Acara 6. Perancangan Perlakuan:
Percobaan Faktorial Lengkap
Tujuan : Mahasiswa dapat melakukan perancangan perlakuan dan mengerjakan analisis varians
yang sesuai dengan rancangan tersebut
Mahasiswa dapat mengerjakan rancangan percobaan faktorial, melakukan analisis, serta menafsirkan hasilnya sesuai dengan model rancangan tersebut
Acara 5 mempelajari bagaimana grup-grup perlakuan dapat dibuat terstruktur ataupun tidak. Dalam percobaan, struktur grup-grup perlakuan dibuat untukk membantu menjawab hipotesis-hipotesis ikutan secara sistematis. Strukturisasi perlakuan dikenal sebagai
rancangan perlakuan (untuk membedakan dari rancangan lingkungan yang fungsinya adalah
mengendalikan sesatan).
Salah satu golongan rancangan perlakuan yang paling sering digunakan adalah apa yang dikenal sebagai keluarga rancangan faktorial, yang mengombinasi dua atau lebih faktor. Dalam percobaan, faktor adalah peubah terkendali berupa sekumpulan perlakuan yang memiliki ciri (kategori) yang sama. Acara-acara kita terdahulu membicarakan percobaan satu faktor.
Dalam struktur faktorial, suatu faktor memiliki sejumlah perlakuan yang masing-masing disebut aras (Bhs. Inggris: level). Percobaan faktorial dengan dua faktor berarti mengombinasi/memasangkan satu aras faktor pertama dengan satu aras dari faktor kedua. Apabila semua aras pada satu faktor berpasangan dengan semua aras dari faktor yang lainnya, kita menyebutnya faktorial lengkap. Dilihat dari bagaimana kombinasi pasangan aras dibuat, ada dua kelompok percobaan faktorial lengkap, yaitu (1) berstruktur tersarang dan (2) berstruktur tersilang. Rancangan berstruktur Tersarang tidak akan dibahas dalam praktikum.
Rancangan Perlakuan dengan Struktur Tersilang (Crossed)
Pada acara ini, akan dibahas ketika rancangan perlakuannya lebih dari satu faktor (faktorial), yang memiliki dua variasi: struktur tersarang (nested) dan struktur tersilang (cross) Walaupun rancangan tersarang tidak dibahas dalam praktikum ini, ada baiknya untuk mengetahui perbedaan mendasar struktur tersarang dan struktur tersilang karena sekilas nampak sama. Perhatikan skema 1 dan Skema 2.
Skema 1: Rancangan tersarang
Skema rancangan di atas merupakan skema rancangan tersarang. Pada rancangan tersebut terdapat dua faktor, yaitu Kabupaten (tiga aras) dan Kecamatan (tiga aras). Namun, rancangan tersebut bukanlah struktur tersilang (crossed) karena faktor kecamatan tersarang dalam kabupaten. Kabupaten dan kecamatan tidak saling independen karena aras kecamatan tergantung pada setiap kabupaten.
Rancangan faktorial dengan dua faktor tersilang dapat dilihat Skema 2.
Skema 2: Rancangan faktorial tersilang.
Gunungkidul
(A1)
Patuk (B1|A1) Playen (B2|A1) Tepus (B3|A1)Sleman
(A2)
Pakem (B4|A2) Kalasan (B5|A2) Turi (B6|A2)Bantul
(A3)
Srandakan (B7|A3) Banguntapan (B8|A3) Sedayu (B9|A3)Mentik Wangi
(A1)
Urea
(B1)
Organik
(B2)
IR-64
(A2)
Urea
(B1)
Organik
(B2)
Skema 2 merupakan skema rancangan tersilang 2×2 karena faktor A, yaitu kultivar, memiliki dua level/aras (Mentik Wangi dan IR-64), dan faktor B, yaitu jenis pupuk, memiliki dua aras juga (Urea dan Organik). Perhatikan bahwa faktor A dan faktor B saling independen. Artinya, aras untuk faktor pupuk tidak tergantung pada faktor kultivar. Singkatnya, dalam rancangan faktorial tersilang semua aras pada suatu faktor akan bertemu dengan aras pada faktor yang lain. Aras urea akan bertemu dengan Mentik Wangi dan IR-64. Berbeda dengan tersarang, aras seperti Kecamatan Playen tidak mungkin bertemu dengan Kabupaten Sleman.
Percobaan faktorial pada Skema 2 adalah percobaan faktorial tersilang dua faktor (“Kultivar”dan “Pupuk”) 2×2 yang merupakan bentuk paling sederhana rancangan faktorial. Rancangan faktorial tidak terbatas hanya dua faktor, tetapi bisa lebih. Sebagai misal, kombinasi Kultivar, Jenis Pupuk, dan Tipe Tanah merupakan jenis rancangan perlakuan faktorial tiga faktor. Namun, semakin banyak faktor yang digunakan, akan semakin kompleks pula pengambil kseimpulannya.
