Model Optimasi untuk Penentuan Lokasi Petak Pemanenan Hutan. (Implementasi pada Pemanenan Hutan Akacia mangium di KPH Bogor Perum Perhutani)

(1)

(Implementasi Pada Pemanenan Hutan Akacia mangium

di KPH Bogor Perum Perhutani)

Oleh :

JAYADIN

G54103028

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

JAYADIN. Optimizing Model for Determining the Location of Forest Harvesting Area, An

Implementation in Akacia mangium Forest Harvesting in KPH Bogor Perum Perhutani. Supervised

AMRIL AMAN and SRI NURDIATI.

Wood forest as potential natural resources will give maximum benefit if it well managed. A good wood forest management for obtaining maximum benefit is not easy, because there is complicated decision that must be decided by the holders of forest policy in order to obtain maximum benefit, such as in deciding the location of forest harvesting area.

Mathematical modeling can be used for problem solving optimizing the benefit through determining the location of forest harvesting area.

(3)

JAYADIN. Model Optimasi Untuk Penentuan Lokasi Petak Pemanenan Hutan, Implementasi

pada Pemanenan Hutan Akacia mangium di KPH Bogor Perum Perhutani. Dibimbing oleh

AMRIL AMAN dan SRI NURDIATI.

Hutan sebagai sumber daya alam yang cukup potensial akan memberikan keuntungan yang maksimal bila dikelola dengan baik. Pengelolaan hutan yang baik untuk mendapatkan keuntungan semaksimal mungkin bukanlah pekerjaan yang mudah, karena banyak keputusan sulit yang harus diambil oleh pemegang kebijakan pengelola hutan agar mendapatkan hasil yang optimal, salah satunya adalah dalam pengambilan keputusan untuk penentuan lokasi petak pemanenan hutan.

Pemodelan matematika dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan pengoptimalan keuntungan dengan cara penentuan lokasi petak pemanenan hutan.

(4)

(Implementasi pada Pemanenan Hutan Akacia mangium

di KPH Bogor Perum Perhutani)

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

JAYADIN

G54103028

(5)

Bogor Perum Perhutani)

Nama : Jayadin

NRP : G54103028

Menyetujui

Mengetahui

Pembimbing I

Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc.

NIP.130 937 092

Pembimbing II

Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc.

NIP. 131 578 805

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

(6)

(7)

dan islam. Dia-lah Allah SWT yang Mahamengetahui, Mahamelihat dan Mahamenghendaki atas semua kejadian yang ada di alam semesta ini. Jatuhnya daun dari ranting pohon ke bumi tak lepas dari pengetahuan dan ijin-Nya, begitu pula terselesaikannya skripsi ini atas ijin dan ridho-Nya. Shalawat serta salam tercurah kepada Nabi Muhammad SAW yang telah memberikan suri teladan, baik sebagai individu, sahabat, kepala keluarga, bahkan sebagai pemimpin negara.

Skripsi ini merupakan sebuah syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains dari Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor. Sebuah gelar yang menjadi akhir dari proses pembelajaran selama menjadi mahasiswa program sarjana, namun menjadi sebuah awal langkah untuk mengisi dan berkarya baik untuk diri sendiri maupun bangsa ini. Banyak permasalahan yang hadir dalam penyusunan skripsi ini, namun atas bantuan dari semua pihak terutama pembimbing skripsi ini dan rekan-rekan BEM KM IPB yang mendo’akan serta terus memberikan motivasi semangat kepada penulis sehingga masalah-masalah itu dapat diatasi. Penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan setinggi-tingginya kepada:

1. Orang tua penulis dan keluarga, yang telah mendidik penulis dengan kasih sayang dan kepedulian serta keprihatinaan. Atas doa, keringat dan air mata serta kesabaran demi menggapai ridho Gusti Allah SWT dan untuk menapak ke masa depan yang lebih baik. 2. Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc. dan Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc, selaku pembimbing yang telah

memberikan bimbingan, motivasi, dan arahan. Drs. Prapto Tri S, M.Kom, selaku penguji atas kritik dan saran perbaikan sehingga skripsi ini menjadi lebih sempurna.

3. Dr. Ir. Hery S, M.Sc (Rektor IPB 2007-2012) yang telah memberikan motivasi tak pernah henti dan kesempatan untuk berkenalan dengan ESQ 165 yang luar biasa menggugah hati. 4. Prof. Dr. Ir. Yusuf Sudo Hadi, M.Agr dan Dr. Rimbawan yang telah banyak memberikan pembelajaran selama penulis di kelembagaan. Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S, dan Dr. drh. Hasim, DEA yang memberikan nasehat dan bantuan selama penulis di FMIPA IPB. Guru dan dosen yang telah mendidik penulis dari Sekolah Dasar hingga saat ini yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu.

5. Ustadz Ibnu Jarir, Lc., Ustadz Setiadi, Ustadz Ahmad dan ustadz-ustadz serta mentor-mentor yang telah memberikan nasehat-nasehat spiritual kepad penulis selama ini. 6. KPH Bogor Perum Perhutani, atas bantuan dan masukan dalam kelancaran penelitian ini. 7. Ibu-ibu pengurus dan seluruh anggota pengajian Yayasan Namira, atas bantuan finansial,

dukungan motivasi serta doa yang selalu ditujukan pada penulis dari SMU hingga kini. 8. Rekan-rekan perjuangan BEM FMIPA IPB 2004-2005 dan 2005-2006, BEM KM IPB

2006-2007, GUMATIKA, DKM Al-Hurriyah dan KAMMI, G-FORCE ’42. Terima kasih atas persahabatan, persaudaraan, pengorbanan dan pengalaman yang tak akan pernah pudar dimakan zaman. Sepenuh Jiwa Untuk Kejayaan Almamater dan Bangsa. 9. Rekan-rekan sahabat penulis, baik di Matematika maupun di FMIPA IPB bahkan di IPB.

Terima kasih atas persahabatan dan persaudaraan yang telah kita bingkai, sungguh senang dan beruntung bisa mengenal kalian. Terutama sahabat-sahabatku Matematika 40, sungguh kisah-kisah di antara kita akan membuat hati ini selalu rindu.

