Distribusi Frekuensi dan Contoh Soal

RESUM MATERI

DISTRIBUSI FREKUENSI DAN HIMPUNAN PELUANG

Nama : Syaifudin Zuhri NIM : 201210370311221

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

DISTRIBUSI FREKUENSI

1. Pengertian Distribusi Frekuensi

Adalah pengelompokkan data ke dalam beberapa kategori yang menunjukkan banyaknya data dalam setiap kategori, dan setiap data tidak dapat dimasukkan ke dalam dua atau lebih kategori. Distribusi frekuensi adalah susunan data dalam bentuk tunggal atau kelompok menurut kelas-kelas tertentu dalam sebuah daftar. Tujuan distribusi frekuensi ini yaitu :

a. Memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami, dan dibaca sebagai bahan informasi.

b. Memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, grafik.

2. Jenis-Jenis Distribusi Frekuensi a. Distribusi frekuensi tunggal

Distribusi frekuensi tunggal merupakan urutan tiap-tiap skor, satuan-satuan unit dalam suatu data tertentu.

b. Distribusi frekuensi kelompok

Digunakan untuk data yang banyak jumlahnya. Karena data tidak lagi setiap skor tetapi dikelompokkan pada interval tertentu.

3. Distribsi Komulatif dan Proporsi a. Distribusi frekuensi tunggal

Kumulasi frekuensi adalah jumlah frekuensi untuk sejumlah data, baik secara keseluruhan atau sebagian. Bentuk kumulasi frekuensi ada dua yaitu kumulasi ke bawah (kumulasi dari data terkecil secara bertahap ke data yang terbesar) dan kukulasi ke atas (kumulasi yang dihitung mulai dari data terbesar secara bertahap ke data yang terkecil).

b. Distribusi frekuensi proporsi

Proporsi data diperoleh dari pembagian frekuensi suatu data dengan frekuensi total. Proporsi dapat berbentuk pecahan diantara 0 sampai 1 dan juga berbentuk persentase dari 0% sampai 100%.

4. Langkah-Langkah Menyelesaikan Distribusi Frekuensi

a. Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar atau sebaliknya. Tujuannya untuk memudahkan dalam melakukan penghitungan pada langkah ketiga.

b. Membuat kategori atau kelas yaitu data dimasukkan ke dalam kategori yang sama, sehingga data dalam satu kategori mempunyai karakteristik yang sama.

Berikut dalah cara menyusun distribusi frekuensi menurut (Sturgess: 1986): a. Menentukan Jumlah Kelas (K)

Rumus :

b. Menghitung Range (R) Rumus :

R = Nilai Tertinggi – Nilai Terendah c. Menentukan Panjang Kelas

Rumus : i = R / K

dimana : R = Range

K = Jumlah Kelas

5. Penyajian Data/Grafik

Data yang sudah dikelompokkan dalam bentuk table distribusi frekuensi dapat disajikan dalam bentuk grafik supaya menjadi lebih menarik dan informative.

a. Batas kelas dalam suatu interval kelas atau kategori terdiri dua macam yaitu : - Batas kelas bawah (lower class limit) yaitu nilai terendah dalam suatu interval

kelas.

- Batas kelas atas ( upper class limit) yaitu nilai tertinggi dalam suatu interval kelas.

b. Nilai tengah kelas adalah tanda atau penciri dari suatu interval kelas dan merupakan suatu angka yang dapat dianggap mewakili suatu interval kelas. Nilai tengah kelas letaknya berada ditengah-tengah pada setiap interval kelas. Nilai tengah kelas diperoleh dengan menjumlahkan batas bawah dan batas atas kelas kemudian dibagi 2.

c. Nilai tepi kelas (class boundaries) adalah nilai batas antara kelas (border) yang memisahkan nilai antara kelas satu dengan kelas lainnya. Nilai tepi kelas diperoleh dari penjumlahan nilai atas kelas dengan nilai bawah kelas diatasnya dan kemudian dibagi dua. Nilai tepi kelas ada dua macam nilai tepi kelas bawah (lower class boundaries) dan nilai tepi kelas atas (upper class boundaries).

d. Frekuensi kumulatif menunjukansebera[a besar jumlah frekuensi pada tingkat kelas tertentu. Frekuensi kumulatif diperoleh dengan menjumlahkan frekuensi pasa kelas tertentu dengan frekuensi kelas selanjutnya.Frekuensi kumulatif dibedakan dalam dua bentuk yaitufrekuensi kumulatif kurang dari yang merupakan penjumlahan dari mulai frekuensi kelas terendah sampai kelas tertinggi dan jumlah akhirnya merupakan jumlah data (n). frekuensi kumulatif lebih dari merupakan pengurangan dari jumlah.

