PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL. Modul 5. Sistem Waktu Diskret dan Aplikasi TZ

PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL

Modul 5.

Sistem Waktu Diskret dan

Aplikasi TZ

Content

• Overview Sistem Waktu Diskrit

• System Properties (Shift Invariance, Kausalitas, Stabilitas) dikaitkan dengan TZ

• Transformasi sistem dari persamaan difference ke respon impuls dan sebaliknya

• Realisasi Sistem dg adder minimal dan delay minimal • Mencari Respon Steady State

 Fungsi Sistem dari Sistem LTI ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( z X z Y z H z X z H z Y n x n h n y      ) ( ) (n H z h 

Respon impuls Fungsi sistem

Persamaan beda dari sistem LTI :

)

(

)

(

)

(

0 1

k

n

x

b

k

n

y

a

n

y

M k k N k k















  k M k k k N k k

Y

z

z

b

X

z

z

a

z

Y

   











(

)

(

)

)

(

0 1

k M k k k N k k

Y

z

z

b

X

z

z

a

z

Y

   











(

)

(

)

)

(

0 1 k M k k k N k k

z

X

z

b

z

a

z

Y

   









0 1

)

(

]

1

)[

(

)

(

1

)

(

)

(

1 0

_H

_z

z

a

z

b

z

X

z

Y

k N k k k M k k







   





) ( 1 ) ( ) ( 1 0 _{H z} z a z b z X z Y k N k k k M k k       





Hal khusus I : a_k = 0, 1  k  N k M M k k M k M k k b z z z b z H    





  0 0 1 ) ( All-zero system Hal khusus II : b_k = 0, 1  k  M 1 1 ) ( 0 1        





N k o k k o k N k k o _a z a b z a b z H All-pole system Pole-Zero system

Tentukan fungsi sistem dan respon impuls sistem LTI : Jawab:

)

(

2

)

(

2

1

)

(

z

z

1

Y

z

X

z

Y







)

(

2

)

1

(

2

1

)

(

n

y

n

x

n

y







)

(

2

)

2

1

1

)(

(

z

z

1

X

z

Y







1 2 1 1 2 ) (    z z H _{( )} 2 1 2 ) (n u n h n         Contoh 1:

Tentukan respon impuls dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

Jawab:

)

(

5

,

9

)

(

5

,

4

)

(

2

)

(

3

)

(

z

z

1

Y

z

z

2

Y

z

X

z

z

1

X

z

Y















)

5

,

9

5

,

4

)(

(

)

2

3

1

)(

(

z



z

1



z

2



X

z



z

1

Y

2 1 1

2

3

1

5

,

9

5

,

4

)

(

)

(

)

(

_{ } 











z

z

z

z

X

z

Y

z

H

)

1

(

5

,

9

)

(

5

,

4

)

2

(

)

1

(

3

)

(

n



y

n





y

n





x

n



x

n



y

 Contoh 2:

2 1 1 2 3 1 5 , 9 5 , 4 ) ( _{ }      z z z z H 2 3 5 , 9 5 , 4 ) ( 2 _{ }   z z z z z H 2 5 , 0 1 5 2 1 ) ( _{1 2}         z z z A z A z z H 1 1 ) 2 ( 1 5 , 0 ) 1 ( 1 5 ) ( _{ }       z z z H

)

(

]

)

2

(

5

,

0

)

1

(

5

[

)

(

n

u

n

h





n





n

Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

Jawab: ) z ( X z 5 , 9 ) z ( X 5 , 4 ) z ( Y z 2 ) z ( Y z 3 ) z ( Y  1  2   1 ) 1 ( 5 , 9 ) ( 5 , 4 ) 2 ( ) 1 ( 3 ) (n  y n   y n   x n  x n  y 0 ) 2 ( 0 ) 1 (  y   y

dan mendapat input x(n) = (-3)n_{u(n) y(n) y (n)}

zs  ) z 5 , 9 5 , 4 )( z ( X ) z 2 z 3 1 )( z ( Y  1  2   1  Contoh 3:

