 + 2 + 5 −3 + 3 −1 = 11 −2 4 −1 + 7 − −4 + + 3 = 11 −2 2 + 7 −4 + 2 + 2 = 11 −2
Dengan demikian, graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) adalah
TSAS dengan = 11 −2 untuk 6.
Menggunakan Teorema 2.1., Teorema 2.2 dan
Teorema 2.3., diperoleh akibat-akibat berikut :
Akibat 3.1.1.
Graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
) adalah
TSA dengan = 19 −7, untuk 6.
Akibat 3.1.2.
Graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
) adalah
TSAS dengan = 11 + 1, untuk 6.
Akibat 3.1.3
Untuk 6, Graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) mempunyai
pelabelan (5 + 12 ,2)– TSAAS
3.2.Graf � ,�∪ � ,�−
Pada bagian ini, akan dibahas pelabelan
TSAS pada graf �3, ∪ �2, −2 untuk 3.
Notasi titik dan sisi pada graf �3, ∪ �2, −2
untuk 3 disajikan pada Gambar 3 berikut.
V1,1 V2,1 V3,1 V4,1 V5,1 V6,1 V7,1 Vn,1
Vn+1,1 Vn+2,1 Vn+3,1
e1,1 e2,1 e3,1 e4,1 e5,1 e6,1 e7,1 en,1
en+1,1 en+2,1 en+3,1 en+4,1 en+5,1 en+6,1 en+7,1 e2n,1
e2n+1,1 e2n+2,1e2n+3,1e2n+4,1e2n+5,1e2n+6,1e2n+7,1e3n,1
V1,2 V2,2 V3,2
V7,2
V6,2
V5,2
V4,2
Vn,2
e1,2 e2,2
e3,2
e4,2
e5,2
e6,2
en-1,2
Gambar 3 : Penotasian titik dan sisi graf �3, ∪ �2, −2
Berdasarkan Gambar 3 di atas, dapat
dinotasikan himpunan titik dan sisi graf
�3, ∪ �2, −2 sebagai berikut.
�3, ∪ �2, −2 =
, = 1, 1 + 3
, = 2, 1
� �3, ∪ �2, −2 =
, = 1, 1 3
, = 2, 1 −1
,1=
,1 +1,1 , 1
− ,1 +2,1 , + 1 2
−2 ,1 +3,1 , 2 + 1 3
,2=
,2 +1,2 , 1 2
3,2 +1,2, 3 −1
….(2)
Pelabelan TSAS untuk graf �3, ∪ �2, −2
Teorema 3.2.
Graf �3, ∪ �2, −2 adalah TSAS dengan =
6 + 7, untuk 3.Graf ini mempunyai pelabelan selfdual
Bukti :
Pandang notasi titik dan sisi graf �3, ∪
�2, −2 dalam Persamaan (2) dan Gambar 3
Berikan label pada titik dan sisinya dengan cara :
� ,1 =
+ 2,1
2, = + 1
+ 3, = + 2
2 + 3, = + 3
� ,2 =
1, = 1
+ 4, = 2
2 + 2, = 3
+ 1 + , 4
� ,1 =
6 + 3− , 1
6 + 2− , + 1 3
� ,2 =
5 + 2, = 1
3 + 1, = 2
3 + 3− , 3 −1
Dengan label tersebut diperoleh konstanta
ajaib sebagai berikut :
1.Untuk graf pertama
=
� ,1 +� ,1 +� +1,1 , 1
� −,1 +� ,1 +� +2,1 , + 1 2 , 1
� −2 ,1 +� ,1 +� +3,1 , 2 + 1 3 , 1
=
+ 2 + 6 + 3− + 2 = 6 + 7
− + 2 + 6 + 2− + + 3 = 6 + 7
−2 + 2 + 6 + 2− + 2 + 3 = 6 + 7
2.Untuk graf kedua
=
� ,2 +� ,2 +� 1+ ,2 , 1 2
� 3,2 +� ,2 +� +1,2 , 3 −1
=
1 + 5 + 2 + + 4 = 6 + 7
+ 4 + 3 + 1 + 2 + 2 = 6 + 7
2 + 2 + 3 + 3− + + 2 + = 6 + 7
Dengan demikian, graf �3, ∪ �2, −2 adalah
TSAS dengan = 6 + 7 untuk 3.
Selanjutnya dengan menggunakan Teorema
2.2, dan mengambil label titik dan sisi yang baru
berupa :
�′ ,1 = 2 + 3 + 1− � ,1
�′ ,2 = 2 + 3 + 1− � ,2
�′ ,1 = 2 2 + 3 + 4 −1 + 1− � ,1
�′ ,2 = 2 2 + 3 + 4 −1 + 1− � ,2 Dengan pelabelan tersebut diperoleh :
′= 4(2 + 3) + 4 −1 + 3−(6 + 7)
= 8 + 12 + 4 −1 + 3−(6 + 7)
= 8 + 12 + 4 −1 + 3−6 −7
= 6 + 7.