Sedangkan dalam pemuatan grafiknya dapat dilakukan dengan macam-macam grafik yang ada, namun yang sering digunakan adalah :

a. Histogram b. Poligon dan c. Ogive

6. Ukuran Nilai Pusat

Merupakan ukuran data yang dapat mewakili data secara keseluruhan. Berikut adalah macam-macam ukuran nilai pusat :

1. Rata Hitung (Mean)

Adalah nilairata-rata dari data yang ada (tersedia). Rumus : a. Data Tnggal

b. Data Berkelompok

2. Rata Ukur Geometrik

Rata-rata ukur (geometrik) adalah rata-rata yang diperoleh dengan mengalikan semua data dalam suatu kelompok sampel, kemudian diakarpangkatkan dengan jumlah data sampel tersebut. Rumus :

a. Data Tunggal

kemudian dicari antilog dari G. b. Data Berkelompok

kemudian dicari antilognya.

3. Rata Harmonis

Rata-rata harmonik (harmonic average) adalah rata-rata yang dihitung dengan cara mengubah semua data menjadi pecahan, dimana nilai data dijadikan sebagai penyebut dan pembilangnya adalah satu, kemudian semua pecahan tersebut dijumlahkan dan selanjutnya dijadikan sebagai pembagi jumlah data. Rata-rata harmonik ini sering disebut juga dengan kebalikan dari rata-rata hitung (aritmatik). Rumus :

a. Data Tunggal

4. Modus

Modus (mode) adalah penjelasan tentang suatu kelompok data dengan menggunakan nilai yang sering muncul dalam kelompok data tersebut. Rumus: a. Data Tunggal

Untuk data tunggal, kita dapat mencari modus dengan mengaamati data yang ada, dimana kita amati mana data yang paling sering muncul, berarti itulah modusnya. Modus dari sebuah data juga lebih dari satu modus. b. Data Berkelompok

Diman :

5. Median

Median adalah nilai tengah dari data yang telah disusun berurutan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Rumus mencari median :

a. Data Tunggal

- Untuk jumlah data ganjil

- Untuk Jumlah data genap

Keterangan : Me = Median n = jumlah data x = nilai data b. Data Berkelompok

Keterangan : Me = median

xii = batas bawah median n = jumlah data

fkii = frekuensi kumulatif data di bawah kelas median fi = frekuensi data pada kelas median

6. Kuartil

Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi data yang telah diurutkan ke dalam 4 bagian yang sama besar.

a. Data Tunggal

b. Data Berkelompok

7. Desil

Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi data yang telah diurutkan ke dalam 10 bagian yang sama besar.

a. Data Tunggal

Contoh pada d1 dan d9

8. Persentil

Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi data yang telah diurutkan ke dalam 100 bagian yang sama besar.

a. Data Tunggal

b. Data Berkelompok

9. Rentang Antar Kuartil (RAK)

Rentang antar kuartil didapat dari selisih antara nilai kuartil teratas (Q3) dan kuartil terbawah (Q1). Nilainya tidak terpengaruh oleh nilai ekstrim.

Rumus :

RAK = Q3 - Q1

10.Simpangan Kuartil (SK)

Nilai setengah dari selisih antara kuartil teratas dan terbawah. Rumusnya adalah :

Rumus : SK = ½ (Q3 - Q1)

11.Simpangan Rata-Rata (SR)

Simpangan rata-rata merupakan suatu simpangan nilai untuk observasi terhadap rata-rata. Simpangan rata-rata adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi dibagi dengan banyaknya data. a. Data Tunggal

b. Data Berkelompok

n X -X SR

 

f X -X f SR

12.Simpangan Baku

Simpangan Baku/deviasi baku sering digunakan untuk menyatakan derajat dispersi (penyebaran). Simpangan baku merupakan ukuran penyebaran yang paling baik, karena menggambarkan besarnya penyebaran tiap-tiap unit observasi.

Rumus :

13.Varians

Varians adalah rata – rata dari simpangan kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitung.

Rumus :

14.Koevisien Variasi

Koefisien variasi adalah perbandingan antara simpangan standar dengan nilai rata-rata yang dinyatakan dengan persentase. Koefisien variasi berguna untuk melihat sebaran data dari rata-rata hitungnya.

Rumus :

%

100

x

HIMPUNAN PELUANG (Probabilitas)

1. Probabilitas dan Kejadian a. Konsep Probabilitas

- Banyaknya kejadian yang sulit diketahui dengan pasti.

- Akan tetapi kejadian tersebut dapat kita ketahui akan terjadi dengan melihat fakta-fakta yang ada.

- Dalam statistika fakta-fakta tersebut digunakan untuk mengukur derajat kepastian atau keyakinan yang disebut dengan Probabilitas atau Peluang dan dilambangkan dengan P.

b. Karakteristik Probabilitas

- Probabilitas dapat diartikan sebagai kemungkinan (likelihood) terjadinya suatu kejadian (event) relatif terhadap kejadiannya lainnya. Dalam arti, dapat terjadi lebih dari satu kejadian.

