Bab
Bab
7
7
7.1
7.1 Gaya Gerak ListrikGaya Gerak Listrik
7.1.1
7.1.1 Hukum OhmHukum Ohm
Jika medan listrik dihasilkan oleh muatan stasioner, medan Jika medan listrik dihasilkan oleh muatan stasioner, medan magnetnya
magnetnya dihasilkan dihasilkan dengan dengan memindahkan memindahkan muatan. muatan. Jika F Jika F / q/ q adalah gaya per satuan muatan, maka rapat arus J
adalah gaya per satuan muatan, maka rapat arus J dirumuskan sebagaidirumuskan sebagai
..
...(7.1)...(7.1) FaktorFaktor
adalah konstanta empiris dari berbagai material yang adalah konstanta empiris dari berbagai material yang disebut konduktivitas suatu medium. Kebalikan daridisebut konduktivitas suatu medium. Kebalikan dari
disebut disebut resistivitasresistivitas
1/
1/
Gaya menggerakkaGaya menggerakkan muatan untuk n muatan untuk menghasilkan arus, pada kasus inimenghasilkan arus, pada kasus ini persamaan 7.1 me
persamaan 7.1 menjadi :njadi :
..++
...(7.2)...(7.2) Kecepatan muatan yang sangat kecil bisa diabaikan, sehingga :Kecepatan muatan yang sangat kecil bisa diabaikan, sehingga :
..
...(7.3)...(7.3) Persamaan 7.3 disebut Hukum OhmPersamaan 7.3 disebut Hukum Ohm
Dijelaskan bahwa E=0 diluar konduktor, tetapi jika muatan tidak Dijelaskan bahwa E=0 diluar konduktor, tetapi jika muatan tidak bergerak
bergerak (J=0)(J=0) terlebih untuk konduktor yang baik. terlebih untuk konduktor yang baik.
00
jika jika arusnya mengalirarusnya mengalir
LISTRIK
Contoh 7.1 Contoh 7.1
Perhatikan sebuah resistor silinder dengan luas penampang melintang Perhatikan sebuah resistor silinder dengan luas penampang melintang A, panjang L, dan konduktivitas
A, panjang L, dan konduktivitas
..
Jika potensial konstan disetiap Jika potensial konstan disetiap ujung, dan beda potensial antar ujungnya adalahujung, dan beda potensial antar ujungnya adalah V.V. BagaimnakahBagaimnakah arusnya ? arusnya ? Solusi : Solusi :
Contoh 7.2 Contoh 7.2Dua logam silinder panjang yang mempunyai sumbu yang sama Dua logam silinder panjang yang mempunyai sumbu yang sama (radius a dan b) dibatasi oleh bahan dengan konduktivitas
(radius a dan b) dibatasi oleh bahan dengan konduktivitas
(Gambar (Gambar 7.2). Jika keduanya memiliki potensian7.2). Jika keduanya memiliki potensian V V yang berbeda. Carilah yang berbeda. Carilah aliran arus dari satu logam ke logam
aliran arus dari satu logam ke logam yang lain pada panjangyang lain pada panjang L L ??
Gambar 7.1 Resistor silinder Gambar 7.1 Resistor silinder Sumber : David J. Griffith Sumber : David J. Griffith
Solusi :
Medan antara silinder adalah :
⃗ 1
2̂
⃗ 1
2̂
Arusnya :⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
Potensial antara silinder adalah :
−⃗ ⃗
⃗ ⃗
Gambar 7.2 Logam silinder panjang Sumber : David J. Griffith
1
2 1
1
2−
1
2ln
2
ln
.
2
ln
Berdasarkan contoh diatas, total arus yang mengalir dari satu elektroda ke elektroda yang lain sebanding dengan perbedaan potensial diantaranya.
.
...(7.4) Persamaan 7.4 merupakan versi Hukum Ohm yang sudah familiar. R disebut hambatan ; yang merupakan fungsi geometris dari susunan dan konduktivitas antar elektroda. Hambatan diukur dalam ohm (Ω
; volt per ampereUntuk arus yang tetap dan konduktivitas yang seragam :
∇.
∇.0
...(7.5) Jika jarak antara dua blok adalah
dan percepatan a, waktu yang dibutuhkan untuk menuju blok adalah : 2
Oleh karena itu,
√
Jika kita mengasumsikan perjalanan dalam jarak
antara tumbukan ;
Oleh karena itu
12
2
Jika terdapat n molekul per volume, dan f elektron bebas per molekul masing-masing nilai q dan massa m, rapat arusnya :
...(7.6) Daya :.
