Perumusan Ensembel
Mekanika Statistik Kuantum
Part-1
Latar Belakang
• Untuk system yang distinguishable maka teori ensemble mekanika statistic klasik dapat dipergunakan.
• Tetapi bilamana system partikel bersifat indistinguishable maka penerapan teori ensemble klasik mesti dilakukan hati-hati, bahkan bisa memberikan kesimpulan yang salah dalam kasus tertentu.
• Oleh karena itu, agar mampu menangani kasus system
partikel yang indistinguishable diperlukan perumusan ulang teori ensemble dalam kerangka mekanika kuantum.
• Dalam limit suhu tinggi, kerapatan partikel rendah system-
system akan kembali berlaku seperti system klasik.
Teori Ensembel Mekanika Kuantum
• Misal ada N buah system identik, N >>1. Semua system ini dikarakterisasi oleh Hamiltonian yang sama, dinyatakan oleh operator Hamiltonian 𝐻
• Tiap saat t, setiap system tsb dikarakterisasi oleh fungsi gelombang 𝜓 𝒓 𝒊 , 𝑡 . Misalkan 𝜓 𝑘 𝒓 𝒊 , 𝑡 adalah fungsi gelombang ternormalisasi system ke k.
• Perilaku 𝜓 𝑘 𝒓 𝒊 , 𝑡 akan tunduk pada pers. Schrodinger : 𝐻𝜓 𝑘 𝒓 𝒊 , 𝑡 = 𝑖ℏ 𝜓 𝑘 𝒓 𝒊 , 𝑡 (1)*
• Misalkan kita punya basis set orthonormal yang lengkap (di ruang Hilbert)
*) dalam notasi Bra-Ket, 𝐻 𝑘 > = 𝑖ℏ
𝜕𝜕𝑡
𝑘 >
Teori Ensembel Mekanika Kuantum
• 𝜙 𝑛 sehingga 𝜓 𝑘 tsb dapat dinyatakan dalam 𝜙 𝑛 *):
𝜓 𝑘 𝑡 =
𝑛
𝑎 𝑛 𝑘 𝑡 𝜙 𝑛
• Koefisien 𝑎 𝑛 𝑘 dapat diperioleh melalui sifat orthonormal **) 𝑎 𝑛 𝑘 (𝑡) = 𝜙 𝑛 ∗ 𝜓 𝑘 (𝑡) 𝑑𝜏
• Dengan 𝑑𝜏 adalah elemen volume di ruang spatial terkait.
• Sehingga jika 𝑎 𝑛 𝑘 bisa diperoleh berarti kita peroleh ungkapan bagi fungsi gelombang system tsb 𝜓 𝑘 (𝑡).
• Evolusi koefisien 𝑎 𝑛 𝑘 (𝑡) diberikan oleh:
*) dalam notasi Bra-Ket, |𝑘 > =
𝑛𝑎
𝑛𝑘|𝑛 >
**) 𝑎
𝑛𝑘=< 𝑛|𝑘 >
Teori Ensembel Mekanika Kuantum
𝑖ℏ 𝑎 𝑛 𝑘 (𝑡) = 𝑖ℏ 𝜙 𝑛 ∗ 𝜓 𝑘 (𝑡) 𝑑𝜏
𝑖ℏ 𝑎 𝑛 𝑘 (𝑡) = 𝜙 𝑛 ∗ 𝐻 𝜓 𝑘 (𝑡) 𝑑𝜏
𝑖ℏ 𝑎 𝑛 𝑘 (𝑡) = 𝜙 𝑛 ∗ 𝐻
𝑚
𝑎 𝑚 𝑘 𝑡 𝜙 𝑚 𝑑𝜏 𝑖ℏ 𝑎 𝑛 𝑘 (𝑡) =
𝑚
𝐻 𝑛𝑚 𝑎 𝑚 𝑘 𝑡
Dengan H
nmadalah elemen matrix operator H :
𝐻 𝑛𝑚 = 𝜙 𝑛 ∗ 𝐻𝜙 𝑚 𝑑𝜏
Teori Ensembel Mekanika Kuantum
• Arti fisis 𝑎 𝑛 𝑘 𝑡 2 dikaitkan dengan probabilitas menemukan system ke-k pada saat t berada dalam keadaan 𝜙 𝑛 . Karena tiap saat system mesti berada di salah satu keadaan-n tsb maka mestilah:
𝑛
𝑎 𝑛 𝑘 2 = 1
• Dalam notasi Dirac, |𝑛 > ≡ 𝜙 𝑛 , maka nilai rata-rata
(ekspektasi) suatu observable A yg dinyatakan oleh operator 𝐴 berada dalam status keadaan terkait 𝜓 𝑘 ≡ |𝑘 > diberikan
oleh :
Rata-rata Besaran Fisis
< 𝐴 > 𝑘 =< 𝑘 𝐴 𝑘 > =
𝑚 𝑛
𝑎 𝑛 𝑘 𝑎 𝑚 𝑘 ∗ < 𝑚 𝐴 𝑛 >
< 𝐴 > 𝑘 =
𝑚 𝑛
< 𝑛 𝑘 >< 𝑘 𝑚 > < 𝑚 𝐴 𝑛 >
• Ini adalah perata-rattan thd status keadaan kuantum.
