MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
.
Penyusun : Dra. Tri Winarnik ; Agus Hidayat, S.Si.
Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.
Imam Indra Gunawan, S.Si.
BERISI :
RINGKASAN MATERI DAN SOAL PILIHAN
9 BILANGAN REAL
9 LOGIKA MATEMATIKA
9 MATRIKS
9 PERSAMAAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
9 FUNGSI LINEAR DAN KUADRAT
9 PROGRAM LINEAR
9 TRIGONOMETRI
9 GEOMETRI DIMENSI DUA
9 GEOMETRI DIMENSI TIGA
9 VEKTOR
9 PELUANG
9 LIMIT FUNGSI
9 TURUNAN
9 INTEGRAL
9 STATISTIKA
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
A. BILANGAN BERPANGKAT(EKSPONEN)
1. Untuk
2. Untuk n = 0
3. Untuk
a
a
a
a
a
n=
×
×
×
...
×
Sebanyak n faktor
1
0
=
a
n n
n n
a
a
a
a
1
...
1
1
1
×
×
×
×
=
n n
a
a
−=
1
Sebanyak n faktor
1. 2. 3. 4.
5. ,dimana b ≠ 0
6. = , dimana b ≠ 0
n m
n m
a
a
=
Dengan n ≥ 2
1. a× a=a
2. a× b= a×b
3.
b a b a =
4. a c+b c=(a+b) c
5. a c−b c=(a−b) c
6.
a
a
ma
m
m m
=
=
7. mn
p n m p
a
=
a
1.
b b b a b
a = ×
2.
b b b c
a b c
a = ×
3.
c b
c b c b
a c b
a
− − × + = +
4 .
c b
c b c b
a c b
a
+ + × − = −
b
a
c
b
ca
log
=
⇔
=
Sifat-sifat bilangan berpangkat
A. BENTUK AKAR (BILANGAN IRASIONAL)
Definisi
Sifat-sifat bentuk akar:
Merasionalkan penyebut
B. LOGARITMA
Keterangan :
• a disebut bilangan pokok atau basis logaritma dengan ketentuan ( 0 < a < 1) atau (a > 1)
Jika a = 10 maka penulisan 10logx ditulis dengan log x
Jika a = e (e ≈2,7128...) maka
penulisan elog ditulis dengan x ln x
• b disebut numerus dengan ketentuan b > 0
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Sifat-sifat Logaritma
Latihan 1
1. Perbandingan gaji seorang suami dengan gaji istrinya adalah 5 : 3. Jika gaji suami Rp 2.600.000,00 maka gaji istrinya adalah ...
a. Rp 1.480.000,00 c. Rp 1.550.000,00 e. Rp 1.620.000,00 b. Rp 1.520.000,00 d. Rp 1.560.000,00
2. Jika a = 27 dan b = 32 maka nilai dari 3(a 3 1 −
) x 4b5 2
adalah ...
a. -25 c. 0 e. 25
b. -6 d. 16
3. Diketahui log2 3 = a dan 5log2= b, nilai log 30 = ...
a.
b a+2
c.
b b a+ +1
e.
b b ab+ +1
b.
a b+2
d.
a a ab+ +1
4. Seorang pedagang membeli
2 1
1 lusin gelas seharga Rp 45.000,00, dan pedagang
tersebut telah menjual 5 gelas seharga Rp 10.000,00. Jika semua gelas telah terjual dengan harga tersebut, maka persentase kerugian pedagang adalah ...
a. 10% c. 25% e. 35%
b. 20% d. 30%
5. Bentuk sederhana dari
2 2 3
3
− adalah …….
a. 3 (3 + 2√2) c. (3 – 2√2) e. (3 + 2√2) b. –3 (3 + 2√2) d. 3 (3 – 2√2)
6. Jika
2 1
2 1 dan 2 1
2
1 +
q = +
p =
− −
maka p + q sama dengan …
a. 4√2 c. 6 e. 1
b. –4√2 d. -6 1. alog1=0
2. aloga=1
3. log1 =−1
a a
4. alogbn =n⋅alogb
5. b
m n
bn a
amlog = ⋅ log
6. alogb+alogc=alog(b×c)
7. ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −
c b c
b a a
alog log log
8. aalogb =a 9.
a b b
p p a
log log log =
10.