.
...(7.7) Dengan I dalam ampere, dan R dalam ohm, P dalam watt (joule/sekon).7.1.2 Gaya Gerak Listrik
Dalam sebuah rangkaian listrik yang khas. Ketika baterai dihubungkan dengan sebuah lampu (gambar 7.3), sebuah pertanyaan membingungkan muncul : kenyataannya arus yang sama disepanjang loop, mengapa hal ini bisa terjadi ?
Jawabannya adalah jika arusnya tidak sama disepanjang loop maka muatannya akan menumpuk disuatu tempat.
Ada dua kekuatan yang menggerakkwan muatan q di sekitar sirkuit: kekuatan sumber pada sumber baterai f dan kekuatan elektrostatik di kawat
+
...(7.8)Integral garis f disekitar sirkuit :
∮ .∮
...(7.9) Karena∮0
untuk medan elektrostatik, tidak mengapa jika menggunakan f atau
,
disebut gaya gerak listrik (emf) pada sirkuit. Potensial antara terminal (a dan b) dirumuskan sebagai :−∫ ∫
∮
...(7.10) Karena integral garis dari
,
bisa diinterpretasikan sebagai usaha per satuan muatan.7.1.3 Gerakan emf
Pada bagian sebelumnya, beberapa kemungkinan sumber gaya gerak listrik adalah baterai, tapi tidak dijelaskan bahwa salah satu sumber pembangkitnya adalah generator. Generator menggunakan penerapan dari gaya gerak listrik. Gambar 7.4 menggambarkan model generator sederhana. Bagian yang digelapkan
Gambar 7.3 Rangkaian listrik dengan sumber arus baterai Sumber : David J. Griffith
merupakan wilayah yang terdapat medan magnet B, menunjuk ke halaman dan resistor yang dapat berupa bola lampu. Jika keseluruhan loop ditarik kekanan dengan kecepatan v, muatan pada bagian ab menunjukkan gaya magnet yang vertika dengan
bergerak disekitar loop. Gaya gerak listriknya dirumuskan sebagai :∮
ℎ
...(7.11)Untuk mengatasi hal tersebut, seseorang harus menarik kawat menggunakan gaya per satuan unit :
Usaha persatuan unit dirumuskan:
.( ℎ)ℎ
Ada cara yang menarik untuk mendapatkan gaya gerak listrik yang dihasilkan dalam loop yang bergak. Biarkan menjadi fluk B melalui loop :
∅≡∫
...(7.12)Gambar 7.4 Model generator sederhana Sumber : David J. Griffith
Berdasarkan gambar loop pada gambar 7.4
∅ℎ
Ketika loop bergerak :
∅ℎ−ℎ
Ternyata gaya gerak listrik yang dihasilkan loop mempunyai nilai negatif :
−
∅
...(7.13) 7.2 Induksi Elektromagnetik7.2.1 Hukum Faraday
Pada tahun 1831 Michael Faraday melaporkan serangkaian percobaan:
Percobaan 1
Dia menarik sebuah lingkaran kawat ke kanan melalui medan magnet (gambar 7.6 a). Hasilnya arus mengalir dalam loop.
Percobaan 2 .
Dia memindahkan magnet ke kiri, masih memegangi loop (gambar 7.6 b). Hasilnya sekali lagi arus mengalir dalam loop.
Gambar 7.5 Gaya persatuan unit sebelah kanan Sumber : David J. Griffith
Percobaan 3
Dengan kedua loop dan magnet diam (gambar 7.6 c), dia mengubah kekuatan medan (menggunakan elekktomagnet dan memvariasikan arus didalam koil ). Hasilnya, sekali lagi arus mengalir dalam loop.
Eksperimen pertama merupakan contoh kasus dari gaya gerak listrik sehingga :
−∅
Tetapi jika loop tidak bergerak, seperti pada Percobaan 2 dan 3 : muatan stasioner tidak mengalami gaya magnetis. Jika gaya gerak listrik memiliki laju yang sama dengan laju flux, maka :
∮
∅
...(7.14) Maka E berhubungan dengan perubahan B sesuai dengan persamaan :∮−∫
...(7.15) Ini merupakan Hukum Faraday. Kita bisa mengubahnya ke dalam bentuk diferensial dengan menggunakan teorema stokes :∇−
...(7.16)Gambar 7.6. Percobaan Michel Faraday Sumber : David J. Griffith
Perhatikan Hukum faraday dengan aturan yang lama
∮.