10. Rekan-rekan Yayasan Panggilan Illahi (YPI), LSM Cendikia Muda Bogor dan embrio LSM Cendikia Muda Depok. Terima kasih atas kepedulian dan perjuangan yang tulus. 11. Dan seluruh pihak yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu.

Sungguh, penulis hanya bisa berdoa semoga setiap detik waktu, keringat dan air mata serta setiap hembusan nafas yang dikeluarkan untuk membantu penulis baik dalam menyelesaikan karya tulis ini maupun dalam segala aktivitas penulis dibalas oleh Allah SWT, semoga kita dikumpulkan bersama di SurgaNya. Amien.

Besar harapan penulis agar penulis mampu menjadi orang yang bermanfaat. Tidak hanya untuk pribadi, keluarga, masyarakat, bangsa, maupun agama, tetapi juga bermanfaat untuk alam semesta ini. Begitu pula karya ilmiah ini semoga dapat bermanfaat bagi pembacanya. Penulis juga memohon maaf atas kesalahan-kesalahan yang penulis lakukan baik yang disengaja maupun tak disengaja dalam penulisan karya ilmiah ini hingga karya ilmiah ini selesai dikerjakan. Penulis sadar bahwa penulis merupakan seorang manusia yang tak luput dari salah dan dosa.

Bogor, Januari 2008

(8)

tengan orang tua yang sangat bahagia penuh kisah tentang perjuangan hidup, yakni Ayahanda Rudih Binaardi dan Ibunda Rumsiah. Hidup dalam lingkungan pedesaan (perkampungan) Betawi yang kental dengan kepedulian dan gotong royong. Terletak di pinggir Kota Depok dan Kota Jakarta, tepatnya Jalan Lontar No.2 Rt 04/10 Kampung Curug, Kelurahan Tanah Baru, Kecamatan Beji, Kota Depok, Provinsi Jawa Barat. Dengan lingkungan itulah yang membuat penulis sangat lekat dengan kepedulian dan gotong royong terhadap sesama.

Mulai menapaki bangku pendidikan di sebuah Sekolah Dasar pada tahun 1991 di SDN 02 Petang di kawasan Cipedak Jakarta Selatan. Di sini penulis mulai berkenalan dan belajar tentang kepemimpinan, tepatnya ketika masuk ekstrakulikuler Pramuka hingga kemudian penulis dipilih sebagai Pratama. Tahun 1997 penulis meneruskan pendidikan ke Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri (SLTPN) 131 Jakarta. Sekolah yang cukup berkualitas yang berada di kawasan Jakarta Selatan, sehingga membuat penulis cukup bangga. Disini penulis masih aktif mengikuti ektrakulikuler Pramuka dan ditambah Sepakbola. Waktu terus berputar, tahun 2000 penulis menapaki pendidikan di Sekolah Menengah Umum Negeri (SMUN) 49 Jakarta. Disinilah awal dari perubahan yang cukup mendasar bagi diri penulis. Penulis mulai bersentuhan dengan ekstrakulikuler Rohis, yang mampu mengubah sudut pandang dan kepribadian penulis.

Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 49 Jakarta dengan sebelumnya telah mengantongi tiket untuk bisa masuk ke Institut Pertanian Bogor (IPB). Tiket tersebut diperoleh setelah berhasil lolos seleksi dari panitia penerimaan mahasiswa baru IPB lewat Ujian Seleksi Masuk IPB (USMI). Diterima di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, membuat penulis bimbang. Bimbang akan jauhnya kenyataan tersebut dengan cita-cita yang telah terpatri dalam jiwa penulis. Namun, kebimbangn itu mulai terkikis dengan banyaknya hikmah dan pengalaman serta pembelajaran yang penulis dapatkan setelah melewati hari demi hari di IPB. Sungguh, pilihan untuk memilih masuk IPB merupakan pilihan yang tepat.

Hari-hari kuliah di IPB tidak membuat penulis termabukan oleh kegiatan-kegiatan akademis saja. Penulis meyakini bahwa seorang mahasiswa hadir di bangsa ini tidak hanya untuk masuk kuliah dan mendengarkan dosen mengajar serta menyelesaikan tugas-tugas yang diberikan. Tetapi mahasiswa mempunyai peranan lebih dari itu, mahasiswa juga dituntut untuk lebih peduli terhadap kondisi bangsa dan negara ini serta menggali rasa kebersamaan, Seorang mahasiswa juga harus mampu mengembangkan potensi dalam diri mereka. Hal tersebutlah yang membuat penulis berani untuk menyeburkan diri dalam berbagai macam organisasi kelembagaan, baik internal kampus maupun ekstra kampus.

(9)

Daftar Tabel ... vii

Daftar Gambar ... viii

Daftar Lampiran ... viii

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Linear Programming ... 1

Solusi suatu Linear Programming ... 1

2.2 Integer Linear Programming ... 2

2.3 Metode Branch and Bound untuk menyelesaikan masalah Integer Programming... 2

III METODE PENELITIAN 3.1 Persiapan dan Penetapan Lokasi Penelitian ... 4

3.1.1 Persiapan Penelitian ... 4

3.1.2 Penetapan Lokasi Penelitian... 5

3.2 Pengambilan, Jenis dan Sumber Data ... 5

3.2.1 Pengambilan Data ... 5

3.2.2 Jenis dan Sumber Data... 5

3.3 Pengolahan Data ... 6

IV DESKRIPSI DAN FORMULASI MODEL OPTIMASI UNTUK PENENTUAN LOKASI PETAK PEMANENAN HUTAN 4.1 Tahapan Perencanaan Pemanenan Hutan ... 7

4.2 Masalah dan Pemodelan Penentuan Lokasi Petak Pemanenan ... 8

V IMPLEMENTASI PENENTUAN LOKASI PETAK PEMANENAN HUTAN AKACIA MANGIUM DI KPH BOGOR PERUM PERHUTANI DALAM LIMA TAHUN 5.1 Masalah Penentuan Lokasi Pemanenan Hutan Akacia Mangium ... 9

