April 2012
65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan
Galeri Soal
Dirangkum Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
Email : matikzone@gmail.com Blog : www.matikzone.wordpress.com HP : 085 233 897 897 © Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…
Limit www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal Limit dan Penyelesaiannya
1. Dari gambar di samping, tentukan:
a). lim ( )
2
x f
x→−
, lim ( )
2
x f
x→ +
dan lim ( )
2 f x
x→ jika ada. b). lim ( )
5 f x
x→−
, lim ( )
5 f x
x→+
, dan lim ( )
5 f x
x→ jika ada.
Jawab:
Limit kanan dan limit kiri
*) f x L
a
x→ + =
) (
lim , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f (x) mendekati L.
*) f x L
a
x→ − =
) (
lim , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f (x) mendekati L.
Definisi limit
f x L
a
xlim→ ( )=
(ada) ⇔ =
+
→ ( )
lim f x
a
x xlim→a− f(x)= L
Dari soal di atas dapat ditentukan bahwa: a). lim ( ) 3
2
= −
→
x f
x
dan lim ( ) 3
2
= +
→
x f
x
maka lim ( ) 3
2 =
→ f x
x
b). lim ( ) 3
5
= −
→
x f
x
dan lim ( ) 4
5
= +
→
x f
x
, limit kiri dan limit kanan tidak sama maka )
( lim
5 f x
x→ Tidak Ada
2 5 4
3
x y
f(x)
a L
x y
f(x)
kiri
Limit www.matikzone.wordpress.com 2. Jika diketahui
( )
≥ +
< −
=
2 ;
3
2 ;
1 4
2
x jk x
x jk x x
f maka tentuka nilai dari lim ( )
2 f x
x→ − , xlim→2+ f(x),
dan lim ( )
2 f x
x→
Jawab:
• lim ( ) lim 4 1 4.2 1 8 1 7
2 2
= − = − = − − =
− →
→
x x
f
x x
(limit kiri, dari kiri, digunakan fungsi pertama)
• lim ( ) lim 2 3 22 3 4 3 7
2 2
= + = + = + + =
+ →
→
x x
f
x x
(limit kanan, dari kanan, digunakan fungsi kedua)
• lim ( ) 7
2 =
→ f x
x (limit kiri = limit kanan) 3. Tentukan nilai limit dari:
a). lim788
9
→
x c). limx→3
(
5x−6)
e). 22 lim
2 +
−
→ x
x
x b). x
x 7
lim
8
→ d). 1
6 5 lim
3 +
−
−
→ x
x
x f). 4 8 lim
4 +
−
−
→ x
x
x
Jawab:
Untuk lim f(x) a
x→ diselesaikan dengan cara subtitusi (langkah ini tidak boleh
ditinggalkan)
Ø Jika f (a) = c maka lim f(x) a x→
= c
Ø Jika f (a) = 0
c
maka lim f(x) a x→
Tidak Ada, Tak Hingga, atau Min Tak Hingga (cek grafik)
Ø Jika f (a) =
c
0
maka lim ( )=0
→a f x x
Ø Jika f (a) = 0 0
maka dilakukan faktorisasi atau perkalian dengan sekawan.
Sehingga:
a). lim788 788
9 =
→
x
b). lim7 7.8 56
8 = =
→ x
x
c). lim
(
5 6)
5.3 6 15 6 93 − = − = − =
→ x
x
d).
2 21 2 21 2
6 15 1
3 6 ) 3 ( 5 1
6 5 lim
3 − =
− = −
− − = + −
− − = +
−
−
→ x
x
x
e). 0
4 0 2 2
2 2 2 2 lim
2 + = =
− = + −
→ x
x
x
f).
( )
0 12 4 4
4 8 4 8 lim
4 − + =
− − = + −
−
→ x
x
Limit www.matikzone.wordpress.com 4. Penyelesaian dengan faktorisasi
a). 0 0 6 2 . 5 2 2 2 6 5 2
lim 2 2
2 − + =
− =
+ −
−
→ x x
x
x BTT, maka
(
)(
)
(
)
1 11 3 2 1 3 1 lim 3 2 2 lim 6 5 2 lim 2 2 2
2 − − = − = − = − =−
− = + − − → →
→ x x x
x x x x x x x
b).
( )
0 0 6 5 1 2 3 1 6 ) 1 ( 5 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 1 6 5 2 3 lim 2 2 2 2
1 + − =
+ − = − − − − + − + − = − − + + −
→ x x
x x
x BTT, maka
(
)(
)
(
)(
)
(
(
)
)
71 7 1 6 1 2 1 6 2 lim 6 1 2 1 lim 6 5 2 3 lim 1 1 2 2
1 − − = − =−
+ − = − + = − + + + = − − + + − → − → − → x x x x x x x x x x x x x c). 0 0 0 . 7 0 . 2 0 . 3 0 . 5 0 7 2 3 5 lim 2 2 3 2 2 3
0 − =
+ − = − + −
→ x x
x x x
x BTT, maka
(
)
(
)
(
(
)
)
23 0 . 7 2 3 0 . 5 0 7 2 3 5 lim 7 2 3 5 lim 7 2 3 5 lim 2 0 2 0 2 2 3
0 − =
+ − = − + − = − + − = − + − → → → x x x x x x x x x x x x x x x x
d).
(
)
(
)
(
)
(
)
38 1 2 2 2 . 3 2 1 2 3 lim 1 2 2 3 2 lim 2 2 4 8 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3
2 − =
− + = − − + = − − − + − = + − − + − + → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x
e).