0
(atau diferensial dari∇0
) pada kasus tetap (B konstan) tentu saja itu bisa terjadi.Bagaimanapun (untuk alasan apapun) flux magnetik melalui muatan loop, dan besarnya gaya gerak listrik adalah :
−
∅
...(7.17) 7.2.2 Induksi Medan ListrikHukum Faraday secara umum menyatakan electostatic rule
∇0
tergantung pada waktu. Divergensi E dinyatakan oleh Hukum gauss∇.
. Jika E adalah medan listrik, diberikan∇.0,∇x−
Secara matematis identik dengan :
∇.0,∇xB
Faraday-induksi medan magnetik ditentukan oleh
−
, dengan cara yang persis sama seperti medan magnetostatik ditentukan oleh
. Dengan menggunakan Biot-savart :−
4
∫
⁄
−
4
...(7.18) Dan jika simetri memungkinkan kita menggunakan semua trik yang terkait dengan hukum ampere dalam bentuk integral∮.
dengan mengetahui integral Hukum Faraday sebagai berikut :∮−
∅
...(7.19) Tingkat perubahan flux magnetik melalui Amperian loop memainkan peran yang sudah ditugaskan untuk
Contoh 7.3
Kawat lurus tak berhingga panjangnya memiliki arus yang perlahan berubah I(t). Tentukan medan listrik yang diinduksi.sebagai fungsi jarak s dari kawat.
Solusi :
Dalam pendekatan kualitatif, medan magnetnya adalah (
/
2,
dan lingkaran disekitar kawat. Seperti medan B dari selenoid, E bergerak sejajar dengan sumbu. Berdasarkan Hukum Faraday :.−− .
.−
2 1
′
−
2−
Sehingga :
ln+̂
...(7.20) Dimana K adalah konstanta. Jika
adalah waktu yang dibutuhkan untuk berubah secara substansial, maka perkiraan quastistatik yang harus di gunakan adalah :≪
...(7.21)Gambar 7.7 Amperian loop Sumber : David J. Griffith
7.2.3 Induktansi
Misalkan anda memiliki dua kawat loop. Jika anda menjalankan arus konstan
disekitar
, hal itu akan menghasilkan medan magnet
. Beberapa medan magnet :Gambar 7.8 Loop saat diam Sumber : David J. Griffith
Gambar 7.9 Loop 1 dijalankan disekitar loop 2 Sumber : David J. Griffith
Satu fakta penting tentang medan ini ; secara proporsional untuk arus
. Oleh karena itu, sama hal nya dengan flux yang melalui loop 2:∅
.
∅
...(7.22) Ada rumus yang dapat digunakan untuk induktansi, yang bisa anda dapatkan dengan menggunakan flux dalam kaitannya dengan vektor potensial, dan teorema stokes :∅
.
=
∇
.
.
Ternyata :
4
∮∮
.
...(7.23)Misalkan anda memvariasikan arus pada loop 1. Flux yang melalui loop 2 akan bervariasi pula, dan hukum Faraday mengatakan perubahan flux ini akan menginduksi sebuah gaya gerak listrik di
loop 2 :
−
∅
−
...(7.25) Satu lagi, medan proporsional dengan arus :∅
...7.26) Jika arus digunakan, induksi gaya gerak listrik pada loop adalah :−
...(7.27) Total flux adalah N , jadi induktansi diri (Persamaan 7.26) adalah :
ln
...(7.28) 7.2.4 Energi dalam Medan MagnetUsaha yang dilakukan per unit muatan terhadap gaya gerak listrik dalam satu perjalanan mengelilingi sirkuit adalah E, bukan merupakan usaha yang dilakukan gaya gerak listrik. Jumlah arus persatuan waktu yang melewati kabel adalah I. Jadi total usaha yang
dilakukan persatuan waktu adalah :
−
Jika dimulai dengan arus nol dan membangunnya sampai nilai akhir, usaha yang dilakukan adalah :
...(7.30) Disamping itu :Dalam bentuk ini, secara umum volume arus nya sudah jelas :
∫ .