1 1 3 1 1 ) 3 ( 1 1 ) ( ) ( ) 3 ( ) ( _{ }         z z z X n u n x n ) ( ) 5 , 9 5 , 4 ( ) 2 3 1 )( (z z 1 z 2 z 1 X z Y        1 1 2 1 3 1 1 ) 5 , 9 5 , 4 ( ) 2 3 1 )( (    _      z z z z z Y ) 3 1 )( 2 3 1 ( ) 5 , 9 5 , 4 ( ) ( 1 2 1 1          z z z z z Y ) 3 1 )( 2 3 1 ( ) 5 , 9 5 , 4 ( ) ( 1 2 1 3 1 2          z z z z z z z z Y ) 3 )( 2 )( 1 ( ) 5 , 9 5 , 4 ( ) 3 )( 2 3 ( ) 5 , 9 5 , 4 ( ) ( 2 2 2           z z z z z z z z z z z z Y

) 3 )( 2 )( 1 ( ) 5 , 9 5 , 4 ( ) 3 )( 2 3 ( ) 5 , 9 5 , 4 ( ) ( 2 2 2           z z z z z z z z z z z z Y ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 )( 2 )( 1 ( ) 5 , 9 5 , 4 ( 2 _{1 2 3}           z A z A z A z z z z z ) 3 )( 2 )( 1 ( ) 2 3 ( ) 3 4 ( ) 6 5 ( ) ( ₁ 2 ₂ 2 ₃ 2             z z z z z A z z A z z A z z Y 0 2 3 6 5 , 9 3 4 5 5 , 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1          A A A A A A A A A 2 2 3 6 3 4 5 1 1 1   D

5 , 2 2 5 2 3 0 3 4 5 , 9 1 1 5 , 4 1      D A 1 2 2 2 0 6 3 5 , 9 5 1 5 , 4 1 2    D A 6 5 , 4 1 5 , 2   ₃   ₃   A A ) 3 1 ( 6 ) 2 1 ( 1 ) 1 ( 5 , 2 ) ( ) 3 ( 6 ) 2 ( 1 ) 1 ( 5 , 2 ) ( 1 1 1     _  _           z z z z Y z z z z z Y ) ( ] ) 3 ( 6 ) 2 ( ) 1 ( 5 , 2 [ ) (n 2 u n y    n     n

Jawab:

Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

) 2 ( 8 ) 1 ( 28 ) ( 5 ) 2 ( 8 ) 1 ( 6 ) (n  y n   y n   x n  x n   x n  y ) ( 8 ) ( 28 ) ( 5 ) ( 8 ) ( 6 ) (z z 1Y z z 2Y z X z z 1X z z 2X z Y          1 2 1 2 1 1 1 8 6 1 ) 8 28 5 ( ) ( _{  }         z z z z z z Y 1 1 1 ) ( _   z z X 1 4 2 ) 1 )( 8 6 ( ) 8 28 5 ( ) ( _{1 2 3} 2 2             z A z A z A z z z z z z z Y  Contoh 4:

1 4 2 ) 1 )( 4 )( 2 ( ) 8 28 5 ( ) ( 2 _{1 2 3}             z A z A z A z z z z z z z Y 14 6 84 ) 3 )( 2 ( 8 56 20 ) 1 )( 4 ( 8 28 5 ) ( ) 2 ( 2 2 1 _  _               z z z z z z z Y z A 20 10 200 ) 5 )( 2 ( 8 112 80 ) 1 )( 2 ( 8 28 5 ) ( ) 4 ( 4 2 2 _{ }               z z z z z z z Y z A 1 15 15 ) 5 )( 3 ( 8 28 5 ) 4 )( 2 ( 8 28 5 ) ( ) 1 ( 1 2 3                z z z z z z z Y z A 1 1 4 20 2 14 ) (         z z z z z Y 1 1 1 1 1 4 1 20 2 1 14 ) ( _{  }         z z z z Y ) ( ] 1 ) 4 ( 20 ) 2 ( 14 [ ) (n u n y_zs    n   n 

Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

Jawab:

0

]

)

2

(

)

1

(

)

(

[

2

]

)

1

(

)

(

[

3

)

(

2 2 1



















    

z

y

z

y

z

Y

z

z

y

z

Y

z

z

Y

) 1 ( 5 , 9 ) ( 5 , 4 ) 2 ( ) 1 ( 3 ) (n  y n   y n  x n  x n  y 5 , 7 ) 2 ( 5 , 8 ) 1 (   y   y dengan input x(n) = 0 y(n)  y_zi(n)  Contoh 5:

2 1 ) 2 )( 1 ( 17 5 , 10 2 3 17 5 , 10 ) ( _{1 2} 2              z A z A z z z z z z z z Y

