Materi Ekonometrika untuk S1

Ekonometrika

Program Studi Statistika, semester Ganjil  2012/2013

Autocorrelation

 Terjadi ketika kovarians dan korelasi antar galat ≠ tidak sama

dengan nol.

 Salah satu pelanggaran asumsi



u

_t

,

u

_s





0

,

untuk

beberapa

t



s

cov

 Paling sering terjadi pada data deret waktu

 Karena urutan pengamatan mempunyai makna

 Galat pada satu periode mempengaruhi galat pada periode berikutnya  Terutama pada periode dengan jarak pendek (mis: harian)

 Pada data cross section jarang terjadi

Penyebab Autokorelasi



Ommited important variable



Misspecification of the model

Omitted variable

 Misalkan Y_t dipengaruhi oleh X_2t dan X_3t

 Akan tetapi X_3t tidak disertakan di dalam model.

t t

t

X

u

Y





₁





_{1 2}



u

_t



X

_3t



v

_t



Sifat data time series:



X

_3t

berhubungan dengan

X

_3,t-1,

X

_3,t-2

Misspecification of the model



Misalkan

Y

_t

dipengaruhi oleh

X

_2t

secara kuadratik

t t

t

t

X

X

u

Y





₁





_{2 2}





_{3 2}2



 Akan tetapi suku kuadratik X_2t tidak disertakan di dalam

model.

t t

t

X

v

Y





₁





_{2 2}



v

_t





₃

X

₂2_t



u

_t

 Jika X_2t naik atau turun seiring waktu maka v_t juga akan naik

Systematic Errors in Measurement



Pengukuran yang dilakukan pada waktu

tertentu

 Misalkan tingkat sediaan pada waktu

t

 Terjadi kesalahan dalam pengukuran tersebut



Jika variabel bersifat akumulatif, maka

kesalahan pengukuran juga akan

terakumulatif



Error di pengamatan

t

dipengaruhi oleh error

Jenis autokorelasi

 Yang paling sering terjadi adalah first order serial

autocorrelation: AR(1)

t kt

k t

t

t

X

X

X

u

Y





₁





_{2 2}





_{3 3}











t t

t

u

u





_1





 ρ menyatakan hubungan fungsional antar galat

u

_t  Koefisien dari

first order autocorrelation

,



ρ=0, tidak ada autokorelasi



ρ→1, positif korelasi serial, galat waktu

sebelumnya sangat mempengaruhi galat saat

ini.

 Galat waktu

t

-1 yang (-) diikuti oleh galat waktu

t

yang juga (-)

 Galat waktu

t

-1 yang (+) diikuti oleh galat waktu

t

yang juga (+)



ρ→-1, negatif korelasi serial, galat waktu

sebelumnya sangat mempengaruhi galat saat

ini.

 Galat waktu

t

-1 yang (-) diikuti oleh galat waktu

t

yang (+)

 Galat waktu

t

-1 yang (+) diikuti oleh galat waktu

t

Positive Autocorrelation

Autokorelasi positif, ditunjukkan oleh pola siklus dari galat seiring waktu.

+

-t

uˆ

+

1

ˆ_t

u

-3.7 -6 -6.5 -6 -3.1 -5 -3 0.5 -1 1 4 3 5 7 8 7

+

-Time

t

Negative Autocorrelation

Autokorelasi negatif, ditunjukkan dari pola yang ‘alternating’ dari galat seiring waktu

+

-t

uˆ

+

1

ˆt

u

+

-t

uˆ

No pattern in residuals –

No autocorrelation

Tidak ada pola dari galat, tidak ada autokorelasi

+ t

uˆ

-+

1

ˆ_t

u

+

-t

uˆ

Efek dari Autokorelasi

 Penduga OLS untuk koefisien regresi tetap tidak bias akan tetap tidak

lagi efisien (ragam besar)

 Tidak lagi BLUE

 Penduga ragam bagi koefisien regresi menjadi bias dan tidak konsisten

 Uji hipotesis tidak lagi valid

 Tidak mencerminkan hal yang sebenarnya

 Overestimated R2:

 Lebih besar dari yang sebenarnya

 Model lebih sering dinyatakan ‘a good fit’ daripada hubungan yang

sebenarnya

Efek matematis terhadap ragam penduga 

koefisien

 Ragam peragam penduga koefisien OLS tanpa autokorelasi:

 





1



 



1

'

ˆ

var

β



X'

X



X'

E

uu

X

X'

X



 

ˆ





1 ₂





1

var

β



X'

X



X'



IX

X'

X



 

ˆ

₂





1





1 ₂





1



Jika terdapat autokorelasi, maka:



uu



Ω

                       1 1 1 1 ' 3 2 1 3 2 2 2 1 2 2      n n n n n n E             



u

_t

u

_t



E

,

E



u

_t

,

u

_t1



E



u

_t

,

u

_{t 2}



 

_{ }





1



 



1

1

'

ˆ

var

β

_AR



X'

X



X'

E

uu

X

X'

X



 Ragam peragam penduga koefisien OLS dengan autokorelasi:

Detecting Autocorrelation:The Durbin­

Watson Test

Uji Durbin-Watson (DW):

- Uji untuk first order autocorrelation AR (1)

u_t = u_t-1 + v_t

dengan v_t  N(0, _v2₎.

