Review Kuliah. Peta Karnaugh. Recall:Penyederhanaan. Peta Karnaugh

(1)

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 1 / 42

Rangkaian Logika Optimal: Peta Karnaugh dan Strategi Minimisasi

Eko Didik Widianto (didik@undip.ac.id)

Sistem Komputer - Universitas Diponegoro

Review Kuliah

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 2 / 42

• Sebelumnya dibahas sintesis rangkaian logika dari deskripsi kebutuhan

fungsinya berupa tabel kebenaran, diagram pewaktuan

◦

Implementasi dengan gerbang AND-OR (SOP) dan NAND-NAND

◦

Implementasi dengan gerbang OR-AND (POS) dan NOR-NOR

◦

Penyederhanaan ekspresi logika hasil sintesis (SOP/POS) menggunakan

prinsip-prinsip aljabar

• Selanjutnya adalah penyederhanaan menggunakan peta Karnaugh beserta

strategi minimalisasi SOP/POS. Dikenalkan fungsi dengan

don’t care

dan juga

rangkaian dengan keluaran rangkap

http://didik.blog.undip.ac.id/

Bahasan

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 3 / 42

Peta Karnaugh

Recall:Penyederhanaan

Peta Karnaugh

Grouping K-Map

K-Map 3 Variabel

Tips Grouping

K-Map 4 Variabel

K-Map 5 Variabel?

Strategi - Terminologi

Prime Implicant

Minimisasi POS

Minimisasi Ekspresi POS

Fungsi Tidak Lengkap

Rangkaian Multi-Keluaran

Peta Karnaugh

Peta Karnaugh •Recall:Penyederhanaan •Peta Karnaugh •Grouping K-Map •K-Map 3 Variabel •Tips Grouping •K-Map 4 Variabel •K-Map 5 Variabel? •Strategi - Terminologi •Prime Implicant Minimisasi POS Fungsi Tidak Lengkap Rangkaian Multi-Keluaran

(2)

Recall: Menyederhanakan Ekspresi

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 5 / 42

• Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di ekspresi

◦

SOP: menggunakan hukum 14a

(x·y+x·y=x)

◦

POS: menggunakan hukum 14b

((x+y)·

!

x+y

=x)

• Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan hukum 14a atau

14b jika berbeda hanya di satu variabel saja

f(x1, x2, x3) =x1x2x3 +x1x2x3 +x1x2x3 +x1x2x3

m

1 dan

m

5 berbeda di

x

1 , dan

m

4 dan

m

6 berbeda di

x

2

f = x1x2x3 +x1x2x3 +x1x2x3 +x1x2x3 =

!

x1 +x1

x2x3 +x1(x2 +x2)x3 = x2x3 +x1x3

f

!

x, x, x

=

!

x+x+x

!

x+x+x

!

x+x+x

!

x+x+x

M

0 dan

M

2 berbeda di

x

2 , dan

M

4 dan

M

7 berbeda di

x

1

f =

!

(x1 +x3) +x2x2

!

x1x1 +

!

x2 +x3

= (x1 +x3)

!

x2 +x3

Peta Karnaugh

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 6 / 42

• Peta Karnaugh

(K-map) menyediakan cara sistematik dan grafis untuk

mencari rangkaian SOP minimum (dan POS)

◦

Mencari minterm yang berbeda di satu variabel

◦

Menggabungkan minterm sesuai hukum 14a untuk SOP dan 14b

untuk POS

• K-map juga merupakan

alternatif

untuk menyatakan suatu fungsi logika

selain tabel kebenaran

◦

K-map disusun atas sel-sel. Satu sel, satu minterm

Grouping K-Map

• Minterm-minterm yang berdekatan

dapat dikombinasikan

karena mereka

hanya berbeda di satu variabel saja –> Grouping

• Grouping dilakukan dengan melingkari nilai ’1’ yang berdekatan

• Melingkari

dua nilai ’1’ bersama

, berarti

mengeliminasi satu term dan

satu variabel

dari ekspresi output

◦

Variabel yang dieliminasi adalah yang mempunyai perbedaan nilai di

group, vertikal/horizontal

◦

Group merah:

x

1 dieliminasi

,

Grup biru:

x

2 dieliminasi

Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel

• Sederhanakan:

f

=

P

_m

(0

,

3)

dan

f

=

P

_m

(1

,

2)

