1 BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Runtun waktu adalah himpunan observasi yang terurut terhadap dimensi waktu, sehingga runtun waktu dapat diartikan sebagai rangkaian data berupa nilai pengamatan (observasi) yang diukur berdasarkan waktu dengan interval yang sama. Sedangkan metode runtun waktu adalah suatu metode untuk memodelkan perilaku runtun waktu sehingga dapat dilakukan peramalan untuk data pada periode selanjutnya berdasarkan data pada periode sebelumnya. Contoh penggunaan metode runtun waktu adalah pada harga pembukaan saham di bursa efek. Selain itu hasil peramalan digunakan juga sebagai alat bantu dalam penentuan kebijakan yang tepat. Oleh karena itu, diharapkan dapat diperoleh hasil peramalan yang akurat.
2
Secara umum metode runtun waktu mempunyai tujuan untuk pemodelan dan peramalan. Pemodelan bertujuan mendapatkan model yang cocok dalam merepresentasikan perilaku runtun waktu, sedangkan peramalan berkaitan dengan pembentukan model dan metode yang dapat digunakan untuk memperoleh hasil peramalan yang akurat (Alfisyahr, 2010). Jadi, hal yang dapat mempengaruhi hasil peramalan diantaranya adalah model yang digunakan. Oleh karena itu, jika terdapat kecenderungan perilaku nonlinear dalam runtun waktu, tentu tidak bijaksana jika dalam pemodelannya digunakan model linear.
Untuk pemodelan runtun waktu yang nonlinear salah satu alternatif yang dapat digunakan adalah model Smooth Transition Autoregressive. Model ini adalah model runtun waktu nonlinear yang merupakan perluasan dari model
Autoregressive (AR). Berdasarkan fungsi transisinya model ini terdiri dari dua
jenis yaitu model Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) dan model
Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR). Untuk mengestimasi
parameter dari model ini digunakan metode Nonlinear Least Square (NLS). Pada model ini pemilihan model terbaik menggunakan nilai standar deviasi dan nilai
Akaike Information Criterion (AIC) terkecil.
Penerapan model Smooth Transition Autoregressive telah dilakukan pada beberapa data ekonomi dan finansial seperti pada data inflasi, data return saham dan data nilai tukar mata uang (Forecasting Performance of Logistic STAR
Exchange Rate Model: The Original and Reparameterised Versions oleh Liew
Nonlinearities In Exchange Rate: Evidence From Smooth Transition Regression
Model oleh Marko Korhonen pada tahun 2005).
Telah diketahui uang merupakan alat tukar yang telah digunakan dan diterima secara umum terutama dalam kegiatan transaksi perdagangan. Namun, pada umumnya perdagangan antar negara hanya dapat berlangsung jika dimungkinkan terjadinya pertukaran mata uang suatu negara menjadi mata uang negara lain. Sehingga dalam pembayaran intenasional diperlukan suatu proses valuta asing atau yang dikenal sebagai kurs. Valuta asing atau kurs dapat dikatakan sebagai nilai tukar mata uang suatu negara terhadap mata uang negara lain. Menurut Korhonen (2005), terdapat kecenderungan perilaku nonlinear dalan nilai tukar mata uang (kurs).
Oleh karena itu, untuk simulasi pemodelan Smooth Transition
Autoregressive pada tugas akhir ini menggunakan data nilai tukar rupiah terhadap
bath. Sebab Thailand merupakan salah satu negara di Asia Tenggara yang
memiliki kerjasama bilateral dengan Indonesia sehingga peramalan nilai tukar rupiah terhadap bath diperlukan untuk dapat menentukan kebijakan yang tepat.
Berdasarkan uraian tersebut penulis tertarik untuk melakukan suatu kajian dalam bentuk tugas akhir, untuk selanjutnya diberi judul “PEMODELAN
SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE ” dengan studi kasus nilai tukar
4
1.2. Batasan Masalah
Dalam tugas akhir ini penulis memberikan pembatasan terhadap masalah dalam tugas akhir ini yaitu
1. Data yang digunakan pada studi kasus tugas akhir ini adalah data nilai tukar rupiah terhadap bath yang diperoleh dari data Bank Indonesia pada situs resminya yaitu www.bi.go.id dengan periode dari 01 Januari 2006 sampai 29 April 2011.