• Selanjutnya dihitung rata-rata statistic (ensemble) dari besaran A diberikan oleh
< 𝐴 > =
𝑘=1 𝑁
𝑊 𝑘 < 𝐴 > 𝑘
• Dengan W
kadalah bobot statistic (probabilitas) ditemukan
system berada dalam keadaan k ini. Tentu saja :
Density Operator
0 ≤ 𝑊 𝑘 ≤ 1 dan 𝑘=1 𝑁 𝑊 𝑘 = 1
• Sehingga :
< 𝐴 > =
𝑘=1 𝑁
𝑛 𝑚
< 𝑛 𝑘 > 𝑊 𝑘 < 𝑘 𝑚 > < 𝑚 𝐴 𝑛 >
• Sekarang kita definisikan operator kerapatan (density operator) 𝜌:
𝜌 =
𝑘=1 𝑁
|𝑘 > 𝑊 𝑘 < 𝑘|
• Elemen matrix dari density operator ini di ruang {|n>} adalah:
Elemen Density Matrix
𝜌 𝑛𝑚 =< 𝑛 𝜌 𝑚 > =
𝑘=1 𝑁
< 𝑛 𝑘 > 𝑊 𝑘 < 𝑘 𝑚 >
=
𝑘=1 𝑁
𝑊 𝑘 𝑎 𝑚 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛 𝑘 = 1
𝑁 𝑘=1 𝑁
𝑎 𝑚 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛 𝑘
• Untuk hasil terakhir telah diasumsikan bobot W
ksama untuk seluruh k. Terlihat 𝜌 𝑛𝑚 =rata-rata ensemble 𝑎 𝑚 𝑘 𝑎 𝑛 𝑘 .
• Nilai 𝝆 𝒏𝒏 adalah probabilitas menemukan suatu system berada dalam keadaan |n>.
• Jika dipakai definisi: 𝜌 𝑛𝑛 = 𝑘=1 𝑁 𝑎 𝑛 𝑘 2 yg terkait dengan
operator 𝜌 = 𝑘=1 𝑁 |𝑘 >< 𝑘|, maka 𝜌 adalah jumlah status
keadaan.
Rata-Rata Besaran Fisika dan Density Operator
• Dengan hasil terakhir ini maka ungkapan <A> dapat dituliskan:
< 𝐴 > =
𝑛 𝑚
< 𝑛 𝜌 𝑚 > < 𝑚 𝐴 𝑛 >
< 𝐴 > =
𝑛
< 𝑛 𝜌𝐴 𝑛 > = 𝑇𝑟(𝜌𝐴) Tr : trace(A)! Jika A=I (identitas), jelas bahwa :
𝑇𝑟 𝜌 =
𝑛
𝜌 𝑛𝑛 = 1
Catatan: jika fungsi gelombang 𝜓 𝑘 tidak ternormalisasi maka:
Rata-Rata Besaran Fisika dan Density Operator
< 𝐴 > = 𝑇𝑟 𝜌𝐴 𝑇𝑟 𝜌
Dalam representasi ruang vector yang terkait dengan
Hamiltonian (energy) matrix density akan berupa diagonal matrix. Dalam ruang representasi yg lain, umumnya tetap
simmetrik karena kebutuhan akan sifat “detailed balanced” agar
menjamin tercapainya kesetimbangan dalam system mekanika
statistic.