(3)

Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 8 / 42

• Sederhanakan:

f

=

P

_m

₍₀

_,

₃₎

dan

f

=

P

_m

₍₁

_,

₂₎

• f

=

P

m

(0

,

3) =

x1x2

+

x1x2

–> fungsi SOP tidak dapat

disederhanakan

• f

=

P

m

(1

,

2) =

x1x2

+

x1x2

–> fungsi SOP tidak dapat

disederhanakan

Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 9 / 42

• Sederhanakan:

f

=

P

_m

₍₀

_,

₁₎

dan

f

=

P

_m

₍₁

_,

₃₎

Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 9 / 42

• Sederhanakan:

f

=

P

_m

(0

,

1)

dan

f

=

P

_m

(1

,

3)

• f

=

P

m

(0

,

1) =

x1x2

+

x1x2

=

x1

,

x2

dieliminisi

• f

=

P

m

(1

,

3) =

x1x2

+

x1x2

=

x2

,

x1

dieliminasi

Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 10 / 42

• Sederhanakan:

f

=

P

_m

(0

,

1 ,

2)

dan

f

=

P

_m

(1

,

2 ,

3)

(4)

Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 10 / 42

• Sederhanakan:

f

=

P

_m

₍₀

_,

₁

_,

₂₎

dan

f

=

P

_m

₍₁

_,

₂

_,

₃₎

• f

=

P

m

(0

,

1 ,

2) =

x1x2

+

x1x2

+

x1x2

=

x1

+

x2

• f

=

P

m

(1

,

2 ,

3) =

x1x2

+

x1x2

+

x1x2

=

x1

+

x2

K-Map 3 Variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 11 / 42

• K-map disusun sehingga minterm yang berdekatan hanya

mempunyai perbedaan 1 variabel

x1

x2

x3

minterm

m

j

0

0 m0

=

x1x2x3

0

1 m1

=

x1x2x3

0

1

0 m2

=

x1x2x3

0

1

1 m3

=

x1x2x3

1

0

0 m4

=

x1x2x3

1

0

1 m5

=

x1x2x3

1

0 m6

=

x1x2x3

1

1 m7

=

x1x2x3

Ketentuan dan Tips Grouping

• Hanya dapat mengkombinasikan nilai 1 yang berdekatan

• Hanya dapat menggabungkan

2 n

minterm (1,2,4,8,16, dst)

• Bentuk group sebesar mungkin

• Group yang sudah dicover oleh group lain tidak perlu digabungkan

lagi

Contoh K-Map 3 Variabel

• Sederhanakan

f

=

P

_m

(0

,

1 ,

2 ,

5)

f

=

X

m

(0

,

1 ,

2 ,

5)

=

x1x3

+

x2x3

(5)

Contoh K-Map 3 Variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 14 / 42

• Sederhanakan:

f

=

P

_m

₍₁

_,

₃

_,

₅

_,

₇₎

,

f

=

P

_m

₍₀

_,

₂

_,

₃

_,

₆

_,

₇₎

Contoh K-Map 3 Variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 14 / 42

• Sederhanakan:

f

=

P

_m

₍₁

_,

₃

_,

₅

_,

₇₎

,

f

=

P

_m

₍₀

_,

₂

_,

₃

_,

₆

_,

₇₎

f

=

X

m

(1

,

3 ,

5 ,

7)

=

x3

f

=

X

m

(0

,

2 ,

3 ,

6 ,

7)

=

x2

+

x1x3

Contoh K-Map 3 Variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 15 / 42

• Sederhanakan:

f

=

P

m

(0

,

1 ,

3 ,

4 ,

5 ,

7)

dan

f

=

P

m

(0

,

1 ,

3 ,

4 ,

5 ,

6)