4

1

4

1

17

5

,

10

)

(

)

2

(

5

,

6

1

5

,

6

2

17

5

,

10

)

(

)

1

(

2 2 1 1

































      z z

z

z

z

z

Y

z

A

z

z

z

z

Y

z

A

1 1

2

1

4

1

5

,

6

2

4

1

5

,

6

)

(

_{ } 

















z

z

z

z

z

z

z

Y

n n zi

n

y

(

)



6

,

5

(



1

)



4

(



2

)

Jawab:

Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

3 ) 2 ( 4 ) 1 ( ) 2 ( 8 ) 1 ( 28 ) ( 5 ) 2 ( 8 ) 1 ( 6 ) (               y y n x n x n x n y n y n y ] ) 2 ( ) 1 ( ) ( [ 8 ] ) 1 ( ) ( [ 28 ) ( 5 ] ) 2 ( ) 1 ( ) ( [ 8 ] ) 1 ( ) ( [ 6 ) ( 2 2 1 2 2 1 z x z x z X z z x z X z z X z y z y z Y z z y z Y z z Y                            ] 8 28 5 )[ ( 24 32 24 ] 8 6 1 )[ ( 2 1 1 2 1                z z z X z z z z Y  Contoh 6:

] 8 28 5 )[ ( 24 32 24 ] 8 6 1 )[ ( 2 1 1 2 1                z z z X z z z z Y 1 2 1 1 2 1 1 8 28 5 32 ] 8 6 1 )[ ( _              z z z z z z z Y ) 1 )( 8 6 1 ( 8 28 5 32 32 ) ( 1 2 1 2 1 2 1                 z z z z z z z z Y ) 1 )( 8 6 1 ( 24 4 5 ) ( 1 2 1 2 1             z z z z z z Y ) 1 )( 8 6 ( 24 4 5 ) ( 2 2        z z z z z z z Y

) 1 z )( 4 z )( 2 z ( 24 z 4 z 5 ) 1 z )( 8 z 6 z ( 24 z 4 z 5 z ) z ( Y 2 2 2              4 z A 2 z A 1 z A ) 1 z )( 4 z )( 2 z ( 24 z 4 z 5 2 _{1 2 3}            1 15 15 ) 5 )( 3 ( 24 4 5 ) 4 z )( 2 z ( 24 z 4 z 5 A 1 z 2 1              2 6 12 ) 3 )( 2 ( 24 8 20 ) 1 z )( 4 z ( 24 z 4 z 5 A 2 z 2 2                4 10 40 ) 5 )( 2 ( 24 16 80 ) 1 z )( 2 z ( 24 z 4 z 5 A 4 z 2 3              

4 z 4 2 z 2 1 z 1 z Y         1 1 1 z 4 1 4 z 2 1 2 z 1 1 Y _{  }       

)

n

(

u

]

)

4

(

4

)

2

(

2

1

[

)

n

(

y









n





2

Deskripsi Input-Output



_{Ekspresi matematik}

_:



Hubungan antara input dan output



x(n) =

i

nput (

masukan, eksitasi)



_{y(n) = output}

_{(keluaran, respon)}





= Transformasi

(operator)

)

(

)

(

)]

(

[

)

(

n

y

n

x

n

x

T

n

y

T



















lainnya

n

n

n

n

x

,

0

3

3

,

)

(

Tentukan respon dari sistem-sistem berikut terhadap input :



(

1

)

(

)

(

1

)



3

1

)

(

)

)

1

(

)

(

)

)

(

)

(

)

















n

x

n

x

n

x

n

y

c

n

x

n

y

b

n

x

n

y

a

 Contoh 7:

Jawab :





0

,

3

,

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

3

,

0

,





)

(

n



x

)

(

)

(

)

y

n

x

n

a



Sistem identitas

)

1

(

)

(

)

y

n



x

n



b





0

,

3

,

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

3

,

0

,





)

(

n



y

)

1

(

)

1

0

(

)

0

(



x





x



y



(

1

)

(

)

(

1

)



3

1

)

(

)

y

n



x

n





x

n



x

n



c



(

1

)

(

0

)

(

1

)



3

1

)

0

(

x

x

x

y

























,

1

,

0

,



3

5

,

2

,

1

,

3

2

,

1

,

2

,

3

5

,

1

,

0

)

