PEMODELAN PROGRAM STOKASTIK UNTUK PENGELOLAAN PRODUKSI IKAN DI DAERAH PESISIR PROVINSI SUMATERA UTARA

PESISIR PROVINSI SUMATERA UTARA

TESIS

Oleh

PUTRA BAHTERA JAYA BANGUN 067021008/MT

SEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2008

PESISIR PROVINSI SUMATERA UTARA

T E S I S

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam

Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh

PUTRA BAHTERA JAYA BANGUN 067021008/MT

SEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2008

PESISIR PROVINSI SUMATERA UTARA

Nama Mahasiswa : Putra Bahtera Jaya Bangun

Nomor Pokok : 067021008

Program Studi : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Direktur

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang

Anggota : Dr. Sutarman, M.Sc

Dr. Saib Suwilo, M.Sc

Dalam tesis ini dibahas mengenai pengelolaan atau perencanaan produksi ikan dalam usaha tradisional skala kecil di Provinsi Sumatera Utara, yang melakukan penglolaan ikan dibeberapa produk hasil laut setempat. Ketidakpastian data (seperti permintaan, ketersediaan ikan), bersamaan dengan evolusi data terhadap waktu menimbulkan masalah dalam perencanaan produk ikan pada model pe-mograman stokastik. Dalam tesis ini juga digunakan skenario pendekatan berba-sis generasi untuk menyelesaikan model tersebut.

This thesis considers the management of small scale traditional business at North Sumatra province which performs processing fish into severel local seafood pro-duct. The inherent uncertainty of data (e.g. demand, fish availability), together with the sequential evolution of data over time leads the problem in planning the fish product to a stochastic programmng model. This thesis used scenario gener-ation based approach for solving the model.

Keywords : Stochastic programming, Stochastic programming model, Production planning

Puji dan syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, Pengasih dan Penyayang atas berkat dan rahmatNya tesis ini dapat diselesaikan dengan baik melalui bimbingan, arahan dan bantuan yang diberikan berbagai pihak khususnya pembimbing, pembanding, para dosen, teman teman mahasiswa, khususnya ma-hasiswa Program Studi Magister Matematika dan pengelola Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.

Tesis dengan judul: ”Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Pro-duksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi Sumatera Utara” adalah merupakan tugas akhir dan syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan peng-hargaan yang sebesar besarnya kepada:

Rektor Universitas Sriwijaya, dan Jajarannya yang telah memberikan izin dan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti pendidikan lanjutan pada Sekolah Pascasarjana USU.

Ketua beserta Staf PHK A2 Jurusan Matematika FMIPA UNSRI, yang memberikan bantuan moril dan materil serta beasiswa sehingga penulis da-pat melanjutkan pendidikan lanjutan dan menyelesaikannya.

Rektor Universitas Sumatera Utara, dan Direktur Sekolah Pas-casarjana USU, yang telah bersedia menerima penulis sebagai mahasiswa Seko-lah Pascasarjana Program Studi Magister Matematika.

telah bersedia menerima penulis sebagai mahasiswa beserta fasilitasnya sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan tepat pada waktunya.

Prof. Dr. Herman Mawengkang dan Dr. Sutarman M.Sc seba-gai pembimbing, dengan penuh kesabaran membimbing, memotivasi, memberikan dukungan moril, kritik dan saran serta memberikan bahan bahan yang berkaitan dengan penyusunan tesis ini sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan baik.

Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Open Darnius Sembiring,M.Sc

sebagai pembanding, yang telah memberikan saran, masukan dan arahan yang baik demi terwujutnya tesis ini.

Seluruh Staf Pengajardan Administrasi, Program Studi Magister Mate-matika yang telah memberikan bantuan dan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

Orangtua tercintaR. Bangun, K. Br. Ginting (Alm), DK. Br. Purba,

mertuaDJ.Ginting, M.Br.Bangundan Adik adikku serta semua keluarga yang senantiasa mendoakan, memberikan dorongan dan melayani dengan penuh kasih, sabar serta memberikan pengorbanan selama penulis mengikuti perkuliahan.

Istri tercinta, Esterlin Br. Ginting, yang ditinggal jauh di Palembang, selalu mendoakan, memberikan dorongan, dengan kasih dan sabar serta berkorban menggantikan tugas tugas keluarga serta membimbing anak anak, selama penulis mengikuti pendidikan di Medan, sekali lagi terima kasih.

Fakultas Pertanian Universitas Sriwijaya Palembang danAlfredo Efrianta Ba-ngun, Siswa SMA Methodist I Palembang, yang juga ditinggal di Palembang, juga selalu mendoakan, memberikan dorongan, motivasi, sehingga pada saatnya nanti anak anakku juga dapat menempuh pendidikan yang lebih tinggi, berguna bagi Keluarga, Agama, Nusa dan Bangsa.

Rekan rekandi FMIPA Universitas Sumatera Utara Medan khususnya De-partemen Matematika dan di FMIPA Universitas Sriwijaya Palembang khusus-nya Jurusan Matematika, yang telah bakhusus-nyak membantu penulis selama mengikuti perkuliahan.

Kepada semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini, terima kasih atas segala bantuan yang diberikan. Sekecil apapun yang Anda berikan untuk penulis turut menghantarkan penulis untuk menyelesaikan pendidikan yang ditempuh selama ini. Dengan segala kekurangan dan kerenda-han hati, semoga kiranya Tukerenda-han Yang Maha Kuasa membalas segala bantuan, kebaikan yang telah diberikan.

Medan, Juli 2008

Penulis,

Penulis dilahirkan di Kabanjahe, Kabupaten Karo Sumatera Utara pada tanggal 04 September 1959; anak pertama dari lima bersaudara anak dari R. Bangun dan alm. K. Br. Ginting.

Pendidikan yang pernah ditempuh penulis adalah:

1. SD Negeri Jandimeriah Kabupaten Karo; tamat tahun 1971. 2. SMP Negeri Munte Kabupaten Karo; tamat tahun 1974. 3. SMA Hangtuah Belawan Kota Medan; tamat tahun 1977.

4. Jurusan Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan; tamat tahun 1984.

Sejak tahun 1985 sampai sekarang, menjadi Pegawai Negeri Sipil (PNS) sebagai staf pengajar (Dosen) pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sri-wijaya Palembang, Provinsi Sumatera Selatan.

Penulis menikah dengan Esterlin Br. Ginting pada 30 Juni 1996, dan telah dikaruniai dua orang anak yaitu: Herke Amelia Bangun dan Alfredo Efrianta Bangun.

Halaman

ABSTRAK . . . i

ABSTRACT . . . ii

KATA PENGANTAR . . . iii

RIWAYAT HIDUP . . . vi

DAFTAR ISI . . . vii

DAFTAR TABEL . . . ix DAFTAR GAMBAR . . . x BAB 1 PENDAHULUAN . . . 1 1.1 Latar Belakang . . . 1 1.2 Perumusan Masalah . . . 6 1.3 Tujuan Penelitian . . . 7 1.4 Kontribusi Penelitian . . . 7 1.5 Metodologi Penelitian . . . 7

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . 10

BAB 3 PROGRAM STOKASTIK . . . 13

3.1 Model Dasar Program Stokastik . . . 13

3.1.1 Model antisipatif . . . 13

3.1.2 Model adaptif . . . 14

3.1.3 Model recourse . . . 15

BAB 4 MODEL DAN PENYELESAIANNYA . . . 36

4.1 Pembentukan Model . . . 38

4.2 Metode Penyelesaian . . . 40

4.2.1 Algoritma dari metode . . . 46

4.3 Hasil Perhitungan . . . 49

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . 58

5.1 Kesimpulan . . . 58

5.2 Saran . . . 59

Nomor Judul Halaman

3.1 Data Untuk Pengolahan Tanaman . . . 23

3.2 Hasil Optimal Awal . . . 25

3.3 Hasil Optimal Setelah Adanya Skenario . . . 26

3.4 Data Pengolahan Tanaman Sebaran Kontinu . . . 30

4.1 Biaya Produksi . . . 49

4.2 Tambahan Sumber Daya . . . 50

4.3 Biaya untuk Tenaga Kerja . . . 51

4.4 Kapasitas Sumber yang Dibutuhkan untuk Produksi . . . 51

4.5 Kapasitas Sumber yang Tersedia . . . 52

4.6 Batas Atas untuk Tambahan Sumber . . . 53

4.7 Tenaga Kerja yang Dibutuhkan untuk Menghasilkan Produksi . 53 4.8 Biaya Penyimpanan . . . 54

4.9 Biaya Tak Terduga . . . 55

Nomor Judul Halaman

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pemerintah Indonesia telah melaksanakan pergantian kebijakan ekonomi makro disektor industri dengan teknologi mutakhir untuk pengembangan indus-tri pada sumber daya alam. Perikanan memainkan peranaan yang sangat penting didalam pengembangan ekonomi Indonesia. Hal ini merupakan penyediaan la-pangan kerja bagi ribuan orang yang bertempat tinggal di sekitar pantai. Disam-ping sebagai sumber utama protein hewani, ikan dapat juga merupakan sumber utama untuk protein nabati dalam makanan penduduk

Sektor industri perikanan diklasifikasikan menjadi tiga sektor yang berbeda yaitu: perikanan laut lepas, budidaya ikan dan ikan olahan. Umumnya, industri ikan olahan di Indonesia ditemukan didaerah pesisir. Bermacam-macam ikan olahan dapat dihasilkan oleh para nelayan antara lain: ikan asap, ikan asin, ikan kaleng, terasi dan lain-lain. Pengelolaan industri ikan olahan masih didominasi oleh usaha tradisional dengan mempergunakan strategi manajemen konvensional. Hal ini memberi dampak antara lain bahwa para nelayan tidak mendapatkan informasi yang cukup berkaitan dengan permintaan pasar maupun harga pasar

Hal yang sama juga disampaikan oleh Agustedi (2001) dari hasil penelitian-nya (desertasi) yang mepenelitian-nyatakan bahwa dalam pengembangan usaha perikanan laut faktor yang menjadi hambatan adalah terbatasnya informasi dan kemampuan untuk memanfaatkan sumber daya yang dimiliki para nelayan didaerah pesisir.