Contoh K-Map 3 Variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 15 / 42

• Sederhanakan:

f

=

P

m

(0

,

1 ,

3 ,

4 ,

5 ,

7)

dan

f

=

P

m

(0

,

1 ,

3 ,

4 ,

5 ,

6)

f

=

X

m

(0

,

1 ,

3 ,

4 ,

5 ,

7)

=

x2

+

x3

f

=

X

m

(0

,

1 ,

3 ,

4 ,

5 ,

6)

=

x2

+

x1x3

+

x1x3

(6)

K-Map 4 Variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 16 / 42

Bentuk K-map 4 variabel:

Contoh Grouping K-Map 4 Variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 17 / 42

• Sederhanakan

f

=

P

_m

₍₂

_,

₃

_,

₈

−

11 ,

13)

Contoh Grouping K-Map 4 Variabel

• Sederhanakan

f

=

P

_m

(2

,

3 ,

8 −

11 ,

13)

f

=

X

m

(2

,

3 ,

8 ,

9 ,

10 ,

11 ,

13)

=

x1x2

+

x2x3

+

x1x3x4

Latihan Grouping K-Map 4 Variabel

Sederhanakan fungsi 4 variabel:

• f

=

P

m

(3

−

7 ,

9 ,

11 ,

12 −

15)

• f

=

P

m

(0

−

4 ,

6 ,

9 ,

11 ,

12 ,

14)

• f

=

P

m

(0

,

2 ,

5 ,

7 ,

8 ,

10 ,

13 ,

15)

(7)

K-Map 5 Variabel?

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 19 / 42

• K-Map 6 Variabel? Tidak berguna dari sudut pandang praktis –>

butuh perangkat CAD

Strategi Minimalisasi: Terminologi

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 20 / 42

• Literal

: variabel di suatu term

◦

Contoh:

x

1 x

2 x

3 x

4 (term dg 4 literal),

x

2 x

3 (term dg 2 literal)

• Implicant: sebarang term bernilai ’1’ atau grup term bernilai ’1’ yang

dapat digabungkan di K-map

◦

minterm adalah

implicant

dasar. Untuk fungsi n-variabel, minterm

adalah

implicant

dengan n literal

• Prime Implicant: implicant yang tidak bisa digabungkan dengan

implicant lain untuk menghilangkan sebuah variabel

◦

Literal dalam prime implicant tidak dapat dihapus untuk mendapatkan

implicant

valid

• Cover: suatu koleksi implicant yang menghasilkan nilai fungsi ’1’

• Cost: jumlah gerbang ditambah jumlah total masukan ke semua

gerbang dalam rangkaian logika

Contoh Terminologi

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 21 / 42

• Terdapat

10 implicant

valid

◦

7 buah minterm

◦

1 term 3-literal (grup 2 minterm)

◦

2 term 2-literal (grup 4 minterm)

• Terdapat

3 prime implicant

◦

x

1 x

2 , x

2 x

3 , x

1 x

3 x

4 ◦

Untuk

x

1 x

2 , jika sebuah literal dihapus

menyisakan

x

1 atau

x

2

• x

1 bukan implicant valid karena

{1,1,0,0} menghasilkan

f

= 0

Contoh Terminologi: Cover dan Cost

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 22 / 42

• Cover untuk

f

=

P

m

(2

,

3 ,

8 ,

9 ,

10 ,

11 ,

13)

1. Persamaan dengan semua minterm

2. f

=

x

1 x

2 +

x

1 x

2 x

3 +

x

1 x

3 x

4 merupakan cover valid

3. f

=

x

1 x

2 +

x

2 x

3 +

x

1 x

3 x

4 merupakan cover valid yang berisi

prime implicant

• Cost untuk setiap cover: (asumsi input utama baik terinvers atau tidak

mempunyai cost 0)