5.2 Hasil Optimal yang Diperoleh ... 10

VI SIMPULAN ... 11

DAFTAR PUSTAKA ... 12

LAMPIRAN ... 13

DAFTAR TABEL Halaman 1 Sebagian data nama petak, luas, tahun tanam, bonita Akacia mangium RPH Maribaya KPH Bogor Perum Perhutani ... 5

2 Sebagian data perkiraan pertumbuhan volume tanaman Akacia mangium RPH Maribaya KPH Bogor Perum Perhutani per tahun per bonita ... 5

3 Data perkiraan hasil pemanenan kualitas kayu berdasarkan diameternya... 6

4 Biaya yang harus dikeluarkan oleh Perum Perhutani ... 6

5 Pajak yang harus dikeluarkan oleh Perum Perhutani per m3... 6

6 Tabel sebagian data perkiraan volume setiap petak perperiode... 6

7 Perkiraan present value setiap petak pertahun ... 7

(10)

Halaman

1 Daerah fisibel IP ... 3

2 Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan subproblem 3... 3

3 Metode Branch and Bound untuk menentukan solusi IP ... 4

4 Denah petak di RPH Maribaya ... 6

5 Perbedaan tingkatan dalam perencanaan pemanenan ... 8

6 Petak RPH Maribaya KPH Bogor Perum Perhutani yang akan dipanen berdasarkan periode ... 11

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Nama petak, luas, tahun tanam, bonita Akacia Mangium RPH Maribaya KRPH Parung Panjang KPH Bogor Perum Perhutani... 14

2 Daftar indeks petak Akacia Mangium RPH Maribaya KRPH Parung Panjang KPH Bogor Perum Perhutani yang berdekatan ... 14

3 Perkiraan volume setiap petak Akacia Mangium RPH Maribaya KRPH Parung Panjang KPH Bogor Perum Perhutani perperiode ... 15

4 Perkiraan present value setiap petak Akacia Mangium RPH Maribaya KRPH Parung Panjang KPH Bogor Perum Perhutani pertahun ... 16

(11)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Indonesia memiliki hutan dengan luas 120,34 juta hektar sehingga menempatkannya dalam daftar salah satu negara di dunia yang mempunyai hutan yang sangat luas. Tidak hanya dari sisi luas hutan Indonesia unggul dibandingkan dengan hutan negara lain, namun juga kesuburan hutan Indonesia yang di atas rata-rata hutan dunia (www.dephut.go.id). Oleh karena itu sudah seharusnya Indonesia memanfaatkan keunggulan ini dengan pengelolaan hutan yang sebaik mungkin. Mengelola hutan dengan baik bukanlah hal yang mudah, sehingga perlu ditopang dengan ilmu pengetahuan dan aturan-aturan yang berlaku.

Perencanaan pengolahan hutan mencakup perencanaan pemanenan yang terdiri dari beberapa tahap, mulai dari tahap perencanaan strategis, perencanaan taktis, perencanaan pemanenan tahunan, perencanaan operasi pemanenan, dan operasi pemanenan (Karlsson et al.,2004).

Dalam undang-undang Republik Indonesia (UU RI) No 41 Tahun 1999 tentang kehutanan, dalam pasal 6 ayat 1 dijelaskan bahwa hutan mempunyai tiga fungsi yaitu fungsi konservasi, fungsi lindung dan fungsi produksi (UU RI No 41 Tahun 1999).

Hutan produksi merupakan hutan yang dikhususkan untuk memenuhi kebutuhan manusia yang tak terbatas. Namun di lain sisi, hutan merupakan sumber daya alam yang

lambat untuk diperbaharui, sehingga perlu adanya pengoptimalan pengelolaan pemanenan hutan produksi yakni pemilihan lokasi petak pemanenan hutan.

Simulasi dan pemodelan optimal dalam permasalahan tersebut sangat diperlukan. Hal tersebut untuk memudahkan proses pengambilan keputusan dalam permasalahan ini. Simulasi dan pemodelan ini tidak diperlukan data yang didapatkan dari lapangan agar keputusan yang didapatkan menjadi keputusan yang tak bias.

Pada tulisan ini disimulasikan proses pemilihan lokasi petak pemanenan yang terjadi di RPH Maribaya KRPH Parung Panjang KPH Bogor Perum Perhutani dalam lima periode (tahun), untuk mendapatkan keuntungan yang maksimum dari proses pengelolaan hutan tersebut.

1.2Tujuan

Secara umum tulisan ini bertujuan untuk menunjukkan bahwa keilmuan matematika dapat digunakan untuk menyelesaikan salah satu permasalahan nyata di dunia ini, yakni pemodelan riset operasi dan linear programming. Secara khusus tulisan ini ditujukan untuk memodelkan permasalahan pemanenan hutan Akacia mangium RPH Maribaya KRPH Parung Panjang KPH Bogor Jawa Barat dan mencari nilai yang optimal dari proses pemanenan tersebut.

II. LANDASAN TEORI

2.1 Linear Programming

Linear programming merupakan suatu metodologi untuk memperoleh hasil yang optimal dari tujuan yang diinginkan dengan adanya kendala tertentu. Model linear programming (LP) meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear.

Bentuk standar dari suatu LP didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 1 (Bentuk Standar LP) Suatu LP mempunyai bentuk standar sebagai berikut:

Minimumkan fungsi objektif T

z=c x

terhadap Ax=b

0

x≥

dengan b≥0 (1) dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m n× yang disebut juga sebagai matriks kendala.

(Nash & Sofer, 1996)

Solusi suatu Linear Programming

(12)

1 2 3

1 2 4

1 5

1 2 3 4 5

2 4

2 11

5 , , , , 0

x x x x x x x x x x x x x

− + + =

+ =

≥

menyelesaikan suatu masalah linear programming (LP).