a b
b a
log 1 log =
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
7. Diketahui log 5 = 0,699. log 3 = 0,477 dan log 2 = 0,301. Nilai log 125 adalah … a. 2,097 c. 2,359 e. 2,875
b. 2,197 d. 2,385
8. Nilai dari log (2 × 103) – log 2 adalah …
a. -3 c. 2 e. 10
b. -2 d. 3
9. Jika 3 log 4 = a dan 3 log 5 = b , maka 8 log 20 = …
a.
a b a
2 +
c.
a b a
3 2 2 +
e.
a b a
3 2 +
b.
a b a
3 +
d.
a b a
2 3 3 +
10. Bentuk sederhana dari 48−4 75+2 243 adalah ….
a. 2 35 c. 6 3 e. 10 3
b. 4 3 d. 8 3
11. Nilai dari 2log12+2log6−2log9 adalah …..
a. 1 c. 3 e. 5
b. 2 d. 4
12. Nilai dari (2log5×5log6)−2log24 adalah …..
a. -2 c. 6 e. 12
b. 2 d. 9
13. Bentuk sederhana dari
18 2
27 75−
adalah …..
a. 2 1
c. 6
2 1
e. 6
6 1
b. 3 1
d. 6
3 1
14. Bentuk sederhana dari 12 4 75 2
1 48
2 − + adalah ….
a. 12 3 c. 26 3 e. 28 3
b. 25 3 d. 27 3
15. Nilai dari
2 log 8 log
4 log 8 log
3 3
3 3
− +
adalah ……
a. -2 c. 1
e. 2 5
b. 2
1 d. 2
16. Menjelang hari raya, sebuah toko memberikan diskon 15% untuk setiap pembelian barang. Jika Rini membayar pada kasir sebesar Rp 127.500,00, maka harga barang yang dibeli Rini sebelum dikenakan diskon adalah ……
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Ingkaran (Negasi ; ~p dibaca tidak p)p ~p
B S S B
Konjungsi (p∧q dibaca p dan q)
p q p∧q
B B S S
B S B S
B S S S
Disjungsi (p∨q dibaca p atau q)
p q p∨q
B B S S
B S B S
B B B S
Implikasi (p→q dibaca jika p maka q)
p q p→q
B B S S
B S B S
B S B B
Biimplikasi (p↔q dibaca p jika dan hanya jika q)
p q p↔q
B B S S
B S B S
B S S B
Konvers, Invers, Kontraposisi
Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi baru, yaitu :
Konvers : q→p
Invers : ~p → ~q
Kontraposisi : ~q→ ~p
Negasi Pernyataan Majemuk
~(p∧q) ≡ ~p ∨ ~q
~(p∨q) ≡ ~p∧ ~q
~( p→q) ≡ p∧ ~q
Pernyataan Berkuantor
1. Kuantor Universal
∀ (x) p(x) dibaca : setiap (semua) x bersifat p. Negasinya :
∃(x)~p(x) dibaca : ada beberapa x tidak bersifat p.
2. Kuantor Eksistensial
∃(x) p(x) dibaca : ada (beberapa) x bersifat p Negasinya :
∀(x) ~p(x) dibaca : setiap (semua) x tidak bersifat p.
