Aplikasi Parallel Distributed Compensation Untuk Sistem Kontrol Tracking Pada Inverted Pendulum

32

Aplikasi Parallel Distributed Compensation

Untuk Sistem Kontrol Tracking

Pada Inverted Pendulum

Trihastuti Agustinah Yusuf Bilfaqih

Jurusan Teknik Elektro – Fakultas Teknologi Industri Institut Teknologi Sepuluh Nopember – Surabaya 60111

email: trihastuti@ee.its.ac.id, bilfaqih@ee.its.ac.id

Abstrak – Paper ini membahas tentang aplikasi

konsep parallel distributed compensation (PDC) pada pemasalahan sistem kontrol tracking. Disain kontroler PDC menggunakan model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S). Dalam konsep PDC, setiap aturan kontroler berfungsi sebagai kompensasi aturan plant yang bersesuaian. Setiap aturan plant merupakan model linier yang menggambarkan relasi linier input-output dari sistem nonlinier. Model ini diperoleh dari linierisasi sistem nonlinier pada beberapa titik operasi nominal. Sistem kontrol tracking merupakan permasalahan robust servomechanism di mana model plant diberi sinyal gangguan dan sinyal tracking yang dibangkitkan oleh generator eksternal (exosystem). Performansi sistem yang diinginkan adalah sistem dapat mengikuti/men-track sinyal referensi (tracking) yang diberikan. Analisis dan disain konsep PDC pada sistem kontrol tracking dilakukan untuk inverted pendulum.

Keywords: kontrol fuzzy, konsep PDC, output

tracking, stabilisasi feedback, plant nonlinier.

1. PENDAHULUAN

Dalam beberapa tahun terakhir, aplikasi kontrol fuzzy dalam industri menunjukkan hasil yang memuaskan [3,5,8]. Meskipun begitu, disain sistem kontrol fuzzy secara sistematis dan analisis stabilitas sistem masih merupakan tantangan yang menarik khususnya dalam disain kontrol dari sistem nonlinier. Hal ini disebabkan karena nonlinieritas selalu mengganggu dalam pengontrolan sebuah sistem riil, karena sistem secara fisik biasanya diketahui sebagian dan sulit untuk digambarkan, dan hanya terdapat sedikit state terukur [5].

Dalam berbagai pemodelan fuzzy yang ada, model fuzzy Takagi-Sugeno merupakan salah satu model yang paling populer. Tipe khusus dari model Takagi-Sugeno adalah bagian konsekuen dalam setiap aturan dinyatakan sebagai model linier (tanpa nilai konstan). Model ini dapat merepresentasikan

sistem nonlinier dengan baik sehingga teknik disain dan analisis Lyapunov dapat diterapkan [8].

Kazuo Tanaka et all dalam [10] mengenalkan struktur kontroler yang disebut paralel distributed compensation. Struktur ini menggunakan kontroler fuzzy berbasis state feedback yang mencerminkan struktur dari model linier Takagi-Sugeno. Ide dasar dari PDC, setiap aturan kontroler berfungsi sebagai kompensator untuk model plant yang bersesuaian di mana keseluruhan model sistem dan dinamika sistem dicapai dengan pencampuran (blending) fuzzy dari model-model linier dan implikasi dari model fuzzy sistem tersebut.

Untuk masalah tracking dari sistem nonlinier, dalam paper ini, tetap menggunakan teori kontrol tracking dari kontrol multivariabel linier yang dikombinasikan dengan model fuzzy T-S. Dalam disain sistem kontrol tracking ini, plant diberi input referensi yang akan di-track dan sinyal gangguan. Performansi yang diharapkan dari disain ini adalah sistem closed-loop stabil asymptotis dan sistem dapat mengikuti trayektori yang diinginkan. Dalam paper ini, aplikasi disain sistem kontrol tracking dengan menerapkan konsep PDC dilakukan untuk sistem inverted pendulum.