Sedangkan faktor pendukung adalah tingkat eksploitasi sumber daya yang belum optimal. Keberhasilan agroindustri usaha perikanan laut memerlukan dukungan ketersediaan bahan baku, penerapan teknologi tepat sasaran, dukungan pembia-yaan dari instansi terkait , kredit bersubsidi dengan bunga yang relatif murah.

Penelitiannya yang berjudul: Rancang Bangun Model Perencanaan dan Pembinaan Agroindustri Hasil Laut Kualitas Ekspor dengan Pendekatan Wilayah di Provinsi Jawa Timur dengan beberapa pertimbangan yaitu:

a. Termasuk lima besar penghasil produksi perikanaan laut, b. Memiliki jumlah alat tangkap terbesar di Indonesia,

c. Mempunyai keragaman pengolahan ikan tradisional terbanyak dengan pro-duk utama ikan asin, ikan pindang, ikan peda,terasi, ikan asap,

d. Tingkat pemanfaatan sumber daya perikanaan laut yang belum optimal.

Sementara itu penelitiannya tersebut bertujuan untuk menghasilkan suatu model perencanaan atau pengelolaan dan pembinaan agroindustri hasil laut orentasi ekspor dengan pendekatan wilayah meliputi:

1. Analisis faktor yang menghambat dan mendukung perencanaan dan pem-binaan agroindustri hasil laut

2. Mempelajari kemitraan antara pemasok bahan baku dan agroindustri; an-tara pihak agroindustri dengan pedagang atau distributor,

4. Merancang perangkat lunak untuk membantu ekspor investor, pengusaha, dan pemerintah dalam merencanakan dan membina agroindustri hasil laut skala kecil dan menengah,

5. Merancang suatu model kelembagaan untuk meningkatkan nilai tambah dan pendistribusian pendapatan pihak terkait secara proporsional.

Alat analisis yang digunakan terdiri dari teknik optimasi dengan menggunakan program linier untuk meminimumkan biaya tranfortasi melalui program VAM (Vo-gels Approximation Methods) dan stepping stone, rancangan kebijakan /strategis dianalisis dengan AHP (Analisis Hiraki Proses), metode penentuan prioritas kepu-tusan dengan MPE (Metode Perbandingan Eksponensial) dan CPI (Comparative Performance Indeks). Penetapan kinerja perusahaan dianalisis dengan metode APC (American Produkticity Center Model), analisis perkiraan harga ikan olahan menggunakan model pasar dinamik dan perkiraan produksi produk agroindustri hasil laut dianalisis dengan ESM (Eksponensial Smoting Model).

Pada umumnya data yang digunakan pada penelitian yang sudah dilakukan diasumsikan bahwa, semua parameter ataupun variabelnya sudah tertentu atau sudah pasti (deterministik). Dalam situasi perencanaan produksi yang demikian ini yaitu informasi data saat itu sudah tertentu (deterministik), tentunya digu-nakan optimisasi deterministik, namun untuk masa yang akan datang data yang diperlukan mengandung ketidakpastian (Stokastik). Umumnya, problema peren-canaan didalam prakteknya, dimana keputusan optimal dicari dengan kendala ketidakpastian problema data. Problema-problema ini sering dimulai dari model model perencanaan, dimana keputusannya dibuat pada saat ini, sebagai efeknya

atau menyimpang , atau kendalanya berpengaruh terhadap gangguan eksternal yang tidak dapat dikontrol oleh siperencana.

Jika ketidakpastian tidak diperhitungkan dalam penyelesaian model model maka biaya yang hilang dapat dibuat bilamana model tersebut digunakan. Sesung-guhnya, penyelesaian yang diperoleh dari suatu program optimasi mungkin diop-timalkan untuk nilai tertentu dari parameter problema. Tetapi untuk nilai yang sesungguhnya atau nilai akhir dari parameter parameter ini dapat diambil suatu keputusan yang mungkin jauh dari optimal atau bahkan tidak layak dengan be-berapa kendala dari problema.

Problema-problema yang disebabkan ketidakpastian didalam data dapat di-sajikan dengan berbagai cara; yakni stokastik programming , atau, optimisasi pada kondisi ketidakpastian , akan menggambarkan perluasan alamiah dari pro-gram matematika untuk membiarkan ketidakpastian didalam problema data. Per-hitungan dilakukan secara eksplisit untuk berada dalam tahapan pemodelan. Di-dalam model optimisasi stokastik, parameter parameter tertentu adalah variabel stokastik yang mempunyai beberapa distribusi probabiliti kontinu atau diskrit.

Salah satu bentuk model pemograman stokastik adalah model pemograman stokastik dua tahap dengan recourse. Program stokastik dua tahap dengan re-course ini merupakan suatu bentuk model khusus yang lebih penting. Dalam hal model seperti ini fungsi objektifnya biasanya bersesuaian dengan meminimumkan biaya atau memaksimumkan keuntungan, meskipun dapat juga mengacu pada ni-lai absolut yang diharapkan atau penyimpangan kuadrat tujuan khusus tertentu atau variance dari fungsi sumber tahap kedua.

Terdapat dua jenis variabel keputusan. Variabel tersebut ditentukan se-belum variabel acak sudah ditentukan, hal ini disebut tahap pertama atau variabel keputusan here and now dan menunjukan keputusan proaktif yang ada; didalam penelitian ini semuanya merupakan biaya produksi dan tenaga kerja periode per-tama. Variabel here and now yang ditentukan setelah variabel acak terealisasikan disebut tahap kedua atau variabel keputusan recourse dan menggambarkan kepu-tusan reaktif yang dibuat di dalam sumber atau respons terhadap faktor tak tentu.

Dalam hal ini variabel acak diskrit model dua tahap recourse adalah be-sar dan kompleks, sehingga dengan demikian diselesaikan secara numerik dengan menggunakan strategi algoritma yang cocok. Umumnya algoritma ini menggu-nakan algoritma strategi dekomposisi yang diselesaikan dengan memakai model skenario atau tahapan dalam skema iteratif, yang memperbolehkan pemecahan model menjadi model yang lebih kecil. Suatu metode pencarian tujuan layak digu-nakan untuk menyelesaikan model ekivalen tertentu yang lebih luas, dengan tiap variabel tahap pertama adalah merupakan replikasi bagi setiap skenario dengan suatu kesamaan untuk nilai variabel yang baru.

Kerangka dari model pemograman stokastik dua tahap dapat dituliskan se-bagai berikut: min cT1x1+ S P S=1 PS(qTyS2) (1.1) dengan kendala Ax1 =b (1.2) Tsx1+W ys2 =h s , s = 1, . . . , S (1.3) x1, y2s≥0 s= 1, . . . , S (1.4)

c1 = Vektor koefisien biaya pada tahap pertama.

x1 = Vektor variabel keputusan tahap pertama dengan skenario yang bebas.

A = Matriks koefisien tahap pertama.

b = Vektor sisi kanan yang bersesuaian.

y2 = Vektor variabel keputusan tahap kedua (recourse).

q = Vektor dari matriks koefisien untuk biaya tahap kedua.

W = Matriks koefisien tahap kedua.

hs _{= Vektor sisi kanan yang bersesuaian.}

Ts _{= Matriks yang mengikat dua tahapan bersama dengan s.}

Ps = Peluang terjadinya skenario s. S

P

s=1

PS(qT_yS

2) = Nilai harapan dari biaya pinalti recourse.

Persamaan (1.2) menyatakan model tahap pertama sedangkan persamaan (1.3) menyatakan model tahap kedua. Nilai optimal x1 bukanlah merupakan

syarat pada realisasi parameter yang tidak pasti. Pembatas acak pada model tahap kedua didefinisikan pada persamaan (1.3), sementara hs _{− T}s_x

1 adalah

merupakan pembatas tujuan; pelanggaran dari batasan batasan ini diperbolehkan, tetapi biaya pinalti qT_y

2 akan mempengaruhi pilihan dari x1−qTy2 yang

meru-pakan biaya pinalti recourse.