Penarikan Kesimpulan
a. Modus ponens :
p→q (B) p (B)
∴q (B)
b. Modus tollens :
p→q (B)
~q (B)
∴ ~p (B)
c. Silogisme :
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
Latihan 21. Perhatikan tabel berikut :
p q {(p →~q) ∧q}→~p B
B S S
B S B S
… … … …
Nilai kebenaran kolom ketiga pada table di atas adalah …
a. SSSS c. BBSS e. BSBS
b. BBBB d. SSBB
2. Jika p bernilai salah, q bernilai benar, sedangkan ~p dan ~q berturut-turut ingkaran dari p dan q, maka diantara pernyataan berikut yang benar adalah : …
a. ~p→ ~q benilai benar c. q→p benilai benar e. ~p→q benilai salah b. ~q→ ~p benilai benar d. p→q benilai salah
3. Ingkaran dari pernyataan “Semua makhluk hidup perlu makan dan minum” adalah.. a. Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum
b. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum c. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan minum d. Semua makhluk hidup perlu makan dan minum
e. Semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minum
4. Nilai kebenaran dari p∧ ~q ekuivalen (setara) dengan nilai kebenaran dari … a. p→q d. ~p∨q
b. ~p→ ~q e. ~ (p→q)
c. q→ ~p
5. Ditentukan pernyataan (p∨ ~q) →p. Konvers dari pernyataan tersebut adalah … a. p→ (~p∨q) d. p→ (p∨ ~q)
b. p→ (p∧ ~q) e. p→ (~p∨ ~q) c. p→ (p∨ ~q)
6. Invers dari pernyataan (p∧ ~q) →p adalah …
a. ~ p→ (p∧ ~q) d. (p∨ ~q)→~p
b. ~p→ (p∨q) e. (~p∨q)→ p
c. (~p∨q)→~p
7. Ingkaran dari (p∧q) →r adalah …
a. ~p∨ ~ q∨r d. ~ p∧ ~q∧r
b. (~p∧q) ∨r e. (~p∨ ~q) ∧r
c. p∧q∧ ~r
8. Konvers dari “ Jika sungai itu dalam maka di sungai itu banyak ikan” adalah … a. Jika di sungai itu banyak ikan maka sungai itu da-lam
b. Jika di sungai itu banyak ikan maka sungai itu tidak dalam
c. Jika tidak benar sungai itu dalam maka tidak benar di sungai itu banyak ikan d. Jika tidak benar di sungai itu banyak ikan maka ti-dak benar sungai itu dalam e. Jika di sungai itu banyak tidak ikan maka sungai itu dalam
9. Cara mengambil kesimpulan : p→ q ( B) disebut... p ( B )
q ( B )
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
c. silogisme
10. Ingkaran dari pernyataan : ′′Semua peserta EBTANAS berdoa sebelum mengerjakan soal ′′ adalah …
a. Semua peserta EBTANAS tidak berdoa sebelum mengerjakan soal b. Beberapa peserta EBTANAS berdoa sebelum mengerjakan soal c. Beberapa peserta EBTANAS tidak berdoa sebe-lum mengerjakan soal d. Semua peserta EBTANAS berdoa sesudah mengerjakan soal
e. Beberapa peserta EBTANAS berdoa sesudah mengerjakan soal
11. Ingkaran pernyataan : “Apabila guru tidak hadir maka semua murid bersukaria “ adalah …
a. Guru hadir dan semua murid tidak bersukaria b. Guru hadir dan ada beberapa murid bersukaria c. Guru hadir dan semua murid bersukaria
d. Guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak bersukaria e. Guru tidak hadir dan semua murid tidak bersukaria
12. Kontra posisi dari pernyataan ′′Jika semua siswa menyukai matematika maka guru senang mengajar′′ adalah …
a. Jika guru senang mengajar maka ada siswa yang tidak suka matematika b. Jika tidak semua siswa menyukai matematika maka guru tidak sengang
mengajar
c. Jika guru tidak senang mengajar maka ada siswa yang suka matematika d. Jika semua siswa menyukai matematika maka guru tidak senang mengajar e. Jika guru tidak senang mengajar maka ada siswa yang tidak suka matematika 13. Kontra posisi dari implikasi : ”Jika Ali lulus ujian maka Ali membeli motor” adalah
…
a. Jika Ali membeli motor maka Ali lulus ujian b. Jika Ali lulus ujian, maka Ali tidak membeli motor c. Jika Ali tidak lulus ujian, maka Ali membeli motor d. Jika Ali tidak lulus ujian, maka Ali tidak membeli motor e. Jika Ali tidak membeli motor, maka Ali tidak lulus ujian
14. Pernyataan : ′′ Jika laut pasang maka tiang dermaga tenggelam ′′ ekivalen dengan… a. Jika laut pasang maka dermaga tenggelam
b. Jika laut pasang maka tiang dermaga tidak teng-gelam c. Jika laut tidak pasang maka tiang dermaga teng-gelam d. Jika laut tidak pasang maka tiang dermaga tidak tenggelam
e. Jika tiang dermaga tidak tenggelam maka laut tidak pasang 15. Diketahui :
Premis 1 : Jika x adalah bilangan irasional maka x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.
Premis 2 : x dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. Kesimpulan dari premis di atas adalah …
a. x dapat dinyatakan dalam bentuk rasional b. x bukan akar sempurna
c. x bukan bilangan irasional
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
; syarat det(A) ≠ 0
; syarat det(A) ≠ 0
Matriks dan Ordo matriks
⎟
Matriks A terdiri dari 3 baris dan 2 kolom. Ukuran / Ordo matrikas A adalah 3 x 2
Penjumlahan dan pengurangan matriks
Syarat : ordonya sama
Perkalian matriks
a. dengan skalar
⎟⎟
b. perkalian dua matriks
syarat : banyaknya kolom matriks pertama sama dengan
banyaknya baris matriks kedua.