(
)
(
)
(
)
(
4)
(
4 16)
4 lim 16 4 4 4 lim 64 4 lim 2 4 2 4 3
4 − + +
− − = + + − − = − − → →
→ x x x
x x x x x x x x x x
(
)
481 16 4 . 4 4 1 16 4 1 lim 2 2
4− + + =− + + =−
=
→ x x
x
f).
( )
( )
(
(
)
(
)(
)
)
2 39 6 4 lim 3 2 3 2 9 6 4 3 2 lim 3 2 3 2 lim 9 4 27 8 lim 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 + + + = + − + + − = − − = − − → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x 2 1 3 2 9 6 27 3 3 9 9 9 3 2 3 . 2 9 2 3 . 6 2 3 . 4 2 = = = + + + = + + + =
5. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan (merasionalkan bentuk akar)
a). 0
0 2 2 1 8 3 2 1 4 3 lim
2 − =
+ − = − + − → x x
x BTT, maka
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
3Limit www.matikzone.wordpress.com
b). 0
0 3 2 1 2 2 lim
3 − − =
− − +
→ x x
x x
x BTT, maka
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
53 5 2 3 2 5 5 3 3 1 3 . 2 2 3 3 3 3 . 2 1 2 2 3 2 lim 3 1 2 2 3 2 3 lim ) ( 3 2 1 2 2 3 2 3 lim 3 2 3 2 . 1 2 2 3 2 3 lim 1 2 2 3 2 3 lim 1 2 2 3 2 ) 1 2 ( ) 2 ( lim 1 2 2 1 2 2 . 3 2 1 2 2 lim 3 2 1 2 2 lim 3 3 3 3 3 3 3 3 − = − = + + − = − + + + − − = − + + + − − = − − + + + − − − = − − − + + + − + − = + − + − − + + − − + − = − + + − − + − = − + + − − − − + = − + + − + + − − − − + = − − − − + → → → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c).
(
)
(
7)
16 7 4 9 lim 7 4 7 4 . 7 4 9 lim 7 4 9 lim 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 23 − +
+ + − = + + + + + − − = + − − − → − → − → x x x x x x x x x x x x
(
)
(
) (
lim 4 7)
4 9 7 4 4 89 7 4 9 lim 2 3 2 2 2
3 − = + + = + + = + =
+ + −
= →− →− x
x x x
x x
(gabungan cara penyelesaian dengan pemfaktoran dan perkalian dengan sekawan)
6. ...
1 3 1
1
lim 3
1 =
− − −
→ x x
x Jawab:
(
)
(
)
(
)
(
(
−)
(
+)
+)
− + + = − − + + − + + = − − − → → → 2 2 1 3 2 2 1 31 1 1
3 1 lim 1 3 1 1 1 lim 1 3 1 1 lim x x x x x x x x x x x x
x x x
x
(
)
(
)
(
(
)
(
)(
)
)
(
)
(
)
13 3 1 1 1 2 1 1 2 lim 1 1 1 2 lim 1 1 2 lim 2 2 1 2 1 2 2 1 = = + + + = + + + = + + − − + = + + − − + = → → → x x x x x x x x x x x x x x x x Dikali sekawan pembilang Dikali sekawan penyebut Jika disubtitusi, masih
didapat 0/0
(
)
(
2 2)
3
3 b a b a ab b
Limit www.matikzone.wordpress.com
7. ...
1 1 lim
3 2
2
0 − + =
→ x
x
x
Jawab:
(
)
(
(
)
)
( )
( )
22
3 2
3 2
2
0 2
3 2
3 2
2
3 2
3 2
3 2
2
0
3 2
2
0 1 1
1 1
1 lim 1
1 1
1 1
1 . 1 1 lim 1
1 lim
x x x
x x
x
x x
x x x
x
x x
x − +
+ + + +
=
+ + + +
+ + + +
+ − = +
− → →
→
(
)
(
)
(
1 1 1)
31 1
1 lim 1
1 1
lim 3 2 3 2 2
0 2
2
3 2
3 2
2
0
− = + + − =
+ + + +
− =
−
+ + + +
=
→
→ x x x
x x
x
x x
8. Jika lim( +1)=lim(2 −3)
→
→n x x n x
x , maka tentukan nilai dari lim( 16)
2 −
→n x x
Jawab:
4 3
2 1 )
3 2 ( lim ) 1 (
lim + = − ⇒ + = − ⇒ =
→
→n x x n x n n n
x maka
0 16 16 16 4 ) 16 (
lim ) 16 (
lim 2 2
4
2 − = − = − = − =
→
→n x x x
x
9. Jika
7 3 10
2 5 2 lim
2 2
2 + − =
+ +
−
→ x ax
x x
x , maka nilai a adalah …
Jawab:
10 2 5 2 lim
2 2
2 + −
+ +
−
→ x ax
x x
x , karena ketika disubtitusi pembilang bernilai 0, sedangkan nilai limitnya adalah
7 3
, maka penyebut dipastikan bernilai 0. Sehingga diperoleh
( )
3 6 2
2 10 4
0 10 2 2 2
− = ⇒
− = ⇒
= − ⇒
= − − −
a a
a a
10.
0 4 2 2
2 2 2 2 lim
2 − =
+ = − +
→ x
x
x berarti 2
2 lim
2 −
+
→ x
x
x tidak ada. Lihat grafiknya berikut ini:
(
)(
)
(
)(
)
( )
7 3 7 3 5
2 1 2 2
5 1 2 lim 5
2 1 2 2 lim 10 3
2 5 2 lim
2 2
2 2
2
= − − = − −
+ − =
− + =
− +
+ +
= − −
+ +
− → −
→ −
→ x
x x
x
x x
x x
x x
x x
Limit www.matikzone.wordpress.com 11.