1.2 Perumusan Masalah

Pada umumnya model yang dianjurkan untuk data yang diasumsikan bahwa semua parameter yang diketahui sudah pasti atau tertentu (deterministik) adalah optimisasi deterministik namun demikian secara praktis terdapat parameter yang

mengandung ketidakpastian (stokastik), dalam keadaan demikian ini perlu dibuat suatu model stokastik yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini untuk mendapatkan model program stokastik pengelolaan produksi ikan di daerah pesisir Provinsi Sumatera Utara.

1.4 Kontribusi Penelitian

Adapun kontribusi dari penelitian ini adalah: sebagai bahan untuk menam-bah wawasan keilmuan bagi akademisi dan peneliti, khususnya dalam penelitian bidang matematika. Sebagai informasi tambahan yang strategis bagi Pemerintah Provinsi Sumatera Utara dalam rangka membantu membuat kebijakan tentang pemberdayaan usaha kecil pengelolaan produksi ikan di daerah pesisir.

1.5 Metodologi Penelitian

Penelitian ini diawali dengan konsep konsep dari program stokastik. Selan-jutnya dibahas hal hal yang berkaitan dengan model program stokastik antara lain:

a. Model dasar program stokastik, meliputi: model antisipatif, model adaptif, model recourse dan model pemograman stokastik dua tahap.

b. Formulasi deterministik ekivalen, proses formulasi dan pohon skenario. c. Diberikan juga illustrasi dasar untuk contoh dan penyelesaian dari problema

program stokastik tersebut diatas.

Selanjutnya dibahas tentang pembentukan model dan penyelesaiannya yang meliputi antara lain:

a. Menentukan atau mendifinisikan variabel atau parameter keputusan yang digunakan pada penelitian ini.

b. Mendapatkan model pemograman stokastik

c. Menurunkan metode penyelesaian yaitu metode pencarian langsung layak. d. Membuat algoritma dari metode yang terdiri dari 6 langkah.

Langkah berikutnya adalah mengolah (menyusun) data dan hasil perhi-tungan, yang meliputi antara lain:

a. Menentukan perencanaan setara meliputi setiap tiga bulanan, akibatnya terdapat empat periode didalam satu tahun T ={1,2,3,4}

b. Menentukan peluang permintaan pasar sesuai dengan kondisi atau kualitas ikan olahan yaitu kualitas baik, kualitas sedang dan kualitas jelek.

c. Menyusun data dalam bentuk tabel sesuai dengan kebutuhan dan penje-lasannya.

Dibagian akhir penelitian ini disajikan kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian dan saran dari kendala yang ditemukan dari penelitian ini.

TINJAUAN PUSTAKA

Salah satu potensi perikanan pesisir yang dapat dimaanfaatkan sebagai pengembangan wilayah desa pantai adalah potensi perikanan rakyat yang juga sering disebut perikanan skala kecil atau perikanan tradisional. Pemanfaatan potensi dengan mengoptimalkan faktor-faktor produksi akan memberikan dampak positif bagi peningkatan produksi perikanan. Potensi ini jika dikelola secara op-timal akan memberikan kesejahteraan bagi masyarakat pantai itu sendiri. Kon-tribusi usaha pesisir tersebut dapat dilihat dari penyerapan tenaga kerja , pe-ningkatan pendapatan, pepe-ningkatan espor hasil produksi perikanan. Pepe-ningkatan produksi ini akan berdampak terhadap peningkatan pendapatan sehingga mem-berikan dampak yang lebih baik terhadap kehidupan masyarakat setempat.

Hal ini dikemukakan Bangun (2004), dalam tesisnya untuk menganalisis pengaruh faktor produksi terhadap hasil produksi dengan model analisis regressi yaitu model atau fungsi produksi Cobb- Douglass. Permasalahan yang dikaji dalam tesisnya adalah pengaruh masing-masing faktor produksi yaitu: luas la-han, tenaga kerja, jumlah bibit dan jumlah pakan terhadap produksi tambak rakyat; luas jaring, lama panen, jumlah bibit dan jumlah pakan terhadap pro-duksi budidaya laut skala kecil: serta jarak tempuh, tenaga kerja, modal kerja dan pengalaman terhadap produksi yang dihasilkan oleh para nelayan tradisional. Lai et al (2005), menyatakan bahwa masalah perencanaan (pengelolaan) produksi memegang peranan yang sangat penting dalam jaringan manajemen persediaan. Metodologi dari masalah perencanaan produksi dapat juga

mem-berikan jumlah produksi dan tenaga kerja disetiap perencanaan produksi untuk memenuhi permintaan pasar. Dikembangkan juga suatu model pemograman sto-kastik dengan penambahan pambatas. Digunakan juga model dua tahap recourse untuk masalah perencanaan (pengelolaan) produksi dengan pemograman stokas-tik. Sekumpulan data dari perusahaan multinasional di Hongkong digunakan untuk memperlihatkan kekuatan dan efektivitas model yang diajukan.

Sementara itu, Clay dan Grossmann (1996); membahas tentang model pe-mograman linier stokastik untuk pengelolaan produksi, memformulasikan program linier stokastik dua tahap dalam pengelolaan produksi. Diberikan pula beberapa konsep dan isu teoritis yang muncul didalam permasalahan linier programming dua tahap untuk pengelolaan produksi. Aplikasi perencanaan produksinya pada industri pengolahan kimia dan terpusat dibeberapa operasi pabrik. Aplikasi ini mengatasi masalah seleksi persediaan makanan dan disposisi,termasuk keseim-bangan bahan dan optimisasi konversi. Berdasarkan sifatnya, perencanaan ter-masuk pengambilan keputusan optimal tentang kejadian masa yang akan datang didasarkan atas informasi dan proyeksi masa yang akan datang. Permasalahan-nya adalah : penyediaan model dari proses, pengetahuan kondisi saat ini keadaan dimasa depan serta fungsi objektif yang menggambarkan pilihan biaya (resiko), menemukan solusi yang meminimumkan fungsi tanpa melanggar batasan. Semen-tara informasi saat ini dapat dipastikan dan kejadian dimasa yang akan datang bersifat stokastik.

Linier programming stokastik dua tahap memberikan solusi pendekatan dan merupakan dasar untuk sensivitas yang didasarkan pada algoritma disaggregation. Sifat-sifat mengikat telah dibentuk untuk struktur probabilitas tertentu sebagai

petunjuk disaggregation dari ruang kemungkinan aggregate dengan menggunakan analisis sensivitas dari penyelesaian aggregate melalui analisis proyeksi repartisi.

Hung dan Hu (1998), merumuskan suatu model pemograman bilangan bu-lat campuran untuk masalah pengelolaan produksi dengan pembentukan kepu-tusan. Serangkaian permasalahan berkaitan dengan intelegen seperti algoritma evolusiner, algoritma genetika, dan sistem pendukung keputusan , yang banyak digunakan untuk penyelesaian masalah perencanaan produksi dengan beberapa pembatas.

Perencanaan produksi tingkat menengah dalam rentang perencanaan hor-izontal dua hingga delapan belas bulan diklarifikasikan sebagai aggregate pro-duction planning (APP). Hal ini dikemukakan oleh Nam dan Logendran (1992) bahwa, APP dimaksudkan untuk mengubah perkiraan permintaan penjualan dan kapasitas produksi kedalam rencana beban produksi kedepan.

PROGRAM STOKASTIK

Program stokastik adalah salah satu cabang program matematika yang berke-naan dengan situasi dimana keputusan optimalnya mengandung ketidakpastian pada data. Model ketidakpastian dengan objek acak dapat menyebabkan prob-lema program stokastik menjadi diversi, yang sering dikenal sebagai program dua tahap.

3.1 Model Dasar Program Stokastik

Model antisipatif dan adaptif merupakan kasus khusus dari program stokas-tik. Kombinasi keduanya menghasilkan model recourse yang menjadi fokus dalam penelitian ini.

3.1.1 Model antisipatif

Model ini juga disebut sebagai model statis, dalam mana keputusan tidak tergantung pada pengamatan masa datang. Perencanaan yang baik harus mem-perhitungkan semua realisasi masa datang yang mungkin karena tidak akan ada kesempatan untuk memperbaharui keputusan nantinya.

Dalam model antisipatif kelayakan dinyatakan dalam kendala probabilistik. Misalnya, tingkat keandalanα dengan 0< α≤1, dinyatakan dan kendala ditulis

dalam bentuk:

P{w|fj(x, w) = 0, j = 1,2, . . . , n} ≥α

Disini x adalah vektor peubah keputusan m dimensi dan fi : Rm ×Ω → R, j = 1, . . . , n. Fungsi objektif juga dapat bertipe keandalan sepertiP{w|f0(x, w)≤γ},

dimanaf0 :Rm×Ω→R∪ {+∞}danγ konstanta. Model antisipatif memilih

ke-bijakan yang memenuhi karakteristik kendala yang diinginkan dan fungsi objektif.