Algoritma simpleks merupakan prosedur perhitungan yang berulang (iteratif) dimana setiap pengulangan (iterasi) berkaitan dengan satu pemecahan dasar (solusi basis). Bentuk standar dari algoritma simpleks adalah:

Pada LP (1), vektor x yang memenuhi kendala Ax=b disebut sebagai solusi fisibel dari LP (1). Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A=

(

B N

)

, dengan B

adalah matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk LP (1).

Jika vektor x dapat dinyatakan sebagai

vektor B N x x x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠, dengan xB adalah vektor

variabel basis dan x_N adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax=b dapat dinyatakan sebagai

(

)

B

N

x

Ax B N

x

⎛ ⎞

= _⎜ _⎟

⎝ ⎠

B N

Bx Nx b

= + = . (2) Karena B adalah matriks taksingular, maka

B memiliki invers, sehingga dari (2) x_B dapat dinyatakan sebagai:

1 1

B N

x =B b− −B Nx− . (3)

Definisi 2 (Solusi Basis)

Solusi dari suatu LP disebut solusi basis jika:

i. Solusi tersebut memenuhi kendala pada LP.

ii. Kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen taknol adalah bebas linear.

Definisi 3 (Solusi Basis Fisibel)

Vektor x disebut solusi basis fisibel jika xmerupakan solusi basis dan x≥0.

Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel dapat dilihat dalam contoh berikut:

Contoh 1

Misalkan diberikan LPberikut: Minimumkan z= −2x₁−3x₂ terhadap

(4) Dari LP tersebut didapatkan:

2 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 0 0 0 1

A − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −_⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 4 11 5 b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Misalkan dipilih

(

3 4 5

)

T B

x = x x x dan

(

₁ ₂

)

T

N

x = x x

maka matriks basis

1 0 0

0 1 0

0 0 1

B

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜_⎜ ⎟_⎟

⎝ ⎠

Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh

(

0 0

)

T N

x = ,

(

)

1

4 11 5 T

B

x =B b− = (5)

Solusi (5) merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala pada LP (4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (5) yaitu B adalah bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (5) juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.

2.2 Integer Linear Programming

Model integer linear programming (ILP) atau disebut juga integer programming (IP), adalah suatu model linear programming dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut disebut pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus integer maka disebut mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP.

(Garfinkel & Nemhauser, 1972)

Definisi 4 (Linear Programming Relaksasi) LP-relaksasi dari suatu IP merupakan linear programming yang diperoleh dari IP tersebut dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada variabelnya.

(Winston, 1995)

2.3 Metode Branch and Bound untuk menyelesaikan masalah Integer Programming

(13)

1 x sebuah program yang didesain untuk

membangun dan menentukan solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi integer menjadi lebih cepat, mudah, dan lebih efisien dengan prinsip pemecahannya berdasarkan metode branch and bound.

Prinsip dasar metode branch and bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah LP-relaksasi dengan membuat subproblem-subproblem. Daerah fisibel linear programming adalah daerah yang memenuhi semua kendala linear programming.

¾ Branch

Membuat partisi daerah solusi ke dalam subproblem. Tujuannya untuk menghapus daerah solusi yang tidak fisibel. Hal ini dicapai dengan menentukan kendala yang penting untuk menghasilkan solusi IP, secara tidak langsung titik integer yang tidak fisibel terhapus. Dengan kata lain, hasil pengumpulan dari subproblem – subproblem yang lengkap menunjukkan setiap titik integer yang fisibel dari masalah asli. Karena sifat alami partisi itu, maka proses tersebut dinamakan Branching.

¾ Bound

Misalkan masalahnya diasumsikan merupakan tipe maksimisasi, nilai objektif yang optimal untuk setiap subproblem dibuat dengan membatasi pencabangan dengan batas atas dari nilai objektif yang dihubungkan dengan sembarang nilai integer yang fisibel. Hal ini sangat penting untuk mengatur dan menempatkan solusi optimum. Operasi ini yang menjadi alasan dinamakan Bounding.

(Taha, 1975)

Aspek kunci dari metode branch and bound adalah sebagai berikut :

Langkah 1 : jika sudah jelas, maka cabang dalam subproblem tidak diperlukan. Terdapat tiga kondisi yang membuat subproblem tidak diperlukan yaitu:

(1) Subproblem tidak fisibel.

(2) Subproblem menghasilkan solusi optimal dengan semua variabel bernilai integer.

(3) Nilai optimal untuk subproblem lebih kecil dari (dalam masalah memaksimumkan) batas bawah (lower bound/LB).

Langkah 2 : Sebuah subproblem mungkin dapat dihapuskan dari pertimbangan dengan kondisi sebagai berikut :

(1) Subproblem tidak fisibel.

(2) Batas bawah (yang menunjukkan nilai optimal dari kandidat terbaik) setidaknya lebih besar dari nilai optimal subproblem.

(Winston, 1995)

Contoh 2

Misalkan diberikan integer programming berikut:

Maksimumkan z=5x₁+4x₂

terhadap x₁+x₂≤5

10x₁+6x₂≤45

1, 2 0

x x ≥ dan integer Daerah fisibel untuk masalah IP di atas diberikan pada gambar berikut:

2 x

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7

Gambar 1 Daerah fisibel IP (Taha, 1975).

Metode Branch and Bound dimulai dengan menentukan solusi LP-relaksasi (subproblem 1). Solusi LP-relaksasi untuk masalah di atas adalah x₁=3, 75, x₂=1, 75, dan z=23, 75. Solusi tersebut tidak memenuhi kendala integer. Oleh karena itu harus dibuat subproblem yang baru dengan memilih variabel yang tidak memenuhi kendala integer. Dengan memilih x₁=3, 75 secara sembarang, diketahui bahwa daerah

(

3<x1<4

)

dari daerah fisibel subproblem 1 tidak akan memuat solusi IP yang fisibel karena tidak memenuhi kendala integer. Subproblem yang baru adalah sebagai berikut:

• Subproblem 2 : Subproblem 1 + kendala

(

x1≤3

)

• Subproblem 3 : Subproblem 1 + kendala

(

x1≥4

)

Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan subproblem 3 diberikan pada gambar berikut:

(14)

1 2 3 4 5 1

2 3 4 5 6

7 Gambar 2 Daerah fisibel untuk subproblem 2

dan subproblem 3 (Taha, 1975).