2. Model Smooth Transition Autoregressive yang digunakan untuk memodelkan data merupakan model yang sederhana.
1.3 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan pembatasan masalah yang telah diuraikan di atas, maka dalam tugas akhir ini dirumuskan masalah sebagai berikut:
1. Bagaimana kajian teoritis pemodelan data runtun waktu dengan menggunakan
Smooth Transition Autoregressive?
2. Bagaimana model yang sesuai untuk data nilai tukar rupiah terhadap bath dengan menggunakan Smooth Transition Autoregressive?
3. Bagaimana hasil peramalan data nilai tukar rupiah terhadap bath dengan menggunakan Smooth Transition Autoregressive?
1.4 Tujuan Penulisan
1. Mengetahui kajian teoritis pemodelan data runtun waktu dengan menggunakan Smooth Transition Autoregressive.
2. Mengetahui model yang sesuai untuk data nilai tukar rupiah terhadap bath dengan menggunakan Smooth Transition Autoregressive.
3. Mengetahui hasil peramalan data nilai tukar rupiah terhadap bath dengan menggunakan Smooth Transition Autoregressive.
1.5. Manfaat Penulisan
1.5.1. Manfaat Teoritis
Dalam runtun waktu terdapat pula kecenderungan perilaku nonlinear maka melalui tugas akhir ini, diharapkan dapat diperoleh pemahaman baru dan lebih mendalam mengenai metode runtun waktu, bahwa selain model runtun waktu linear terdapat pula model runtun waktu nonlinear.
1.5.2. Manfaat Praktis
29 BAB 3
SMOOTH TRANSITON AUTOREGRESSIVE
3.1. Model Smooth Transition Autoregressive
Model Smooth Transition Autoregressive adalah salah satu model runtun waktu nonlinear yang merupakan perluasan dari model Autoregressive (AR). Menurut Teravirta (1994), bentuk umum dari runtun waktu univariat yang diobservasi pada saat = 1, … , − 1, adalah
= 1 − ; , + ; , + … (3.1)
dengan
= 1, dimana = , … ,
= , , , , … , , , = 1,2
; , : fungsi transisi yang bernilai antara 0 dan 1
: variabel transisi, d > 0
c : parameter lokasi
: parameter kemulusan
: nilai residu pada observasi ke- t yang berdistrbusi white noise
Berdasarkan fungsi transisinya terdapat dua tipe model Smooth Transition
Autoregressive yaitu:
1) Jika fungsi transisinya berupa fungsi logistik,
; , = "#$% & '
maka model disebut sebagai Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR)
dimana ketika → 0 maka ; , = , sehingga model LSTAR menjadi
model linear AR.
2) Jika fungsi transisinya berupa fungsi eksponensial,
; , = 1 − exp − − , > 0 … (3.3)
maka model disebut sebagai Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR) dimana ketika → 0 maka ; , = 1, sehingga model ESTAR
menjadi model linear AR. Demikian pula ketika → ∞ maka ; , = 1. Langkah-langkah untuk membentuk model Smooth Transition Autoregressive yaitu:
1. Memodelkan data dengan proses AR yang sesuai.
a. Membuat plot runtun waktu untuk melihat kestasioneran data. Apabila data belum stsioner dapat dilakukan pembedaan (differencing) atau tranformasi data.
b. Menentukan model AR berdasarkan plot FAK dan FAKP. c. Mengestimasi parameter untuk model AR yang terpilih. d. Memilih model AR terbaik berdasarkan uji verifikasi.
2. Memodelkan data dengan model Smooth Transition Autoregressive
a. Melakukan uji nonlinearitas terhadap model dengan hipotesis nol linearitas AR melawan alternatif nonlinearitas Smooth Transition
Autoregressive. Jika hipotesis nol ditolak maka modelkan data dengan
31
b. Berdasarkan hasil uji nonlinearitas dapat terpilih variabel transisi dan fungsi transisi yang sesuai.
c. Mengestimasi parameter dari model Smooth Transition Autoregressive yang terpilih.
3. Mengevaluasi dan memilih model yang terbaik berdasarkan nilai standar deviasi dan nilai Akaike Information Criterion (AIC) terkecil .