...(7.32) Akan tetapi, kita bisa melakukan lebih baik lagi dan menjelaskan W dalam medan magnet : Hukum Ampere∇
,
dengan mengeliminasi J :
∫ ∇
...(7.33)Integral bagian derivatif dari B ke A; secara khusus, aturan produk 6 menyatakan :
∇. .∇xA−A.∇xB
JadiA.∇xBB.B−∇.AxB
Jadi konsekuensinya : 12
[
−∇. ]
∫
−∮
...(7.34)Dimana S adalah permukaan yang membatasi volume.
Sekarang, gunakan persamaan 7.32 untuk seluruh volume yang ditempati arus. Akan tetapi, daerah manapun yang lebih besar dari ini akan sama< karena J bernilai 0 diluar sana. Pada persamaan 7.34 semakin besar daerah yang kita pilih semakin besar kontribusi dari integral volume, dan oleh karena itu yang lebih kecil adalah integral permukaan. Secara khusus, jika kita mengintegrasikan semua ruang,
maka integral permukaan akan menjadi nol , dan kita dapatkan :
7.3 Persamaan Maxwell
7.3.1 Listrik Dinamis sebelum Maxwell
Sejauh ini, kita telah menemukan beberapa hukum berikut dalam menentukan divergensi dan curl medan listrik dan magnet : (i)
∇.
(Hukum Gauss)(ii)
∇.0
(Hukum Gaus tentang kemagnetan) (iii)∇−
(Hukum Faraday)(iii)
∇
(Hukum Ampere)Persamaan ini merepresentasikan teori elektromagnetik di pertengahan abad ke 19, ketika Maxwell memulai karyanya. Persamaan maxwell tidak ditulis langsung dalam bentuknya yang lengkap dalam bentuk persamaan pada masa itu. Hai itu, ada hubungannya dengan peraturan lama bahwa divergensi dan curl selalu nol. Jika anda menerapkan divergensi pada persamaan (iii), maka didapatkan :
∇.∇∇( −)−∇.
Sisi kiri adalah nol karena divergensi curl adalah nol; sisi kanan adalah nol berdasarkan persamaan (ii). Tapi bila anda melakukan hal yang sama pada persamaan (iv), anda akan mendapatkan masalah:
∇∇
∇.
...(7.36) Ada cara lain untuk melihat bahwa hukum ampere pasti gagal karena arus tidak stabil. Misalkan kita sedang dalam proses mengisikapasitor (gambar 7.10) dalam bentuk integral Hukum ampere berbunyi :
.
7.3.2 Bagaimana Menyelesaikan Hukum Ampere
Masalahnya adalah sisi kanan persamaan 7.36, yang seharusnya adalah nol, tapi tidak. Menerapkan persamaan kontinuitas 5.29 dan hukum Gauss dapat ditulis :
∇.−−ϵ
∇.−∇ϵ
Jika kita menggabungkan
ϵ
dengan J, pada hukum Ampere tepat untuk menghilangkan divergensi extra :∇
+
...(7.37) Perubahan tidak mengubah apapun, sejauh menyangkut magnestostatik ; kita tetap mempunyai∇
.
Selain mengoreksi hukum Ampere, maxwell memiliki daya tarik estetik tertentu ; sama seperti medan magnet yang berubah menginduksi medan listrik.
Maxwell menyebut ini sebagai perubahan arus :
J
...(7.38) Sekarang mari kita lihat bagaimana perpindahan arus memecahkan masalah pengisian kapasitor. Jika pelat kapasitor sangat berdekatan, medan listrik diantaranya adalah : 1ϵ
1ϵ
Dimana Q adalah muatan pada bidang dan A adalah areanya. Demikian, antara bidang :
1ϵ
A 1ϵ
A
Sekarang mari lihat persamaan 7.37, pada integral :
∮.
+
∫
...(7.39) 7.3.3 Persamaan MaxwellPada bagian sebelumnya kita menyelesaikan persamaan maxwell : (i)
∇.