3.1.2 Model adaptif

Dalam model ini, informasi yang dikaitkan dengan ketidakpastian muncul secara parsial sebelum pengambilan keputusan, jadi optimisasi terjadi dalam lingkungan pembelajaran. AndaikanA koleksi dari semua informasi relevan yang tersedia melalui pengamatan yang merupakan sub-gelanggang dari semua keja-dian yang mungkin. Keputusanx tergantung pada kejadian yang dapat diamati, dan x disebut A teradaptasi atau A terukur. Program stokastik adaptif dapat diformulasikan sebagai:

min E[f0(x(w), w)|A]

kendala E[fj(x(w), w)|A] = 0, j = 1,2, . . . , n

x(w)∈X, hampir pasti

(3.1)

Pemetaanx: Ω→X adalah sedemikian hingga x(w) merupakanAterukur. Problema ini dapat disajikan dengan menyelesaikan untuk setiap w program de-terministik berikut:

min E[f0(x,·)|A](w)

kendala E[fj(x,·)|A](w) = 0, j = 1,2, . . . , n

x∈X

(3.2)

Ada dua kasus ekstrim yaitu informasi lengkap dan tidak ada informasi sama sekali. Kasus pertama mengakibatkan model menjadi bentuk model antisi-patif sedangkan untuk kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Yang paling menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.

3.1.3 Model recourse

Model ini menggabungkan dua model yang diutarakan terdahulu, yang ingin menentukan kebijakan yang tidak hanya mengantisipasi pengamatan masa datang tapi juga memperhitungkan informasi yang ada untuk membuat keputusan re-course. Misalnya, manajer portofolio memperhatikan gerak masa datang agar saham tidak berubah (antisipasi) tetapi juga menyeimbangkan posisi portofolio ketika harga berubah (adaptasi). Problema program stokastik dua tahap dengan recourse dapat ditulis sebagai:

min f(x) +E[Q(x, w)] kendala Ax=b

x∈RM0 +

(3.3)

xadalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak teramati dan Q(x, w) merupakan nilai optimalnya untuk sembarang Ω, dari

pro-min ξ(y, w)

kendala W(w)y=h(w)−T(w)x

y∈RM1 +

(3.4)

dengan y keputusan adaptif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vek-tor acak tahap pertama, ξ(y, w) merupakan fungsi biaya tahap kedua, dan

{T(w), W(w), h(w)|w ∈ Ω} adalah parameter model dengan dimensi tertentu. Parameter-parameter ini merupakan fungsi dari vektor acak w dan karena itu merupakan parameter acak. T adalah matriks teknologi yang mengandung koe-fisien teknologi yang mengubah keputusan tahap pertama x menjadi sumber daya untuk problema tahap kedua. W adalah matriks recourse dan h vektor sumber daya tahap kedua.

Secara umum modelrecourse dua tahap dapat di formulasikan sebagai:

min f(x) +E " min y∈RM₊1 {ξ(y, w)|T(w)x+W(w)y=h(w)} # kendala Ax=b x∈RM0 + (3.5)

Dari bentuk program stokastik perlu dibentuk model deterministik yang ekivalen sehingga mudah terselesaikan.

3.2 Formulasi Deterministik Ekivalen

Pandang model program stokastik linier berikut: min g0(x,ξ˜) kendala gi(x,ξ˜)≤0, i= 1, . . . , m, x∈X ⊂n_,            (3.6)

dengan ˜ξ vektor acak yang bervariasi pada himpunan Ξ⊂ Rk_{. Lebih tepat lagi,} diandaikan bahwa keluarga (family) F dari ”kejadian”, yaitu himpunan bagian dari Ξ, dan sebaran peluang P pada F diketahui. Jadi untuk setiap himpunan bagian A ⊂ Ξ yang merupakan kejadian-kejadian, yaitu A ∈ F, peluang P(A) diketahui. Selanjutnya, diandaikan bahwa fungsigi(x,·) : Ξ→R∀x, imerupakan peubah acak dan sebaran peluangP adalah bebas. Namun, problema (3.6) tidak well defined karena pengertian min dan juga kendala tidak jelas, jika yang diper-hitungkan adalah nilai keputusanx sebelum mengetahui realisasi dari ˜ξ. Karena itu revisi terhadap proses pemodelan perlu dilakukan, yang akan menghasilkan model deterministik ekivalen untuk (3.6).

3.2.1 Proses formulasi

Pembentukan model analogi terhadap program stokastik linier dengan re-course, untuk problema (3.6) dilakukan dengan cara berikut. Ambil

q_i+(x, ξ) =        0 Jika gi(x, ξ)≤0 Gi(x, ξ) lainnya

Kendala keidari (3.6) dilanggar jika dan hanya jikag_i+(x, ξ)>0 untuk suatu keputusan x dan realisasi ξ dari ˜ξ. Di sini dapat diberikan untuk setiap kendala suatu recourse atau aktivitas tahap kedua yi(ξ), setelah mengamati realisasi ξ, dipilih sehingga mengantisipasi pelanggaran kendala jika ada dengan memenuhi gi(x, ξ)−yi(ξ)≤0. Usaha tambahan ini diandaikan mengakibatkan penambahan biaya atau penalti qi per unit, jadi biaya tambahan ini (disebut fungsi recourse) berjumlah: Q(x, ξ) = min y ( _m X i=1 qiyi(ξ)|yi(ξ)≥g_i+(x, ξ), i= 1,· · · , m ) (3.7)

yang menghasilkan biaya total tahap pertama dan biayarecourse:

F0(x, ξ) =g0(x, ξ) +Q(x, ξ) (3.8)

Selain (3.7), dapat dipikirkan suatu program linier recourse yang lebih umum dengan suatu recourse vektor y(ξ) ∈ Y ⊂ Rn¯, (Y himpunan polyhedral, seperti

{y|y≥0}), suatu sembarang fixedm×n¯matrixW (matriksrecourse) dan vektor unit biayaq ∈R¯n, menghasilkan untuk (3.8) fungsi recourse:

Q(x, ξ) = min y qTy|W y≥g+(x, ξ), y ∈Y (3.9) dengan g+(x, ξ) = g1+(x, ξ),· · · , g + m(x, ξ) T

Perhatikan suatu pabrik menghasilkan m produk, gi(x, ξ) dapat dipahami sebagai perbedaan {permintaan}-{output} produk i. Maka g_i+(x, ξ) > 0 berarti bahwa terdapat kekurangan dalam produk i, relatif terhadap permintaan. De-ngan meDe-ngandaikan bahwa pabrik komit untuk memenuhi permintaan, problema (3.7) misalnya dapat diinterpretasikan sebagai membeli kekurangan produk i di pasar. Problema (3.9) dapat dihasilkan dari program produksi tahap kedua, yang

dilaksanakan dengan faktor inputy dan teknologi disajikan oleh matriksW. Jika dipilih W =I, m×m identitas matriks, (3.7) menjadi kasus khusus dari (3.9).

Akhirnya juga dapat dipikirkan program recourse nonlinier untuk mendefi-nisikan fungsi recourse terhadap (3.8); misalnya, W(x, ξ) dapat dipilih sebagai:

Q(x, ξ) = minq(y)|Hi(y)≥g+_i (x, ξ), i= 1,· · · , m; y∈Y ⊂Rn¯ , (3.10)

dengan q :R¯n→R dan Hi :R¯n→R diandaikan diketahui.

Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang ingin meminimumkan ni-lai ekspektasi biaya total (yaitu, tahap pertama dan biaya recourse), cukup me-mandang formulasi deterministik ekivalen, program stokastik dua tahap dengan recourse: min x∈XEξ˜f0(x, ˜ ξ) = min x∈XEξ˜ n g0(x,ξ˜) +Q(x,ξ˜) o . (3.11)

Problema dua tahap di atas dapat diperluas terhadap program recourse tahap ganda sebagai berikut: di samping dua keputusan x dan y, harus diambil ditahap 1 dan 2, sekarang problema dihadapkan denganK+ 1 keputusan sequen-sial x0, x1, . . . , xK(xτ ∈ Rn¯τ), yang harus diambil pada tahap τ = 0,1, . . . , K.

Kata ”tahap” dapat, tapi tidak perlu, diartikan sebagai ”periode waktu”.