Contoh : ⎟⎟
Determinan matriks ordo 2 x 2
A = ⎥
Determinan matriks ordo 3 x 3
⎥
= ptx+quv+ rsw–rtv–qsx–puw Matriks yang nilai determinan = 0 disebut matriks singular
Matriks yang nilai determinan ≠ 0 disebut matriks non-singular
Kofaktor matriks
Kij = (−1)i+j Mij = (−1)i+jdet (Mij)
Adjoin matriks
adalah transpose dari kofaktor-kofaktor
matriks tersebut, dilambangkan dengan
Adj A = (kij)t
Invers Matriks 1
−
A adalah invers matriks A bila :
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
mempunyai ordo …Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
9. Diketahui matriks A = ⎟⎟ ⎠
10. Diketahui matriks A = ⎟⎟ ⎠
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
13. Diketahui matriks
⎟
Jika determinan A = determinan B, maka harga x yang memenuhi adalah … a. 3 atau 4 c. 3 atau −4 e. 3 atau 5−
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
Persamaan linier satu variabelBentuk Umum ax+b=0 ;a,b∈R ;a ≠ 0 Contoh : Tentukan Hp yang memenuhi persamaan linear : 2x + 1 = 3x – 5
Pertidaksamaan linier satu variabel
Bentuk umum: ax+b<0 atau berubah (dibalik) bila kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif. Himpunan Penyelesaian (Hp) berupa daerah pada interval (selang) yang memenuhi pertidak samaan tersebut. Contoh:
Persamaan Kuadrat
Bentuk Umum ax2 +bx+c=0 ; a, b, c ∈ R ; a ≠ 0
Nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat disebut penyelesaian (akar) Ada 3 cara mencari akar persamaan kuadrat:
1. Pemfaktoran
Contoh : Tentukan akar persamaan
2. Melengkapkan kuadrat sempurna Contoh : Tentukan akar persamaan
3.Rumus abc
Contoh : Tentukan akar persamaan kuadrat : x2+3x−28=0
Jawab : x2+3x−28=0 ; a = 1, b = 3, dan c= –8
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Diskriminan (D) dan jenis-jenis akar
D = b2−4ac
Beberapa jenis akar berdasarkan nilai diskriminan adalah :
a. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda.
b. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang sama (dua akar kembar). c. Jika D < 0, maka persamaan
kuadrat memiliki akar-akar yang tidak real (imajiner).
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 memiliki akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2
Menyusun persamaan kuadrat
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar
persamaan kuadrat ax2+bx+c=0, maka dapat disusun suatu persamaan kuadrat dengan rumus :
(
x−x1)(
x−x2)
=0 atau(
1 2) (
1 2)
02− x +x x+ x ⋅x =
x
Pertidaksamaan kuadrat
Bentuk umum : ax2+bx+c<0 atau
0
2+bx+c≤
ax atau ax2+bx+c>0
atau 0ax2+bx+c≥
Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah :
1. Nyatakan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat.
2. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut.
3. Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut, kemudian tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval.
4. Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Contoh : Tentukan Hp pertidaksamaan
kuadrat : x2−6x+5≥0
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dapat dicari dengan cara grafik, substitusi, eliminasi, atau gabungan (eliminasi dan substitusi).
1 5
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
Latihan 41. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
6 3 4 3 3 4
6
2 −
≤ − +
+ x x
x
adalah …
a. x≤−6 c. x≤6 e. x≥12 b. x≥−6 d. x≥6
2. Nilai x yang memenuhi persamaan
4 2 3
2 3
1 2
6
− + = +
− x
x
adalah …
a. 8 c. 5 e. 2
b. 6 d.4
3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (6 12) 2(6 2) 3
2 − ≥ +
x
x adalah …..
a.
⎭ ⎬ ⎫ ⎩
⎨ ⎧ ≤−
3 2
x c.
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≥
2 3
x e.
{
x≥20}
b.
⎭ ⎬ ⎫ ⎩
⎨ ⎧ ≥−
2 3
x d.
