Bilangan Riil, Nilai Mutlak, Fungsi

Bilangan Riil, Nilai Mutlak, Fungsi Kalkulus Dasar - Kimia

Mohammad Mahfuzh Shiddiq Universitas Lambung Mangkurat

September 13, 2016

Sistem Bilangan

Bilangan Asli; N = {1, 2, 3, · · · }

Bilangan Bulat; Z = {· · · , −1, 0, 1, 2, · · · } Bilangan Rasional; Q =_a

b



a, b ∈ Z, b 6= 0 Bilangan Riil ; R

Bilangan Kompleks ; C

Sistem Bilangan

Bilangan Asli; N = {1, 2, 3, · · · }

Bilangan Bulat; Z = {· · · , −1, 0, 1, 2, · · · }

Bilangan Rasional; Q =_a

b



a, b ∈ Z, b 6= 0 Bilangan Riil ; R

Bilangan Kompleks ; C

Sistem Bilangan

Bilangan Asli; N = {1, 2, 3, · · · }

Bilangan Bulat; Z = {· · · , −1, 0, 1, 2, · · · } Bilangan Rasional; Q =_a

b



a, b ∈ Z, b 6= 0

Bilangan Riil ; R Bilangan Kompleks ; C

Sistem Bilangan

Bilangan Asli; N = {1, 2, 3, · · · }

Bilangan Bulat; Z = {· · · , −1, 0, 1, 2, · · · } Bilangan Rasional; Q =_a

b



a, b ∈ Z, b 6= 0 Bilangan Riil ; R

Bilangan Kompleks ; C

Sistem Bilangan

Bilangan Asli; N = {1, 2, 3, · · · }

Bilangan Bulat; Z = {· · · , −1, 0, 1, 2, · · · } Bilangan Rasional; Q =_a

b



a, b ∈ Z, b 6= 0 Bilangan Riil ; R

Bilangan Kompleks ; C

Sifat Aljabar Bilangan Riil

Sifat Aljabar Bilangan Riil

1 Komutatif,x + y = y + x dan xy = yx

2 Asosiatif, x + (y + z) = (x + y ) + z dan (xy )z = x (yz)

3 Distributif, x (y + z) = xy + xz

4 Elemen identitas, Terdapat bilangan riil berbeda 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x 1 = x

5 Invers, Setiap bilangan riil x mempunyai invers penjumlahan, yaitu −x , yang memenuhi x + (−x ) = 0. dan juga mempunyai invers perkalian, yaitu ¹_x, yyang memenuhi x _x¹
= 1.

Sifat Aljabar Bilangan Riil

Sifat Aljabar Bilangan Riil

1 Komutatif,x + y = y + x dan xy = yx

2 Asosiatif, x + (y + z) = (x + y ) + z dan (xy )z = x (yz)

3 Distributif, x (y + z) = xy + xz

4 Elemen identitas, Terdapat bilangan riil berbeda 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x 1 = x

5 Invers, Setiap bilangan riil x mempunyai invers penjumlahan, yaitu −x , yang memenuhi x + (−x ) = 0. dan juga mempunyai invers perkalian, yaitu ¹_x, yyang memenuhi x _x¹
= 1.

Sifat Aljabar Bilangan Riil

Sifat Aljabar Bilangan Riil

1 Komutatif,x + y = y + x dan xy = yx

2 Asosiatif, x + (y + z) = (x + y ) + z dan (xy )z = x (yz)

3 Distributif, x (y + z) = xy + xz

4 Elemen identitas, Terdapat bilangan riil berbeda 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x 1 = x

5 Invers, Setiap bilangan riil x mempunyai invers penjumlahan, yaitu −x , yang memenuhi x + (−x ) = 0. dan juga mempunyai invers perkalian, yaitu ¹_x, yyang memenuhi x _x¹
= 1.

Sifat Aljabar Bilangan Riil

Sifat Aljabar Bilangan Riil

1 Komutatif,x + y = y + x dan xy = yx

2 Asosiatif, x + (y + z) = (x + y ) + z dan (xy )z = x (yz)

3 Distributif, x (y + z) = xy + xz

4 Elemen identitas, Terdapat bilangan riil berbeda 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x 1 = x

5 Invers, Setiap bilangan riil x mempunyai invers penjumlahan, yaitu −x , yang memenuhi x + (−x ) = 0. dan juga mempunyai invers perkalian, yaitu ¹_x, yyang memenuhi x _x¹
= 1.

Sifat Aljabar Bilangan Riil

Sifat Aljabar Bilangan Riil

1 Komutatif,x + y = y + x dan xy = yx

2 Asosiatif, x + (y + z) = (x + y ) + z dan (xy )z = x (yz)

3 Distributif, x (y + z) = xy + xz

4 Elemen identitas, Terdapat bilangan riil berbeda 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x 1 = x

5 Invers, Setiap bilangan riil x mempunyai invers penjumlahan, yaitu −x , yang memenuhi x + (−x ) = 0. dan juga mempunyai invers perkalian, yaitu ¹_x, yyang memenuhi x _x¹
= 1.