Andaikan untuk penyederhanaan bahwa objektif dari (3.6) deterministik, yaitu, g0(x, ξ) = g0(x). Pada tahap τ(τ ≥ 1) diketahui realisasi ξ1, . . . , ξτ dari

vektor acak ˜ξ1, . . . ,ξτ˜ dan keputusan sebelumnya x0, . . . , xτ, harus diputuskan

terhadap xτ sehingga kendala (dengan fungsi kendalagτ)

dipenuhi, yang pada tahap ini hanya dapat dicapai oleh pemilihan tepatxτ, yang didasarkan pada pengetahuan keputusan dan realisasi sebelumnya. Jadi, dengan mengandaikan fungsi biayaqτ(xτ), pada tahap τ ≥1 diperoleh fungsi recourse:

Qτ = (x0, x1, . . . , xτ−1, ξ1, . . . , ξτ) = min

xτ

{qτ(xτ)|gτ(x0, x1, . . . , xτ−1, ξ1, . . . , ξτ)≤0}

yang mengidentifikasikan tindakan optimal recourse ˆxτ pada waktu τ tergantung pada keputusan sebelumnya dan realisasi yang diamati hingga tahap τ, yaitu

ˆ

xτ = ˆxτ(x0,· · ·, xτ−1, ξ1,· · · , ξτ), τ ≥1

Jadi, untuk tahap ganda diperoleh sebagai total biaya untuk problema tahap ganda f0(x0, ξ1,· · · , ξK) =g0(x0) + K X τ=1 E_ξ˜ 1,···,ξ˜τQτ(x0,xˆ1,· · · ,xτ−ˆ 1, ξ1,· · · , ξτ) (3.12)

menghasilkan deterministik ekivalen untuk problemaprogram stokastik tahap ganda dengan recourse min x0∈X " g0(x0) + K X τ=1 E_ξ˜ 1,···,ξ˜τQτ(x0,ˆx1,· · · ,xτ−ˆ 1, ˜ ξ1,· · · ,ξτ˜) # (3.13)

Jelas merupakan generalisasi langsung dari program stokastik dua tahap de-ngan recourse (3.11).

3.3 Pohon Skenario

Dalam banyak aplikasi, sebaran peubah acak tidak diketahui atau walaupun diketahui, terlalu mahal untuk memperhatikan sebaran diskrit dengan banyak hasil yang mungkin atau menangani sebaran kontinu dengan integrasi numerik.

Merupakan hal yang umum untuk memilih himpunan hasil representatif yang relatif kecil yang disebut skenario untuk menyajikan kejadian acak. Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data historis, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun dengan simulasi. Setiap skenario diberikan nilai probabialitas untuk merefleksikan kemungkinan kejadiannya. Untuk model tahap ganda, informasi skenario dapat diorganisasikan ke dalam struktur pohon.

Gambar 3.1 : Pohon Skenario Untuk Problema 4 Tahap

Buhul AKAR menyatakan waktu sekarang atau bagian dari data yang dike-tahui. Pada tahap 2, terdapat 4 kemungkinan berbeda dan setiap dari padanya mempunyai berbagai hasil berbeda yang mungkin di tahap 3 dan seterusnya. Suatu skenario terdiri dari lintasan lengkap dari buhul akar ke satu buhul daun, mendefinisikan realisasi tunggal dari himpunan peubah acak.

Ambil jumlah tahap T dan jumlah hasil yang mungkin dalam setiap tahap

dapat dilabel secara berurutan oleh Kt , untuk t = 1, . . . , T. Buhul di setiap

tahap dapat dilabel secara berurutan dengankt= 1, . . . , Ktuntuk semuat. Dt(k)

yang merupakan dua buhul paling kiri dalam waktu 3. Untuk setiap buhul daun k dalam tahap T, andaikan pk

t merupakan probabilitas terkait dari keterjadian skenario. Untuk t=T −1, . . . ,1, pk t diberikan oleh pk_t+1 = X l∈Dt=1 pl_t+1 dengan pl = 1

Pohon keputusan memberikan kelenturan kepada pemodel untuk memilih skenario yang diperlukan untuk diperhatikan dan kepentingannya. Begitupun tidaklah praktis untuk memperhatikan terlalu banyak skenario. Ini terutama ter-jadi untuk problema dimana banyak mengandung faktor acak.

Ilustrasi Dasar.

Problema Program Linier (PL). Formulasi dalam notasi vektor: min cTx

kendala Ax=b

x≥0

Dalam model ini nilai parameterc, Adanbtertentu (deterministik). Artinya bahwa nilai-nilai ini tidak mengandung ketidakpastian. Misalnya harga suatu peubah untuk beberapa waktu mendatang dapat diperoleh tidak bergantung pada faktor-faktor ekonomi. Hal ini biasanya secara realita tidak tepat. Selalu saja ada pengaruh ketidakpastian. Apalagi pada kondisi dunia pada dekade ini yang dikarakterisasi oleh ketidakpastian tinggi. Hal ini dapat terlihat dari

1. Nilai tukar mata uang 2. Suku bunga bank 3. Indeks saham 4. Harga emas

5. Harga minyak dunia

Untuk perkembangan ke bentuk/model ketidakpastian diperhatikan ilustrasi berikut:

Contoh.

Petani A memiliki sebidang tanah. Ia ingin menamam padi, jagung dan kacang. Yang ingin ia tentukan adalah berapa luas tanah tersebut untuk padi, jagung dan kacang.

Andaikan data untuk pengolahan tanaman seperti di tabel bawah ini;

Peubah keputusan

x1 = luas tanah (are) untuk padi

x2 = luas tanah (are) untuk jagung

x3 = luas tanah (are) untuk kacang

w1 = berat (ton) padi terjual

w2 = berat (ton) jagung terjual

w3 = berat (ton) kacang terjual pada harga yang diinginkan

w4 = berat (ton) kacang terjual di bawah harga yang diinginkan

y1 = berat (ton) padi yang dibeli

y2 = berat (ton) jagung yang dibeli

Model Program Linier

Problema ini dapat diformulasikan ke dalam model Program Linier (deter-ministik) Minimumkan 150x1+ 230x2 + 260x3+ 238y1+ 210y2 −170w1 −150w2 −36w3 −10w4 Kendala x1+x2+x3 ≤500 x1, x2, x3 ≥0 2.5x1+y1−w1 ≥200 3x2 +y2−w2 ≥240 w1+w4 ≤20x3 w3 ≤6000 w1, w2, w3, w4, y1, y2 ≥0

Hasil optimalnya pada tabel dibawah ini:

Tabel 3.2 : Hasil Optimal Awal

Hasil demikian ini pada dasarnya telah memenuhi keinginan sang petani.

a. Memanfaatkan luas tanah sesuai dengan kuota tanaman kacangan

b. Memanfaatkan luas tanah untuk memenuhi persyaratan terhadap padi dan jagung

c. Tanam padi untuk tanah yang sisa jual kelebihannya

Namun hasil demikian dapat terjadi apabila tidak terjadi hal-hal lain, mi-salnya cuaca. Disini diandaikan terdapat 3 skenario, yaitu

1. Cuaca baik : kenaikan 20% 2. Cuaca rata-rata : tetap

Masing-masing skenario memiliki peluang yang sama yaitu 1/3. Berikut model dengan adanya skenario:

Hasil optimalnya pada tabel dibawah ini:

Tabel 3.3 : Hasil Optimal Setelah Adanya Skenario

Model program stokastik dengan recourse: min 150x1 + 230x2+ 260x3+ 3 X 1 P(s) (238y1(s) + 210y2(s)−170w1(s) −150w2(s)−36w3(s)−10w4(s))

kendala x1+x2+x3 ≤500 x1,2,3 ≥0 ε1(s)x1+y1(s)−w1(s)≥200 ε2(s)x2+y2(s)−w2(s)≥240 w3(s) +w4(s)≤ε2(s)x3 w3(s)≤6000 y1,2,3(s)≥0, w1,2,3,4(s)≥0 s−skenario P(s) = 1₃, s= 1,2,3       ε1(1) ε2(1) ε3(1) ε1(2) ε2(2) ε3(2) ε1(3) ε2(3) ε3(3)       =       3.0 3.6 24 2.5 3.0 20 2.0 2.4 16       = Matriks acak Jadi

min 150x1+ 230x2+ 260x3 ← bagian deterministik (tahap I)

+ 3 X 1 P(s) (238y1(s) + 210y2(s)−170w1(s)−150w2(s)−36w3(s)−10w4(s)) | {z }

Bagian stokastik ( tahap II ) kendala x1 +x2+x3 ≤500 x1,2,3 ≥0     

ε1(s)x1+y1(s)−w1(s)≥ 200 ε2(s)x2+y2(s)−w2(s)≥ 240 w3(s) +w4(s)≤ε2(s)x3 w3(s)≤6000 y1,2,3(s)≥0, w1,2,3,4(s)≥ 0 s = 1,2,3                               

←kendala stokastik (tahap II)

Dari bentuk model ini dapat dituliskan fungsi recoursenya adalah:

Q(x1, x2, x3, s) = min 238y1(s)+210y2(s)−170w1(s)−150w2(s)−36w3(s)−10w4(s) kendala: ε1(s)x1+y1(s)−w1(s)≥200 ε2(s)x2+y2(s)−w2(s)≥240 w3(s) +w4(s)≤ε2(s)x3 w3(s)≤6000 y1,2,3(s)≥0, w1,2,3,4(s)≥0

Jadi nilai ekspektasi dari fungsi recourse:

Q(x) =E3Q(x, ε) = 3 X

1

P(s)Q(x1, x2, x3, s)

Sehingga model recourse berbentuk:

min 150x1 + 230x2+ 260x3 +E3Q(x, ε)

kendala x1+x2 +x3 ≤500

atau secara umum model recourse dua tahap dapat ditulis sebagai min cTx+Q(x)

kendala Ax=b

x≥0

secara lebih umum model recourse ini dapat berbentuk: min

x f1(x) +Eε[Q(x, ε)]

kendala Ax=b

x≥0

dimana untuk setiap realisasi wdari ε Q(x, w) = min

y f2(y, w)

kendala W(w)y =h(w)−v(w)x y≥0

nilai ekspektasi dari nilai objektif tahap kedua merupakan recourse. Pada tahap pertama sebuah keputusan dibuat didasarkan pada data yang tersedia pada saat itu. Ditahap kedua. untuk setiap realisasi yang mungkin dari peubah acak ε, suatu keputusan baru diambil yang tergantung pada keputusan tahap satu. Ek-spektasi biaya pada kedua tahap dihitung dan keputusan tahap satu dapat direvisi untuk mencapai keseimbangan biaya keseluruhan yang lebih baik antara tahap 1 dan tahap 2. Proses demikian ini diulang hingga ekspektasi biaya keseluruhan optimal.