Subproblem 2 dan subproblem 3 tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, sehingga harus diselesaikan sebagai dua masalah linear programming yang berbeda. Pada subproblem 2 diperoleh solusi x₁=3, x₂=2, dan z=23. Karena semua variabel bernilai integer (solusinya memenuhi kendala integer), maka tidak perlu dibuat subproblem baru. Pada

subproblem 3 diperoleh solusi x₁=4,

2 0,8333

x = , dan z=23, 3333. Karena variabelnya tidak memenuhi kendala integer, maka harus dibuat subproblem baru. Subproblem untuk masalah IP di atas diberikan pada gambar berikut:

Gambar 3 Metode branch and bound untuk menentukan solusi IP (Taha, 1975).

Pada Gambar 3, subproblem 3 dan subproblem 7 merupakan kandidat terbaik karena semua variabelnya bernilai integer. Subproblem 3 merupakan solusi optimal untuk

masalah IP di atas karena mempunyai nilai-Z lebih besar dari subproblem 7.

(Taha, 1975)

III. METODE PENELITIAN

Bab ini menjelaskan tentang tahapan-tahapan penelitian yang dilakukan agar tujuan

dari penelitian ini dapat tercapai dengan baik. Ada tiga tahapan yang dilakukan, yakni: (1) 1

x

Batas bawah (optimum)

Batas bawah x1 > 5 x1 < 4

x2 < 0

x2 > 1

x1 < 3

x1 > 4

Subproblem 7* Subproblem 6

Subproblem 5 Subproblem 4

Subproblem 3* Subproblem 2

Subproblem 1

1 3, 75 , 2 1, 25 dan 23, 75

x = x = z=

1 4, 2 0, 8333 dan 23, 3333

x = x = z= x1=3, x2=2 dan z=23

1 4, 2 0 dan 20 x = x = z= 1 4, 5 , 2 0 dan 22, 5

x = x = z=

Solusi takfisibel

(15)

persiapan penelitian dan penetapan lokasi penelitian, (2) pengambilan data, jenis data dan sumber data, (3) pengolahan data. Tiga tahapan ini menggambarkan secara keseluruhan rangkaian penelitian yang tidak dapat dipisahkan. Untuk jelasnya dapat diuraikan sebagai berikut:

3.1 Persiapan dan Penetapan Lokasi Penelitian

3.1.1 Persiapan Penelitian

Dalam tahap ini persiapan penelitian ada beberapa kegiatan, yaitu studi literatur, survei lokasi penelitian, penyusunan proposal penelitian, dan pembuatan perizinan penelitian.

Studi literatur dilakukan untuk mencari topik dan permasalahan yang terkait sebagai acuan dalam pelaksanaan penelitian, baik berupa jurnal maupun dasar teoritis yang berkaitan dengan permasalahan. Setelah dirasakan cukup dalam studi literatur yang mendukung penelitian ini, langkah selanjutnya adalah mencari perkiraan lokasi yang sesuai dengan penelitian berdasarkan infomasi studi literatur yang didapatkan. Hal dilakukan untuk mengefisienkan penelitian dalam pengambilan data peneilitian di langkah selanjutnya.

Setelah didapatkan perkiraan lokasi penelitian yang cocok, langkah selanjutnya adalah penyusunan proposal penelitian yang terdiri dari pendahuluan, tinjauan pustaka, kerangka pemikiran, metode penelitian serta tujuan penelitian dan data yang dibutuhkan yang ditujukan untuk dosen pembimbing penelitian ini. Setelah proposal disetujui oleh dosen pembimbing, langkah selanjutnya adalah menyerahkan proposal tersebut berserta surat permohonan izin untuk melakukan penelitian di lokasi yang dituju untuk pengambilan informasi dan data di lokasi tersebut. Apabila disetujui oleh pihak

yang berwenang di lokasi tersebut, maka langkah selanjutnya adalah tahap pengambilan data

3.1.2 Penetapan Lokasi Penelitian Penelitian ini dilaksanakan di RPH (Resort Pemangku Hutan) Maribaya, KRPH (Kesatuan Resort Pemangku Hutan) Parung Panjang KPH (Kesatuan Pemangku Hutan) Bogor, Kabupaten Bogor Jawa Barat. Pemilihan RPH Maribaya sebagai lokasi penelitian dilakukan atas dasar pertimbangan, antara lain: (1) di lokasi penelitian terdapat data yang dibutuhkan berdasarkan studi literatur permasalahan, (2) lokasi tempat penelitian yang tidak terlalu jauh dari lokasi penulis, (3) jenis hutan yang merupakan hutan industri homogen, yakni hutan Akacia mangium, dan (4) belum ada penelitian mengenai penentuan lokasi petak pemanenan hutan Akacia mangium di lokasi penelitian tersebut.

3.2 Pengambilan, Jenis dan Sumber Data 3.2.1 Pengambilan data

Kegiatan dalam tahap pengambilan data yaitu pengumpulan informasi dan data yang relevan dengan tujuan penelitian yang disertai wawancara khusus kepada pihak yang terkait dalam penelitian ini. Dalam hal ini, penulis harus berkunjung ke lokasi penelitian untuk mencari dan menggali informasi dan data yang dimaksud.

3.2.2 Jenis dan Sumber Data

Jenis data yang didapatkan dan digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder. Data sekunder ini diperoleh dari instansi yang ada di Perum Perhutani KPH Bogor. Pada Tabel 1 hingga Tabel 5 diberikan sebagian data yang didapat dari Perum Perhutani KPH Bogor.

Tabel 1. Sebagian data nama petak, luas, tahun tanam, bonita Akacia mangium RPH Maribaya KRPH Parung Panjang KPH Bogor Perum Perhutani (KPH Bogor 2005). (Selengkapnya pada Lampiran 1)

Indeks Nama Petak Luas Tahun Tanam Bonita1

1 15A 7,50 2001 1,00

2 10I 26,20 1996 2,00

3 31B 32D 13,54 1996 2,00

1 Bonita adalah tingkat kesuburan tanah di petak tersebut.

Tabel 2. Sebagian data perkiraan pertumbuhan volume tanaman Akacia mangium RPH Maribaya KRPH Parung Panjang KPH Bogor Perum Perhutani per tahun per bonita (KPH Bogor 2005). (Selengkapnya pada Lampiran 2).