(n

y





0

,

3

,

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

3

,

0

,





)

(

n



x



  



n k

k

x

n

y

(

)

(

)

Akumulator

)

(

)

(

)

(

1

n

x

k

x

n

y

n k



   





)

(

)

1

(

)

(

n

y

n

x

n

y









y(n) tidak hanya tergantung pada input x(n)

tapi juga pada respon sistem sebelumnya



y(n-1)  initial condition (kondisi awal)

Tentukan respon dari akumulator dengan input x(n) = n u(n) bila :







       







n k k n k

k

x

k

x

k

x

n

y

0 1

)

(

)

(

)

(

)

(

a) y(- 1) = 0 (sistem relaks) b) y(- 1) = 1 Jawab :











n k

k

x

y

n

y

0

)

(

)

1

(

)

(

 Contoh 8:











n k

k

x

y

n

y

0

)

(

)

1

(

)

(

2

)

1

(

)

(

0 0











 

n

n

k

k

x

n k n k

0

2

)

1

(

)

(

0

)

1

(

)

y







y

n



n

n



n



a

0

2

2

2

)

1

(

1

)

(

1

)

1

(

)

2





















n

n

n

n

n

n

y

y

b

Representasi Diagram Blok



_{Penjumlah (adder)}



Pengali dengan konstanta (constant

muliplier)



Pengali sinyal (signal multiplier)

Adder :

+

x₁(n) x₂(n) y(n) = x1(n) + x2(n) x(n) a y(n) = a x(n)

Constant multiplier :

Signal multiplier :

Unit delay element :

x

x₁(n) x₂(n) y(n) = x1(n)x2(n) z - 1 x(n) y(n) = x(n –1) z x(n) y(n) = x(n +1)

Buat diagram blok dari sistem waktu diskrit dimana :

)

1

(

2

1

)

(

2

1

)

1

(

4

1

)

(

n



y

n





x

n



x

n



y

Jawab : + 0,25 x(n) + 0,5 z - 1 0,5 y(n) z - 1 black box  Contoh 9:

)

1

(

2

1

)

(

2

1

)

1

(

4

1

)

(

n



y

n





x

n



x

n



y

)]

1

(

)

(

[

2

1

)

1

(

4

1

)

(

n



y

n





x

n



x

n



y

black box + 0,25 x(n) + 0,5 z - 1 y(n) z - 1

Klasifikasi Sistem



_{Sistem statik dan dinamik}



Time-invariant & time-variant system



Sistem linier dan sistem nonlinier



Sistem kausal dan sistem nonkausal

Sistem Statik (memoryless) :



Output pada setiap saat hanya tergantung

input pada saat yang sama



Tidak tergantung input pada saat yang lalu

atau saat yang akan datang

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

3

n

x

b

n

x

n

n

y

n

x

a

n

y







]

),

(

[

)

(

n

T

x

n

n

y



Sistem Dinamik :



Outputnya selain tergantung pada input saat

yang sama juga tergantung input pada saat

yang lalu atau saat yang akan datang





  















0 0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

(

3

)

(

)

(

k n k

k

n

x

n

y

k

n

x

n

y

n

x

n

x

n

y

Memori terbatas Memori terbatas

Sistem Time-Invariant (shift-invariant) :



Hubungan antara input dan output tidak

tergantung pada waktu

)]

(

[

)

(

n

T

x

n

y



Time-invariant Time-variant

)]

(

[

)

(

n

k

T

x

n

k

y







)]

(

[

)

,

(

n

k

T

x

n

k

y





)

(

)

,

(

n

k

y

n

k

y





)

(

)

,

(

n

k

y

n

k

y





Umumnya :

Tentukan apakah sistem-sistem di bawah ini time-invariant atau time-variant

+

x(n) y(n) = x(n) - x(n-1) z - 1 - Differentiator a)

)

1

(

)

(

)

(

)

1

(

)

(

)]

(

[

)

,

(

)

1

(

)

(

)]

(

[

)

(



































k

n

x

k

n

x

k

n

y

k

n

x

k

n

x

k

n

x

T

k

n

y

n

x

n

x

n

x

T

n

y

Jawab :

)

(

)

,

(

n

k

y

n

k

y





Time-invariant  Contoh 10:

Jawab :

x

n x(n) y(n) = n x(n) Time multiplier b)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)]

(

[

)