Peubah Ketidakpastian dengan Sebaran Kontinu.

para-Tabel 3.4 : Data Pengolahan Tanaman Sebaran Kontinu 1. ε1, ε2, ε3 tersebar bebas 2. `i ≤εi ≤ui, i= 1,2,3 bersebaran bebas. KepadatanPε(t) =      1/(ui−`i) `i ≤t ≤ui 0 t /∈[`i, ui]

Formulasi Program Stokastik:

min 150x1 + 230x2+ 260x3 ←bagian deterministik (tahap I)

+Eε₁,ε2,ε3(238y1 + 280y2−170w1−150w2−36w3−10w4)

| {z }

Bagian stokastik (tahap II)

kendala I      x1+x2+x3 ≤500 x1, x2, x3 ≥0

II                          ε1x1+y1−w1 ≥200 ε2x2+y2−w2 ≥240 w3+w4 ≤ε3x3 w3 ≤6000 y1,2,3 ≥0, w1,2,3,4 ≥0

←Kendala stokastik (tahap II)

Dekomposisi program stokastik:

Fungsi Recourse: Q1(x1, ε1) = min 238y1(ε1)−170w1(ε1) Kendalaε1x1+y1−w1 ≥200 Padi y1(ε1)≥0, w1(ε1)≥0 Q2(x2, ε2) = min 210y2(ε2)−150w2(ε2) Jagung Kendalaε2x2+y2(ε2)−w2(ε2)≥240 y2(ε2)≥0, w2(ε2)≥0

Q3(x3, ε3) = min(−36w3(ε3)−10w4(ε3))

Kendalaw3(ε3) +w4(ε3)≤ε3x3 Kacang

w3(ε3)≤6000

w3(ε3)≥0

Bentuk Eksplisit Fungsi Recourse: Padi y1(ε1) =−min[ε1x1−200,0], w1(ε1) = max[ε1x1−200,0], Q1(x1, ε1) =−238 min[ε1x1−200,0]−170 max[ε1x1−200,0] Jagung y2(ε2) =−min[ε2x2−240,0], w1(ε1) = max[ε2x2−240,0] Q2(x2, ε2) =−210 min[ε2x2−240,0]−150 max[ε2x2−240,0] Kacang w3(ε3) = min[6000, ε3x3], w4(ε3) = max[ε3x3−6000,0] Q3(x3, ε3) =−36 min[6000, ε3x3]−10 max[ε3x3 −6000,0]

Jadi Formulasi Recourse:

min 150x1 + 230x2+ 260x3

+Eε1Q1(x1, ε1) + Eε2Q2(x2, ε2) + Eε3Q3(x3, ε3)

kendala

x1+x2+x3 ≤500

Padi : Hasilε1 bersebaran uniform Pε₁(t) =      1/(ui−`i) `i ≤t ≤ui 0 t /∈[`i, ui] 1. Kasus apabilau1, x1≤200 : Q1(x1, ε1) =−238[x1, ε1−200] Q1(x1) =Eε1Q1(x1, ε1) =−238 u1 Z `1 (tx1−200)Pε1(t)dt= 7600−238x1ε¯1

dengan ¯ε1 = u1+₂x1 dalam nilai ekspektasi dariεi, i= 1,2,3

2. Kasus apabila`1x1 ≤200≤u1x1 Q1(x1) =Eε1Q1(x1, ε1) =−238 u1 R `1 (tx1−200)Pε1(t)dt−170 u1 R 200/x1 (tx1−200)Pε1(t)dt =−170(¯ε1x1−200) + 34 (200−`1x1)2 (u1−`1)x1 3. Kasus apabila 200≤`1x1 :Q1(x1, ε1) = 170(x1, ε1−200) Q1(x1) =Eε1Q1(x1, ε1) =−170 u1 Z `1 (tx1−200)Pε1(t)dt= 34000−170x1ε¯1

Analog untuk jagung dan kacang terdapat: Jagung Q2(x2) =            50400−210x2ε¯2 u2x2 ≤240 −150(x2ε2 −240) + 30 (240−`2x2)2 (u2−`2)x2 `2x2 ≤240≤u2x2 36000−150x2ε¯2 240 ≤`2x2 Kacang Q3(x3) =            −36x3ε¯3 u3x3≤6000 −36x3ε¯3+ 13 (u3x3−6000)2 (u3−`3)x3 `3x3≤ 240≤u3x3 −156000−10x ε¯ 6000≤` x

Jadi dapat dituliskan formulasi global dari program stokastik sebagai: problema optimisasi konveks

min 150x1+ 230x2+ 260x3+Q1(x1) +Q2(x2) +Q3(x3)

kendalax1+x2+x3 ≤500

x1, x2, x3 ≥0

Qi(xi) merupakan fungsi konveks kontinu yang hanya tergantung pada vektor keputusan x. Derivasi Penyelesaian optimal

Notasi (c1, c2, c3) = (150.230.260) λ-peubah dual Syarat Karush-Kuhn-Tucker: xici+ ∂ ∂xiQi(xi) +λ = 0 ci+_∂x∂ iQi(xi) +λ ≥0 λ(x1+x2+x3−500) = 0 x1+x2+x3 ≤500 x1, x2, x3 ≥0, λ≥0 Perhitungan derivative: Padi ∂ ∂x1Q1(x1) =            −238¯ε1 u1x1≤200 −34 `21 u1−`1 −5¯ε1− 40000 (u1−`1)x1 `1x1 ≤200 ≤u1x1 36000−150x2ε¯2 200≤`1x1

Jagung ∂ ∂x2Q2(x2) =            −210¯ε2 u2x2≤240 −30 <sub>`</sub>2 2 u2−`2 −5¯ε2− 57600 (u2−`2)x2 `2x2 ≤240 ≤u2x2 −150¯ε2 240≤`2x2 Kacang ∂ ∂x3Q3(x3) =            −36¯ε3 u3x3 ≤6000 −36¯ε3+ 13u2<sub>3</sub> u3−`3 − 468.106 (u3−`3)x23 `3x3 ≤6000≤u3x3 −10¯ε2 6000≤`3x3

Jika diandaikan bahwa:

`1 = 2,0, u1 = 3,0, ε¯1 = 2,5

`2 = 2,4, u2 = 3,6, ε¯2 = 3,0

`3 = 16, u3 = 24, ε¯3 = 20

Dengan memakai teknik enumerasi dapat ditentukan bahwa penyelesaian optimal harus memenuhi:

x1 ≥100, 200 3 ≤ x2 ≤100, 250 ≤x3 ≤375 Sistem persamaan : −275 +λ= 0 −76− 1,44(106) x2 2 +λ= 0 476− 5,85(107) x2 3 +λ= 0 x1+x2+x3 = 500

Jadi diperoleh nilai optimal:

MODEL DAN PENYELESAIANNYA

Ikan dan hasil olahannya adalah merupakan sumber utama protein hewani didalam makanan yang dibutuhkan masyarakat Di Indonesia kebanyakan proses pengolahan industri ikan ditemukan didaerah sekitar pantai. Ada delapan jenis hasil ikan olahan yang dihasilkan oleh masyarakat yang tinggal disekitar pantai, ke delapan hasil ikan olahan tersebut adalah:

1. Ikan kering. 2. Ikan asin. 3. Dendeng (BBQ Fish). 4. Ikan pindang. 5. Ikan asap. 6. Terasi. 7. Ikan presto. 8. Bakso ikan

Industri pengolahan ikan berlokasi didaerah pantai timur Provinsi Sumatera Utara Indonesia. Industri tersebut dijalankan masyarakat daerah tersebut harus membuat perencanaan produksi kedelapan jenis ikan olahan untuk memenuhi kebutuhan pasar pada setiap priode waktu t, t = 1, . . . , T. Dalam hal ini tiap

periode sama dengan satu bulan. Model parameter dan variabel keputusan digu-nakan pada keseluruhan penelitian ini didefinisikan sebagai berikut :

Himpunan. a. T = Banyaknya periode. b. N = Himpunan produksi. c. M = Himpunan sumber. d. S = Himpunan skenario. Variabel

a. Xjt = Hasil dari produksi j ∈N dalam periode t∈T (unit ). j = 1 untuk ikan kering.

j = 2 untuk ikan asin. j = 3 untuk dendeng j = 4 untuk ikan pindang. j = 5 untuk ikan asap. j = 6 untuk terasi. j = 7 untuk ikan presto. j = 8 untuk bakso ikan.

b. ujt : Jumlah penambahan sumberi∈M untuk pengambilan dalam t∈T.

c. Kjt : Banyaknya pekerja yang diperlukan untuk menghasilkan produksi j dalam periode t ∈T (orang-periode).

d. K_jt− : Banyaknya pekerja yang istirahat untuk menghasilkan produksij ∈N dalam periode t ∈T (orang-periode).

e. Kjt+ : Banyaknya penambahan tenaga kerja untuk menghasilkan produksi j ∈N dalam periode t∈T (orang- periode).

f. Ijt : Jumlah produksi j ∈N yang istirahat dalam periode t∈T (unit).

g. Bjt : Dibawah penurunan produksi periode j ∈N pada periode t∈T.