- Secara kuantitative, probabilitas adalah pengukuran numerik terhadap kemungkinan terjadinya suatu kejadian dalam rangkaian alternatif kejadian yang akan dapat terjadi.

c. Perumusan Probabilitas

Bila kejadian E terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dimana masing-masing n cara tersebut mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian E adalah :

2. Kejadian dan Rangkaian Kejadian a. Bilangan Faktorial

Bilangan faktorial ditulis n! Rumus :

n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1 dimana : 0! = 1 dan 1! = 1 b. Permutasi

Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut. Permutasi ditulis dengan P.

Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil sebanyak r, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat adalah :

 

n

m

E

P



 

n,r

n!

P =P

n-r !

Bila himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama, maka banyak permutasi yang dapat dibuat adalah :

dimana n1+n2+n3+…+nk = n

c. Kombinasi

Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut. Kombinasi ditulis dengan C.

Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil sebanyak r, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat adalah :

3. Ruang Sampel dan Kejadian a. Difinisi Penting

- Ruang sampel (sample space) adalah himpunan yang unik dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan kondisi acak. Ruang sampel dilambangkan dengan S dan anggota-anggotanya disebut titik sampel. - Kejadian sederhana (simple event): satu hasil dari ruang sampel atau hasil

yang dimungkinkan dari suatu kondisi acak.

- Kejadian (event) adalah himpunan dari hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percobaan acak. Kejadian dilambangkan dengan A dan anggota-anggotanya disebut juga titik sampel.

b. Ruang Sample dan Diagram Venn

Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang terjadi dalam n cara maka probabilitas kejadian A adalah :

4. Matematika Probabilitas

a. Sifat Probabilitas Kejadian A

- Bila 0<P(A)<1, maka n(A) akan selalu lebih sedikit dari n(S)

- Bila A = 0, himpunan kosong maka A tidak terjadi pada S dan n(A)=0 sehingga P(A) = 0

- Bila A = S, maka n(A)=n(S)=n sehingga P(A) = 1

b. Perumusan Probabilitas Kejadian Majemuk Untuk dua kejadian :

- Maka banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah : n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)

- Kejadian majemuk adalah gabungan atau irisan kejadian A dan B, maka probabilitas kejadian gabungan A dan B adalah:

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) Untuk tiga kejadian :

- Maka Probabilitas majemuknya adalah :

P(AB C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(AB C)

c. Dua Kejadian Saling Lepas

-maka A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas. - Dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan.

d. Dua Kejadian Saling Komplementer

-Dengan demikian,

dan sehingga diperoleh rumus

e. Dua Kejadian Saling Bebas

- Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B juga tidak mempengaruhi kejadian A.

- Rumusnya :

f. Probabilitas Bersyarat

- Kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B lebih dulu terjadi, dikatakan kejadian A bersyarat B dan ditulis A/B.

- Probabilitas terjadinya A bila kejadian B telah terjadi disebut probabilitas bersyarat P(A/B).

- Rumusnya :

g. Probabilitas Bersyarat untuk kejdian saling bebas

A1, A2, A3 adalah tiga kejadian yang saling lepas. Maka kejadian B dapat ditentukan :

Probabilitas Kejadian Bersyarat :

Secara umum bila A1,A2,…,An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B adalah kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat Ai/B adalah :

Contoh Soal

1. Distribusi Frekuens

Beikut adalah 80 sempel data nomer sepatu yang dijual disebuah toko sepatu :

15 15 16 17 18 20 19 23 22 34

36 36 36 30 33 31 31 31 32 33

27 33 18 36 36 25 24 37 26 33

28 33 19 37 38 41 31 39 24 35

30 35 20 38 41 44 33 40 23 34

21 22 20 39 41 40 31 40 22 15

30 21 41 40 41 42 13 41 22 16

34 36 43 44 42 40 14 41 20 20

Carilah ukuran nilai pusat untuk data tersebut! Penyelesaian :