4. Menggunakan model terbaik untuk peramalan data pada periode selanjutnya.
3.2 Uji Nonlinearitas
Persamaan (3.1) sebelumnya dapat dituliskan sebagai
= + − ; , + … (3.4)
sehingga dapat dibentuk hipotesis sebagai berikut: i. 3 : = (model linear)
3 : terdapat minimal satu ,? ≠ ,? ; A = 1,2, … , B model nonlinear)
Selain itu, dari persamaan (3.4) dapat juga dibentuk hipotesis sebagai berikut: ii. 3 : = 0 (model linear)
3 : ≠ 0 (model nonlinear)
Pada pengujian dari kedua hipotesis ini tidak semua parameter dalam model dapat tercakup di bawah asumsi hipotesis nol, untuk mengatasi hal tersebut Terasvirta pada pengujian hipotesis (ii) menggunakan uji Lagrange Multiplier (LM) yang berdistribusi chi-squared C dan mengganti fungsi transisi
Uji Nonlinearitas untuk LSTAR
Menurut Luukkonen, Saikkonen dan Terasvirta (1988), fungsi transisi pada model (3.4) dapat diganti dengan ekspansi Taylor orde tiga di sekitar = 0,
D ; , = ; 0, + EF F ; , G &H
+12 EF F ; , G
&H +
1 6 DEF
D ; ,
F D G
&H
+ JD ; ,
= +K − +KL D − D+ J
D ; , …(3.5)
dimana JD ; , merupakan fungsi sisa.
Dengan mensubstitusi D ; , untuk ; , dalam persamaan (3.4) maka diperoleh
= M , + M′ + M′ + M′ + MD′ D + N … (3.6)
dimana N = + − ′ JD ; , dan M , serta M , = 0,1,2,3
merupakan fungsi parameter dari , , dan .
33
Uji Nonlinearitas untuk ESTAR
Menurut Granger dan Terasvirta (1993), fungsi transisi eksponensial pada model dapat diganti dengan pendekatan Taylor orde pertama di sekitar = 0,
; , = ; 0, + EF F ; , G
&H + J ; ,
= − + J ; , … (3.7)
dimana J ; , merupakan fungsi sisa.
Dengan mengganti ; , untuk ; , dalam persamaan (3.4) maka diperoleh
= M , + M′ + M′ + M′ + N … (3.8)
dimana N = + − ′ J ; , dan M , serta M , = 0,1,2,
menunjukkan bahwa pembatasan = 0 berhubungan dengan M = M = 0 dalam persamaan (3.8). Uji statistik untuk hipotesis nol ini dapat diuji dengan uji
Lagrange Multiplier (LM), dimana uji tersebut di bawah hipotesis nol dinotasikan
sebagai PQ berdistribusi chi-squared C dengan derajat kebebasan sebesar 2p. Selain itu, pengujian nonlinearitas untuk persamaan (3.6) dapat juga dilakukan mengggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Estimasi model dengan meregresikan pada , lalu hitung residual ̃ dan jumlah kuadrat residual SSJ = ∑UH ̃
2. Estimasi auxiliary regressors dari ̃ pada dan , = 1,2,3 lalu hitunglah jumlah kuadrat residual dari regresi SSJ
3. Statistik uji dapat dihitung dengan
yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan sebesar 3B dan − 0B − 1 .
Pemilihan Variabel Transisi
Pada penentuan fungsi transisi model smooth transition autoregressive digunakan prosedur dari Terasvirta yaitu melalui uji PQD. Meskipun PQD dikembangkan untuk uji alternatif LSTAR, uji ini memiliki kemampuan yang sama untuk alternatif ESTAR. Hal ini secara intuitif dapat terlihat dengan membandingkan persamaan (3.6) dan (3.8) yang digunakan untuk menghitung statistik PQ dan PQD bahwa semua auxiliary regressors dalam persamaan (3.8) terkandung dalam persamaan (3.6). Oleh karena itu, statitistik uji ini diduga memiliki kemampuan yang sama baiknya terhadap ESTAR.
Variabel transisi dapat ditentukan lebih dahulu tanpa menspesifikasikan bentuk alternatif dari fungsi transisi. Dengan menghitung statistik uji PQD untuk beberapa kandidat dari variabel transisi, dipilih variabel transisi dengan p-value terkecil atau statistik uji PQD terbesar.