,

(

)

(

)]

(

[

)

(

k

n

kx

k

n

nx

k

n

x

k

n

k

n

y

k

n

nx

k

n

x

T

k

n

y

n

nx

n

x

T

n

y





























)

(

)

,

(

n

k

y

n

k

y





Time-variant

Jawab : c)

)

(

)]

(

[

)

(

)

(

)]

(

[

)

,

(

)

(

)]

(

[

)

(

k

n

x

k

n

x

k

n

y

k

n

x

k

n

x

T

k

n

y

n

x

n

x

T

n

y































Time-variant T y(n) = x(-n) x(n) Folder

)

(

)

,

(

n

k

y

n

k

y





Jawab : d)

)]

(

cos[

)

(

)

(

)

cos(

)

(

)]

(

[

)

,

(

)

cos(

)

(

)]

(

[

)

(

k

n

k

n

x

k

n

y

n

k

n

x

k

n

x

T

k

n

y

n

n

x

n

x

T

n

y

o o o



























Time-variant

)

(

)

,

(

n

k

y

n

k

y





x

cos(_on) x(n) y(n) = x(n)cos(_on) Modulator

Sistem Linier :



Prinsip superposisi berlaku

)]

(

)

(

[

)

(

_{1 1 2 2} 1

n

T

a

x

n

a

x

n

y





+

x₁(n) x₂(n) y₁(n) a₁ a₂ T

)]

(

[

)]

(

[

)

(

_{1 1 2 2} 2

n

a

T

x

n

a

T

x

n

y





+

x₁(n) x₂(n) y₂(n) a₁ a₂ T T

)

(

)

(

₂ 1

n

y

n

y



Linier

Tentukan apakah sistem-sistem di bawah ini linier atau nonlinier

B

n

Ax

n

y

d

n

x

n

y

c

n

x

n

y

b

n

nx

n

y

a











)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

2 2  Contoh 11:

Sistem Kausal :



Outputnya hanya tergantung pada input

sekarang dan input yang lalu

•

x(n), x(n-1), x(n-2), …..



Outputnya tidak tergantung pada input yang

lalu

•

x(n+1), x(n+2), …..

]

),

2

(

),

1

(

),

(

[

)

(

n



F

x

n

x

n



x

n





y

Tentukan kausalitas dari sistem-sistem di bawah ini :

)

(

)

(

)

)

2

(

)

(

)

)

(

)

(

)

)

4

(

3

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

)

1

(

)

(

)

(

)

2

n

x

n

y

g

n

x

n

y

f

n

x

n

y

e

n

x

n

x

n

y

d

k

n

x

a

n

y

c

k

x

n

y

b

n

x

n

x

n

y

a

n k





























   a, b dan c kausal d, e dan f nonkausal g kausal  Contoh 12:

Sistem Stabil :



Setiap input yang terbatas (bounded input)

akan menghasilkan output yang terbatas

(bounded output)  BIBO





M

_x

n

Tentukan kestabilan dari sistem di bawah ini n

C

n

y

C

y

C

y

C

y

2 4 2

)

(

)

2

(

)

1

(

)

0

(









Jawab :

0

)

1

(

)

(

)

1

(

)

(

n



y

2

n





x

n

y





y

bila mendapat input x(n) = C (n), 1 < C < 

Tidak stabil

Hubungan Antar Sistem



_{Sistem-sistem kecil dapat digabungkan menjadi}

sistem yang lebih besar



Hubungan seri dan paralel

T₁ x(n) y(n) T₂ y₁(n)



[

(

)]



)]

(

[

)

(

)]

(

[

)

(

1 2 1 2 1 1

n

x

T

T

n

y

T

n

y

n

x

T

n

y







)]

(

[

)

(

1 2

T

y

n

T

x

n

T

T

_c







_c

2 1 1 2

T

T

T

T



Umumnya :

Sistem linier dan time-invariant :

2 1 1

2

T

T

T

+

x₁(n) y(n) y₁(n) T₂ T₁ y₂(n) Hubungan paralel :

)]

(

[

)]

(

[

)

(

)

(

)

(

n

y

₁

n

y

₂

n

T

₁

x

n

T

₂

x

n

y









)]

(

[

)]

(

)[

(

)

(

n

T

₁

T

₂

x

n

T

x

n

y







_p

)

(

T

₁

T

₂

T

_p



