Masalah Pencarian Kapal Selam
Sebuah kapal perusak menunjukan kapal selam lawan di permukaan air d mil jauhnya. Untuk dapat melarikan diri dari pengejaran, kapal selam tersebut menyelam dalam kecepatan penuh ke arah garis lurus. Walaupun kapal perusak tau kalau kapal selam tersebut berjalan ke arah garis lurus, tapi tidak diketahui garis lurus mana yang dituju. Kapal selam tersebut mencari permasalahan yang terdiri dari menemukan sebuah jalan yang seharusnya diikuti kapal perusak tersebut yang akan meyakinkan bahwa kapal tersebut akan secara langsung mendahului kapal selam tersebut, di anggap bahwa kecepatan �� dari kapal perusak tersebut lebih besar dari pada kecepatan kapal selam. Pemikirannya adalah bahwa suatu saat kapal perusak tersebut akan mendahului kapal selam itu, hal ini dapat di deteksi dengan peralatan sonar.
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat memilih titik mula ketika kapal selam tersebut pertama kali terditeksi dan untuk mengukur waktunya sekaligus.
Pertama kali kita mengobservasi bahwa sejak kapal selam telah pergi dari garis lurus tersebut dengan kecepatan konstan � , lalu setelah waktu t kapal selam tersenut akan berada di suatu tempat pada lingkaran jari-jari � �. Karena jika kapal perusak tersebut mengikuti jalan sepiral mengelilingi titik dimana kapal selam tersebut pertama kali terditeksi oleh karena itu jarak antara titik itu selalu � �, lalu pada beberapa saat sebelum satu sepiral lengkap dilengkapi, kapal perusak tersebut akan terletak di atas kapal selam tersebut. Pastinya, sebelum kapal perusak tersebut dapat memulai jalan sepiral ini, pertama kali yang harus dicapai adalah titik dimana jarak dari titik awalnya sama dengan jarak kapal selam dari titik awal. Tapi hal ini terjadi ketika jarak ��� kapal perusak berjalan sesuai denagan − � � or
��t = − � �
Penyelesaian Pers. (5) dan menentukan solusinya � , kita memiliki
� =
� ��+ ��
Dalam kata lain, sejak waktu � kapal perusak tersebut melanjutkan penjelajahannya lurus ke arah dimana kapal selam tersebut terditeksi. Setelah (5)
waktu � kapal peselam itu memulai pencarian sepiralnya. Tujuan kedepannya adalah untuk menemukan jalur spiralnya, dimana memiliki bentuk umum dalam koordinat polar.
x = r(t) cos �(t) y = r(t) sin �(t)
Untuk menemukan r(t) dan �(t), kita menggunakan fakta bahwa kecepatan kapal perusak �� dapat ditulis sebagai
√
��
+
�
�
= �
�Masukan dx/dt dan dy/dt yang ditentukan dari Pers. (7) ke Pers. (8), kita temukan setelah penyerdehanaan kecil
√�
���+
�� = ��Sejak kapal perusak harus berada pada lingkarn yang sama dengan kapal selam itu, kita dapat menulisnya
�
�
= �
orr = � �
Masukkan nilai-nilai tersebut dalam Pers. (9) dan menyelesaikan untuk d�/dt, kita mempunyai
��
�
=
�� − �� ��
Menyelesaikan persamaan differensial tersebut dengan syarat awal � � = , kita temukan
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
� � = √
�� −����
ln
� �
Akhirnya, masukkan nilai-nilai r(t) dari Pers. (11) dan �(t) dari Pers.(13) kedalam Pers. umum spiral (1), kita temukan alur spiral
� = � � cos √�� �− � ln (�)
(t ≥ � )
� = � � sin √�� �− � ln (�)
dimana � = d/(�� + � ). Lihat Gamabar 2.31.
Cara ini juga akan berguna untuk menentukan bentuk polar dari r = r(�) dari alur spiral yang tidak akan tergantung pada t. Ini dapat dilakukan dengan membuat perubahan dalam variable
�� �
=
�� �
�
�
= �
�� �Dan menulis ulang Pers. (13) dalam hal r dan �. Masukan r = � � dan d�/dt di temukan dari Pers. (14) ke dalam Pers. (13), kita sampai pada
�
���= √
�� −�� ����
Menyelesaikan persamaan diferensial untuk � � dengan syarat awal
�(� � ) = 0 memberikan
� � = √
�� −����
ln
��Akhirnya, menemukan persamaan ini untuk r ke �, kita temukan spiral bersifat eksponen
(13)
(14)
(15)
(16)
r = � � �� dimana
k =
√
�� �� −��Catatan: kita telah menentukan cara bahwa kapal perusak tersebut seharusnya mengikuti
kapal selam itu; kita belum menentukan kapan kapal perusak tersebut akan berada di atas
kapal selam itu. Kita hanya mengakui bahwa kadang-kadang sebelum satu putaran penuh, kapal perusak tersebut akan berada secara langsung diatas kapal pesiar tesebut, tidak lebih. Diharapkan, peralatan sonar dari kapal perusak itu akan dapat menditeksi kapan kapal perusak itu bearada di atas kapal selam.
Contoh 1:
Memburu Kapal Selam: Sebuah system radar kapal perusak menditeksi keberadaan kapal selam 6 mil jauhnya. Kapal selam tersebut segera menyelam dan dalam kecepatan penuh dalam arah yang tidak diketahui. Captain kapal perusak tersebut mengetahui bahwa kecepatan paling kapal selam tersebut adalah � = 15 mph dan bahwa kapal perusak tersebut memiliki kecepatan penuh �� = 45 mph. Dengan informasi tersebut, strategi apa yang digunakan sang captain untuk menangkap kapal selam tesebut?
Solusi: kita menyelesaika maslah ini dengan dua langkah.
Langkah 1 (Ketika Memulai Pencarian Spiral)
Pertama kali kita menghitung waktu � ketika kapal selam tesebut memulai pencarian spiralnya. Kita mempunyai
� = � + ��
=
+= .10 jam (6 menit)
Dalam kata lain, sang captain melanjutkan menambah tenaga penuh ketika kapal selam itu terlihat selama 6 menit. Pada saat itu juga pencarian spiral dimulai.
(18)
Langkah 2 (Menemukan Persamaan Spiral Tersebut)
Sejak kita menyelesaikan permasalahan umum itu lebih awal, kita tahu subtitusi sederhana � , �� dan � ke dalam persamaan spiral (11). Kita temukan posisi yang diinginkan (x,y) dari kapal perusak itu setelah t jammenjadi
� = � � cos √
�� − �� ��ln
= 5� cos(√8 ln � ) (t 0.10 hr)
� = � � sin √
�� −�� ��ln
= 5� sin(√8 ln � ) t . hr
Grafik dari spiral ini di tunjukan pada Gambar 2.32.
Kita juga dapat menemukan r dalam � dengan menggunakan Pers. (18). Kita mendapatkan
� = � � ��
= ,5 �/√8 (0 �
Catatan: tentunya, jika spiral tersebut “terbuka” sangat cepat, sehingga akan kapal perusak tersebut akan lebih lama dalam melengkapai putaran sempurna, dan kapal selam tersebut akan lari ke pelabuhan yang aman sebelum ditangkap. Hal ini terjadi ketika kecepatan kapal perusak tersebut sedikit lebih besar daripada kapal selam tersebut. Dapat disadari juga bahwa Sang Captain kapal selam tersebut tidak harus mengikuti jalur lurus atau perjalanan dalam kecepatan penuh dan menggunakan strategi penghindaran yang lebih canggih.
(20a)
(20b)