0 14 9
3
1 3 . 2 3 9
1 2 lim
2 2 2
2
3 − =
− + = −
− +
→ x
x x
x berarti 9
1 2 lim
2 2
3 −
− +
→ x
x x
x tidak ada. Demikian juga
untuk
9 1 2 lim
2 2
3 −
− +
−
→ x
x x
x , karena
( )
( )
( )
02 9
3
1 3 2 3 9
1 2
lim 2
2 2
2
3 − − =
− − + − = −
− +
−
→ x
x x
x . Grafiknya
adalah:
12. Untuk menentukan nilai
lim
f
(
x
)
x→∞ adalah dengan SUBTITUSI, f(x)=(x+2)/(x-2)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
-6 -4 -2 2 4 6 8
x y
f(x)=(x^2+2x-1)/(x^2-9)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
x y
Limit kiri ≠ Limit kanan
Limit www.matikzone.wordpress.com
Ø Jika f(x)=±
c
∞
maka lim f(x)
x→∞ = ± ∞
Ø Jika f(x)=
∞
c
maka lim f(x)
x→∞ = 0
Ø Jika f(x)=
∞ ∞
(Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut.
Ø Jika f (x)= ∞ – ∞ (Bentuk Tak Tentu) maka masing2 pembilang dan penyebut dikalikan dengan bentuk sekawannya dan dibagi dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut.
Soal-soal:
a. limx→∞9=9
b. limx→∞2x+9=2.∞+9=∞
c.
∞ = + ∞ = +
∞
→ 8
9 . 7 8
9 7 lim x x
d.
0 6 1 6 1 6
lim 2 2 =
∞ = + ∞ = +
∞
→ x
x
13. Penyelesaian dengan pembagian variabel pangkat tertinggi.
a).
∞ ∞ = − +
∞
→ 3 1
2 lim 2
x x
x
x BTT maka
0 3 0 0 0 3
0
1 lim 1 lim 3 lim
2 lim 1
1 3
2 lim
1 3
2 lim
1 3
2 lim
2 2
2 2 2
2 2 2
= = − + =
− +
= −
+ =
− + =
− +
∞ → ∞
→ ∞ →
∞ → ∞
→ ∞
→ ∞
→
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
b).
∞ ∞ = − +
∞
→ 3 1
2 lim
2 2
x x
x
x BTT, maka
Variabel Pangkat Tertinggi (VPT) adalah x2, maka pembilang dan penyebut dibagi dengan x2
Limit www.matikzone.wordpress.com 3
2 0 0 3
2
1 lim 1 lim 3 lim
2 lim 1
1 3
2 lim
1 3
2 lim
1 3
2 lim
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
= − + =
− +
= −
+ =
− + =
− +
∞ → ∞
→ ∞ →
∞ → ∞
→ ∞
→ ∞
→
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
c).
∞ ∞ = − +
+
∞
→ 3 1
5 2 lim
2 3
x x
x x
x BTT maka
14. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan kemudian membaginya dengan variabel pangkat tertinggi.
a).
(
− + − + −)
=∞−∞∞
→ 4 5 1 4 7 2
lim x2 x x2 x
x BTT, maka
(
)
(
) (
(
)
)
(
) (
)
3 4 12 4 2
12
0 0 4 0 0 4
0 12
2 7 4 1
5 4
3 12 lim
2 7
4 1
5 4
3 12 lim
2 7 4 1 5 4
3 12 lim
2 7 4 1 5 4
2 7 4 1 5 4 lim
2 7 4 1 5 4
2 7 4 1 5 4 2 7 4 1 5 4 lim
2 7 4 1 5 4 lim
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
− = − = − =
− + + + −
+ − =
− + + + −
+ − =
− +
+ + −
+ −
=
− + +
+ −
+ − =
− + +
+ −
− + − + − =
− + +
+ −
− + +
+ − ⋅
− + −
+ − =
− + −
+ −
∞ →
∞ →
∞ →
∞ →
∞ →
∞ →
x x x
x
x
x x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x x
x x
x
x x x
x
x x x x x x
3
3 2 2
2 2
2
2 2 2
2 5
5 2
2 5 0
lim lim lim
1 1
3 1
3 1 3 3 0 0
x x x
x x
x
x x x x x
x x
x x
x x
x x x
→∞ →∞ →∞
+ +
+ = = = ∞ + = ∞
+ − + − + − + −
Sama nilainya dengan (diambil suku yang memuat pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut):
2 2
4 4
12 lim
x x
x
x +
−
∞ →
VPT pembilang adalah x, dan VPT penyebut x2
(setara), maka pembilang dan penyebut dibagi dengan x (jk dlm akar menjadi x2)
Lihat catatan 2
Limit www.matikzone.wordpress.com b).
(
+ − +)
=∞−∞∞
→ 6 3
lim x x
x , BTT maka:
15. Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga:
Ø Jika
... ... )
(
1 1
+ +
+ +
= mn nn−−
qx px
bx ax x f
maka m
n
x
x px
ax x
f
∞ → ∞
→ ( )=lim
lim
n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari
penyebut.
Ø Jika f(x)= ax2 +bx+c − px2 +qx+r maka lim f(x) x→∞
< ∞
−
=
− >
∞ =
p a jk
p a jk a
q b
p a jk
, , 2
,
Ø Jika f(x)= ax+b − px+q maka lim f(x) x→∞
< ∞
−
= > ∞
=
p a jk
p a jk
p a jk
, , 0
,
(
)
(
)(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
6 3
lim 6 3 lim 6 3
6 3
3 lim
6 3
3 lim
6 3
3 lim
6 3
1 1
0
1 1
0
x x
x
x
x
x x
x x x x
x x
x x
x
x x
x x x x
x
x x
→∞ →∞
→∞
→∞
→∞
+ + +
+ − + = + − +
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
Limit www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal:
a).