Pemilihan Fungsi Transisi
Jika asumsi linearitas ditolak dan variabel transisi yang tepat telah dipilih maka langkah selanjutnya adalah memilih bentuk dari fungsi transisi
; , . Pemilihan fungsi transisi ; , dilakukan dengan menguji
urutan hipotesis nol berikut yang dapat dibentuk dari persamaan (3.6) yaitu:
i. 3 : MD = 0
35
iii. 3 D: M = 0|MD= M = 0E dengan ketentuan:
i. jika hipotesis nol 3 ditolak maka artinya model LSTAR yang dipilih, ii. jika hipotesis nol 3 ditolak maka artinya model ESTAR yang dipilih, iii. jika hipotesis nol 3 D ditolak maka artinya model LSTAR yang dipilih,
Selain itu pemilihan fungsi transisi dapat dilakukan dengan membandingkan tingkat signifikansi dari uji F dengan ketentuan jika p-value dari uji terhadap 3 paling kecil daripada uji terhadap hipotesis lainnya maka model ESTAR yang dipilih.
3.3 Estimasi Parameter
Berdasarkan model (3.1) yaitu,
= 1 − ; , + ; , +
Langkah-langkah mengestimasi parameter pada model tersebut dengan metode Nonlinear Least Square (NLS) mengunakan metode-metode iteratif seperti yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya pada dasarnya sama yaitu sebagai berikut:
1) Menentukan nilai awal yaitu ]^
2) Menyelesaikan persamaan normal dari suatu model yang akan ditaksir dengan tujuan untuk meminimumkan jumlah kuadrat residu yaitu
]^ = min ∑U − _ `,
dimana
]^ = , , ,
_ `, = 1 − ; , + ; ,
3) Iterasi akan berhenti pada saat nilai iterasi tersebut sudah konvergen
Dalam pengestimasian parameter selanjutnya perhitungan akan dilakukan dengan menggunakan bantuan software JMULTI 4.23 dan Eviews 6.
3.4 Kriteria Pemilihan Model Terbaik
Setelah dilakukan pengestimasian parameter untuk model yang terpilih, langkah selanjutnya adalah melakukan pemilihan model terbaik. Kriteria pemilihan model terbaik yaitu:
a. Uji Keberartian Koefisien (] atau ) Hipotesis yang harus diuji adalah
H0 : koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol.
H1 : koefisien berbeda secara signifikan dengan nol.
Adapun kriteria untuk uji keberartian koefisien adalah sebagai berikut. 1) Tolak H0 jika |abNc| < 2Se abNc atau
2) Tolak H0 jika B. ghijN < k
b. Nilai standar deviasi terkecil
Kriteria pemilihan model terbaik berdasarkan nilai standar deviasi adalah model dengan nilai standar deviasi terkecil.
37
lmn = iopq + 2a … (3.11)
dengan T adalah banyaknnya data, pq = ∑UH ̂ adalah residu hasil estimasi model dan k adalah banyaknya parameter yang diestimasi. Model yang dipilih adalah model yang memiliki nilai AIC terkecil.
3.5 Peramalan
50 BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Model Smooth Transition Autoregressive merupakan salah satu model runtun waktu nonlinear yang merupakan perluasan dari model Autoregressive (AR). Bentuk umum dari model ini adalah
= ′ 1 − ; , + ′ ; , +
dengan
(i) ; , = , > 0
(ii) ; , = 1 − exp − − , > 0
Jika ; , pada model Smooth Transition Autoregressive adalah (i) maka model disebut sebagai model Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) dan jika ; , adalah (ii) maka model disebut sebagai
Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR). Untuk
mengestimasi parameter dari model ini digunakan metode Nonlinear Least
Square (NLS) dengan kriteria pemilihan model terbaik menggunakan nilai
standar deviasi dan nilai Akaike Information Criterion (AIC) terkecil.
2. Berdasarkan hasil pengolahan data maka model Smooth Transition
Autoregressive yang sesuai untuk data nilai tukar rupiah terhadap bath adalah
51
= −0.042828 − 1.058321 − 0.477619 01
− 1
1 + 1 2 −77.47495 + 0.011197 3
+ 0.019733 − 0.977874y5
− 0.101556 0 1
1 + 1 2 −77.47495 + 0.011197 3
dengan adalah data return pada saat t dan 1 adalah residu yang dihasilkan model pada saat t.