Parameter

a. α, β, γ, δ, µ, ρ, λ adalah semuanya biaya.

b. Djt : Permintaan produksi j∈ N dalam periode t∈T (unit).

c. Ujt : Batas atas dariujt.

d. rij : Jumlah sumber i ∈M yang diperlukan untuk menghasilkan satu unit produksi j ∈N.

e. fit : Jumlah sumber i∈M yang tersedia pada waktu t∈T (unit).

f. aj : Banyaknya pekerja yang diperlukan untuk menghasilkan satu unit pro-duksij ∈N.

4.1 Pembentukan Model

Tujuan utama dari problema perencanaan produksi ikan olahan ini adalah meminimumkan harga komponen biaya, yang tercakup meliputi harga produksi sumber daya, tenaga kerja dan persediaan (inventori). Terdapat keterbatasan dari tiap komponen, keterbatasan ini diungkapkan dalam kendala model berikut ini:

Model Pemograman Stokastik, min P j∈N P t∈T αjtxjt+ P i∈M P t∈T βituit+ P j∈N P t∈T µjtkjt + P j∈N P t∈T γjtk_jt−+ P j∈N P t∈T δjtkjt++ P s∈S Ps P j∈N P t∈T ρsjtI s jt+ P s∈S P s∈S Ps P j∈N P t∈T λsjtB s jt (4.1) kendala P j∈N

rijxjt ≤fit+uit ;∀i∈M,∀t ∈T (4.2)

Uit≤Uit ;∀i∈M,∀t∈T (4.3) P j∈N ajxjt ≤kt ;∀t∈T (4.4) kjt =kjt−1 +k_jt+−k_jt− ;∀j ∈N,∀t ∈T (4.5) xjt+Bs jt−1+I s jt−B s jt =D s jt ;∀j ∈N,∀t∈T,∀s∈S (4.6) xjt, uit, kjt, k−jt, k + jt, I s jt, B s jt ≥0 ;j ∈N,∀I ∈M,∀t∈T,∀s∈S (4.7)

Didalam problema perencanaan produksi ini ditentukan bahwa:

a. Banyaknya tiap produksi pengolahan ikan untuk dihasilkan pada tiap pe-riode.

b. Penambahan sumber yang digunakan.

c. Banyaknya tambahan tenaga kerja dan pengistirahatan tenaga kerja yang teratur tiap periode.

Permintaan untuk setiap periode waktu tidak diketahui secara pasti. Oleh karena itu permintaan secara random ditiap periode waktu harus diputuskan jum-lahnya untuk disimpan dalam persediaan.

Semua keputusan diformulasikan didalam pernyataan (4.1) dari model seba-gai fungsi objektif. Kendala (4.2) menyatakan bahwa banyaknya sumber i ∈ M dibutuhkan untuk menghasilkan produksi j ∈ N, sedikitnya akan sama dengan banyaknya sumber yang tersedia pada waktu t∈T.

Begitupun sumber tambahan diperlukan untuk batas atas (4.3). Pada ken-dala (4.4) terdapat banyak pekerja yang dibutuhkan untuk menghasilkan satu unit produksi j ∈N. Kendala (4.5), menjamin bahwa pekerja tersedia dalam periode yang sama sebanding dengan banyaknya pekerja dari periode sebelumnya ditam-bah peruditam-bahan tingkat banyaknya pekerja selama periode sekarang. Peruditam-bahan tingkat banyaknya pekerja mungkin sebagaimana mestinya terhadap penamba-han tenaga kerja ekstra atau mengistirahatkan kelebipenamba-han tenaga kerja. Kendala (4.6) menentukan jumlah produksi untuk disimpan pada persedian atau untuk memenuhi permintaan yang mendadak.

4.2 Metode Penyelesaian

Metode yang diajukan diambil dari metode pencarian langsung layak yang

dikembangkan oleh Nam Hwang. Perhatikan suatu problema Program Linier

Integer Campuran ( MILP) sebagai berikut:

min P =cTx (4.8)

kendalaAx≤b (4.9)

x≥0 (4.10)

Komponen dari vektor feasibel basic optimal (xb)k, untuk penyelesaian ter-hadap MILP secara berkelanjutan dapat dituliskan sebagai:

(xB)k =βk −αk1(xN)1 − · · · −αkj(xN)j− · · · −αkn −m(xN)n−m (4.12)

dengan catatan bahwa : pernyataan ini dapat ditemukan dalam prosedur akhir tabel simpleks. Jika (XB)k adalah suatu variabel integer dan diasumsikan bahwa βk tidak integer, kemudian partisikanβk menjadi komponen pecahan dan kompo-nen integer diberikan oleh:

βk = [βk] +fk, 0≤fk ≤1 (4.13)

Andaikan diinginkan untuk menambah (XB)k terhadap integer terdekat-nya yaitu ([β] + 1). Didasarkan pada gagasan dari penyelesaian sub optimal mungkin dinaikkan suatu variabel non basic yang khusus katakanlah (XN)J∗,

di-atas bdi-atas di-atasnya nol diberikan αkj∗ sebagai salah satu elemen dari vektor αj∗

adalah negatif. Ambil ∆j∗ merupakan jumlah dari perpindahan non variabel

(XN)J∗ sehingga nilai numerik dari skalar (XB)_k adalah integer. Merujuk ke

per-samaan (4.12), maka ∆j∗ dapat dinyatakan sebagai:

∆f∗ =

1−fk

−αkj∗ (4.14)

sementara variabel non basic yang sisa berada pada nol. Dapat dilihat bahwa sete-lah mensubstitusikan (4.14) pada (4.12) untuk (XN)J∗ dan membawanya untuk

diperhitungkan partisi dari βk yang diberikan pada persamaan (4.13) diperoleh:

(XB)k = [β] + 1

Jelaslah bahwa variabel non basic memainkan peran penting untuk men-jumlahkan variabel basic yang bersesuaian. Karena itu hasil berikut perlu untuk memastikan bahwa haruslah variabel non integer bekerja dalam proses penjumla-han.

Teorema 1 Andaikan problema MILP (1.1) -(1.4) mempunyai suatu penyele-saian optimal maka variabel non basic (XN)j, j = 1, . . . , n haruslah merupakan variabel non integer.

Bukti. Menyelesaikan problema sebagai variabel slack yang kontinu (dimana non integer, kecuali dalam hal kendala kesamaan ). Jika diasumsikan bahwa vektor dari variabel basicXB terdiri dari semua variabel slack, maka semua variabel inte-ger akan berada dalam vektor non basicXN dan karena itu bernilai integer. Jadi jelaslah bahwa komponen komponen yang lain (XB)i6=k, dari vektorXB juga akan dipenuhi sebagai nilai numerik dari skalar (XN)j∗ bertambah sebesar ∆_j∗.