Simple effects, Interaction effects, dan Main effects
Pada perlakuan faktorial terdapat tiga macam efek perlakuan faktor, yaitu, simple effects (efek sederhana), interaction effects (efek interaksi), dan main effects (efek utama). Untuk memahami ketiga istilah di atas, akan lebih mudah dijelaskan dengan suatu teladan. Data berikut adalah data dengan rancangan lingkungan CRD dan rancangan faktorial 2×2 sehingga disebut CRD faktorial dua faktor. Ini adalah data perubahan/selisih bobot (dalam gram) akibat pemberian pakan tambahan yang merupakan kombinasi protein dan karbohidrat (sumber kalori).
Tabel 1. Data perubahan/delta bobot
Pakan tambahan Ulangan
1 2 3
Protein tinggi dan kalori tinggi 3 11 10 Protein rendah dan kalori rendah 13 16 13 Protein tinggi dan kalori rendah 19 21 20 Protein rendah dan kalori tinggi 17 16 21 Dari tabel tersebut, dapat dibuat tabel 2.
Tabel 2. Perhitungan simple effects dan interaction effects data Tabel 1.
Kalori B Simple effect Kalori
Protein (A) Tinggi (B1) Rendah (B2) 𝜇[𝐴𝑖𝐵]
Tinggi (A1) 8 20 Simple effect kalori pada protein tinggi 𝜇[𝐴1𝐵] = 𝜇12− 𝜇11 12
Rendah (A2) 18 14 Simple effect kalori pada protein rendah 𝜇[𝐴2𝐵] = 𝜇22− 𝜇21 -4
Simple effect Protein 𝜇[𝐴𝐵𝑗] Simple effect protein pada kalori tinggi Simple effect protein pada
kalori rendah Efek interaksi 𝜇[𝐴𝐵] 1 2(𝜇[𝐴𝐵1] − 𝜇[𝐴𝐵2]) 8 𝜇[𝐴𝐵1] = 𝜇21− 𝜇11 𝜇[𝐴𝐵2] = 𝜇22− 𝜇12 1 2(𝜇[𝐴1𝐵] − 𝜇[𝐴2𝐵]) 8 10 -6
Tabel 2 menunjukkan rerata tiap pasangan perlakuan A1B1, A1B2, A2B1, dan A2B2, secara berturut-turut 8, 20, 18, dan 14. Simple effect faktor A pada level/aras B ke j dinotasikan dalam bentuk 𝜇[𝐴𝐵𝑗]. Dengan demikian, sebagai contoh, 𝜇[𝐴𝐵1] merupakan besarnya simple
effect protein pada kalori tinggi dengan nilai 10. Simple effect ini mengukur perbedaan
selisih bobot antara protein tinggi dan protein rendah ketika yang digunakan kalori tinggi dan rerata selisih bobot dengan protein rendah lebih tinggi daripada protein tinggi ketika yang digunakan kalori tinggi. Begitu pula besarnya simple effect protein
pada kalori rendah adalah -6. Artinya, dan rerata selisih bobot dengan protein tinggi lebih
tinggi daripada protein rendah ketika yang digunakan kalori rendah. Coba simpulkan
simple effect untuk kalori.
Efek interaksi dihitung dari selisih dua simple effects (simple effects protein atau simple
effects kalori). Ketika efek interaksi bernilai nol, maka tidak ada interaksi pada faktor-faktor
yang digunakan. Pada contoh di atas efek interaksi bisa dihitung dengan menghitung selisih
simple effects protein ataupun simple effects kalori. Dengan perhitungan tersebut, maka
terdapat interaksi antara protein dan kalori karena selisih dua simple effects, dalam hal ini
simple effects protein yang dihitung dengan 1
2(𝜇[𝐴1𝐵] − 𝜇[𝐴2𝐵]) bernilai 8.
Main effects atau efek utama adalah rerata dari dua simple effects. Sebagai contoh, main effects protein adalah rerata dari dua simple effects protein, yaitu 1
2(12 + (−4)) = 4. Artinya,
besarnya perubahan rerata selisih bobot ketika level/aras protein berubah dari tinggi rendah adalah sebesar 4. Begitu pula dengan kalori, besarnya perubahan rerata selisih
bobot ketika level/aras kalori berubah dari tinggi rendah adalah sebesar 2. Untuk lebih
memahami simple, interaction, dan main effects, perhatikan grafik interaksi di bawah ini.
Grafik 1. Empat skenario pada rancangan perlakuan faktorial 2×2
Berikut tabel rerata untuk masing-masing skenario grafik di atas.