Perumusan Ensembel Mikrokanonik
• Ensembel memiliki N dan V tetap, dengan energy H=E atau 𝐸 − 1
2 Δ < 𝐻 < 𝐸 + 1
2 Δ𝐸 (atau bahkan H < E).
• Γ(𝐸): banyaknya status keadaan (microstate) yg aksesible yang terkait! Asumsinya tiap microstate ini memiliki
probabilitas yg sama untuk terpilih. Hal ini dikenal sbg prinsip
“equal apriori probabilities”.
• Maka komponen density matrix (dlm representasi energy diagonal):
𝜌 𝑛𝑚 = 𝛿 𝑛𝑚 𝜌 𝑛
Perumusan Ensembel Mikrokanonik
• 𝜌 𝑛 =
1
Γ 𝑎𝑡𝑎𝑢 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑎𝑘𝑠𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒
0 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
• 1/Γ : jika 𝜌 n yg dipakai adalah probabilitas.
• Hubungan dengan Thermodinamika sama spt perumusan klasik yaitu melalui entropi :
𝑆 = 𝑘 ln Γ
Dengan Γ adalah banyak status keadaan mikro berbeda
(distinct) yg aksesible! Dalam menghitung Γ mesti dilakukan secara mekanika kuantum yaitu memperhitungkan sifat
indistinguishability dari partikel yg terlibat. Jadi tidak akan terjadi
Paradox Gibbs!
Banyak Status Keadaan
• Jika dipakai 𝜌 𝑛 = 1 maka,
Γ 𝐸 = 𝑇𝑟 𝜌 =
𝑛
𝜌 𝑛𝑛
• Untuk system makroskopik, jarak antar status keadaan di skala energy sangat kecil shg bisa dianggap kontinum, maka :
Γ(𝐸) = 𝜔 𝐸 Δ
• Jadi dari perumusan klasik untuk Γ(𝐸) menjadi perumusan kuantum :
Γ 𝐸 = 1
𝑁! ℎ 3𝑁 ∫ 𝑑𝑝 𝑑𝑞 →
𝑛
Dari menghitung volum di ruang fasa menjadi menjumlah status
keadaan microstate.
Fungsi Partisi Kanonik
• Seperti di mikrokanonik:
Γ 𝐸 = 1
𝑁! ℎ 3𝑁 ∫ 𝑑𝑝 𝑑𝑞 →
𝑛
• Untuk ensemble kanonik maka komponen density matrix-nya diberikan oleh:
𝜌 𝑛𝑚 = 𝛿 𝑛𝑚 𝑒 −𝛽𝐸
𝑛Dengan 𝜌 𝑛𝑛 menyatakan probabilitas menemukan system dalam status keadaan microstate n yg memiliki energy E
n.
• Fungsi partisi Kanonik adalah:
𝑄 𝑁 𝑉, 𝑇 = 𝑇𝑟 𝜌 =
𝑛
𝑒 −𝛽𝐸
𝑛=
𝐸
𝑔 𝐸 𝑒 −𝛽𝐸
Penjumlahan thd n adalah thd seluruh n yg distinct! Bukan thd energy!
Fungsi Partisi dan Operator Density
• Operator density dinyatakan oleh:
𝜌 =
𝑛
𝑛 > 𝑒 −𝛽𝐸
𝑛< 𝑛 = 𝑒 −𝛽 𝐻
𝑛
𝑛 >< 𝑛 Dengan H adalah operator Hamiltonian. Karena sifat completeness dari fungsi basis {|n>}, maka :
𝜌 = 𝑒 −𝛽 𝐻
• Jadi secara formal fungsi partisi Kanonik dapat dituliskan:
𝑄 𝑁 𝑉, 𝑇 = 𝑇𝑟(𝑒 −𝛽 𝐻 )
• Rata-rata ensemble suatu besaran :
< 𝐴 > = 𝑇𝑟 𝐴𝑒 −𝛽 𝐻
𝑇𝑟 𝑒 −𝛽 𝐻 = 𝑇𝑟 𝑒 −𝛽 𝐻
𝑄 𝑁
Perumusan Ensembel Grand Kanonik
• Seperti di Klasik fungsi partis Grand Kanonik : 𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 =
𝑁=0
∞
𝑧 𝑁 𝑄 𝑁 (𝑉, 𝑇)
Dengan Q
N(V,T) adalah fungsi partisi kanonik system N partikel.