1. jumlah gerbang=7+1, jumlah input semua gerbang=74+81,

total=8+28+8=44

2. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=8+3,

total=4+11=15

3. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=7+3,

total=4+10=14

• Cover yang berisi prime implicant

cenderung menghasilkan

implementasi

dengan

cost terendah

(8)

Prime Implicant: Esensial dan Non-Esensial

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 23 / 42

SOP minimum hanya mengandung prime implicant (namun tidak

semua prime implicant)

• Essential

: diperlukan untuk membentuk SOP minimum

• Nonessensial

: tidak diperlukan untuk SOP minimum (dapat dihilangkan)

• Prime implicant:

x

1 x

2 ,

x

2 x

3 ,

x

1 x

3 x

4 dan

x

2 x

3 x

4

• Esensial

:

x

1 x

2 ,

x

2 x

3 , dan

x

2 x

3 x

4

• non-esensial

:

x

1 x

3 x

4

• f

min

=

x

1 x

2 +

x

2 x

3 +

x

2 x

3 x

4 ,

x

1 x

3 x

4 dihilangkan

Contoh Prime Implicant

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 24 / 42

• Prime implicant:

x

1 x

2 ,

x

2 x

3 ,

x

1 x

2 x

3 ,

x

1 x

2 x

4 dan

x

1 x

3 x

4

• Esensial:

x

1 x

2 ,

x

2 x

3 , dan

x

1 x

2 x

3

• non-esensial:

x

1 x

2 x

4 ,

x

1 x

3 x

4 (harus dipilih

salah satu)

• f

min

=

x

1 x

2 +

x

2 x

3 +

x

1 x

2 x

3 +

x

1 x

2 x

4 x

1 x

3 x

4 Ringkasan

• SOP minimum berisi

semua prime implicant esensial

dan beberapa prime

implicant non-esensial

• Langkah menemukan rangkaian dengan cost minimum:

1. Cari semua prime implicant dari

f

2. Cari set prime implicant esensial

3. Jika set tersebut telah meng-cover semua valuation dimana

f

= 1

,

maka set ini adalah cover dari

f

yang diinginkan. Jika tidak, tentukan

prime implicant non-esensial yang harus ditambahkan agar minimum

• Menentukan prime implicant non-esensial?

heuristik

(mencoba semua

kemungkinan untuk mendapatkan cover dengan cost minimum)

Latihan di Rumah

• Cari semua prime implicant dari

f

• Cari set prime implicant esensial

• Cari cover dengan cost terendah dari

semua kombinasi prime implicant

non-esensial

(9)

Minimisasi POS

Peta Karnaugh

Minimisasi POS •Minimisasi Ekspresi POS Fungsi Tidak Lengkap Rangkaian Multi-Keluaran

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 27 / 42

Minimisasi Ekspresi POS

Peta Karnaugh Minimisasi POS •Minimisasi Ekspresi POS Fungsi Tidak Lengkap Rangkaian Multi-Keluaran

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 28 / 42

• Menggunakan prinsip dualitas

• K-map dapat langsung dibentuk baik dari ekspresi

P

_m

maupun

Q

_M

• Shortcut:

◦

Maxterm mempunyai valuasi fungsi ’0’

◦

Grouping Maxterm sebesar mungkin

◦

Bentuk persamaan POS dari set Maxterm minimum

• Prinsip prime implicant esensial berlaku? bisa, dengan

pengertian implicant adalah Maxterm atau group Maxterm

POS Minimal dari

P

_m

atau

Q

_M

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 29 / 42

Diberikan

:

f

=

P

m

(0

,

1 ,

2 ,

5)

f

=

X

m

(0

,

1 ,

2 ,

5)

=

(

x

1 +

x

3) (

x

2 +

x

3) ;

P OS

=

x

1 x

3 +

x

2 x

3;

SOP

=

Y

M

(3

,

4 ,

6 ,

7)

Diberikan

:

f

=

Q

_M

₍₁

_,

₄

_,

₅₎

f

=

Y

M

(1

,

4 ,

5)