Sistematika paper ini sebagai berikut: seksi 2 membahas tentang konsep PDC dan aplikasi disain PDC untuk sistem kontrol tracking. Dalam seksi 3 membahas contoh ilustrasi dari kontrol tracking untuk inverted pendulum beserta uji validasi dari disain serta analisis stabilitasnya. Seksi yang terakhir dari paper ini memuat kesimpulan.

2. PARALLEL DISTRIBUTED

COMPENSATION

PDC merupakan teknik disain untuk model fuzzy Takagi-Sugeno. Dalam konsep PDC, setiap aturan kontrol secara distributif didisain untuk aturan plant dari model T-S yang bersesuaian. Teori kontrol linier dapat digunakan untuk mendisain bagian konsekuen dari kontroler fuzzy karena bagian konsekuen dari model fuzzy T-S digambarkan oleh persamaan state linier. Metode-metode yang dapat

33

digunakan untuk memperoleh gain dari aturan kontrol fuzzy tersebut yaitu teknik pole placement, persamaan Riccati, dan sebagainya. Kontroler fuzzy menggunakan himpunan fuzzy yang sama dengan model fuzzy T-S dalam bagian premise-nya. Outline dari konsep PDC terdapat dalam Gambar 1.

Sistem nonlinier digambarkan dengan model dinamik Takagi-Sugeno dengan bentuk berikut: Aturan Plant ke-i:

ig g

i1

i( ) adalah F dan dan z ( ) adalah F

z IF t L t ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( THENx_& t =A_i t +B_iu t +B_wi t wt ) ( ) ( ) ( ) (t C xt Du t D wt y_i = _i + _i + _wi (1) di mana ) , , 2 , 1 (j g Fij = L himpunan fuzzy n R t x( )∈ vektor state m R t u( )∈ vektor input q i t R y ()∈ vektor output p R t w( )∈ vektor gangguan wi i i wi i i,B ,B ,C ,D ,D

A matriks dengan dimensi yang sesuai

r _{jumlah aturan IF-THEN}

) ( ~ ) ( 1 t z t

z _g variabel terukur (premise) State dan output akhir dari model dinamik fuzzy sebagai berikut:

∑

∑

∑

= = = + + = r i wi i r i r i i i i iAxt But B wt t x 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( μ μ μ &

∑

= = r i i iy t t y 1 ) ( ) ( μ

∑

∑

∑

= = = + + = r i r i r i wi i i i i iCxt Du t D wt 1 1 1 ) ( ) ( ) ( μ μ μ (2) di mana μ memenuhi _i

[ ]

() ≥0, = _i z t i μ μ i=1,2,L,r

[ ]

∑

= = r i i zt 1 1 ) ( μ ; z(t)=[z₁(t) z₂(t) _L z_g(t)] untuk semua t.

Aturan ke-i dari kontroler fuzzy dapat digambarkan sebagai berikut:

ig g

i1

i( ) adalah F dan dan z ( ) adalah F

z IF t _L t ) ( ) ( THENut =−K_ix t

di mana Ki adalah gain kontroler. Output akhir dari

kontroler.

∑

∑

= − = _r i i r i i iK x t t u 1 1 ) ( ) (

μ

μ

(3)

Karena aturan kontroler menggunakan himpunan fuzzy yang sama dengan aturan plant maka μ untuk _i kontroler sama dengan plant.

Sintesa Sistem Kontrol Tracking dalam PDC

Dalam sistem kontrol multivariabel linier sistem linier lokal (1) dan model sinyal referensi dan gangguan dinyatakan dalam bentuk berikut

) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( t u D B B t x t x A C B A t x t x i c i c c i i i c ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ & & ) ( 0 ) ( y t B t w D B B r c wi c wi _⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + (4)

di mana yr(t) merupakan sinyal referensi, Ac, Bc dan

l c t R

x ()∈ merupakan matriks-matriks dengan

dimensi yang sesuai dan state dari model sinyal referensi dan gangguan.

