babii -kongruensi segitiga

(1)

BAB II

Kongruensi Segitiga

DEFINISI

DEFINISI 2.1 2.1 : : Poligon Poligon adalah adalah gabingan gabingan himpunan himpunan titik-titik titik-titik PP11,, PP22,, PP33, . . . ,, . . . , P

P_n-1_n-1,, PP_n_n dengan ruas-ruas garis :dengan ruas-ruas garis : PP₁₁PP₂₂,,PP₂₂PP₃₃,...,,...,PP_n_n−−₁₁PP_n_n,,PP_n_nPP₁₁ sedemikiansedemikian

hingga jika dua sebarang dari ruas garis berpotongan, bertitik potong salah hingga jika dua sebarang dari ruas garis berpotongan, bertitik potong salah satu dari titik-titik

satu dari titik-titik PP11,, PP22,,PP3, . . . ,3, . . . , PPn-1n-1,,PPnndan tidak ada titik lain.dan tidak ada titik lain. P

P11,, PP22,, PP33, . . . ,, . . . , PPn-1n-1,, PPnndisebut titik-titik disebut titik-titik sudut poligon, sedangkan ruas-ruas sudut poligon, sedangkan ruas-ruas

1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 1 1PP ,,PP PP,...,,...,PP PP ,,PP PP P

P _n_n−− _n_n _n_n disebut sisi-sisidisebut sisi-sisi

poligon. Suatu poligon dinamakan poligon. Suatu poligon dinamakan dengan titik-titik sudutnya secara dengan titik-titik sudutnya secara berurutan dengan searah jarum jam, atau berurutan dengan searah jarum jam, atau berlawanan arah jarum jam

berlawanan arah jarum jam DEFINISI

DEFINISI 2.2 2.2 : : Korespondensi Korespondensi sudut-sudut sudut-sudut dari dari dua dua poligon poligon adalah adalah dua dua sudutsudut dengan titik sudutnya berpasangan, yang

dengan titik sudutnya berpasangan, yang merupakan korespondensi unsur-merupakan korespondensi unsur-unsur yang bersesuaian diantara titik sudut – titik sudut dua poligon.

unsur yang bersesuaian diantara titik sudut – titik sudut dua poligon. DEFINISI

DEFINISI 2.3 2.3 : : Korespondensi Korespondensi sisi-sisi sisi-sisi dari dari dua dua poligon poligon adalah adalah dua dua sisisisi dengan titik ujung – titik ujungnya berpasangan yang merupakan dengan titik ujung – titik ujungnya berpasangan yang merupakan korespondensi unsur-unsur yang bersesuaian diantara titik sudut – titik korespondensi unsur-unsur yang bersesuaian diantara titik sudut – titik sudut dari dua poligon.

sudut dari dua poligon. DEFINISI

DEFINISI 2.4 2.4 : : Dua Dua poligon poligon adalah adalah kongruen, kongruen, jika jika ada ada korespondensi korespondensi 1-11-1 diantara titik-titiknya sedemikian hingga :

diantara titik-titiknya sedemikian hingga : 1.

1. semua sisi semua sisi yang berkorespondensi kongruen,yang berkorespondensi kongruen, P P11 PP22 P Pnn P Pn-1n-1 A A BB E E CC D D

(2)

Geometri 9999

2. semua sudut yang berkorespondensi kongruen.

DEFINISI 2.5 : Segitiga adalah poligon yang bersisi tiga.

POSTULAT 2.1 : Dua segitiga adalah kongruen, jika :

1. ada suatu korespondensi diantara titik sudut – titik sudutnya sedemikian hingga dua sisi dan sudut apitnya dari sebuah segitiga kongruen terhadap bagian-bagian yang berkorespondensi segitiga kedua (S – Sd – S),

∆_ABC≅ ∆_EFG

2. ada suatu korespondensi diantara titik sudut – titik sudutnya sedemikian hingga dua sudut dan sisi apitnya dari sebuah segitiga kongruen terhadap bagian-bagian yang berkorespondensi segitiga kedua (Sd – S – Sd). ∆_ABC≅ ∆_EFG CONTOH : Diketahui : AC BC DC AB DC AB ≅ ⊥ ⊥ _; _; Buktikan : AC DC ≅ E V | F G C V __ A B E x o F G C x o A B D B C E A

(3)

Geometri 10101010

Bukti :

Pernyataan Alasan

1. AB⊥ DC

2.∠_{ABC sudut siku-siku} 3. DE ⊥ AC

4.∠_{DEC sudut siku-siku} 5.∠_ABC≅ ∠_DEC 6. BC ≅CE 7.∠_C≅ ∠_C 8.∆_CDE≅ ∆ _ABC 9. DC ≅ AC 1. Diketahui

2. Def. 1.2 garis saling ⊥ 3. Diketahui 4. Sama No.2 5. Definisi 6. Diketauhi 7. Sifat Refleksif 8. Sd – S – Sd 9. Kongruensi dua ∆ SPESIFIKASI SEGITIGA :

1. Berdasarkan Sisinya : Sebutan/ Nama :

a. 3 sisinya kongruen segitiga sama sisi b. 2 sisinya kongruen segitiga sama kaki c. Tidak ada sisi-sinya yang kongruen segitiga sembarang

2. Berdasarkan Sudutnya : Sebutan/ Nama :

a. 3 sudutnya sama segitiga sama sudut b. 1 sudutnya siku-siku segitiga siku-siku c. 1 sudutnya tumpul segitiga tumpul d. 3 sudutnya lancip segitiga lancip

(4)

Geometri 11111111

DEFINISI 2.6 : Interior dari sebuah sudut adalah :

1. himpunan titik-titik sedemikian hingga jika sebuah sinar yang titik

pangkalnya adalah verteks sudut tersebut, ditarik melalui sebarang

sebuah titik pada himpunan titik-titik itu, sinar akan terletak pada

sisi-sisi sudut tersebut.