3 5 3
5 lim
3 3
− = −
−
∞
→ x x
x x
x (pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut)
b).
(
)
( )
3 4 6
8 9
2 7 15 1
7 9 2 15 9
lim 2 − + − 2 − + = − − − =− =−
∞
→ x x x x
x ( nilai a = p )
c). lim
(
2 −4− 2 +5)
=0∞
→ x x
x ( nilai a = p )
16. Teorema Limit
Untuk n∈ bilangan bulat positif; c konstanta; f dan g fungsi- fungsi dalam x yang mempunyai limit di a, maka berlaku:
Soal-soal:
a). a. lim 25 25
6 =
→
x b. limx→036=36 c. xlim→−29=9
b). lim 4 34 81
3 = =
→ x
x
c). lim 3 5 7 23 5.2 7 5
2 − + = − + =
→ x x
x
e). lim 5 5lim 5.( 2) 10
2
2 = →− = − =−
−
→ x x x
x
f). lim5 3 lim5 lim3 2 5.4 3.42 20 48 68
4 4
2
4 + = → + → = + = + =
→ x x x x x x
x
g). lim5 3 lim5 lim3 2 5.4 3.42 20 48 28
4 4
2
4 − = → − → = − = − =−
→ x x x x x x
x
h). lim
(
5 3)
(
5 1)
lim(
5 3)
.lim(
5 1)
8.4 321 2 1
2
1 + − = → + → − = =
→ x x x x x x x x
x
i).
(
(
)
)
(
(
)
)
24 8 1 5 lim
3 5 lim 1
5 3 5 lim
1
2 1
2
1 − = =
+ =
− +
→ →
→ x
x x x
x x
x x x
j). lim
(
5 2)
(
lim(
5 2)
)
3(
5.1 2)
3 73 3431 3
1 + = → + = + = =
→ x x x
x
k).
(
)
3(
)
33 1 3
1 5 2 lim 5 2 5.1 2 7
lim + = + = + =
→
→ x x x
x
a. c c
a
x→ =
lim
b. n n
a
x→ x =a
lim
c. lim f(x) f(a) a
x→ =
d. limcf(x) clim f(a) a x a
x→ = →
e. lim(f(x) g(x)) limf(x) limg(x) a x a
x a
x→ + = → + →
f. lim(f(x) g(x)) limf(x) limg(x) a x a
x a
x→ − = → − →
g. lim(f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x) a x a
x a
x→ • = → • →
h.
) ( lim
) ( lim )
( ) ( lim
x g
x f x
g x f
a x
a x a
x
→ →
→ =
; lim ( )≠0
→ag x x
i. n
a x n a
x (f(x)) (lim f(x)) lim
→
→ =
j. n
a x n
a
x f(x) lim f(x)
lim
→
Limit www.matikzone.wordpress.com
l).
(
)
(
)
3100 7 10 75 25 7 ) 5 .( 2 ) 5 .( 3 ) 5 .( 5 7 lim 2 lim 3 lim 5 lim 7 2 lim 3 5 lim 7 2 3 5 lim 2 2 2 2 5 − = + − − − = + − − − − = + − = + − = + − ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → − → x x x x x x x x x x x x x x x x
17. Limit Fungsi Trigonometri
Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri sama dengan limit fungsi aljabar. Beberapa persamaan khusus:
Soal-soal:
a). 0
1 0 0 cos 0 cos lim
0 = = =
→ x
x
x
b). 1 0 1
2 1 cos 2 1 sin cos sin lim 2
1 + = + = + =
→ π π π
x x
x
c). 2.1 2
2 2 sin lim . 2 2 2 . 2 sin lim 2 sin lim 0 2 0
0 = → = → = =
→ x x x x x x x x
x (jika x→0 maka 2x →0)
d). 0 0 2 tan 5 4 sin 3 lim
0 − =
+
→ x x
x x
x BTT, maka
(khusus soal model ini, pembilang dan penyebut dibagi dengan x)
3 7 2 5 4 3 2 tan lim 5 lim 4 sin lim 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 0 0 0 0 0 0
0 − =
+ = − + = − + = − + = − + → → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e). 0 0 sin 4 cos 1 lim 0 = −
→ x x
x
x BTT, maka
(
)(
)
(
)(
)
(
)
8 4 . 2 1 . 4 . 1 . 1 4 . 4 cos 1 1 . sin 4 . 4 4 sin . 4 4 sin lim 4 . 4 4 . 4 . 4 cos 1 1 . sin 4 sin . 4 sin lim 4 cos 1 sin 4 sin lim 4 cos 1 sin 4 cos 1 lim 4 cos 1 4 cos 1 . sin 4 cos 1 lim sin 4 cos 1 lim 0 0 2 0 2 0 0 0 = = + = + = + = + − = + + − = − → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f). 0 0 2 cos lim 2 = −→π x π
x
x
BTT, maka Diketahui rumus trigonometri:
− = x x 2 sin cos π
a. 1
sin lim sin
lim
0
0 = → =
→ x x x x x x
b. 1
tan lim tan
lim
0
0 = → =
→ x x x x x x c. b a bx ax bx ax x
x→ =lim→ sin =
sin lim 0 0 d. b a bx ax bx ax x
x→ =lim→ tan =
tan lim 0 0 e. b a bx ax bx ax x
x→ = → tan =
Limit www.matikzone.wordpress.com 1 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 cos lim 2 2 2 2 2 − = − − − = − − − = − − − = − − = − → → → → → π π π π π π π π π π π π π π x x x x x x x x x x x x x x x g). 0 0 cos cos lim = − −
→ x a
a x
a
x , BTT maka
(
)
(
)
(
)
(
)
a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x sin 2 1 . sin 2 2 1 sin lim . 2 1 sin lim 2 2 1 sin 2 1 sin 2 lim cos cos lim − = − = − − + − = − − + − = − − → → → →h).