Aturan kontrol state feedback untuk setiap model lokal (4) adalah

ig g

i1

i( ) adalah F dan dan z ( ) adalah F

z IF t _L t ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ) ( ) ( ] [ ) ( THEN t x t x K K t u c ci i (5) untuk i=1,2,_L,r.

Output akhir dari sistem (4), diperoleh

∑

= ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ r i i i c c i i c x t t x A C B A t x t x 1 () ) ( 0 ) ( ) ( _μ & &

aturan plant 1 IF <premise> THEN x

( )

t A₁x

( )

t B₁x

( )

t

.

+ =

aturan kontrol 1 IF <premise> THEN u

( )

t =−K₁x

( )

t

aturan plant 2 IF <premise> THEN x

( )

t A₂x

( )

t B₂x

( )

t

.

+ =

aturan kontrol 2 IF <premise> THEN u

( )

t =−K₂x

( )

t

Gambar 1. Outline PDC Himpunan fuzzy sama Himpunan fuzzy sama Teori kontrol linier Teori kontrol linier

34 ) ( 1 t u D B B i c i r i i ⎥⋅ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − +

∑

= μ ) ( 0 ) ( 1 1 t y B t w D B B r c r i i wi c wi r i i ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − +

∑

∑

= = μ μ (6)

dan output akhir dari kontrol state feedback sebagai berikut:

∑

= ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = r i c ci i i t x t x K K t u 1 ( ) ) ( ] [ ) ( μ (7)

di mana

μ

₁ dan

μ

₂ dari (6) dan (7) merupakan nilai yang sama karena menggunakan himpunan fuzzy yang sama.

3. APLIKASI DISAIN:

INVERTED PENDULUM

Konsep PDC yang telah dibahas dalam seksi 2, diaplikasikan pada permasalahan penyeimbangan batang pendulum terbalik yang dilekatkan pada kereta. Persamaan gerak untuk pendulum adalah

2 1 x x& = 2 1 1 2 2 2 2 2 [ ( ) ] cos ) )( [( 0 . 1 x m M f x l m ml J m M x − + − + + = & 2 _{1 1 0 4 1} 2 2 2 cos cos sinx x f mlx x x l m + − +(M+m)mglsinx1−mlcosx1u] 4 3 x x& = 1 2 1 1 2 2 2 2 4 [ cos ] cos ) )( [( 0 . 1 x mlx f x l m ml J m M x − + + = & 4 2 0 1 2 2 2 ) ( sin ) (J+ml mlx x − f J+ml x − sin 1cos 1 ( 2) ] 2 2 u ml J x x gl m − + + (7)

di mana x1 menotasikan sudut (radians) pendulum

dari titik vertikal, x2 adalah kecepatan angular

(rad/s), x3 adalahposisi (m) dan x4 adalah kecepatan

(m/s) dari kereta. g=9.8 m/s2 adalah konstanta gravitasi, m adalah massa (kg) pendulum, M adalah massa kereta, f0 adalah faktor gesekan (N/m/s)

kereta, f1 adalah faktor gesekan (N/rad/s) pendulum,

l adalah panjang (m) dari tengah massa pendulum, J moment inersia (kgm2) dan u adalah gaya (N) yang diberikan ke kereta.

Nilai parameter plant inverted pendulum yang digunakan untuk simulasi adalah m=0.2 kg, M=1.5 kg, f0=0.2 N/m/s, f1=1.2 N/rad/s, l=0.25 m, J=0.125

kgm2. Substitusi nilai tersebut ke sistem (7) setelah dilakukan linierisasi pada (x1=0, u=0) dan (x1=600,

u=0), diperoleh matriks Ai dan Bi diperoleh dari

yaitu ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 71 . 16 0 0135 . 0 263 . 1 1 0 0 0 18 . 44 0 312 . 0 25 . 29 0 0 1 0 1 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 23 . 15 0 0062 . 0 567 . 1 1 0 0 0 14 . 20 0 285 . 0 06 . 22 0 0 1 0 2 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 7292 . 0 0 928 . 1 0 1 B ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 665 . 0 0 879 . 0 0 2 B