Dengan demikian, graf �3, ∪ �2, −2
mempunyai pelabelan self dual dengan = 6 +
7, untuk 3.
Menggunakan Teorema 2.1 dan Teorema 2.3.
diperoleh akibat-akibat berikut :
Akibat 3.2.1. Graf �3, ∪ �2, −2 adalah TSA
dengan = 12 + 2,untuk 3.
Akibat 3.2.3. Untuk 3, Graf �3, ∪ �2, −2
mempunyai pelabelan (2 + 19 ,2) - TSAAS .
3.3.Graf ��,�∪ � �(� ,� ,⋯,� �)
Pada bagian ini, akan dibahas pelabelan
TSAS pada graf � , ∪ �2 ( 1, 2,⋯, 2 ) untuk
5. Notasi titik dan sisi pada graf � , ∪
�2 ( 1, 2,⋯, 2 ) untuk 5 disajikan pada
V6,1
dengan himpunan titik dan sisinya sebagai berikut
� , ∪ �2 1, 2,⋯, 2
Dengan label tersebut diperoleh konstanta
1.Untuk graf pertama
= �
,1 +� ,1 +� +1,1, 1
� − −1 ,1 +� ,1 +� + ,1, 2 , + 1 2
=
+ 3 2− + + 1 = 3 2+ + 1
− −1 + 3 2− + + 1 = 3 2+ + 1
2.Untuk graf kedua
=
� ,2 +� ,2 +� 1+ ,2, 1 2 −1
� 3,2 +� ,2 +� +1,2, = 2
� 2 +3,2 +� ,2 +� +1,2, 1 −4, 2 + 1 2−3 + 4
� 2 −3 +� ,2 +� +1,2, 2−3 + 5 2−2 + 2
� 2 −2 +� ,2 +� +1,2, = 2−2 + 3,2
� 2−1 +� ,2 +� +1,2, 2−2 + 4 2− −1
=
2 2+ + 3
2 + 2
2−2− +2 + + 1
2 + 1 = 3
2+ + 1
2 +
2 + 1 + 2
2−2− +2
2+ + 2
2 + 1 = 3
2+ + 1
2 + 22−1 + 2− + 2 = 32+ + 1
2− + 2 + 2+ 3 −5 + 2− + 4 = 32+ + 1
2+ 3 + 2+ 3 −4 + 2−2 + 2 = 32+ + 1
2+ + 3 + 2+ 2 + 4 − −2−2 + 2− 2 + 3 + + = 3 2+ + 1
2+ + 2 2− − + 3 + + −2 = 3 2+ + 1
2 + 22−2 + 2− + 3 = 32+ + 1
2− + 2 + 2 2+ − −2 + + + 1 = 32+ + 1
Menggunakan Teorema 2.1. Teorema 2.2. dan
Teorema 2.3. diperoleh akibat-akibat berikut :
Akibat 3.3.1.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan
asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3=
2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan
= 1,2,… , −4 5, maka graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 adalah TSA dengan =
6 2− −1.
Akibat 3.3.2.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan
asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0;
3= 2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan
= 1,2,… , −4 5, maka graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 adalah TSAS dengan =
3 2+ 2 + 1.
Akibat 3.3.3.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan
asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3=
2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan
= 1,2,… , −4 5, maka graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 mempunyai pelabelan
( 2+ 3 + 1,2) - TSAAS.
Hasil lain yang dapat diperoleh pada
penelitian ini adalah graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) untuk
6, �3, ∪ �2, −2 untuk 3 dan � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 untuk 5 masing-masing
mempunyai pelabelan ( , )-TSAAS untuk
= 2 dan = 5 + 3, 2 + 9 dan 2+ 2 + 3
yang tersaji dalam teorema-teorema berikut :
Teorema 4.1.
Graf �3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0
2
)
mempunyai pelabelan (5 + 3 ,2)– TSAAS untuk
6.
Bukti :
Berdasarkan notasi titik dan sisi graf �3, ∪
�2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) dalam Persamaan 1
dan Gambar 2 di dapatkan label titik yang sama
untuk Teorema 3.1 sehingga diperoleh label sisi
sebagai berikut :
� ,1 = 4 + , 1 3
� ,2 =
9 + 1, = 1
7 + + 1, 2 2 −2
7 + 2, = 2 −1
9 , = 2
9 −2 + + 1, 2 + 1 3 −5
7 + 1, = 3 −4
Dengan label tersebut diperoleh himpunan bobot
1 = 5 + 2 + 11 3
= {5 + 3,5 + 5,…,11 + 1}.
2 = 11 + 3 = 3 −4 ∪ 11 + 5 = 2 −
1∪11 +2 +3 −2∪15 +1 =2 ∪15 +
3 =1∪11 +2 +3 2 + −5
= 11 + 3, 11 + 5, 11 + 7, 11 +
9, … , −1, 15 +1, 15 +3, 15 +5, 15 +7,
… , 7 −7.
= 1∪ 2= 5 + 3, 5 + 5, 5 + 7,…, 17 −
7.