Tabel 3. Rerata faktor per skenario
Skenario (1) B1 B2 Rerata A Skenario (2) B1 B2 Rerata A
A1 10 18 14 A1 14 10 12
A2 12 20 16 A2 10 14 12
Rerata B 11 19 Rerata B 12 12
Skenario (3) B1 B2 Rerata A Skenario (4) B1 B2 Rerata A
A1 10 16 13 A1 13 14 13.5
A2 11 15 13 A2 18 12 15
Pada Skenario (1), tidak terdapat interaksi karena rerata selisih simple effects adalah 0, yaitu [(10 − 12) − (18 − 20)] = −2 − (−2) = 0. Selain itu, kedua garis tersebut paralel yang jelas mengindikasikan tidak ada interaksi. Namun, terdapat signifikansi pada efek utama B karena selisih rerata antar aras faktor B cukup besar yaitu 8. Efek utama A tidak signifikan karena selisih reratanya cukup kecil, yaitu 2.
Pada Skenario (2), terdapat interaksi karena rerata selisih simple effects tidak 0, melainkan 4. Namun, tidak ada efek utama yang signifikan karena baik rerata faktor dan faktor B yang mengakibatkan selisihnya 0.
Pada Skenario (3), terdapat interaksi karena rerata selisih simple effects bernilai 1. Efek utama yang signifikan hanyalah faktor B karena selisih rerata antar aras faktor B adalah 5. Sedangkan, selisih antar aras faktor A adalah 0.
Pada Skenario (4), terdapat interaksi dan kedua efek utama yang signifikan. Efek interaksi bernilai 3,5. Selisih antar aras faktor A adalah 2. Begitu juga untuk faktor B. Dengan demikian, pada skenario ini baik efek interaksi dan efek utama signifikan.
Sekarang, coba perhatikan grafik interaksi antara faktor protein dan faktor kalori terhadap perubahan bobot di bawah ini. Jelas, dari grafik maupun tabel 2 menunjukkan adanya efek interaksi. Apakah terdapat efek utama yang signifikan? Coba perkirakan.
Pengujian Hipotesis
Pengujian hipotesis untuk percobaan faktorial dapat dilihat sebagai kombinasi dua faktor yang lengkap berpasangan aras-arasnya: A1B1, A1B2, A2B1, dan A2B2. Jika empat kombinasi ini kita pandang tanpa memperhatikan faktor-faktornya, H0 yang diuji adalah
H0: μA1B1 = μA1B2 = μA2B1 = μA2B2 = μ
Namun demikian, struktur faktorial yang dibuat membuat kita dapat menggali informasi lebih jauh mengenai
i. H0: ½ (μA1B1 – μA1B2) = ½ (μA2B1 – μA2B2)= μ (hipotesis nol mengenai A*B, yaitu interaksi A
dengan B).
ii. H0: μA1 = μA2 = μ (hipotesis nol mengenai efek A, penyederhanaan dari
H0: ½ (μA1B1+ μA1B2)= ½ (μA2B1+ μA2B2)=μ),
iii. H0: μB1 = μB2 = μ (hipotesis nol mengenai efek B, penyederhanaan dari
H0: ½ (μA1B1 + μA2B1) = ½ (μA1B2 + μA2B2)= μ), dan
Dalam praktik, orang jauh lebih banyak menggunakan struktur tersilang karena informasi yang tersedia lebih banyak, sehingga inilah yang akan kita bahas.
ANOVA Faktorial Menggunakan Kontras
Analisis varians bagi struktur tersilang dapat mendeteksi keberadaan interaksi, selain pengaruh utama. Dalam contoh kita, pengaruh utama protein, kalori dan interaksi pengaruh protein-kalori dapat diuji dengan hipotesis-hipotesis nol berikut: Pengaruh utama protein: H0: μP1 = μP2; pengaruh utama kalori: H0: μK1 = μK2 ; dan pengaruh interaksi protein-kalori: H0: (μP1K1+μP2K2)/2= (μP1K2+μP2K1)/2. Perhatikan bahwa sesungguhnya μP1=(μP1K1+μP1K2)/2, μK2=
(μP1K2+μP2K2)/2, dst. Akibatnya, pengaruh utama protein sesungguhnya adalah Kontras1,
pengaruh utama kalori sesungguhnya adalah Kontras2, dan pengaruh interaksi adalah Kontras3. Jadi, rancangan faktorial tersilang tidak lain adalah suatu struktur perlakuan yang menerapkan set kontras ortogonal.
Pendekatan kontras dapat dilakukan untuk menganalisis struktur faktorial tersilang ini. Sebagai latihan, lakukanlah analisis kontras ortogonal untuk contoh data di atas! Mulailah dengan membuat seri kontras ortogonal (ada tiga kontras, sebut saja kontras1, kontras2, dan kontras3) sesuai dengan tiga hipotesis formal di atas. Bukalah file R untuk acara ini.