Sifat Aljabar Bilangan Riil

Sifat Aljabar Bilangan Riil

1 Komutatif,x + y = y + x dan xy = yx

2 Asosiatif, x + (y + z) = (x + y ) + z dan (xy )z = x (yz)

3 Distributif, x (y + z) = xy + xz

4 Elemen identitas, Terdapat bilangan riil berbeda 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x 1 = x

5 Invers, Setiap bilangan riil x mempunyai invers penjumlahan, yaitu −x , yang memenuhi x + (−x ) = 0. dan juga mempunyai invers perkalian, yaitu ¹_x, yyang memenuhi x ¹_x
= 1.

Sifat Urutan Bilangan Riil

Sifat Urutan

1 Trikotomi, Jika x dan y bilangan riil, maka pasti satu diantara berikut berlaku

x < y atau x = y atau x > y

2 Transitif; Jika x < y dan y < z maka x < z

3 Penjumlahan; x < y jika dan hanya jika x + z < y + z

4 Perkalian; z positif dan x < y jika dan hanya jika xz < yz. Jika z negatif, x < y jika dan hanya jika xz > yz

Sifat Urutan Bilangan Riil

Sifat Urutan

1 Trikotomi, Jika x dan y bilangan riil, maka pasti satu diantara berikut berlaku

x < y atau x = y atau x > y

2 Transitif; Jika x < y dan y < z maka x < z

3 Penjumlahan; x < y jika dan hanya jika x + z < y + z

4 Perkalian; z positif dan x < y jika dan hanya jika xz < yz. Jika z negatif, x < y jika dan hanya jika xz > yz

Sifat Urutan Bilangan Riil

Sifat Urutan

1 Trikotomi, Jika x dan y bilangan riil, maka pasti satu diantara berikut berlaku

x < y atau x = y atau x > y

2 Transitif; Jika x < y dan y < z maka x < z

3 Penjumlahan; x < y jika dan hanya jika x + z < y + z

4 Perkalian; z positif dan x < y jika dan hanya jika xz < yz. Jika z negatif, x < y jika dan hanya jika xz > yz

Sifat Urutan Bilangan Riil

Sifat Urutan

1 Trikotomi, Jika x dan y bilangan riil, maka pasti satu diantara berikut berlaku

x < y atau x = y atau x > y

2 Transitif; Jika x < y dan y < z maka x < z

3 Penjumlahan; x < y jika dan hanya jika x + z < y + z

4 Perkalian; z positif dan x < y jika dan hanya jika xz < yz. Jika z negatif, x < y jika dan hanya jika xz > yz

Sifat Urutan Bilangan Riil

Sifat Urutan

1 Trikotomi, Jika x dan y bilangan riil, maka pasti satu diantara berikut berlaku

x < y atau x = y atau x > y

2 Transitif; Jika x < y dan y < z maka x < z

3 Penjumlahan; x < y jika dan hanya jika x + z < y + z

4 Perkalian; z positif dan x < y jika dan hanya jika xz < yz. Jika z negatif, x < y jika dan hanya jika xz > yz

Sifat Urutan Bilangan Riil

Sifat Urutan

1 Trikotomi, Jika x dan y bilangan riil, maka pasti satu diantara berikut berlaku

x < y atau x = y atau x > y

2 Transitif; Jika x < y dan y < z maka x < z

3 Penjumlahan; x < y jika dan hanya jika x + z < y + z

4 Perkalian; z positif dan x < y jika dan hanya jika xz < yz. Jika z negatif, x < y jika dan hanya jika xz > yz

Ketaksamaan

Persamaan vs Ketaksamaan

Persamaan;

3x + 6 = 18 atau x²− 6x + 5 = 0

Ketaksamaan;

3x + 6 < 18 atau x²− 6x + 5 > 0

Ketaksamaan

Persamaan vs Ketaksamaan Persamaan;

3x + 6 = 18 atau x²− 6x + 5 = 0

Ketaksamaan;

3x + 6 < 18 atau x²− 6x + 5 > 0

Ketaksamaan

Persamaan vs Ketaksamaan Persamaan;

3x + 6 = 18 atau x²− 6x + 5 = 0

Ketaksamaan;

3x + 6 < 18 atau x²− 6x + 5 > 0

Ketaksamaan

Solusi Ketaksamaan

Mengoperasikan kedua ruas dengan operasi yang sama Menjumlahkan

Mengalikan

Ketaksamaan

Solusi Ketaksamaan

Mengoperasikan kedua ruas dengan operasi yang sama

Menjumlahkan Mengalikan

Ketaksamaan

Solusi Ketaksamaan

Mengoperasikan kedua ruas dengan operasi yang sama Menjumlahkan

Mengalikan

Ketaksamaan

Example (1)

Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x − 7 < 3x + 5 !

Penyelesaian.