=

(

x

1 +

x

2 ) (

x

2 +

x

3 ) ;

P OS

=

x

2 +

x

1 x

3;

SOP

=

X

m

(0

,

2 ,

3 ,

6 ,

7)

POS 4-Variabel Minimal

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 30 / 42

f

=

X

m

(2

,

3 ,

8 ,

9 ,

10 ,

11 ,

13)

=

Y

M

(0

,

1 ,

4 ,

5 ,

6 ,

7 ,

12 ,

14 ,

15)

• Prime implicant:

x

1 +

x

3 ,

x

2 +

x

3 ,

x

2 +

x

4 dan

x

1 +

x

2

• Esensial:

x

1 +

x

3 ,

x

2 +

x

3 , dan

x

2 +

x

4

• non-esensial:

x

1 +

x

2 (biru)

• f

min

= (

x

1 +

x

3 ) (

x

2 +

x

3 ) (

x

2 +

x

4 )

(10)

Latihan di Rumah

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 31 / 42

• Persamaan POS

• Cari semua prime implicant dari

f

• Cari set prime implicant esensial

• Cari cover dengan cost terendah dari

semua kombinasi prime implicant

non-esensial

Fungsi Tidak Lengkap

Peta Karnaugh Minimisasi POS Fungsi Tidak Lengkap •Fungsi Tidak Lengkap Rangkaian Multi-Keluaran

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 32 / 42

Fungsi Tidak Lengkap

• Dalam sistem digital, sering terjadi beberapa kondisi input yang tidak

akan pernah terjadi

• Kombinasi input seperti itu disebut kondisi

don’t care

• Dalam desain rangkaian, kondisi don’t care dapat diabaikan

(keluaran untuk kondisi tersebut dapat diberikan 0 atau 1 di tabel

kebenaran)

• Fungsi yang mengandung kondisi don’t care disebut fungsi yang

dispesifikasikan tidak lengkap (incompletely specified)

Contoh Don’t Care

x

1

x

2

x

3

f

0

1

0

1

0

1

0 d

0

1

1 d

1

0

1

0

1

0

1

0

• Asumsi fungsi 3 variabel. Kombinasi

masukan

x1x2

= 01

tidak pernah terjadi,

selebihnya

f

=

P

_m

(1

,

4 ,

5 ,

6)

f

=

P

_m

(1

,

4 ,

5 ,

6) +

D

(2

,

3); atau

f

=

Q

_M

₍₀

_,

₇₎

· D

(2

,

3)

(11)

Contoh Don’t Care 4 variabel

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 35 / 42

• SOP:

f

=

P

_m

₍₂

_,

₄

_,

₅

_,

₆

_,

_{10) +}

_D

₍₁₂

_,

₁₃

_,

₁₄

_,

₁₅₎

• POS:

f

=

Q

_M

₍₀

_,

₁

_,

₃

_,

₇

_,

₈

_,

₉

_,

₁₁₎

· D

(12

,

13 ,

14 ,

15)

• SOP:

f

min

=

x

2 x

3 +

x

3 x

4 , POS:

f

min

= (

x

2 +

x

3) (

x

3 +

x

4)

• Jika don’t care tidak disertakan: misalnya menganggap nilainya selalu 0

◦

SOP:

f

=

x

1 x

2 x

3 +

x

1 x

3 x

4 +

x

2 x

3 x

4 ◦

POS:

f

= (

x

2 +

x

3) (

x

3 +

x

4) (

x

1 +

x

2)

◦

Cost mungkin lebih tinggi

Rangkaian Multi-Keluaran

Peta Karnaugh

Minimisasi POS Fungsi Tidak Lengkap Rangkaian Multi-Keluaran •Rangkaian Multi-Keluaran

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 36 / 42

Rangkaian dengan Banyak Keluaran

Peta Karnaugh Minimisasi POS Fungsi Tidak Lengkap Rangkaian Multi-Keluaran •Rangkaian Multi-Keluaran