(16)

1 7,00 m3 18,30 m3 29,70 m3 39,80 m3 48,30 m3 55,34 m3 61,50 m3 2 10,20 m3 25,60 m3 40,40 m3 53,10 m3 63,70 m3 72,60 m3 80,10 m3 3 15,10 m3 35,60 m3 54,80 m3 70,90 m3 84,20 m3 95,20 m3 104,40 m3

Tabel 3. Data perkiraan hasil pemanenan kualitas kayu berdasarkan diameternya (KPH Bogor 2005).

Ukuran diameter

Persentase perkiraan

Harga jual per m3 (tahun 2006)* < 60 cm 65% Rp. 208.090,.

61 cm - 100 cm

34% Rp. 349.144,.

> 100 cm 1% Rp. 576.470,. * Harga jual diperkirakan naik 10% setiap tahunnya.

Untuk melakukan proses pemanenan atau penebangan kayu diperlukan biaya yang dikeluarkan oleh Perhutani, di antaranya seperti tampak pada Tabel 4 berikut.

Tabel 4. Biaya yang harus dikeluarkan oleh Perum Perhutani (KPH Bogor 2005).

Biaya persiapan pemanenan per-hektar

Rp. 780.675,.

Biaya Pemanenan per-m3 Rp. 140.000,.

Selain biaya di atas, Perum Perhutani KPH Bogor pun harus membayar pajak sesuai undang-undang yang berlaku. Berikut

disajikan tabel daftar pajak penjualan kayu yang harus dibayarkan:

Tabel 5. Pajak yang harus dikeluarkan oleh Perum Perhutani per m3 (KPH Bogor 2005).

Ukuran diameter Besar pajak per m3 < 40 cm Rp. 10.000,. 41 cm - 60 cm Rp. 14.000,. > 60 cm Rp. 16.000,.

Hutan Akacia mangium dalam RPH Maribaya KRPH Parung Panjang KPH Bogor Perum Perhutani terdiri dari 20 petak. Petak-petak tersebut tersusun secara berkomunal, sehingga satu sama lainnya berdekatan (adjacent). Berikut gambar denah dan indeks petak-petak yang berdekatan pada RPH Maribaya:

Gambar 4. Gambar denah petak di RPH Maribaya.

Daftar indeks petak-petak yang berdekatan: {{1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, (3,8}, {4,5}, {4,7}, {4,8}, {5,6}, {5,7}, {6,7}, {6,10}, {6,11}, {7,8}, {7,9}, {7,10}, {8,9}, {9,10},{10,11}, {10,13}, {10,14}, {11,12}, {11,13}, {12,13}, {12,19}, {12,20}, {13,14}, {13,18}, {13,19}, {14,15}, {14,16}, {14,17}, {14,18}, {15,16}, {15,17}, {16,17}, {17,18}, {18,19}, {19,20}}

3.3Pengolahan Data

Dalam tahap pengolahan data, data yang didapatkan pada tahap sebelumnya dikumpulkan dan dirapikan sesuai dengan permasalahan dalam penelitian ini. Kemudian dibuat tabel perkiraan volume kayu untuk setiap petak tiap tahun/periode (Tabel 6) dan tabel perkiraan present value setiap petak tiap tahun/periode (Tabel 7).

Tabel 6. Tabel sebagian data perkiraan volume setiap petak perperiode(dalam m3)*. (Selengkapnya pada Lampiran 3)

(17)

1 298,50 362,25 415,05 461,25 499,50

2 2.407,78 2.472,53 2.509,72 2.505,40 2.459,55

3 1.244,33 1.277,79 1.297,01 1.294,77 1.271,08

4 1.036,80 1.102,80 1.132,46 1.149,49 1.147,51

* Diperoleh dari hasil perkalian luas petak dengan perkiraan pertumbuhan volume pertahun berdasarkan bonita.

Tabel 7. Tabel perkiraan present value setiap petak pertahun (dalam juta rupiah)*. (Selengkapnya pada Lampiran 4)

* Diperoleh dari hasil perkalian volume setiap petak pertahun (Tabel 4) dengan harga jual per m3 (Tabel 2) dikurangi dengan pajak dan beban biaya.

Permasalahan yang terkandung dalam penelitian ini kemudian dimodelkan secara matematika. Hal ini dimaksudkan agar permasalahan tersebut dapat dipecahkan secara lebih mudah. Kemudian untuk mendapatkan hasilnya dengan cepat, maka perhitungannya menggunakan proses

komputasi. Proses komputasi ini menggunakan salah satu perangkat lunak pemrograman linear yakni Lingo8.0 dan kemudian model matematika tersebut diterjemahkan ke dalam bahasa pemrograman Lingo8.0.

IV. DESKRIPSI DAN FORMULASI MODEL OPTIMASI UNTUK

PENENTUAN LOKASI PETAK PEMANENAN HUTAN

Undang-undang Republik Indonesia nomor 41 tahun 1999 tentang Kehutanan, pasal 1 (a) menegaskan bahwa kehutanan adalah sistem pengurusan yang bersangkut paut dengan hutan, kawasan hutan, dan hasil hutan yang diselenggarakan secara terpadu. Pada pasal 1 (b), hutan adalah suatu kesatuan ekosistem berupa hamparan lahan berisi sumber daya alam hayati yang didominasi pepohonan dalam persekutuan alam lingkungannya, yang satu dengan lainnya tidak dapat dipisahkan. Pada pasal 6 ayat 1 dijelaskan bahwa hutan mempunyai tiga fungsi yaitu fungsi konservasi, fungsi lindung dan fungsi produksi. Pasal 6 ayat 2, hutan berdasarkan fungsi pokok ditetapkan menjadi tiga yakni hutan konservasi, hutan lindung dan hutan produksi (UU RI No 41 Tahun 1999).

