3.1 Limit Fungsi di Satu Titik
Pengertian limit secara intuisi
Perhatikan fungsi
1
1
)
(
2
x
x
x
f
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut
x
f(x)
0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1
?
1 º 2
x x
f(x)
f(x) Secara grafik
Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1
Secara matematis dapat dituliskan Sebagai berikut
2
1
1
lim
2
1
x
x
xDibaca “ limit dari untuk x mendekati
1 adalah 2 1
1 2
x x
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa
L x
f
c
x ( )
lim
8 5 3
lim
1
x
x Contoh
1. lim 2
2 3
2 lim
2
lim
2 lim
3 9 lim
9
lim
9 lim
9
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut
x
L x
f
c
x ( )
lim
0,
0 0 | xc |
| f (x) L|
Definisi limit
jika
c º
Untuk setiap
0
L
c º L
L
L
Terdapat sedemikian sehingga 0
c
º L
|
|
0
x c | f(x) L|
c c c
º
)
(
lim
f xc x
Limit Kiri dan Limit Kanan
c x
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah
bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri,
)
(
lim
f
x
c x
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan,
c x
L
x
f
L
x
f
L
x
f
c x c
x c
x
(
)
lim
(
)
dan
lim
(
)
lim
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan) notasi
notasi
Jika
lim
f
(
x
)
c x
)
(
lim
f
x
c x
maka tidak ada
lim
f
(
x
)
1 ,
2
1 0
,
0 ,
) (
2 2
x x
x x
x x
x f
) ( lim
0 f x x
) ( lim
1 f x x
Contoh Diketahui
a. Hitung
) ( lim
2 f x x
d. Gambarkan grafik f(x) Jawab
a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0
c. Hitung
b. Hitung) Jika ada
) ( lim
0 lim
0
x f x
0 lim
0 lim
0
f x
x
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1
)
(
lim
1
x f x
1 lim
1
x x
) ( lim
1 f x
lim
)
(
lim
x
lim
2 f x
Karena Tidak ada
d.
Untuk x 0
2
)
(
x
x
f
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1
f(x)=x
Grafik:garis lurus
Untuk 1
2
2 )
(x x f
Grafik: parabola
1 3
º
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
1
,
1
,
3
)
(
2x c x
x cx x
f
mempunyai limit di x=-1
Jawab
Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama dengan limit kanan
)
(
lim
1
f
x
x c
cx
x
3
3
lim
1)
(
lim
1
x
f
x
xlim
x
c
1
c 21
Agar limit ada 3+1c=1-c
) ( lim
3 f x
x
)
(
lim
1
f
x
x
) ( lim
1 f x
x
)
(
lim
1
x f x
) ( lim
1
x f x
A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.
f(-3)
f(-1)
f(1) 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Soal Latihan
lim
1
1. Diketahui :
a.Hitung dan
b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya
2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :
3. Diketahui , hitung ( bila ada )
a. b. c.
a. b. c.
G lim
f x g x
f x g x L Glim
Sifat limit fungsi
Misal
(limit dari f , g ada dan berhingga)
maka
f x g x
f x g x LGlim
0 ,
) ( lim
) ( lim
)
lim
,n bilangan bulat positif
n
lim
5. bila n genap L harus positif
2 sin )
lim
L
x
g
cx
(
)
lim
1
1
sin
)
Prinsip Apit
Misal untuk x disekitar c dan
maka
Contoh Hitung
Karena ) 1
1 1 sin(
1
lim
, 2
Limit Fungsi Trigonometri
1
sin
lim
.
cos
lim
.
tan
lim
.
Contoh
2 . 2
2 tan 5
4 . 4
4 sin 3
lim 2
tan 5
4 sin 3
lim
0 tan lim 5
4 . 4
4 sin lim 3 tan lim 5
4 . 4
Soal Latihan
t t t 1 sin
cos lim
2
0
t t t
t 2sec
sin cot
lim
0
t t t 2
3 tan lim
2
0
t t
t t
t sec
4 3
sin lim
0
Hitung
1.
2.
3.
4.
x x x sin2
tan lim
0
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Limit Tak Hingga
maka
,
0
)
(
lim
dan
0
)
(
lim
Misal
lim
x
atas
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
i
L
g
x
bawah
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
ii
L
g
x
bawah
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
iii
L
g
x
atas
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
iv
L
g
x
Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.
Contoh Hitung
1 1 lim
2
x ,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif
Sehingga
lim
2
akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi
bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif
Sehingga
1
lim
2
c.