Formulasi masalah untuk output tracking fuzzy dengan memberikan sinyal referensi sinusoidal dan gangguan step sebagai berikut:

2 1 x x_& = ; x&₃=x₄ u b x a x a x a x_&2 = _{21 1}+ _{22 2}+ _{24 4}+ ₂ 1 4 4 44 2 42 1 41 4 a x a x a x bu w x& = + + + + 1 3 0 w.1 x y= +

Untuk mendisain tracker fuzzy melalui state

feedback, formulasi masalah dari plant inverted

pendulum didekati dengan model fuzzy Takagi-Sugeno. Untuk meminimisasi usaha disain dan kompleksitas, banyaknya aturan dalam model fuzzy yang digunakan sebanyak dua, yaitu

Aturan plant 1: 0 ) ( IFx1 t sekitar ) ( ) ( ) ( ) ( THEN x_& t =A₁x t +B₁u t +B_w1wt ) ( ) ( ) ( ) ( _{1 1 1} 1 t C x t Du t D wt y = + + _w Aturan plant 2: 3 ) ( IFx₁ t sekitar ±π ) ( ) ( ) ( ) ( THENx_& t =A₂xt +B₂u t +B_w2wt ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 t C x t D u t D wt y = + + w

di mana matriks A1, B1, A2, B2 adalah

matriks-matriks hasil linierisasi, sedangkan matriks-matriks yang lain adalah

[

0 0 1 0

]

2 1 = C = C

[

]

T w w B B ₁ = ₂ = 0 0 0 1 , 0 . 0 2 1= D = D dan D_w1=D_w2=0.1.

Fungsi keanggotaan fuzzy dalam aturan plant untuk aturan 1 dan 2 adalah

] 3 ) ( [ 7 ] 3 ) ( [ 7 1 1 _{1 1} 1 0 . 1 1 0 . 1 0 . 1 )] ( [ _{π π}

μ

_{− − − −} + ⋅ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − = _{x t x t} e e t x dan μ₂[x₁(t)]=1.0−μ₁[x₁(t)].

Transformasi Laplace untuk sinyal gangguan

) ( 1 )

(t t

w = adalah W(s)=1/s dengan polinomial

s s

w( )=

φ sedangkan transformasi Laplace untuk sinyal referensi yr(t)=sin(t)adalah ( ) 1/( 1)

2₊

= s

s Yr

dengan polinomial φr(s)= s2+1. Perkalian biasa

dari polinomial sinyal referensi dan gangguan diperoleh φ(_s)= s_s( 2+1). _{Jadi, model sinyal dari} w(t) dan yr(t) adalah ) ( ) ( ) (t A x t B e t x&_c = _{c c} + _c

35 di mana ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 0 , 0 1 0 1 0 0 0 1 0 c c B A . 1 . 0 ) ( ) sin( ) ( ) ( ) (t = y t −yt = t −x₃ t − e _r

Jelas bahwa dim(u)=dim(yi)=1(i=1,2), dan seluruh akar polinomial φ(s)=0 yaitu 0,- -1, 1. Pemilihan eigenvalue closedloop [21 2.0 1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5] untuk

[

1 1

]

1 1 1 1 0 c c c c K K D B B A C B A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − dan

[

2 2

]

2 2 2 2 0 c c c c K K D B B A C B A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − diperoleh ] 29 . 12 98 . 38 34 . 27 3 . 42 [ 1= − − − − K ] 29 . 12 98 . 38 34 . 27 3 . 42 [ 1= − − − − c K ] 29 . 12 98 . 38 34 . 27 3 . 42 [ 2 = − − − − K ] 29 . 12 98 . 38 34 . 27 3 . 42 [ 2= − − − − c K