Rata-rata ensemble besaran A diberikan oleh :
< 𝐴 > = 1
𝜁 𝑁=0
∞
𝑧 𝑁 < 𝐴 > 𝑁
Dengan <A>
N: rata-rata ensemble kanonik. Sehingga boleh juga dituliskan:
𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 = 𝑇𝑟(𝑒 −𝛽 𝐻−𝜇𝑁 )
< 𝐴 > = 1
𝜁 𝑇𝑟 (𝐴 𝑒 −𝛽 𝐻−𝜇𝑁 )
Penerapan Mikrokanonik: Gas Ideal Tak Berinteraksi
• Model gas ideal : N partikel identic tak saling interaksi dalam volum V. Hamiltonian system :
𝐻 =
𝑖=1 𝑁 𝑝 𝑖 2
2𝑚 Dengan 𝑝 𝑖 2 = 𝒑 𝒊 . 𝒑 𝒊 .
• Di alam ini N partikel identic ada 2 jenis : system Fermi atau system Bose.
• Untuk system Fermi : fungsi gelombang system bersifat antisimetrik thd pertukaran posisi partikel.
• Untuk system Bose: fungsi gelombang system bersifat simetrik
thd pertukaran posisi partikel
Penerapan Mikrokanonik: Gas IDeal
• Partikel yg memenuhi kaidah Fermi disebut Fermion dan yg memenuhi kaidah Bose disebut Boson.
• Untuk keperluan model matematik, didefinisikan partikel memenuhi kaidah Boltzmann, yaitu system dengan fungsi
eigennya = fungsi eigen fermion + boson + lainnya. Di alam tak ada partikel spt ini, tapi pada suhu tinggi dan density rendah Fermion dan Boson mendekati system Boltzmann.
• Jadi sekarang kita bahas tiga model non interacting partikel:
– Fermion
– Boson
– Boltzon
Ilustrasi Perbedaan “Counting”
Fermion-Boson-Boltzon
Kasus 1: Dua medali hadiah : 1Medali Newton dan 1Medali Faraday.
Rule : Satu orang bisa menerima keduanya, atau 1 atau tidak sama sekali.
Akan dibagikan kepada 3 orang : Andi, Bayu dan Caca. Berapa cara berbeda membagikan medali tsb?
No Andi Bayu Caca 1 N,F
2 N F
3 N F
4 NF
5 F N
6 N F
7 NF
8 F N
9 F N
Ada =9 cara berbeda mendistribusikannya.
Hadiah : adalah jenis partikel
Orang : adalah status keadaan (“bilangan kuantum”) Berarti dalam contoh ini : Ada 3 status keadaan
berbeda dan 2 partikel yg akan menempatinya.
Jadi 1 status keadaan bisa menerima lebih dari 1
partikel dan partikelnya berbeda (medali BEDA) Ini
distribusi Boltzmann.
Ilustrasi : Distribusi Boson
Kasus 2: Dua hadiah berupa 2 koin emas 100 gram (K) masing-masing.
Rule: Satu orang bisa menerima keduanya, atau 1 atau tidak sama sekali.
Akan dibagikan kepada 3 orang : Andi, Bayu dan Caca. Berapa cara berbeda membagikan medali tsb?
No Andi Bayu Caca 1 2K
2 K K
3 K K
4 2K
5 K K
6 K K
7 2K
8 K K
9 K K
Ada =6 cara berbeda mendistribusikannya.
Hadiah : adalah jenis partikel (dalam hal ini KOIN tak ada bedanya)
Orang : adalah status keadaan (“bilangan kuantum”) Berarti dalam contoh ini : Ada 3 status keadaan
berbeda dan 2 partikel tak terbedakan yg akan menempatinya.
Jadi 1 status keadaan bisa menerima lebih dari 1
partikel dan partikelnya tak terbedakan Ini distribusi
Boson.
Kasus 3: Dua hadiah berupa kesempatan menjadi pemain bola (B) di tim Universitas.
Rule : Maka satu orang tentu hanya bisa menerima 1 atau tidak sama sekali.
Akan dibagikan kepada 3 orang : Andi, Bayu dan Caca. Berapa cara berbeda membagikan medali tsb?
No Andi Bayu Caca 1 B
2 B B
3 B B
4 B
5 B B
6 B B
7 B
8 B B
9 B B