(Hukum Gauss) (7.40)(ii)
∇.0
(Hukum Gaus tentang kemagnetan) (iii)∇−
(Hukum Faraday)(iii)
∇
+
(Hukum Ampere setelah koreksi) Sesuai dengan rumus gaya :+
...(7.41) Ini meringkas keseluruhan isi teori elektrodinamika klasik. Bahkan persamaan kontinuitas :∇.−
...(7.42) Persamaan Maxwell dengan cara tradisional, yang menekankan bahwa menentukan divergensi dan curl dari E dan B. Dengan demikian memperkuat anggapan bahwa medan listrik dapat diproduksi baik dengan muatan (
atau dengan mengubah medan magnet
, dan medan magnet dapat diproduksi baik dengan arus J atau dengan menguban medan listrik
,
sebenarnya ini menyesatkan karena
dan
adalah diri mereka sendiri dan karena muatan dan arus.Secara logis dapat ditulis : (i)
∇.
(ii)∇.0
(iii)∇+
0
(7.43) (iv)∇−
7.3.4 Muatan MagnetikAda cara lain untuk menuliskan persamaan Maxwell, dimana
dan J dihilangkan :∇. 0, ∇ −
∇.0, ∇
Jika kita menggantikan E dengan B, dan B dengan
, pasangan pertama persamaan menjadi kedua, dan sebaliknya.Kita dapatkan : (i)
∇.
(ii)∇.
(iii)∇−
−
(7.44) (iv)∇
ewakili densitas magnetik muatan dan
densitas listrik muatan ;
merupakan arus dari muatan magnetik, dan
merupakan arus dari muatan listrik. Kedua muatan dirumuskan :∇.
−
dan∇.
−
Yang pertama mengikuti penerapan divergensi pada (iii), yang terakhir menggunakan divergensi dari (iv).
Persamaan Maxwell mengemukakan adanya muatan magnetik. Sejauh yang kami tau
bernilai 0 dan begitu juga
,
tidak sejajar dengan E ; ada sumber stasioner untuk E akan tetapi tidak ada untuk B.7.3.5 Persamaan Maxwell dalam Materi
Persamaan Maxwell pada (7.40) merupakan bentuk yang lengkap dan benar. Kita telah belajar dari kasus statis bahwa sebuah polarisasi listrik menghasilkan rapat muatan :
−∇.
...(7.47) Persamaan 4.12, demikian juga polarisasi magnetik menghasilkan M pada arus yang terikat.
∇xM
...(7.48) Karena itu, rapat arusnya :
...(7.49)
+
−∇.
...(7.50) Dan rapat arus menjadi tiga bagian :
+
+
+∇+
...(7.51) Hukum Gauss dapat ditulis :∇.
−∇.
Atau :
∇.D
...(7.52) Seperti dalam kasus statis :Dϵ
E+P
...(7.53) Sementara itu :∇
+∇ +
+
ϵ
Atau :∇
+
...(7.54) Dimana seperti sebelumnya
−
...(7.55)Hukum Faraday dan
∇.0
tidak terpengaruh oleh pemisahan muatan dan arus kebagian yang bebas dan terikat, persamaan Maxwell dapat ditulis :(i)
∇.
(ii)∇.0
(iii)
∇−
(7.56)(iv)
∇
+
.Keduanya E dan D, B dan H harus dilengkapi, oleh karena itu hubungan konstitutif yang tepat memberikan istilah B dan H dari E dan B. Ini bergantung pada sifat materialnya, untuk media linier :
ϵ
xE dan MX
m
H
...(7.57) Jadi :ϵE,dan H
B
...(7.58) Dimanaϵ≡ϵ
1+X
e
dan μ≡
1+X
m
.
Anda akan ingat bahwa D disebut perpindahan listrik; itulah sebabnya persamaankedua dalam persamaan ampere/ Maxwell pada persamaan (iv) disebut perpindahan arus. Dalam konteks ini :
...(7.59) 7.3.6 Kondisi BatasPada umumnya medan E, b, D dan H akan terputus-putus pada batas antara dua media yang berbeda, atau pada permukaan yang membawa kerapatan muatan
,
atau rapat arus K. Bentuk eksplisit dari diskontinuitas ini dapat disimpulkan dari persamaan Maxwell dalam bentuk integral :(i)
∮ .
(ii)
∮ .0
(iii)
∮ .−
∮ .
(iv)
∮ .
+
∮ .
Mengaplikasikan (i) pada kotak tipis Gaussian yang hanya sedikit membebani bahan diantara kedua sisi batas, kita dapatkan :
DAFTAR PUSTAKA
Griffiths, David. 2013. Introduction to Electrodynamics Fourth Edition. Pearson