ANOVA Faktorial Menggunakan Model Linear
Model linear rancangan faktorial apabila menggunakan rancangan lingkungan CRD adalah
Yijk = ijk
Penduga berbagai komponennya adalah
,
ˆ
Y
...
A
ˆ
Y
..Y
..., i i
, ..., . .ˆ
Y
Y
B
j
j
..., . . .. .)
(
A
B
ij
Y
ij
Y
i
Y
j
Y
dan ij j i ijk ijkY
A
B
(
A
B
)
ˆ
. Untuk RCBD dan LS Design perlu tambahan komponenmengenai blok pada model.
Untuk mempelajari pendekatan ini, lengkapi tabel berikut (buatlah di MSExcel, misalnya)
Protein (A) Kalori (B) 𝑌
̅
𝑖..A
i
Tinggi Rendah Tinggi 𝑌̅
11 𝑌̅
12 Rendah 𝑌̅
21 𝑌̅
22 𝑌̅
.𝑗. ˆ j BKemudian, seperti biasa, lengkapi tabel berikut:
i j k Yijk
Y
ij. μˆA
iB
j ( Bij
ˆijk 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 1 ... ... ... 2 2 3 Σ () 0 0 0 0 Σ ()2 JKData JKPerl FK JKP JKK JKP*K JKSSumber Keragaman db JK RK Fhit Prob F
Perlakuan
Protein (Main effect A) Kalori (Main effect B) A*B (Interaction effects) Sesatan
Total
Keuntungan menggunakan model adalah kita dapat secara langsung menggunakan perintah aov pada perangkat lunak, misalnya R. Dengan model linear matematis seperti di atas, baris perintah R yang bersesuaian adalah
> hasil~protein+kalori+protein:kalori atau
> hasil~protein*kalori
Tunjukkan bahwa analisis varians dengan kontras dan dengan model interaksi memberikan hasil yang sama!
Penataan dataframe dibuat dengan membuat kolom-kolom terpisah untuk Protein dan Kalori, tidak digabungkan dalam kolom tunggal Perlakuan. Dalam manajemen data selalu
gunakan satu kolom hanya untuk satu faktor. Jangan gunakan satu kolom untuk lebih dari satu faktor, misalnya, pada satu kolom ditulis A1B1, A1B2, dan seterusnya. Kolom
untuk faktor A dan B harus dipisah sehingga total terdapat dua kolom.
Penyajian data yang menggunakan rancangan perlakuan faktorial adalah dengan menggunakan grafik interaksi, bukan menggunakan tabel interaksi saja. Grafik mempermudah kita untuk dapat melihat apakah interaksi signifikan atau tidak seperti yang sudah ditunjukkan pada Grafik 1.
Analisis pengaruh sederhana untuk menafsirkan interaksi
Jika hipotesis nol mengenai tidak ada pengaruh interaksi (Protein*Kalori) tidak ditolak, analisis lanjutan setelah anova dilakukan terhadap pengaruh utama (main effects),
berupa pembandingan rerata (Acara 5 & Acara 7) aras-aras faktor utama yang nyata jika faktornya tidak berstruktur, atau kontras ortogonal aras-aras faktor utama jika faktornya ber-struktur (Ingat: Protein maupun Kalori di sini merupakan faktor kualitatif!).
Jika interaksi bermakna, analisis dilanjutkan dengan menggabung JK pengaruh utama
dengan JK interaksi dan kemudian dipecah kembali menjadi JK pengaruh sederhana faktor
(pertama) tidak berstruktur. Yang mana yang dipilih mendasarkan hasil analisis dalam kaitan dengan kemudahan dalam mengambil kesimpulan. Perhatikan uji simple effects pada suplemen acara ini.
Hasil pengujian pengaruh utama dapat diabaikan jika interaksinya bermakna (nyata) karena interaksi yang bermakna berarti bahwa masing-masing faktornya
berpengaruh, tetapi pengaruhnya tergantung faktor yang lainnya. Oleh sebab itu, kita berusaha menjelaskan bagaimana kerjasama kedua faktor yang dicoba. Cara analisisnya tergantung dari macam faktornya, apakah keduanya faktor kualitatif (dengan analisis pengaruh sederhana), atau kuantitatif (dengan model-model regresi permukaan tanggap), atau salah satu faktornya kualitatif dan faktor yang kedua kuantitatif (dengan analisis pengaruh sederhana). Jika faktornya kualitatif, apakah pemilihan grup perlakuannya ter-struktur (lanjutan dengan kontras ortogonal pada tiap aras) atau tidak (lanjutan dengan uji pembandingan rerata pada tiap aras).