(
)
(
)
(
)
00 1 tan 1 1 lim 2 2 3
1 − + − =
+ + −
→ x x
ax x a x
x , BTT maka
( )
( )
( )
( )( )
(
( )
( )
)
( )( )
( )(
( )
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )( )
( )
( )
aa x x x a x x x x x a x x x x x a x x x x x x a x a x x x x ax x a x x x x x x x x − = + − = − − + + − = − − + + − = − + + − − − = − + + − + + − = − + − + + − → − → → → → → → 1 3 1 1 2 1 1 1 tan lim 1 lim lim 1 1 tan 1 lim 1 tan 1 1 1 lim 1 tan 1 1 1 lim 1 tan 1 1 lim 0 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 1 i). 0 0 tan tan 1 1 tan tan lim = − + − − → y x y x y x y x y
x BTT maka
Limit www.matikzone.wordpress.com 18. Apakah fungsi f(x)=2x+1, kontinu di x = 1 ?
Jawab:
Kekontinuan Suatu Fungsi
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika: a. f (a) ada
b. lim f(x) a
x→ ada c. lim f(x)
a
x→ = f (a)
Fungsi f (x)=2x+1, kontinu di x = 1 karena lim
(
2 1)
3( )
11 x f
x→ + = =
19. Apakah fungsi
( )
= ≠ −
− =
3 ;
3
3 ; 3
9
2
x x x x x
f , kontinu di x = 3 ?
Jawab:
Fungsi
( )
= ≠ −
− =
3 ;
3
3 ; 3
9
2
x x x x x
f maka f(x) tidak kontinu di x = 3, karena
a. lim( 3) 3 3 6
) 3 (
) 3 )( 3 ( lim 3
9 lim
3 3
2
3 − = + = + =
+ − =
− −
→ →
→ x x
x x x
x
x x
x b. f(3) = 3
maka lim ( ) (3)
3 f x f
x→ ≠
20. Tentukan nilai
(
) ( )
h x f h x f
h
− +
→0
lim untuk fung[si ( ) 2 3
x x
f =
Jawab:
(
)
3(
3 2 2 3)
3 2 2 33
2 6
6 2 3
3 2 2
) ( 2
)
(x x f x h x h x x h xh h x x h xh h
f = ⇒ + = + = + + + = + + +
(
) ( )
(
)
(
)
(
2 2)
2 20 2 2
0
3 2 2
0 3 3 2 2
3
0 0
6 0 0 6 2 6 6 lim 2
6 6 lim
2 6
6 lim 2
2 6
6 2 lim lim
x x
h xh x
h h xh x
h
h
h xh h x h
x h xh h x x h
x f h x f
h h
h h
h
= + + = + + =
+ + =
+ +
= − + +
+ =
− +
→ →
→ →
→
21. Tentukan nilai
(
) ( )
h x f h x f
h
− +
→0
lim untuk fungsi f(x)=x2 +3x
Jawab:
x x x
f ( )= 2 +3
Ciri:
Limit www.matikzone.wordpress.com
( ) ( )
[
( ) ( )
]
[
]
[
] [
]
(
)
(
)
3 2 3 0 2 3 2 lim 3 2 lim 3 2 lim 3 3 3 2 lim 3 3 lim lim 0 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0 + = + + = + + = + + = + + = + − + + + + = + − + + + = − + → → → → → → x x h x h h x h h h h xh h x x h x h xh x h x x h x h x h x f h x f h h h h h h22. Limit Barisan Bilangan
e x
x
x =
+ ∞ → 1 1 lim . 1 1 1 1 lim . 3 − ∞ → =
− e
x
x
x
(
x)
x ex→∞ + =
1 1 lim . 2
(
)
1 11 lim .
4 −
∞
→ −x x =e
x
Ket: e = 2,7182818... = 1 + 1 + ... ! 3 1 ! 2 1 +
+ (bilangan Euler)
Soal-soal: 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 lim . − + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → = + − = + − + + = + − + =
+ x x x e
x x x x x a x x x x x x x x Atau ( )
(
)
( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 lim − − + − ∞ → − + − ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → = + − + = + − = + − = + − + + = + − + = + e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
33 3 1 3 3 1 1 3 . 3 1 1 3 1 lim 3 1 lim 3 1 lim 3 1 lim . − − − ∞ → − − ∞ → − − ∞ → ∞ → = + − = − = − =
− x x x x e
b x x x x x x x x ( )
(
)
6 4Limit www.matikzone.wordpress.com
Bentuk Sekawan:
a. a− b sekawannya a + b
b. a+ b−c sekawannya a− b−c
c. a b−c sekawannya a b+c
d. a+b+ c−d sekawannya a+b− c−d
e. a+b−c sekawannya a+b+c
dan lain sebagainya..
Catatan:
a. a2 −b2 =
(
a−b)(
a+b)
b. a3−b3 =
(
a−b)
(
a2 +ab+b2)
c. a3+b3 =
(
a+b)
(
a2 −ab+b2)
d.
(
)
2 2 22ab b a
b
a+ = + +
e.