3. Hasil peramalan nilai tukar rupiah terhadap bath untuk beberapa hari selanjutnya adalah
Tanggal Return Nilai tukar 2 Mei 2011 0.001842 270.0769 3 Mei 2011 0.002007 270.6195 4 Mei 2011 0.000813 270.8397 5 Mei 2011 0.000808 271.0587 6 Mei 2011 0.001056 271.3452
5.2 Saran
Untuk pengembangan selanjutnya disarankan:
1. Pada tugas akhir ini model Smooth Transition Autoregressive yang digunakan masih sederhana sehingga hasil peramalannya masih belum baik. Selain itu, model yang digunakan berupa runtun waktu univariat. Oleh karena itu, untuk memperbaiki hasil peramalan dapat digunakan model yang lebih kompleks ataupun melakukan pengembangan model seperti membentuk model Smooth
Transition GARCH.
2. Model nonlinear yang digunakan dalam pemodelan pada tugas akhir ini hanya model Smooth Transition Autoregressive. Untuk menentukan model nonlinear yang terbaik maka model ini dapat dibandingkan dengan model nonlinear yang lain seperti model Threshold Autoregressive (TAR), Model Self Exciting
Threshold Autoregressive (SETAR), model Markov Switching dan model
53
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. (2001). Eviews 4 user’s Guide. Irvine, CA: Quantitatif Micro Software. Alfisyahr, M. (2010). Peramalan nilai harga saham menggunakan model
Threshold Autoregressive Conditional Heterocedasticity (TARCH). Tugas
Akhir Sarjana Universitas Pendidikan Indonesia Bandung: tidak diterbitkan.
Box, G. P. G. and Jenkins, G. M. (1976). Time Series Analysis Forecasting and
Control. Holden-Day, San Francisco.
Korhonen, M. (2005). Nonlinearities In Exchange Rate: Evidence From Smooth
Transition Regressi On Model. [Online]. Tersedia :
http://herkules.oulu.fi/isbn9514279468/isbn9514279468.pdf [12 April 2011]
Nainggolan, S. (2009). Perbandingan Metode Marquardt Compromise dan
Metode Gauss Newton dalam Penaksiran Parameter Regresi Nonlinear.
[online]. Tersedia :
repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/14050/1/10E00372.pdf [10 Maret 2011]
Nur Cahyani, R. 2010. Pemodelan Smooth Transition Autoregressive (STAR)
Pada Kurs Thai Bath Terhadap Rupiah. [online]. Tersedia :
digilib.uns.ac.id/pengguna.php?mn=showview&id=16603[10 Maret 2011] Sanjoyo. 2006. Nonlinear Estimation. [Online].
Tersedia : http://mhs.blog.ui.ac.id/sanj55/files/2008/11/non-linier.pdf [15 Februari 2011]
Sen, L.K dan B, A.Z. (2002). Forecasting Performance of Logistic STAR
Exchange Rate Model: TheOriginal and Reparameterised Versions.
[Online]. Tersedia :
http://129.3.20.41/eps/ge/papers/0308/0308001.pdf [12 Mei 2011]
Soejoeti, Z. (1987). Analisis Runtun Waktu. Jakarta : Karunia Jakarta Universitas Terbuka.
Terasvirta, T. (1994). Spesification, Estimation, and Evaluation of Smooth
Transition Autoregressive Models. [Online].
Tsay, R.S. 2002. Analysis of Financial Time Series. John Wiley & Sons, Inc., Canada
Van Dijk, D. ( 1999).Smooth Transition Models: Extensions and Outlier Robust
Inference. [Online]. Tersedia :
http://publishing.eur.nl/ir/repub/asset/1856/fewdis20020501113139.pdf, [10 Januari 2011]
Wei, W. S. 1990. Time Series Analysis. Addison-Wesley Publishing Company, Canada
Zhou, J. (2010). Smooth Transition Autoregressive Models a Study of The
Industrial Production Index of Sweden. [Online]. Tersedia :