 Hipotesis uji:

 H₀: =0 and H₁: 0

 Statistik uji





DW

u u

u

t t t

T

t t

T



 _ 

 



 



1 2

2

The Durbin­Watson Test: Critical Values

Dengan penyederhanaan:

)

1

(

AR

pada

korelasi

koefisien

penduga

:

ˆ



1

ˆ

1









Sehingga:



1 ˆ



2 



DW

4 0 DW 

2 :

0

ˆ  DW 



Untuk DW → 2, tidak akan ada cukup bukti untuk adanya

autokorelasi

Terdapat dua nilai kritis bagi DW, Upper critical value (d_u)

Lower critical value (d_L)

The Durbin­Watson Test: Interpretasi 

hasil uji

 Dapat dilakukan untuk menguji autokorelasi sampai derajat

ke r

Uji Breusch­Godfrey

t r

t r t

t t

t

u

u

u

u

v

u





_{1 1}





_{2  2}





_{3 3}









_





₀

,

2



~

_v

t

N

v



Hipotesis nol dan hipotesis alternatif:

H

₀

:



₁

= 0 dan



₂

= 0 dan ... dan



_r

= 0

H

₁

:



₁



0 atau



₂



0 atau ... atau



_r



0

 Dengan mengkombinasikan sifat galat tsb dan model regresi:

t r

r t

t kt

k t

t

X

X

u

u

u

v

Langkah­langkah uji 

Breusch­Godfrey

 

 Langkah 1: Dapatkan penduga bagi model regresi

 Langkah 2: Dapatkan penduga galat

t t

t

Y

Y

u

ˆ





ˆ

 Langkah 3: Dapatkan penduga auxiliary regression bagi

penduga galat sebagai fungsi dari seluruh peubah eksogen dan galat sejumlah lag yang ingin diuji

p t p k t

k kt

k t

t

X

X

u

u

u

ˆ





₀





_{1 2}













_1

ˆ

_1









_

ˆ

_

t kt

k t

t

t

X

X

X

u

 Langkah 4: Dapatkan statistik uji berdasarkan

koefisien determinasi dari auxiliary regression R2





2

~

2

r

R

r

n

LM







 Langkah 5: Tolak H₀ jika ada bukti yang nyata dari

statistik uji

 Penentuan

r

tergantung dari periode data (bulanan,

Cara Mengatasi Autokorelasi



Berdasarkan pengetahuan tentang ρ diketahui

 ρ diketahui atau

Mengatasi autokorelasi ketika 

ρ

diketahui

 ρ diketahui dan diasumsikan autokorelasi terjadi seusai

AR(1) model. t kt k t t

t

X

X

X

u

Y





₁





_{2 2}





_{3 3}











t t

t

u

u





_1





 Model yang sama berlaku pada waktu ke t-1

1 1 1 3 3 1 2 2 1

1    







t



t





k kt



t

t

X

X

X

u

Y











 Model pada t-1 dikalikan dengan ρ

1 1 1 3 3 1 2 2 1

1    







t



t





k kt



t

t

X

X

X

u

Y























(1)

 Persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2) t kt k t t

t

X

X

X

u

Y





₁





_{2 2}





_{3 3}











1 1 1 3 3 1 2 2 1

1    







t



t





k kt



t

t

X

X

X

u

Y



























₂



_{2 2 1}





_{1 1}





₁



1

1

1

   























_{t t t k kt kt t t}

t

Y

X

X

X

X

u

u

Y



















t t

k t

t

X

X

Y

*





₁*





_{2 2}*









₃*





 Akibat pembedaan, pengamatan berkurang 1  Pengamatan pertama digantikan dengan:

2 1 * 1 2 1 *

1



Y

1





,

X

i



X

i

1





Mengatasi autokorelasi ketika 

ρ

tidak diketahui: 

Cochrane­Orcutt Iterative Procedure

 Langkah 1: duga model regresi dan dapatkan penduga

galat

 Langkah 2: duga koefisien korelasi serial orde 1

dengan metode OLS dari:

t t

t

u

u

ˆ





ˆ

_1









2 1 * 1 2 1 * 1 1 * 1 * 1 1 *

ˆ

1

,

ˆ

1

ˆ

,

ˆ

1

,

ˆ



































_{ } i i it it it t t t

X

X

Y

Y

X

X

X

Y

Y

Y

t t k t t

t

X

X

Y

*





*





_{2 2}*









₃*





 Langkah 3: Lakukan transformasi untuk peubah

peubah yang dipakai dengan hubungan berikut:

 Langkah 4: Dapatkan penduga regresi dan penduga

 Ulangi lagi langkah 2 sampai dengan 4 sampai

dipenuhi kriteria berikut:



iterasi

ke



ˆ



iterasi

ke



1





0

ˆ



j







j