(
)
2 2 22ab b a
b
a− = − +
f.
( )
a 2 = a⋅ a =ag.
(
a+b)
2 = a+b⋅ a+b =a+bCatatan 2:
a.
b a b a =
b. 2
2 x
a x
a x
a
=
= c. 4 4 4
4 2
x b x ax x
b ax x
b ax x
b ax
+ =
+ = + = +
dan lain- lain.
Keterangan:
Limit www.matikzone.wordpress.com
Soal-Soal Latihan
Kerjakan soal-soal berikut, bila perlu gambarlah grafiknya.
1. Jika
( )
> ≤ =
0 ;
0 ;
2
2
x jk x
x jk x
f , tentukan: a. f
( )
xx→0−
lim , b. f
( )
xx→0+
lim , c. f
( )
xx 0
lim
→ jk ada.
2. Jika
( )
≥ +
< +
=
1 ;
4
1 ;
2 3
x jk x
x jk x x
f , tentukan: a. f
( )
xx→1−
lim , b. f
( )
xx→1+
lim , c. f
( )
xx 1
lim
→ .
3. Jika
( )
> +
≤ +
=
1 ;
3 2
1 ;
1 4
2
x jk x
x jk x x
f , tentukan: a. f
( )
xx→1−
lim , b. f
( )
xx→1+
lim , c. f
( )
xx 1
lim
→ .
4. Jika
( )
− >
− =
− < −
=
1 ;
1
1 ;
0
1 ;
1
x jk
x jk
x jk x
f , tentukan: a. f
( )
xx→−1−
lim , b. f
( )
xx→−1+
lim , c. f
( )
xxlim→−1 .
5. Ditentukan
( )
≥ < ≤ − −
− < =
1 ;
0
1 1
; 1
1 ;
2
x jk
x jk
x x jk x
f
Selidiki apakah ada nilai limit fungsi berikut: a. f
( )
xxlim→−1 b. limx→1 f
( )
x6. Tentukan nilai dari: a. lim 1
1
− +
→
x
x
b. 2
1
lim x
x→−+
c. 2
0
1 lim
x
x→ + 7. Tentukan nilai dari: a. x
x
4 lim
4−
→
b. x
x→−2−
lim c.
x
x 2
3 lim
0−
→
8. Diketahui fungsi f
( )
x = x . Tentukan nilai berikut jika ada! (cari limit kiri dan limit kanan). a. f( )
xx 1
lim
→ b. limx→3 f
( )
x c. limx→16 f( )
x d. limx→0 f( )
x9. Selidikilah, apakah
x
x 1 lim
0
→ ada? (cari limit kiri dan limit kanan).
10.Tentukan f
( )
xxlim→−2 dan limx→4 f
( )
x dari gambar berikut:-2 4
1 3 2
x y
Limit www.matikzone.wordpress.com
Carilah Nilai Limit Berikut:
11. lim1000
5
→
x
12. lim12345
1
→
x
13. lim 2 5
2 +
−
→ x
x
14. lim3 2 5 10
0 + −
→ x x
x
15. lim
(
4)(
1)
3 − +
−
→ x x
x
16.
[
(
) (
3)
]
5 4 7 . 3
lim x x
x→− − −
17.
2 lim
4 +
→ x
x
x
18.
−
+ −
→ 2 3
1 3 lim
4 x
x x
x
x
19.
45 6
10 5 3 lim
3 2
0 + −
+ −
→ x x
x x
x
20.
10 7
9 6 lim
2 −
+
→ x
x
x
21. lim 4 11
9 −
→ x
x
22. lim 2 7
4 −
→ x
x
23. 3
2
1
6 lim
x x
x −
−
→
24.
1 6 3
lim 3
2
2 +
+ +
→ x
x x
x
25.
2 1 lim
2 −
→ x
x
26.
24 2
4 lim 2
4 − −
+
→ x x
x
x
27.
24 2
5 lim 2
1 − −
+
−
→ x x
x
x
28.
6 6 lim
3 +
−
−
→ x
x
x
29.
x x
x
3 lim
3
−
→
30.
− + −
→ x
x x
x
x 6 7
2 3 2 lim
2
31.
+ +
+
−
→ 8 5 5 14
9 lim
2 x x
x
x
32.
(
)(
)
1 2
5 3 lim
5 −
− −
→ x
x x
x
33.
(
)(
)
x x
x x
x 2 2 5
5 3 lim
7 + +
− −
→
34.
1 2 6 15
4 5 3 lim
1 − − −
+ + +
→ x x
x x
x
35. lim
(
8 2 5 5)
4 − + − +
−
→ x x
x
36. lim
(
2 2 3 2 2 2 4 3)
3 + − − − +
→ x x x x
x
37.
1 2
9 lim
− +
→ x
x
a x
38.
m x
m x
7 lim
→
39.
n x x
n x
+
→
2
lim
40.Jika lim
(
+1)
=lim(
2 −3)
→
→n x x n x
x , maka tentukan nilai dari: lim
(
16)
2 −
→n x x
41.Jika a
x x
x x
x − + =
− −
→ 10 21
7 6 lim
2 2
7 , berapakah nilai dari 3 4 1
2 7 4 lim
2
+ −
− −
→ x
x x
a
Limit www.matikzone.wordpress.com 42.Jika
7 3 10
2 5 2 lim
2 2
2 + − =
+ +
−
→ x ax
x x
x , maka a = …
43.Jika
13 11 30
1 3
lim
2 2
3 − − =
− +
→ x ax
ax x
x , maka a = …
44.
1 1 lim
1 −
−
→ x
x
x
45.
x x
x −
−
→ 1
1 lim
1
46.