4.1 Tahapan Perencanaan Pemanenan Hutan

Perencanaan pemanenan terdiri dari beberapa tahap, mulai dari tahap perencanaan strategis, perencanaan taktis, perencanaan pemanenan tahunan, perencanaan operasi pemanenan, dan operasi pemanenan (Karlsson et al.,2004).

Perencanaan strategis dibuat dalam periode waktu jangka panjang 50-100 tahun. Tahap ini merupakan analisis awal, mensimulasikan volume hutan untuk masa depan, memperkirakan volume total penebangan atau pemanenan hutan untuk periode lima sampai sepuluh tahunan, disesuaikan dengan keilmuan kehutanan. Dari sini dapat diperkirakan volume maksimum hasil pemanenan (Lundstrom & Soderberg, 1996).

Perencanaan taktis merupakan tahap mensimulasikan keuntungan atau nilai maksimum serta mensimulasikan volume panen tahunan berdasarkan proporsi penebangan atau pemanenan hutan. Tahap ini Indeks Tahun 2006 Tahun 2007 Tahun 2008 Tahun 2009 Tahun 2010

1 26.476 42.787 61.738 83.758 108.457

2 240.338 311.555 388.269 466.304 542.425

3 124.205 161.010 200.655 240.983 280.322

4 102.930 138.714 175.059 213.959 253.244

(18)

it

x

=

untuk horizon waktu lima sampai sepuluh tahun, tahap ini sudah bisa diperkirakan keuntungan (Johnson et al., 1993).

Tahap perencanaan tahunan atau tahap menengah, bertujuan untuk mengidentifikasi wilayah yang akan dipanen pada waktu tertentu agar permintaan dan penawaran seimbang.

Tahap perencanaan operasi pemanenan dibuat untuk jangka waktu mingguan. Tahap ini beroperasi di wilayah kecil yang telah dibagi-bagi pada tahap sebelumnya. Wilayah ini terbentuk dari satu atau lebih petak pemanenan.

Tahap terakhir adalah tahap operasi pemanenan. Tahap ini merupakan pelaksanaan teknis dari tahap-tahap sebelumnya. Perencanaan pada tahap yang berbeda akan selalu di-update secara kontinu dan berkelanjutan demi hasil yang optimal. Gambaran setiap tahap dalam perencanaan pemanenan dapat dilihat pada Gambar 5.

Gambar 5. Tingkatan dalam perencanaan pemanenan (Karlsson et al., 2004).

Semakin tinggi volume kayu yang dihasilkan pada suatu petak maka semakin besar present value dari kayu tersebut dan semakin besar nilai jual di pasar kayu saat itu maka semakin besar present value dari kayu tersebut. Begitu pula sebaliknyasemakin kecil volume kayu yang dihasilkan pada suatu petak lokasi maka semakin kecil present value dari kayu tersebut dan semakin kecil nilai jual di pasar kayu saat itu maka semakin kecil present value dari kayu tersebut. Nilai tersebut merupakan nilai bersih keuntungan perpetak setelah dikurangi biaya variabel pemanenan

4.2 Masalah dan Pemodelan Penentuan Lokasi Petak Pemanenan

Tujuan utama dari pemanenan suatu wilayah hutan adalah memenuhi kebutuhan pasar seraya mencari keuntungan dari hasil panen tersebut. Namun dalam proses tersebut, harus diperhatikan aturan/perundangan yang berlaku. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan, di antaranya adalah penjagaan terhadap jumlah volume hasil tebangan agar harga jual dari kayu tersebut stabil. Kemudian terdapat batasan yakni batasan jumlah luas petak yang diizinkan dalam satu tahun. Serta tidak diizinkannya pemanenan suatu petak lebih dari satu kali dalam jangka waktu pendek.

Masalah ini, secara matematis dapat dimodelkan sebagai berikut:

Misalkan:

i, j = indeks untuk petak pemanenan, t = indeks untuk periode waktu, Vit = volume dari petak i pada periode t,

Pit = present value petak ke-i dalam

periode ke-t, li = luas petak i,

A = {(i,j) | petak i dan petak j berdekatan}.

Decision variable yang digunakan:

1, jika petak i dipanen pada periode waktu t,

0, selainnya

Fungsi objektif yakni memaksimumkan total present value dari kayu yang dipanen Perencanaan Taktis

Perencanaan dalam periode 5-10 tahunan ¾ Mensimulasikan untuk keuntungan

atau nilai maksimum

¾ Volume tahunan; proporsional penjarangan dan penggundulan akhir

Perencanaan Operasi Pemanenan Perencanaan dalam 6 minggu Perencanaan Pemanenan Tahunan Tingkat distrik

¾ Distribusi permintaan industri perbulan

¾ Perencanaan operasi pemanenan untik memenuhi permintaan industri

Operasi Pemanenan

Perencanaan Strategi. Perencanaan dalam periode 50-100 tahun

¾ Mensimulasikan volume masa depan

¾ Memperkirakan volume total, proposisi penjarangan,

(19)

dalam periode waktu tertentu pada petak yang terpilih sebagai lokasi pemanenan kayu, hal ini dapat dimodelkan sebagai:

,

it it i t

Max Z

=

∑∑

p x

kendala pemanenan yang ada adalah sebagai berikut:

1. Batasan tidak diijinkannya pemanenan suatu petak lebih dari satu kali.

1 ;

.

it t

x

≤

∀

i

∑

2. Batasan yang terkait dengan jumlah hasil pemanenan yang dijinkan dalam satu tahun.

batasan volume ; .

it it i

x v⋅ ≤ ∀t

∑

3. Batasan yang terkait dengan jumlah luas pemanenan yang diijinkan dalam satu tahun.

batasan luas ; .

it i i

x ⋅ ≤l ∀t

∑

4. Batasan yang terkait dengan larangan pemanenan dua petak yang berdekatan.

x

it

+

x

jt

≤

1 ;

∀( , )i j ∈Adan

t.