Aturan kontrol tracking berbasis state feedback sebagai berikut Aturan kontroler 1: 0 ) ( IFx1 t sekitar

[

]

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ) ( ) ( ) ( THEN 1 1 t x t x K K t u c c Aturan kontroler 2: 3 ) ( IFx1 t sekitar ±π

[

]

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ) ( ) ( ) ( THEN 2 2 t x t x K K t u c c maka,

[

]

∑

= ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 1 1 1 ) ( ) ( ) ( i c c i t x t x K K t u μ

di mana μ₁dan μ₂ merupakan nilai keanggotaan (membership) dari aturan 1 dan aturan 2.

Simulasi dilakukan sebagai uji validasi dari disain sistem kontrol tracking fuzzy. Pada simulasi pertama initialisasi plant pada nilai x1=0.1 rad, x2=0,

x3=0 dan x4=0. Posisi awal sudut pendulum di

sekitar titik ekuilibrium stabil.

Gambar 2(a) adalah respons sudut pendulum (x1) dengan spesifikasi respons yaitu settling time

sekitar 5 detik dan overshoot sekitar 5%. Sudut awal pendulum dimulai dari nilai 0.15 radians, hal ini disebabkan adanya pengaruh gangguan step yang diberikan pada plant. Sedangkan respons posisi kereta terdapat pada Gambar 2(b). Sinyal referensi sinus yang harus di-track dalam dashed line dan respons posisi kereta dalam solid line. Dari gambar terlihat bahwa posisi kereta dapat mengikuti sinyal referensi dalam waktu sekitar 5 detik. Gambar 2(c) adalah error posisi kereta, yang menunjukkan bahwa regulasi asymptotis dapat terjadi untuk kondisi plant yang diberi gangguan step.

0 2 4 6 8 1 0 12 1 4 1 6 18 20 -0 .5 -0 .4 -0 .3 -0 .2 -0 .1 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4

0 .5 the displacem ent of the cart

t (s) x3 (m ) 0 2 4 6 8 10 12 1 4 16 18 20 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 error t (s) e (m) 0 2 4 6 8 1 0 12 1 4 1 6 18 20 -0 .2 -0 .1 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4

0 .5the a ngle o f pendulum from vertical

t (s) x1 ( ra d ) 0 2 4 6 8 10 12 1 4 16 18 20 -0 .2 -0 .1 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4

0 .5 the angle of pendulum from v ertical

t (s) x1 ( ra d ) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0 .2 -0 .1 0 0 .1 0 .2 0 .3 error t (s) e ( m ) 0 2 4 6 8 10 12 1 4 16 18 20 -0 .5 -0 .4 -0 .3 -0 .2 -0 .1 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4

0 .5 the displacem ent of the cart

t (s) x3 ( m ) (a) (b) (c)

Gambar 2 Respons sistem pada initialisasi x1=0.1 rad, x2=0, x3=0, x4=0;

(a) respons sudut pendulum; (b) respons posisi kereta; (c) error

(a) (b) (c)

Gambar 3 Respons sistem pada initialisasi x1=0.2618 rad, x2=0, x3=0, x4=0;

(a) respons sudut pendulum; (b) respons posisi kereta; (c) error

Angle of Pendulum from Vertical Displacement of the Cart Error

36

Selanjutnya simulasi dilakukan dengan initialisasi x1=0.2618 rad (atau 150), x2=0, x3=0 dan

x4=0. Respons posisi sudut pendulum (Gambar

3(a)) masih memberikan spesifikasi respons yang memuaskan dengan settling time sekitar 6 detik dengan overshoot sebesar 11%. Sedangkan posisi kereta (Gambar 3(b)) dapat men-track sinyal referensi dengan error yang terjadi seperti pada Gambar 3(c).

