PROGRAM LINIER
1. Menggambar Garis
Contoh:
Gambarlah garis dengan persamaan a) y = 2x + 4
b) 2x +y = 6 c) -2x+3y = 6
Jawab: a) y = 2x + 4
Dicari titik potong dengan sumbu-sumbunya:
Sumbu Y = 2x - 4
x 0 2
y -4 0
Titik potong (0,-4) (2,0)
b) 2x + y = 6
Dicari titik potong dengan sumbu-sumbunya:
Sumbu 2x + y = 6
x 0 3
y 6 0
Titik potong (0,6) (3,0)
c) -2x + 3y = 6
Dicari titik potong dengan sumbu-sumbunya:
Sumbu -2x + 3y = 6
x 0 -3
y 2 0
Titik potong (0,2) (-3,0)
2. Menggambar Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan.
Contoh 1
a) Gambarlah garis 2x + 3y = 12
b) Gambarlah Daerah Penyelesaian pertidaksamaan berikut: 2x + 3y 12
Jawab:
a) 2x + 3y = 12
Titik potong dengan sumbu-sumbunya adalah:
Sumbu 2x + 3y = 12
x 0 6
y 4 0
Titik potong (0,4) (6,0)
b) Gambar daerah penyelesaiannya sbb: Perhatikan:
Garis 2x + 3y = 12 membagi bidang koordinat menjadi 2 bagian yaitu di atas dan di bawah
garis.Ternyata diperoleh:
- Titik-titik yang terletak pada garis memenuhi persamaan 2x + 3y = 12
- Titik-titik yang terletak di atas garis
memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y > 12, dan - Titik-titik yang terletak di bawah garis
memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y < 12 Jadi daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y 12 adalah daerah dibawah dan
pada garis 2x + 3y = 12
Catatan: y
O
x O •
• -4
2
y= 2x + 4
3 • 6
O •
2x +y = 6
x O
y
O xO •
•
2 -2x + 3y = 6
-3
y O
x O •
• 4
2x + 3y = 12
Biasanya Daerah Penyelesaian(DP) dibiarkan bersih dan yang diarsir dagian yang tidak memenuhi.
Contoh 2:
a) Gambarlah garis x + 2y = 4
b) Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan x + 2y 4
(Kerjakan sendiri sebagai latihan)
3. Menggambar Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan.
Contoh 1:
Gambarlah Daerah Penyelesaian sistem pertidaksamaan
6 3y
x
4 y
x
0 y
, 0 x
Jawab:
Gambar dahulu garis x + y = 4 dan x + 3y = 6 Titik potong dengan sumbu-sumbunya adalah:
Sumbu x + y = 4 x 0 4 y 4 0 Ttk
potong
(0,4) (4,0)
Sumbu x + 3y = 6 x 0 6 y 2 0 Ttk
potong
(0,2) (6,0)
Penyelesaian dari x0 adalah daerah
sebelah kanan dan pada sumbu y ( sebelah kiri diarsir)
Penyelesaian dari y0 adalah daerah di
atas dan pada sumbu x (di bawah sumbu x diarsir.
Penyelesaian dari x + y 4 adalah
daerah di bawah dan pada garis x + y = 4 ( di atas garis diarsir )
Penyelesaian dari x + 3y 6 adalah
daerah dibawah dan pada garis x + 3y =6 (diatas garis diarsir)
Titik potong kedua garis dicari dengan cara penyelesaian sistim persamaan linier: Dengan eliminasi :
3,1
potongnya ttk
J ax dix12yy 431 2 6
3y
x y 4 x 3y 6 x y 4 x
Darah penyelesaiannya adalah daerah yang bersih.
Contoh 2:
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari
48 72 3
0 ,
0
y x
y x
y x
Jawab:
Gambar dahulu garis 3x + y = 72 dan x + y = 48 Titik potong dengan sumbu-sumbunya adalah:
Sumbu 3x + y = 72 x 0 24 y 72 0 Ttk
potong
(0,72) (24,0)
Sumbu x + y = 48 x 0 48 y 48 0 O
x O •
• 4
2x + 3y = 12
• y
DP
• • • •
• • • • • • •
•
O 4
4 2
6 (3,1)
x y
x + y = 4
x + 3y = 6
DP
• • • •
• • • • • • •
•
O 4
4 2
6 (3,1)
x y
x + y = 4
x + 3y = 6
Ttk potong
(0,48) (48,0)
Catatan:
Persamaan Garis yang melalui titik (0,a) dan (b,0) adalah ax + by = ab
Contoh 3:
Tentukan sistim pertidaksamaan yang mempunyai daerah penyelesaian berikut.