V. IMPLEMENTASI PENENTUAN LOKASI PETAK

PEMANENAN HUTAN AKACIA MANGIUM

DI KPH BOGOR PERUM PERHUTANI DALAM LIMA TAHUN

Perum Perhutani sebagai pemegang hak pengelolaan hutan di Pulau Jawa dan Pulau Bali berwenang mengatur dan mengelola hutan-hutan di Pulau Jawa sehingga potensi hutan dapat dimanfaatkan dengan sebaik-baiknya demi kepentingan bangsa. Dengan dasar itulah Perhutani mencoba mencari keuntungan yang maksimal dalam pengelolaan hutan.

Dalam tataran teknis Perhutani mempunyai cabang di setiap daerah yakni KPH (Kesatuan Pemangku Hutan) kemudian KPH dibagi dalam KRPH (Kesatuan Resort Pemangku Hutan). KRPH dibagi pula dalam beberapa RPH (Resort Pemangku Hutan).

Studi kasus dalam tulisan ini mengambil data di RPH Maribaya KRPH Parung Panjang KPH Bogor Jawa Barat Perum Perhutani dalam pemanenan Akacia mangium untuk dijadikan simulasi dan pemodelan. Di RPH Maribaya KRPH Parung Panjang terdapat dua puluh petak pemanenan Akacia mangium, dengan luas totalnya 717,69 hektar.

Data yang didapatkan dalam studi kasus di RPH Maribaya KPH Bogor dalam tulisan ini sebagai berikut:

1. Data luas, indeks bonita (kesuburan petak), dan tahun tegak (tanam) Akacia mangium setiap petak (Lampiran 1). 2. Data petak pemanenan yang berdekatan

(Lampiran 2).

3. Data perkiraan volume kayu hasil pemanenan setiap petak setiap tahun (Lampiran 3).

4. Data present value hasil pemanenan perpetak pertahun (Lampiran 4).

5.1 Masalah dan Pemodelan Penentuan Lokasi Petak Pemanenan Hutan

Akacia mangium

Dalam melakukan simulasi dan pemodelan dalam permasalahan tersebut dilakukan pendefinisian sebagai berikut:

Misalkan:

i, j = indeks untuk petak pemanenan, t = indeks untuk periode waktu, Vi t = volume dari petak i pada periode t,

Pit = present value petak ke-i dalam

periode ke-t, li = luas petak i,

A = {(i,j) | petak i dan petak j berdekatan}. Dengan batasan dan pemodelan sebagai berikut:

1. Batasan yang terkait dengan setiap petak yang dipanen hanya satu kali dalam lima tahun.

1

;

.

it t

x

≤

∀

i

(20)

it

x

=

2. Batasan yang terkait dengan jumlah hasil pemanenan yang diijinkan dalam satu tahun.

3

13.920 m ; .

it it i

x ⋅v ≤ ∀t

∑

3. Batasan yang terkait dengan jumlah luas pemanenan yang diijinkan dalam satu tahun.

259,73 hektar ; .

it i i

x ⋅ ≤l ∀t

∑

4. Batasan larangan pemanenan dua petak yang berdekatan.

1

;

it jt

x

+

x

≤

∀( , )i j ∈A dan t .

Dengan fungsi objektifnya:

.

it it i t

M ax Z

=

∑ ∑

p x

Decision variable yang digunakan :

1, jika petak i dipanen pada periode waktu t,

0, selainnya

Dengan cara manual dapat dituliskan seperti berikut: Max z =

1,1 1,1 1, 2 1, 2 1,3 1,3 1, 4 1, 4 1,5 1,5 2 ,1 2 ,1 2 , 2 2 , 2 2 ,3 2 ,3 2 , 4 2 , 4 2 ,5 2 ,5

p x + p x + p x + p x + p x + p x + p x + p x + p x + p x +

3 ,1 3 ,1 3 , 2 3 , 2 3 ,3 3 ,3 3 , 4 3 , 4 3 ,5 3 ,5 ....

p x + p x + p x + p x + p x + +

20,1 20,1 20,2 20,2 20,3 20,3 20,4 20,4 20,5 20,5

p x +p x +p x +p x +p x

Terhadap kendala :

1,1 1, 2 1,3 1, 4 1,5 1,

x + x + x + x + x ≤

2 ,1 2 , 2 2 ,3 2 , 4 2 ,5 1,

x + x +x + x +x ≤

3 ,1 3 , 2 3 ,3 3 , 4 3 ,5 1,

x + x +x + x + x ≤

2 0 ,1 2 0 , 2 2 0 ,3 2 0 , 4 2 0 ,5 1 x + x + x + x + x + ≤

1,1 1,1 2,1 2,1 3,1 3,1 4,1 4,1 .... 20,1 20,1 20,1 20,1 13.920 x ⋅v +x ⋅v +x ⋅v +x ⋅v + +x ⋅v +x ⋅v + ≤

1,2 1,2 2,2 2,2 3,2 3,2 4,2 4,2 .... 20,2 20,2 20,2 20,2 13.920 x ⋅v +x ⋅v +x ⋅v +x ⋅v + +x ⋅v +x ⋅v + ≤

1,3 1,3 2,3 2 ,3 3,3 3,3 4,3 4,3 .... 20,3 20 ,3 20,3 20 ,3 13.920 x ⋅v +x ⋅v +x ⋅v +x ⋅v + +x ⋅v +x ⋅v + ≤

1,4 1,4 2,4 2,4 3,4 3,4 4,4 4,4 .... 20,4 20,4 20,4 20,4 13.920 x ⋅v +x ⋅v +x ⋅v +x ⋅v + +x ⋅v +x ⋅v + ≤

1,5 1,5 2 ,5 2 ,5 3,5 3,5 4 ,5 4 ,5 .... 20 ,5 20 ,5 20 ,5 20 ,5 13.920 x ⋅v +x ⋅v +x ⋅v +x ⋅v + +x ⋅v +x ⋅v + ≤

1,1 1 21 2 3,1 3 4 ,1 4 ... 20 ,1 20 20,1 20 259,73