Dengan demikian, graf
�3, ∪ �2 (0,1,0 … ,0, −5,0,0,1,0 2
) mempunyai
pelabelan ( , )-TSAAS dengan = 5 + 3 dan
= 2 untuk 6.
Teorema 4.2.
Graf �3, ∪ �2, −2 mempunyai pelabelan
(2 + 9 ,2) - TSAAS Untuk 3.
Bukti :
Berdasarkan notasi titik dan sisi graf �3, ∪
�2, −2 dalam Persamaan 2 dan Gambar 3 di
dapatkan label titik yang sama untuk Teorema 3.2
sehingga diperoleh label sisi sebagai berikut :
� ,1 =
2 + 3 + , 1
2 + 4 + , + 1 3
� ,2 =
3 + 4, = 1
5 + 5, = 2
5 + 3 + , 3 −1
Dengan label tersebut diperoleh himpunan
bobot sisi sebagai berikut :
1 = 2 + 2 + 71 ∪ 2 + 2 + 9 +
1 3
= 2 + 9, 2 + 11,…, 4 + 7, 4 + 11, 4 +
13,…, 8 + 9 .
2 = 4 + 9 = 1 ∪ 8 + 11 = 2 ∪
8 + 2 + 73 −1
= 4 + 9, 8 + 11, 8 + 13, 8 + 15,…, 10 +
5.
= 1∪ 2= 2 + 9, 2 + 11, 2 +
…, +5.
Dengan demikian, graf �3, ∪ �2, −2
mempunyai pelabelan total ( , )- TSAAS
dengan = 2 + 9 dan = 2.
Teorema 4.3.
Jika dengan = 1,2,… ,2 adalah bilangan
asli dengan 1= 2= 0; 2 = 2 = 0; 3=
2 −2= 1; 2 −1= −4; 2 −3= −2;
2 +3= −1 dimana = 2,3,… , −2 dan
= 1,2,… , −4 5, maka graf � , ∪
�2 1, 2,⋯, 2 mempunyai pelabelan
( 2+ 2 + 3,2) - TSAAS.
Bukti :
Berdasarkan notasi titik dan sisi graf � , ∪
�2 ( 1, 2,⋯, 2 ) dalam Persamaan 3 dan
Gambar 4 di dapatkan label titik yang sama untuk
Teorema 3.3 sehingga diperoleh label sisi sebagai
berikut :
� ,2 =
2 2+ + 2 + , 1 2 −3
2 2+ + 1, = 2 −2
3 2−2 + 5, = 2 −1
3 2−2 + 4, = 2
3 2− 2 + 3 + 2 + 2 + , 1 −4, 2 + 1 2−3 + 4
2 2+ 2 −3 + , = 2, 2−3 + 5 2−2 + 2
2 2+ + 2, = 2, = 2−2 + 3
2 2+ 2 + , = 2, 2−2 + 4 2− −1
Dengan label tersebut diperoleh himpunan
bobot sisi sebagai berikut :
1 = 2+ 2 + 2 + 11 2
= 2+ 2 + 3, 2+ 2 + 5,…, 3 2+ 2 + 1}.
2 = 3 2+ 2 + 3 = 2 −3 ∪{3 2+ 2 +
5 = 2−2 +3} ∪
{3 2+ 2 + 2 + 51 2 −3}∪
{5 2+ 4 −4 −6 + 2 + 5 1 −
4, 2 + 1 2−3 + 4}∪ {5 2−4 +
9 =2 }∪ 5 2−4 +11 =2 −1}∪ 3 2+2 +5
2−2 + 2− −1}∪ 3 2+4 +2−5 2
−3 + 2−2 +2}
= 3 2+ 2 + 3, 3 2+ 2 + 5, 3 2+ 2 +
7,…, 3 2+6 −1, 3 2+6 + , …, 5 2−4 +7,
5 2−4 +9, 5 2−4 +11, 5 2−4 + , …,
5 2−2 +3, 5 2−2 + , …, 5 2−1}.
= 1∪ 2= 2+ 2 + 3, 2+ 2 + 5, 2+
2 +7, …, 5 2−1.
Dengan demikian, graf
� , ∪ �2 1, 2,⋯, 2 mempunyai pelabelan
( , ) - TSAAS dengan = 2+ 2 + 3 dan
= 2.
DAFTAR PUSTAKA
Gallian, J. A., 2012, A Dynamic Survey of Graph
Labelling, Electronic Journal of
Combinatorics, Vol. 18,
(http://www.emis.ams.org/journals/EJC/Surv ey/ds6.pdf), diakses 14 November 2012.
I W. Sudarsana, E. T. Baskoro, D. Izmaimusa and
H. Assiyatun, On super ( , )-edge
antimagic total labeling of disconnected graphs, J. Combin. Math. Combin.Comput., 55 (2005), 149-158.
Sudarsana, I W., Baskoro, E. T.,Ismaimuza, D., and Uttunggadewa, S., 2009, An Expansion Technique on Super Edge-Magic Total Graphs, ARS Combinatoria, Vol. 91 : 231-241.