Jawab:
Dicari dahulu persamaan garis g1 dan g2 - Garis g1 melalui (0,3) dan (9,0) maka persamaannya 3x + 9y = 27 atau x + 3y = 9 - Garis g2 melalui (0,6) dan (3,0) maka persamaannya 6x + 3y = 18 atau 2x + y = 6 DP terletak disebelah kanan dan pada sumbu x maka x 0
DP terletak diatas dan pada sumbu y maka
0
y
DP terletak diatas dan pada g1 maka
27 3 y
x
DP terletak diatas dan pada g2 maka
6 2xy
Jadi sistim pertidaksamaannya adalah
Soal latihan:
Gambarlah daerah penyelesaian sistim pertidaksamaan sebagai berikut :
6. Tentukan sistem pertidaksamaan dengan daerah penyelesaian berikut:
.
7.
4. Maksimum atau Minimum Dalam Daerah Penyelesaian
Jika pada suatu daerah penyelesaian ditentukan nilai L dan misalkan L = 2x+y maka harga L ini akan berubah-ubah tergantung harga x dan y yang disubstitusiksn padanya.
Fungsi L ini biasa disebut fungsi obyektif. Harga maksimum atau minimum dari L ini biasanya terjadi diujung-ujung daerah penyelesaian atau titik-titik disekitarnya (jika koordinat titik potongnya pecahan)
Contoh:
Jika P = x + y dan Q = 5x + 2y maka tentukan harga Pmak dan Qmak pada daerah penyelesaian sistim pertidaksamaan
potong
Sumbu 2x + y = 12 x 0 6 y 12 0 Ttk
potong
(0,12) (6,0)
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah OABC.
Harga dari P dan Q terlihat pada tabel berikut:
Titik O A B C x 0 6 4 0 y 0 0 4 6 P = x + y 0 6 8 6 Q = 5x + 2y 0 30 28 42
Terlihat bahwa Pmak = 8 dan Qmak = 42
5. Model Matematika dan Penyelesaian Soal Program Linier
Contoh 1:
Seorang tukang roti akan membuat 2 jenis roti. Roti jenis A membutukan terigu 200 gram dan mentega 25 gram. Roti jenis B membutuhkan terigu 100 gram dan mentega 50 gram tiap biji. Apabila hanya tersedia terigu 3 kg dan mentega 1,2 kg, sedangkan bahan lain pembuat roti cukup, tentukan berapa roti jenis A dan B harus dibuat agar jumlahnya maksimum dan berapa jumlah maksimum tersebut?
Jawab:
Untuk menyelesaikan soal tersebut dengan matematika, pertama-tama haruslah kita terjemahkan soal tersebut dalam bahasa matematika. Hal ini biasa disebut dengan membuat model matematika, yaitu membentuk sistim pertidaksamaan.
Biasanya hal-hal yang ditanyakan dinyatakan dengan x dan y.
Untuk soal tersebut menjadi sebagai berikut:
Misal: roti jenis A dibuat x buah dan roti jenis B dibuat y buah
* Banyak terigu yang digunakan adalah ( 200x + 100y) gram, sedangkan hanya tersedia 300 gram.
Sehingga diperoleh hubungan 200x + 100y 3000 atau
2x + y 30
* Banyak mentega yang digunakan adalah (25x + 50y) gram, sedangkan hanya tersedia 1200 gram.
Sehingga diperoleh hubungan
25x + 50y 1200, atau x + 2y 48.
* Bilangan x dan y menyatakan banyaknya roti, sehingga x dan y adalah bilangan bulat yang tidak negatif.
Atau x0 dan y0, x,y
B.Dari soal tersebut dapat dibentuk sistem pertidaksamaan:
48 2y
x
30 y
2x
0 y
0, x
* Persoalannya adalah menentukan harga x dan y sehingga jumlahnya yaitu x + y maksimum pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:
48 2y
x
30 y
2x
0 y
0, x
Digambar garis 2x + y = 30 dan x + 2y = 48.
2x + y = 30 x 0 15 y 30 0 Ttk
potong (0,30) (15,0)
x + 2y = 48 x 0 48 y 24 0 Ttk
potong (0,24) (48,0)
Gambar DP y
x + 2y = 12
• • • •
• • • • •
12
x A(6,0)
6 12
•B(4,4)
O • •
DP
2x + y = 12
• • •
Koordinat titik B dicari sebagai berikut
Harga dari x + y terlihat pada tabel berikut:
Titik O A B C x 0 15 4 0 y 0 0 22 24 x + y 0 15 26 24
Jadi jumlah roti maksimum yang dapat dibuat adalah 26 buah, terjadi jika jenis A dibuat 4 dan jenis B dibuat 22.
Contoh 2:
Suatu agen sepeda ingin membeli sepeda federal dan sepeda biasa untuk dijual kembali.