Karena batasan sistem pendulum di mana kereta diasumsikan mempunyai ruang gerak yang terbatas, maka pemberian nilai initialisasi pada sudut pendulum yang lebih besar tidak memungkinkan. Hal ini disebabkan karena untuk penyimpangan pendulum yang jauh dari titik ekuilibrium-nya diperlukan sinyal kontrol yang sangat besar pada kereta sehingga melebihi ruang gerak dari kereta itu sendiri.

4. KESIMPULAN

Hasil simulasi menunjukkan bahwa sistem kontrol tracking fuzzy yang didisain dapat menyeimbangkan (mengembalikan) batang pendulum ke dalam posisi vertikal dan posisi kereta dapat mengikuti sinyal referensi dengan spesifikasi respons yang memuaskan. Jadi, sistem kontrol tracking fuzzy berbasis konsep PDC dapat memberikan spesifikasi respons yang diinginkan, yaitu (a) sistem closed loop stabil asymptotis, (b) terjadi regulasi error secara asymptotis.

5. ACKNOWLEDGMENT

We would like to thank DR. Manfredi Maggiore for widening our views, and special thank to Harry Nugroho for his support, and suggestions contributing to this research.

6. REFERENSI

[1] Bahram Shahian and Michael Hassul, ”Control System Design Using Matlab”, Prentice Hall Inc., New Jersey, 1993.

[2] Hassan K. Khalil, ”Nonlinear Systems”, Macmillan Publishing Comp. New York, 1992.

[3] Kevin M. Passino, Stephen Yurkovich, ”Fuzzy Control”, Addison-Wesley Longman, California, 1998.

[4] K. Ogata, ”Modern Control Engineering”, Prentice-Hall, New Jersey.

[5] J.J.E. Slotine and Weiping Li, ”Applied

Nonlinear Control”, Prentice-Hall, New

Jersey, 1991.

[6] Manfredi Maggiore,”Output Feedback Control: A State-Variable Approach”, Dissertation, The Ohio State University, Ohio, 2000.

[7] M. Sugeno and T. Takagi, ”Fuzzy Identifica-tion of Systems and Its ApplicaIdentifica-tions to Modelling and Control”, IEEE Trans. on

Systems, Man, and Cybernetics, vol. 15,

no.1, pp 135-142, 1985.

[8] K. Tanaka, T. Ikeda, H.O Wang, ”Robust Stabilization of a Class of Uncertain Nonlinear System via Fuzzy Control: Quadratic Stability, H inf. Control Theory, and Linear Matrix Inequalities”, IEEE Trans. on Fuzzy

Systems, vol.4, no.1, pp 1-13, 1996.

[9] Trihastuti A., ”Analisis tentang model fuzzy yang diperoleh dari identifikasi fuzzy untuk sistem pengaturan posisi motor dc, Lemlit – ITS, 1996.

[10] Trihastuti A., ”Perolehan model fuzzy Takagi-Sugeno melalui identifikasi fuzzy untuk sistem inverted pendulum”, Lemlit – ITS, 2000.

[11] Trihastuti A., ”Analisis stabilitas model fuzzy Takagi-Sugeno: Pendekatan Lyapunov”, Lemlit – ITS, 2000.

[12] Trihastuti A., ”Disain observer fuzzy berbasis model fuzzy T-S untuk inverted pendulum”, Lemlit– ITS, 2001.

[13] Xiao-Jun Ma and Zeng-Qi Sun, ”Ouput Tracking and Regulation of Nonlinear System Based on Takagi-Sugeno Fuzzy Model”,

IEEE Trans. on Systems, Man, and

Cybernetics, vol. 30, no.1, pp 47-59, 2000.

Trihastuti Agustinah is currently a lecturer of control and systems engineering division, electrical engineering department at Sepuluh Nopember Institute of Technology. Her main research interests are in controlling a nonlinear plant based-on fuzzy and robust cbased-ontrol techniques, and stochastic control, filtering and estimation.

Yusuf Bilfaqih is currently a lecturer of control and systems engineering division, electrical engineering department at Sepuluh Nopember Institute of Technology.