a. Data Terurut

13 14 15 15 15 16 16 17 18 18

19 19 20 20 20 20 20 21 21 22

22 22 22 23 23 24 24 25 26 27

28 30 30 30 31 31 31 31 31 32

33 33 33 33 33 33 34 34 34 35

35 36 36 36 36 36 36 37 37 38

38 39 39 40 40 40 40 40 41 41

41 41 41 41 41 42 42 43 44 44

o _{Data Terkecil : 13} o _{Data Terbesar : 44} o _{Jumlah Data : 80}

b. Pengelompokan

o _{Jumlah Kelas}

K = 1 + 3,3* log n K = 1 + 3,3* log 80

K = 7,280  dibulatkan keatas menjadi : 8

o _Range

R = DB – BT R = 44 – 13 R = 31

o _{Panjang Kelas}

I = R/K I = 31/8

c. Tabel

Tabel distribusi frekuensi Interval

Kelas

x f f kom

f.x log x f*log x

f / x f* |x-X|

(xi - µ)2 Σfi (xi -

µ)2

13 – 16 14,5 7 7 101,5 1,16 8,12 0,48 109,55 244,9225 1714,458

17 – 20 18,5 10 17 185 1,26 12,67 0,54 116,5 135,7225 1357,225

21 – 24 22,5 10 27 225 1,35 13,52 0,44 76,5 58,5225 585,225

25 – 28 26,5 4 31 106 1,42 5,69 0,15 14,6 13,3225 53,29

29 – 32 30,5 9 40 274,5 1,48 13,35 0,29 3,15 0,1225 1,1025

33 – 36 34,5 17 57 586,5 1,53 26,14 0,49 73,95 18,9225 321,6825

37 – 40 38,5 11 68 423,5 1,58 17,44 0,28 91,85 69,7225 766,9475

41 – 44 42,5 12 80 510 1,62 19,54 00,28 148,2 152,5225 1830,27

Jumlah: 80 2412 116,49 2,97 634,3 693,78 6630,2

d. Nilai Pusat 1. Mean

= 2412 / 80 = 30,15 2. Rata Ukur

Log RU =

= 116,49 / 80 = 1,456 RU = 28,59

3. Rata Harmonis

RH =

RH = 80 / 2,97 RH = 26,93

4. Modus

- b = 32,5 - p atau i = 4

- b1 = 17 – 9 = 8 - b2 = 17 – 11 = 6

Mo = 32,5 + ( 8 / ( 8 + 6 ) ) * 4

Mo = 34,785

5. Median

o _{xii = 29,5} o _{n / 2 = 80 / 2 = 40}

o _{p = 4}

o _{fkii = 31} o _{fi = 9}

Me = 29,5 + ( (40 - 31) / 9 ) * 4 Me = 33,5

6. Kuartil

o _{Kuartil 1}

 Letak k1 = 1(n) / 4  1(80) / 4 = 20  di frekuensi kumulatif ke 20  Tb = 20,5

 C / i = 4  F = 10  Fk = 17

 Kuartil 1 = 20,5 + ( ( 20 – 17 ) / 10) * 4 = 21,7

o _{Kuartil 2}

 Letak k2 = 2 (n) / 4  2 (80) / 4 = 40  di frekuensi kumulatif ke 40  Tb = 28,5

 C / i = 4

 F = 9

 Fk = 31

 Kuartil 2 = 28,5 + ( (40 - 31 ) / 9) * 4 = 32,5

o _{Kuartil 3}

 Letak k2 = 3 (n) / 4  3 (80) / 4 = 60  di frekuensi umulatif ke 60

 Fk = 57

 Kuartil 2 = 36,5 + ( (60 - 57 ) / 11) * 4 = 37,59

7. Desil

Contoh mencari desil ke 7

 Letak D7 = 7 (n) / 10  7 (80) / 10 = 56  di frekuensi kumulatif ke 56

 Tb = 32,5  C / i = 4  F = 17  Fk = 40

 Desil 7 = 32,5 + ( (56 - 40 ) / 17) * 4 = 36,26

8. Persentil

Contoh mencari persentil ke 80

 Letak p80 = 80 (n) / 100  80 (80) / 100 = 64  di frekuensi kumulatif ke 64

 Tb = 36,5  C / i = 4  F = 11  Fk = 57

 Persentil 80 = 36,5 + ( (64 - 57 ) / 11) * 4 = 39,04

9. Rentang Antar Kuartil

 RAK = kuartil 3 – kuartil 1 = 37,59 – 21,7 = 15,89

10.Simpangan Kuartil

 SK = ½ (Q3-Q1) atau ½ RAK = ½ 15,89

= 7,945

11.Simpangan Rata-Rata

 SR = 634,3 / 80 = 7,928 12.Simpangan Baku

 SB =6630,2 / 80

= 82,8775  diakarkan menjadi = 9,103

13.Varians

= 9,103 * 9,103 =82,864

14.Koevisien Variasi

 KV = 82,864 / 30,15 * 100% = 274,8 %

2. Himpunan Peluang

o _{Contoh 1 :}

Berapa banyaknya susunan yang berbeda bila ingin membuat rangkaian lampu hias dari 3 lampu merah, 4 kuning dan 2 biru: Jawaban :

o _{Contoh 2 :}

Dari 4 orang anggota Partai X dan 3 orang Partai Y. Hitunglah

banyaknya komisi yang terdiri dari 3 orang dengan 2 orang dari partai X dan 1 orang dari partai Y:

Jawaban :

 Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang di Partai X

 Banyaknya cara memilih 1 orang dari 3 orang partai Y