1 1 lim
1 −
−
→ x
x
x
47.
x x
x −
−
→ 1
1 lim
1
48.
1 6 5 lim
2
1 −
− +
→ x
x x
x
49.
6 6 2 lim 2
3 + −
+
−
→ x x
x
x
50.
x x x
x
5 3 lim
2 0
−
→
51.
x x
x
x→0 +
lim
52.
2 4 lim
4 −
−
→ x
x
x
53.Dengan menyederhanakan lebih dahulu (menyamakan penyebut), hitunglah:
a.
+
−
→ x x x
x
1 1 lim 2
0 b.
− − −
→ 1
1 1 2 lim 2
0 x x
x c.
− − −
→1 3
1 3 1
1 lim
x x
x
d.
− + − −
→ 2 8
3 4
2
lim 2 2
2 x x x
x
54.
4 3
2 2 lim 2
1 − −
+
−
→ x x
x
x
55.
2 6 3 lim
2
2 −
−
→ x
x x
x
56.
(
)
3 1 2 lim
2
3 −
− −
→ x
x
x (Ebtanas IPS 99)
57.
2 3 2
1 2 lim 2
2
1 + −
−
→ x x
x
x
58.
1 2
4 3 lim
2 2
1 − +
− +
→ x x
x x
x
59.
x x x
x x
x 3
2 lim
2 3
2
0 + +
+
→
60.
2 3
2 4
0 2
6 lim
x x
x x
x +
−
→
61. n n
n n n
x x x
x x x
2 6 lim
4 1 3
0 +
− +
+ + +
→
62.
1 3 2 3 2 lim
2 2 3
1 −
− − +
→ x
x x x
x
63.
2 2
4 8 lim
2 3
2 3
2 − − +
+ − +
→ x x x
x x x
x
64.
12 6 2
6 lim
2 3
2 3
2 − + −
− +
→ x x x
x x x
x
65.
2 8 lim
3
2 −
−
→ x
x
x
66.
x x
x −
−
→ 1
1 lim
3 1
67.
27 3 lim 3
3 −
−
→ x
x
x
68.
64 4 lim 3
4 −
−
→ x
x
Limit www.matikzone.wordpress.com 69.
1 1 lim
3
1 −
−
→ x
x
x
70.
9 4
27 8
lim 2
3
2
3 −
−
→ x
x
x
** 71.
2 8 2 lim
2
4 −
− −
→ x
x x
x
72.
x x
x
x −
−
→1 4
1 lim
73.Diketahui g
( )
x = 1+2x, maka nilai(
1) (
1)
...lim
0 =
− − +
→ x
x g x g
x
74.
1 3 2
1 lim
1 − +
−
→ x
x
x
75.
7 5
2
2 3 lim
2
2 + − +
+ −
→ x x
x x
x
76.
6 5 6
10 2 lim
6 − +
− − −
→ x x
x x
x
77.
x x
x x
x − −
− − +
→ 2 3
1 2 2 lim
3
78.
3 1
5
1 3 3
lim
1 − − +
− − −
→ x x
x x
x
79.
x x
x x x
x
x + − −
+ − − + +
→ 3 3
3 2 3
2 lim
2 2
0
80.
9 4 1 5 lim 2
3 −
− +
→ x
x
x
81.
10 3 1 lim
10 −
− −
→ x
x
x
82.
9 3 2
lim 2
3 −
+ −
→ x
x x
x
83.
2 2
1 1
1 3 lim
x x x
x −
− − +
→
84.
− +
→ x x x
x x
x
1 lim
2 0
85.
+ − +
−
→ 1
1 1 lim
2
1 x x
x
x
86.
7 4
9 lim
2 2
3 − +
−
−
→ x
x
x
87.
x x x
x − +
−
→ 3 9
5 2 lim
2
0
88.
x x
x −
− −
→ 5
9 4
lim
2 5
89.
3 1 2 4 lim
3 −
+ − +
→ x
x x
x
90.
5 4 4
lim
5 −
− − +
→ x
x x
x
91.
x x
x
x + + −
−
→ 2 1 2
2 lim
2
92.
1 5 3
1 5 3
lim
1 + − −
− + +
→ x x
x x
x
93.
x x
x x
x + −
+ −
−
→ 3 6
3 2
lim
2
94.
3 3
6 5 lim
2
3 − − −
+ −
−
→ x x
x x
x
95.
x x x
x
− − +
→
1 1
lim
0
96.
x x
x
x 1 2 1 2
4 lim
0 + − −
→
97.
1 1
1 lim
1 − − −
−
→ x x
x
x
98.
3 2
2 0
1 1 lim
x x
x→ − +
99.
6 8 2
2 3 lim
1 − +
+ −
→ x x
x x
Limit www.matikzone.wordpress.com 100.
p x
p p x x
p
x −
−
→
lim
101.
(
)
23
3 2
1 1
1 . 2 lim
− + −
→ x
x x
x **
102.
1 1 lim
1 −
−
→ x
xn
x **
103. Diketahui f
( )
x =3x2 −2x, tentukan(
)
2
2 ) 2 ( . 4 1 ) ( lim
2 −
− +
→ x
x f x f
x
104. Diketahui
( )
32x x
f = , tentukan
(
)
2 ) 2 ( ) ( lim
2 −
−
→ x
f x f
x
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
105.
x
x 2 lim
∞ →
106. 10
5 6 lim
x
x→∞
107. 25
2 9 lim
x
x
−
∞ →
108.
x x
x 2 5
7 lim 3
+
∞ →
109.