Berdasarkan sifat urutan diperoleh

4x − 7 < 3x + 5 4x − 7 + 7 < 3x + 5 + 7

4x < 3x + 12 4x − 3x < 3x + 12 − 3x

x < 12

Jadi himpunan penyelesaian adalah { x ∈ R| x < 12}

Ketaksamaan

Example (1)

Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x − 7 < 3x + 5 !

Penyelesaian.

Berdasarkan sifat urutan diperoleh

4x − 7 < 3x + 5 4x − 7 + 7 < 3x + 5 + 7

4x < 3x + 12 4x − 3x < 3x + 12 − 3x

x < 12

Ketaksamaan - Interval

Ketaksamaan - Interval

Ketaksamaan - Interval

Ketaksamaan - Interval

Ketaksamaan

Example (2)

Tentukan himpunan penyelesaian dalam interval dari x²+x − 6 > 0

Penyelesaian

Dengan memfaktorkan diperoleh

x²+x − 6 > 0 (x + 3)(x − 2) > 0

Titik 2 dan −3 adalah titik pemecah yang memecah bilangan riil menjadi tiga selang (−∞, −3), (−3, 2) dan (2, ∞). Dengan menggunakan titik uji diperoleh himpunan penyelesaian adalah (−∞, −3) ∪ (2, ∞)

Ketaksamaan

Example (2)

Tentukan himpunan penyelesaian dalam interval dari x²+x − 6 > 0

Penyelesaian

Dengan memfaktorkan diperoleh

x²+x − 6 > 0 (x + 3)(x − 2) > 0

Titik 2 dan −3 adalah titik pemecah yang memecah bilangan riil menjadi tiga selang (−∞, −3), (−3, 2) dan (2, ∞). Dengan menggunakan titik uji diperoleh himpunan penyelesaian adalah (−∞, −3) ∪ (2, ∞)

Ketaksamaan

Example (2)

Tentukan himpunan penyelesaian dalam interval dari x²+x − 6 > 0

Penyelesaian

Dengan memfaktorkan diperoleh

x²+x − 6 > 0 (x + 3)(x − 2) > 0

Titik 2 dan −3 adalah titik pemecah yang memecah bilangan riil menjadi tiga selang (−∞, −3), (−3, 2) dan (2, ∞). Dengan menggunakan titik uji diperoleh himpunan penyelesaian adalah

Nilai Mutlak

Definisi

Nilai mutlak suatu bilangan riil x , |x |, didefinisikan dengan

|x| :=

 x , jika x ≥ 0

−x, jika x < 0

Nilai Mutlak

Definisi

Nilai mutlak suatu bilangan riil x , |x |, didefinisikan dengan

|x| :=

 x , jika x ≥ 0

−x, jika x < 0

Nilai Mutlak

Sifat Nilai Mutlak

1 |ab| = |a| |b|

2  _b^a

 = ^|a|_|b|

3 |a + b| ≤ |a| + |b|

4 |a − b| ≥ ||a| − |b||

5 |x| < a jika dan hanya jika −a < x < a

6 |x| > a jika dan hanya jika x < −a atau x > a

7 |x| < |y | jika dan hanya jika x²<y²

Nilai Mutlak

Sifat Nilai Mutlak

1 |ab| = |a| |b|

2  ^a_b

 = ^|a|_|b|

3 |a + b| ≤ |a| + |b|

4 |a − b| ≥ ||a| − |b||

5 |x| < a jika dan hanya jika −a < x < a

6 |x| > a jika dan hanya jika x < −a atau x > a

7 |x| < |y | jika dan hanya jika x²<y²

Nilai Mutlak

Example (3)

Tentukan penyelesaian dari

|x + 1| < 4 

^x₃− 2 ≤ 6 

_x¹− 3 >6

Sistem Koordinat Kartesius

Sistem Koordinat Kartesius

Sistem Koordinat Kartesius

Sistem Koordinat Kartesius

Sistem Koordinat Kartesius

Sistem Koordinat Kartesius

Sistem Koordinat Kartesius

Jarak antar titik

Sistem Koordinat Kartesius

Jarak antar titik

Sistem Koordinat Kartesius

Rumus Jarak

Jarak antara titik P(x₁,y₁)dan titik Q(x₂,y₂)adalah d (P, Q) =

q

(x₂− x₁)²+ (y₂− y₁)²

Sistem Koordinat Kartesius

Rumus Jarak

Jarak antara titik P(x₁,y₁)dan titik Q(x₂,y₂)adalah d (P, Q) =

q

(x₂− x₁)²+ (y₂− y₁)²

Sistem Koordinat Kartesius

Persamaan Lingkaran

Sistem Koordinat Kartesius

Persamaan Lingkaran

Sistem Koordinat Kartesius

Persamaan Umum Lingkaran

r = q

(x − h)²+ (y − k )²

Sistem Koordinat Kartesius

Persamaan Umum Lingkaran r =

q

(x − h)²+ (y − k )²