Aki-batnya, jika elemen dari vektorαj∗, misalnyaαj∗ untuki6=k adalah positif, maka

elemen yang bersesuaian dari XB akan berkurang dan bahkan mungkin bergerak melewati nol. Begitupun komponen vektor x haruslah tidak bergerak dibawah nol, hal ini karena pembatasan non negatif. Karena itu perumusan ini disebut test rasio minimum diperlukan untuk melihat bagaimana pergerakan maksimum dari non basic (XN)J∗ yang semua komponen x masih feasibel. Test rasio ini

meliputi dua kasus yaitu:

1. Variabel basic, (XB)i6=k menurun pertama ( batas bawah ) turun ke nol.

Khususnya sesuai dengan masing-masing kedua kasus diatas , salah satu akan dihitung sebagai berikut:

θ1 = min i6=k/α_j∗≥0 { β1 αj∗ } (4.15) θ2 = ∆j∗ (4.16)

Sejauh mana salah satu dapat dibiarkan variabel non basic (XN) dari batas nolnya sehingga vektor x masih feasibel akan tergantung pada test rasio θ∗ _yang diberikan dibawah ini, yaitu:

θ∗ = min(θ1, θ2) (4.17)

Jelas, jikaθ∗ _=θ

1, satu dari variabel basic (XB)i6=k akan menyinggung batas bawah sebelum (XB)k menjadi integer. Jika θ∗ = θ2, nilai numerik dari variabel

basic (XB)k akan menjadi integer dan kefeasibelan masih diutamakan. Dengan cara yang sama dapat direduksi nilai numerik dari variabel basic (XB)k terhadap integer terdekatnya [βk]. Dalam hal ini jumlah perpindahan dari variabel non basic tertentu, (XN)j∗, berhubungan terhadap elemen positif dari vektorαj, diberikan

oleh,

∆f∗ =

fk

αkj (4.18)

Untuk menjaga fisibilitasnya maka test rasio θ∗ masih diperlukan. Per-hatikan pergerakan dari variabel non basic tertentu ∆, seperti dinyatakan pada persamaan (4.14) dan persamaan (4.18). Satu satunya faktor yang diperlukan untuk menghitung elemen vektorα yang bersesuaian. Vektorαj dapat dituliskan sebagai berikut:

Karena itu, untuk mendapatkan elemen vektorαj tertentu, akan ditetapkan kolom matriks [B]−1 _{yang bersesuaian. Andaikan dibutuhkan nilai elemen αkj}

∗,

ambil vT

k adalah vektor kolom ke k dari [B

−1_{] maka diperoleh:}

v_kT =eT_k[B−1] (4.20)

Berikutnya, nilai numerik dariαkj∗ dapat diperoleh dari:

αkj∗ =vT

kaj∗ (4.21)

Dalam istilah Linier Programming operasi penghubung dikerjakan pada per-samaan (4.20) dan perper-samaan (4.21) disebut operasi ”Pricing”. Vektor biaya pe-ngurangan harga dj dapat digunakan untuk mengukur galat dari nilai fungsi ob-jektif yang disebabkan oleh pelepasan variabel non basic dari batasnya. Akibatnya didalam penetapan non basic akan dibiarkan dalam proses penjumlahan, vektor dj yang mana harus diambil untuk diperhitungkan sehingga galatnya minimum. Penyelesaian kontinu minimum menyediakan batas bawah terhadap penyelesaian feasibel integer. Tidak pernah dibayangkan jumlah dari pergerakan variabel non basic tertentu seperti diberikan pada persamaan (4.14) atau (4.18), tergantung didalam cara pada elemen vektor αj yang bersesuaian. Karena itu dapat dia-mati galat dari nilai fungsi objektif yang disebabkan terhadap variabel non basic (XN)J∗ yang dibiarkan sehingga seperti nilai penjumlahan variabel basic (XB)_k

dapat diukur dengan:

_αkj∗dk (4.22)

dengan |a| merupakan nilai absolut skalar a.

Untuk meminimumkan galat dari penyelesaian kontinu yang optimal maka digunakan strategi berikut untuk memutuskan yang mana dapat ditambah dari

batasan nolnya yaitu: min j _αkj∗dk , j = 1, . . . , n−m (4.23)

Dari strategi kendala aktif dan partisi dari kendala yang bersesuaian ter-hadap variabel basic (B), variabel super basic (S), dan variabel non basic (N), dapat ditulis dalam bentuk matriks:

" B S N I #   xb xN xS   = " b bN # (4.24) atau Bxb+SxN+N xS =b (4.25) xN =bN (4.26)

Matriks basis B diasumsikan merupakan matriks bujur sangkar dan non singulair, sehingga diperoleh:

xB =β−W xS−αxN (4.27)

dimana,

β =B−1b (4.28)

V =B−1S (4.29)

α =B−1N (4.30)

Pernyataan (4.26) menunjukkan bahwa variabel non basic memenuhi sama dengan batas. Pandangan melalui pendekatan pernyataan basic dari persamaan

MILP dapat diimplementasikan. Khususnya dapat dibiarkan variabel non basic dari batasan, persamaan (4.26) dan penukarannya dengan variabel basic yang bersesuaian di dalam proses penjumlahan, walaupun penyelesaiannya akan di mundurkan. Sekarang dalam posisi dimana variabel basic tertentu, (XB)kmenjadi penjumlahan, dengan demikian variabel non basic yang bersesuaian (CN)j∗

dibiar-kan dari batas nolnya. Andaidibiar-kan perubahan maksimum dari (XN)j∗ memenuhi:

θ∗ = ∆j∗

sehingga (XB)k bernilai integer untuk memanfaatkan alat merubah basis, jadi dapat dipindahkan (XN)j∗ menjadi B dan nilai integer (XB)_k ke dalam S untuk

mempertahankan penyelesaian integer. Sekarang terdapat penyelesaian dimun-durkan sejak variabel basic tepat pada batasnya. Proses penjumlahan dilanjutkan dengan himpunan baru [B, S]. Dalam hal ini, bagaimanapun dapat diakhiri de-ngan semua variabel integer yang berada pada super basic.

4.2.1 Algoritma dari metode

Setelah menyelesaikan problema relaksasi dengan metode yang diajukan ter-dahulu untuk program skokastik linier, prosedur perencanaan penyelesaian layak integer dapat dideskripsikan sebagai berikut:

Andaikan

x = [x] + f,0 ≤ f < 1

penyelesaian kontinu dari problema relaksasi

Langkah 2. Lakukan operasi ’pricing’, yaitu hitungvT i∗ = e

T i∗B

−1

Langkah 3. Hitung σij = vT

i∗aj dengan j berkaitan pada minj n _σdi

ij

o

I. Untuk nonbasis j di batas bawah

Jika σij <0 dan σi∗=fi hitung ∆ = (1−δi ∗)

−σij

Jika σij >0 dan σi∗= 1−fi hitung ∆ = (1−δi ∗)

−σij

Jika σij <0 dan σi∗= 1−fi hitung ∆ = δi∗

−σij

Jika σij >0 dan σi∗=fi hitung ∆ = δi∗

σij

II. Untuk nonbasis j di batas atas

Jika σij <0 dan σi∗= 1−fi hitung ∆ = (1−δi∗)

−σij

Jika σij >0 dan σi∗=fi hitung ∆ = (1−δi ∗)

σij

Jika σij >0 dan σi∗= 1−fi hitung ∆ = δi∗

σij

Jika σij <0 dan σi∗=fi hitung ∆ = δi∗

−σij

Jika tidak pergi ke nonbasis atau superbasis j berikutnya (jika ada). Jadi nilai j∗ dinaikkan dari batas bawahnya atau diturunkan dari batas atasnya. Jika tidak ada pergi kei∗ berikutnya.

Langkah 4. Hitung αj∗ = B−1_{aj∗ yaitu selesaikan Bαj∗ = aj∗ untuk αj∗}

Langkah 5. Uji kelayakan, terdapat 3 kemungkinan untuk peubah basis tetap layak karena pelepasan peubah nonbasis j∗ dari batasnya.

Jikaj∗ _{dibatas bawah} Ambil A= min i0_6=i∗_|α ij∗>0 xB_i0 −li0 αij∗ B = min i0_6=i∗_|α ij∗<0 ui0−xB i0 −αij∗ C = ∆

gerak maksimum darij∗ tergantung pada θ∗ = min(A, B, C)

Jikaj∗ di batas atas.

A0= min i0_6=i∗_|α ij∗>0 _xB i0 −li0 −αij∗ B0= min i0_6=i∗_|α ij∗>0 _ui0−xB i0 αij∗ C0= ∆

Gerak maksimum dari j∗ _{tergantung pada θ}∗ _{= min(A}0_{, B}0_{, C}0₎

Langkah 6. Pertahankan basis untuk ke 3 kemungkinan

1. Jika A atau A0

(a) xB_i0 menjadi nonbasis di batas bawahli0

(b) xj∗ menjadi basis (menggantikanxB i0)

(c) xi∗ tetap basis (tak integer)

2. Jika B atau B0

(b) xj∗ menjadi basis (menggantikanxB i0)

(c) xi∗ tetap basis (integer)

3. Jika C atau C0

(a) xj∗ menjadi basis (menggantikanxi∗)

(b) xi∗ menjadi superbasis bernilai integer.

Ulangi dari langkah 1.

4.3 Hasil Perhitungan

Perencanaan setara meliputi untuk setiap tiga bulan sekali. Akibatnya ter-dapat empat periode di dalam satu tahun T = {1,2,3,4}. Setelah mensurvei lokasi maka didapatkan bahwa ; kondisi pasar terhadap 8 jenis ikan olahan dapat menghasilkan dalam 3 situasi yang mungkin yaitu ; baik, sedang dan jelek, yang bersesuaian dengan peluang berturut-turut adalah : 0,30, 0,50, dan 0,20

Data disusun dalam tabel sebagai berikut : Tabel 4.1 : Biaya Produksi

Produksi Periode 1 2 3 4 1 2300 2300 2350 2400 2 780 800 800 850 3 6700 6700 6750 6800 4 8500 8550 8600 8600 5 15100 15100 15200 15200 6 3500 3550 3600 3600 7 1600 1600 1750 1800 8 8000 8200 8250 8300