20 3 lim 3
− −
∞
→ x
x
110. lim 4 +99
∞
→ x
x
111. lim 2 +9 −15
∞
→ x x
x
112.
100 3 lim x x→∞ 113.
55 4 7 lim +
∞ →
x
x
114.
12 25 lim
2 −
∞ →
x
x
115.
1 2
5 lim
− +
∞
→ x
x
x
116.
5 2
3 4 lim
+ −
∞
→ x
x
x
117.
5 8 6 lim
+ −
∞
→ x
x
x
118.
5 9
3 10 lim
− +
∞
→ x
x
x
119.
x x
x 3 9
3 10 lim
− +
∞ →
120.
3
5 2 3
lim
+ −
∞
→ x
x
x
121.
2 2
12 3
5 7 lim
x x
x
x +
−
∞ →
122.
3 2 3
12 3
11 5
lim
x x
x x
x +
−
∞ →
123.
(
)(
)
(
3 12)(
1)
3 2 1 5 lim
− +
+ −
∞
→ x x
x x
x
124.
(
3)(
1)
3 5 lim
2
− −
− +
∞
→ x x
x x
x
125.
(
)(
)
15 3 2
3 1 lim 2
− +
− −
∞
→ x x
x x
x
126.
(
)
1 2
1 4 lim 3
3
− −
∞
→ x
x
x
127.
(
)
x x
x
x 3 5
3 2 4 lim 3
3
+ +
Limit www.matikzone.wordpress.com 128.
2 4
2 8 4 lim
x x x
x
+
∞ →
129.
2 5 3
1 3 4 lim
2 2
− +
− +
∞
→ x x
x x
x
130.
2 3
3 lim
3 3
− +
∞
→ x
x x
x
131.
(
)
(
2)
2 42 3
5 2 lim
+ −
∞
→ x
x
x
132.
4 3
4 3
2 5 6
lim
x x
x x x
x −
− +
∞ →
133.
(
)
32
4 5
1 2 lim
x x
x x
x −
+
∞ →
134.
(
)
1 1 2 lim 3
3
+ −
∞
→ x
x
x
135.
(
3)(
1)
2 6 lim
3
+ −
+
∞
→ x x
x x
x
136.
(
)(
)
(
1)(
1)
2 2
lim
2 2
+ −
+ −
∞
→ x x x
x x
x
137.
x x
x x
x −
− +
∞
→ 2
3 7 5
2 lim
138.
3 2
3 6 2 lim
x x
x x
x +
+
∞ →
139.
3 2 2 lim
4
− +
∞
→ x
x x
x
140.
3 2
4
9 lim
x x
x x
x −
+
∞ →
141.
1 2
5 3 lim
3 2
− +
−
∞
→ x x
x
x
142.
5 4 2
5 3 lim 2
+ +
+
∞
→ x x
x
x
143.
x x
x x
x 10 5
7 5 3 lim
3 2
+ − +
∞ →
144.
5 5
17 lim
3 6
2
− +
−
∞
→ x x
x
x
145.
9 3
1 5 lim
2 2
− − +
∞
→ x
x x
x
146.
− + − +
∞
→ 3
1 2 4 lim
x x x
x
147.
2 3 5 5
17 lim
6 3
6
2
− +
− +
−
∞ →
x x
x
x
x
148.
1 6
2 4
2 lim
2
2 − − − +
−
∞
→ x x x
x
x
149.
1 9 3
1 5 lim
4 2
+ −
− +
∞
→ x x
x x
x
150. lim
(
+6 − +3)
∞
→ x x
x
151. lim
(
+3− +2)
∞
→ x x
x
152. lim
(
2 −1− +4)
∞
→ x x
x
153. lim
(
4 +2− −3)
∞
→ x x
x
154.
(
x x)
x→∞ +5−
lim
155. lim
(
3 +1− 3 −1)
∞
→ x x
x
156. lim
(
+1−2 −3)
∞
→ x x
x
157.
(
x x)
x→∞3 +6 −2 1− lim
158.
(
ax b px q)
x→∞ + − +
lim untuk: a = p, a > p dan a < p
159.
(
x x x x)
x→∞ + + − +
2 2
2 1 lim
160. lim
(
4 2 +6 −1− 5 2 − +9)
∞
→ x x x x
x
161. lim
(
2 +2 −1−(
−2)(
2 +9)
)
∞
→ x x x x
x
162.
(
x x x)
x 4 5 3
lim 2− − 2 −
∞ →
163. lim
(
2 2 + −5− 2 −3 +12)
∞
→ x x x x
Limit www.matikzone.wordpress.com 164. lim
(
(
3 +1)(
−5)
− 2 +7 +1)
∞
→ x x x x
x
165. lim
(
(
3 −5)(
+4)
− 3 2 −7 +1)
∞
→ x x x x
x
166. lim
(
− 4 2 −7 −1)
∞
→ x x x
x
167. lim
(
(
+2)
− 4 2 −7 +8)
∞
→ x x x
x
168. lim
(
+5− 2 − −9)
∞
→ x x x
x
169. lim
(
(
+3) (
− −3)(
+3)
)
∞
→ x x x
x
170. lim
(
3 2 +3 −5− +4)
∞
→ x x x
x
171. lim
(
2 +6 +5− −4)
∞
→ x x x
x
172. lim
(
2 −1−2 −3)
∞
→ x x
x
173. lim
(
4 2+3 −5−(
2 −3)
)
∞
→ x x x
x
174. lim
(
9 2 + −4−(
3 +5)
)
∞
→ x x x
x
175. lim
(
2 2 −3 +5)
∞
→ x x
x
176. lim
(
2 −3 − 2 2 +8)
∞
→ x x x
x
177. −