2. himpunan titik-titik yang merupakan persekutuan sebarang dua

interior-interior sudut segitiga tersebut.

POSTULAT 2.2 (AKSIOMA PASCH) : Suatu garis berinterseksi dengan salah

satu sisi segitiga dan masuk pada daerah interiornya,

pasti berinteraksi dengan sisi yang kedua dari segitiga

tersebut.

POSTULAT 2.3 : Setiap sudut mempunyai bisektor.

TEOREMA 2.1 : Jika dua sisi suatu segitiga adalah kongruen, maka

sudut-sudut dihadapan kedua sisi tersebut kongruen. (Bukti sebagai latihan)

TEOREMA 2.2 : Jika dua sudut suatu segitiga adalah kongruen, maka sisi-sisi

dihadapan kedua sudut tersebut kongruen.

Diketahui :∠_B≅ ∠_C

(5)

Geometri 12121212

Bukti :

Pernyataan Alasan

1. ∠_B≅ ∠_C

2. BP dan CQmasing-masing bisektor ∠_{ABC dan}∠_ACB

3. BP dan CQ pasti memotong sisi-sisi AC dan AB masing-masing pada E & D 4. ∠_EBC≅ ∠_DCB 5. BC ≅ BC 6. ∆_EBC≅ ∆_DCB 7. BE ≅CD 8. ∠_BDC≅ ∠_BEC 9. ∠_ADC≅ ∠_AEB 10.∠_ABE≅ ∠_ACD 11.∆_ABE≅ ∆_ACD 12. AB ≅ AC 1. Diketahui

2. Setiap sudut mempunyai bisektor

3. Aksioma Pasch

4. Kongruensi sudut-sudut yang kongruensi

5. Sifat refleksif 6. Sd – S – Sd

7. Definisi Kongruensi Poligon 8. Definisi Kongruensi Poligon 9. 2 sudut bersuplemen dengan 2

sudut yang kongruen 10. Sama No. 4

11. Sd – S – Sd 12. Sama No. 7

DEFINISI 2.7 : Garis tinggi pada suatu segitiga adalah suatu segmen yang ditarik dari sebarang verteks (titik sudut), tegak lurus terhadap sisi dihadapannya pada segitiga tersebut.

(6)

Geometri 13131313

DEFINISI 2.8 : Garis berat pada suatu segitiga adalah suatu segmen yang ditarik dari sebarang verteks ke titik tengah sisi dihadapan sudut tadi. DEFINISI 2.9 : Garis bagi pada suatu segitiga adalah suatu segmen yang

membagi dua sama ukurannya sebarang sudut, pada segitiga dan berujung pada sisi dihadapannya.

TEOREMA 2.3 : Jika dua segitiga adalah kongruen terhadap seditiga yang sama, maka keduanya saling kongruen. (Buktikan dengan memakai postulat s-sd-s).

POSTULAT 2.4.A : Jika suatu titik P terletak pada suatu garis yang diketahui, adalah mungkin untuk mendapatkan titik kedua Q pada garis tersebut sedemikian hingga PQ akan kongruen pada sebarang segmen garis AB yang diketahui.

POSTULAT 2.4.B : Jika suatu titik diketahui terletak pada suatu garis, ada suatu sudut yang titik sudutnya adalah titik tadi dan pada sisinya terhadap garis tadi adalah suatu sinar sedemikian hingga sudut tersebut kongruen dengan sebarang sudut yang diketahui.

TEOREMA 2.4 : Dua segitiga adalah kongruen jika ada suatu korespondensi diantara titik sudut – titik sudutnya, ketiga sisi pada sebuah segitiga adalah kongruen terhadap sisi-sisi yang berkorespondensi pada segitiga yang lain (S – S – S).

P Q

A B

R A

(7)

Geometri 14141414

DEFINISI 2.10 : Suatu Lingkaran adalah suatu himpunan titik sedemikian hingga segmen garis – segmen garis yang ditarik dari masing – masing titik pada himpunan tersebut ke titik tetap adalah kongruen.

Catatan : notasi lingkaran sebagai “ Θ _{“ , dan} titik tetap lingkaran disebut titik pusat. Menurut gambar, segmen – segmen : AB, AC, AD tidak kongruen dengan segmen AE, maka gambar tersebut bukan lingkaran.

DEFINISI 2.11 : Jari – jari suatu lingkaran adalah segmen garis yang ditarik dari sebarang titik pada lingkaran tersebut ke pusat lingkaran.

TEOREMA 2.5 : Semua jari – jari pada suatu lingkaran adalah kongruen. (Bukti sebagai latihan).

TEOREMA 2.6 : Dua segitiga siku – siku kongruen, jika ada suatu korespondensi diantara titik sudut – titik sudutnya, hipotesa dan satu kaki siku-siku segitiga yang satu kongruen dengan yang berkorespondensi pada segitiga yang lain. (Bukti seperti Teorema 2.4)

Diketahui :∆_ABC

AC

AB ≅ _, _BD≅_CE

Buktikan :∠ _ABC≅ ∠_ACB

B E A C D A B C D E