Sepeda federal dengan harga Rp 400.000 dan sepeda biasa dengan harga Rp 300.000 tiap buah. Karena keterbatasan gudang agen tersebut tidak akan membeli lebih dsri 25 buah dan tidak akan mengeluarkan uang (membayar) lebih dari Rp 8.400.000 .
Apabila keuntungan untuk sepeda federal Rp 60.000 dan untuk sepeda biasa Rp 50.000 tiap buah, tentukan banyak sepeda biasa dan sepeda federal yang harus dibeli agar keuntungannya maksimum dan berapa keuntungan maksimum tersebut?
Jawab:
Misal sepeda federal dibeli x buah dan sepeda biasa dibeli y buah
Jumlah harga = 400000 x + 300000 y = 100000 (4x + 3y) Uang yang tesedia = 8400000 Sehingga diperoleh:
100000(4x + 3y)8400000 atau
4x + 3y 84
Jumlah sepeda yang dibeli = x + y tidak akan lebih dari 25
Sehingga diperoleh x + y 25
x dan y menyatakan jumlah sepeda sehingga x
0 dan y0 dengan x,y
B.Sehingga diperoleh sistem pertidaksamaan
Keuntungan yang diperoleh adalah 60000 x + 50000y atau
10000(6x + 5y)
Persoalannya mencari keuntungan yaitu 10000( 6x + 5y ) maksimum dengan sarat
(0,28) (22,0)
x + y = 25 x 0 25 y 25 0 Ttk
potong
(0,25) (25,0)
Koordinat titik potong
9
Jadi B(9,16)
Harga 6x+5y dalam daerah penyelesaian terlihat pada tabel berikut:
Titik O A B C x 0 22 9 0 y 0 0 16 25 6x + 5y 0 132 134 125
Jadi keuntungan maksimum 10000 x 134 =Rp1.340.000, terjadi jika sepeda federal dibeli 9 buah dan sepeda biasa 16 buah.
1. Suatu pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 penumpang dan kapasitas bagasi 1440 kg. Pesawat tersebut akan disusun dalam dua kelas, yaitu kelas Utama dan kelas Ekonomi. Setiap penumpang kelas Utama boleh membawa barang maksimal 60 kg sedangkan dan untuk setiap kelas Ekonomi boleh membawa barang maksimal 20 kg. Apabila tiket untuk kelas Utama adalah Rp 1.000.000,- dan tiket kelas ekonomi adalah Rp 500.00,- tentukan banyak kelas Utama dan Ekonomi yang disusun agar diperoleh pendapatan yang maksimum dan berapa pendapatan maksimum tersebut?
2. Seorang penjahit memiliki 30 m wol dan 20 m katun. Ia akan membuat setelan jas dan rok untuk dijual. 1 stel jas memerlukan 3 m wol dan 1 m katun sedangkan 1 stel rok memerlukan 1 m wol dan 2 m katun.
Berapa setelan jas dan rok yang harus dibuat agar mendapat untung yang sebanyak-banyaknya jika untung 1 stel jas adalah Rp 50.000,- dan untung 1 stel rok adalah Rp 25.000,-?
3. Suatu rombongan olahraga yang terdiri dari 60 orang pria akan menginap di suatu penginapan. Penginapan tersebut menyediakan 2 tipe kamar. Kamar tipe A dapat ditempati 5 orang dengan tarif sewa Rp 120.000,- sedangkan tipe B dapat ditempati 3 orang dengan tarif sewa Rp 80.000,- per hari. Pemilik penginapan tersebut menghendaki rombongan harus menyewa paling sedikit 16 kamar.
Berapa kamar tipe A dan tipe B yang harus disewa agar tarif uang sewa minimum dan berapa tarif sewa minimum itu?
4. Luas suatu tempat daerah parkir khusus kendaraan roda empat adalah 360 m2. Luas yang diperlukan oleh sebuah sedan adalah 6 m2, sedangkan luas yang diperlukan oleh sebuah bus truk adalah 24 m2. Tempat parkir tersebut tidak boleh memuat lebih dari 30 kendaraan.
Apabila biaya parkir adalah Rp 10.000,-untuk bus dan Rp 5.000,- 10.000,-untuk sedan, tentukanlah pendapat maksimum yang diperoleh!
5. Suatu pabrik akan mengirim barang produksinya dengan menggunakan 21 kotak A yang berukuran sedang dan 24 kotak B yang berukuran besar. Pabrik tersebut menyewa beberapa truk dan mobil pick up. Setiap truk dapat memuat 3 kotak A dan 12 kotak B, sedangkan setiap mobil pick up dapat memuat 9 kotak A dan 6 kotak B. Jika ongkos untuk 1 truk adalah Rp 450.000,- dan untuk 1 mobil pick up adalah Rp 300.000,-, tentukan banyak truk dan mobil pick up yang harus disewa agar