0
lim
x
x dan
f(x)=sinx
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif)
x
x
x
sin
lim
sehingga
Karena
Limit di Tak Hingga
L x
f
x ( )
lim
a. jika 0 M 0 x M | f(x) L|
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga
L
x
Contoh Hitung
4
lim
L x
f
xlim ( )
jika 0 M 0 x M | f(x)L| atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
b.
L
x
Contoh Hitung
4
lim
2
lim
Contoh Hitung lim
2 lim
2 lim
2 lim
2
lim
2 lim
Soal Latihan
lim
x
x
x
33
3
lim
x2 x2
3
4
)
1
(
lim
x
x
x
lim
x
x
x
1
21
1
lim
2
x
x
x
lim
xx x
x
2
1
.
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.
Kekontinuan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika
(i) f(a) ada
ada )
( lim f x
a x (ii)
(iii) lim f (x) f (a) a
x
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a
a (i)
º f(a) tidak ada
a (ii)
1 L
2
L
Karena limit kiri(L1) tidak
sama dengan limit kanan(L2) maka f(x) tidak mempunyai limit di x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
a ● º f(a)
f(a) ada
) ( lim f x
a x
L ada
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi
(iv)
a f(a)
f(a) ada
) ( lim f x
a
x ada
) ( )
(
lim f x f a
a
x
f(x) kontinu di x=2
Ketakkontinuan terhapus
Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi
contoh
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya
2
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x=2
b. - f(2) = 3
4 2 lim
)
lim 2
4 lim
2
lim
2
f
x
f
x
c. (2) 22 1 3 f
--
lim
(
)
lim
1
3
2
2
f x x x x
3
1
lim
)
(
lim
22
2
f x x x
x
3
)
(
lim
2
f x
x
) 2 ( )
( lim
2 f x f
x
Kontinu kiri dan kontinu kanan
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
) ( )
(
lim f x f a a
x
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
) ( )
(
lim f x f a a
x
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a
Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi
2 ,
1
2 ,
)
( 2
x ax
x a x x
f
Jawab :
Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2
)
2
(
)
(
lim
2
lim
)
(
lim
2 f kontinu kanan di x=2
)
2
(
)
(
lim
2
lim
)
1. Diketahui
selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1 Soal Latihan
2. Agar fungsi
3. Tentukan a dan b agar fungsi
Kekontinuan pada interval
Fungsi
f
(
x
) dikatakan kontinu pada interval buka (
a,b
) bila
f
(
x
) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
Sedangkan
f
(
x
) dikatakan kontinu pada interval tutup [
a,b
]
bila :
1.
f
(
x
) kontinu pada (
a,b
)
2.
f
(
x
) kontinu kanan di
x
=
a
3.
f
(
x
) kontinu kiri di
x
=
b
Bila
f
(
x
) kontinu untuk setiap nilai
x
R
maka dikatakan
Teorema 3.2
Fungsi Polinom kontinu dimana-mana
Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya
Misalkan , maka
f
(x) kontinu di setiap titik di
R
jika
n
ganjil
f
(
x
) kontinu di setiap
R
positif jika
n
genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan
Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4
0 atau x
4.
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, )
n x x
f
(
)
4 )
(x x f
) 4 ( 0
4 lim
) ( lim
4 4
f x
x f
x
x
f x x x x
( )
2
3
3
f x x x
( )
2
3 4
8
f x x x
( )
| |
2
2
9
4
1
)
(
2
x x x
f
2
4
)
(
x
x
x
f
A. Carilah titik diskontinu dari fungsi
B. Tentukan dimana f(x) kontinu Soal Latihan
1.
2.
3.
1.
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi
Teorema Limit Fungsi Komposisi:
Jika dan
f
(
x
) kontinu di
L
, maka
Teorema kekontinuan fungsi komposisi:
Jika
g
(
x
) kontinu di
a
,
f
(
x
) kontinu di
g
(
a
), maka fungsi
kontinu di
a.
Bukti
karena f kontinu di g(a)
= f(g(a)) karena g kontinu di a
= (fog)(a)
L
x
g
a
x
(
)
lim
lim
(
)
(
)
))
(
(
lim
f
g
x
f
g
x
f
L
a x a
x
) )( ( f g x
))
(
(
lim
)
)(
(
lim
f
g
x
f
g
x
ax a
x
))
(
lim
(
g
x
f
4 3
1 3
cos )
( 2
4
x x
x x
x f
)
)(
(
)
(
x g h xf
4 3
1 3
)
( 2
4
x x
x x
x
h
dan
g
(
x
) = cos
x
Contoh Tentukan dimana fungsikontinu
Jawab :
Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
dengan