{
x≤20}
4. Himpunan penyelesaian dari persamaan x2 – 2x – 24 = 0 adalah …
a.
{
−4,6}
c.{
−4,−6}
e.{ }
8,−3 b.{
4,−6}
d.{
−3,8}
5. Himpunan penyelesaian dari persamaan
x x x
x+3=3−2 adalah …
a. ∅ c.
{ }
−2 e.{ }
0,2b.
{ }
0 d.{
0,−2}
6. Himpunan penyelesaian dari persamaan 6x2 + 11x = 10 adalah …
a. {2
2 1
,
3 2
} c. {2
2 1
, –
3 2
} e. {–2
3 1
,
3 2
}
b. {–2
2 1
, –
3 2
} d.{–2
2 1
,
3 2
}
7. Akar-akar persamaan 2x2 + 6x = 1 adalah p dan q. Nilai dari p2 + q2 adalah …
a. 8− c. − 2 e. 10
b. 3− d.9
8. Bila x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 6x + 5 = 0 , maka nilai
dari x12 + x22 = …
a. 26 c. 37 e. 46
b. 31 d.41
9. Keliling sebuah persegi panjang adalah 42 cm dan luas-nya 108 cm2. Perbandingan panjang dan lebarnya adalah ……
a. 4 : 3 c. 7 : 4 e. 7 : 3 b. 5 : 3 d.7 : 6
10. Himpunan jawab dari pertidaksamaan x2 – 3 > 0 adalah ...
a. { x | x > ±√3} c. { x | x < –√3} e. { x | x < –3 atau x > √3} b. { x | x > √3} d.{ x | –√3 < x < √3}
11. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x2 – 2x – 8 > 0 untuk x∈ R adalah …
a. { x | x > 2 atau x < –43} c. { x | – 43< x < 2} e. { x | x > 34 atau x < – 2}
b. { x | x > 2 atau x < –34} d.{ x | – 43< x < 2}
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
a. { x | – 6 < x < 1} c. { x | x < – 1 atau x > 6} e. { x | x < 2 atau x > 3} b. { x | – 3 < x < 2} d.{ x | x < – 6 atau x > 6}
13. Harga-harga x yang memenuhi pertidaksamaan –x2 + x + 6 > 0 adalah … a. { x < 3} c. { x < 2} e. x > 3
b. { – 2 < x < 3} d. x > 3 atau x < –2
14. Penyelesaian system persamaan linier ⎩ ⎨ ⎧
− = +
− = −
3 2 3
21 5
2
y x
y x
adalah xdan y. Nilai dari
y
x 6
4 + adalah ……..
a. 6− c. 2 e. 6
b. 5− d.3
15. Jika xdan yadalah penyelesaian dari system persamaan ⎩ ⎨ ⎧
− = −
− = −
) 2 ( 2 5
) 1 ( 3 2
x y
x y
maka
nilai dari x+y adalah …
a. 6− c. 2 e. 7
b. −4 d.5
16. Jika luas segitiga pada gambar adalah 60 cm2, maka kelilingnya adalah…cm
A.50
B.45
C.40 D.38 E.36
17. Harga tiket bus Semarang – Surabaya kelas ekonomi Rp 25.000,00 dan kelas eksekutuif Rp 65.000,00. Jika dari 200 tiket yang terjual diperoleh uang Rp 9.600.000,00 maka banyak penumpang kelas ekonomi dan kelas eksekutif masing-masing adalah….
A.75 orang dan 125 orang D. 110 orang dan 90 orang B.80 orang dan 120 orang E. 115 orang dan 85 orang C. 85 orang dan 115 orang
18. Himpunan penyelesaian dari 2(x+5)≥2(2x+3) adalah …..
A. {x|x≥2,x∈R
}
D.{
x|x≤−2,x∈R}
B. {x|x≤2,x∈R
}
E.{
x|x≤−4,x∈R}
C. {x|x≥−2,x∈R
}
19.Sistem persamaan linear ⎩ ⎨ ⎧
= +
= −
9 3 2
11 4
y x
y x
. Nilai dari 4x – 2y = …..
A.6 D. 9
B.7 E. 10
C.8
20. Himpunan penyelesaian dari: 3 3
2 1
< − x
adalah……
A. {x|x>−4
}
D.{
x|x<4}
B. {x|x<−4}
E.{
x|x<3}
C.{
x|x>4}
(6x – 1) cm
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
Fungsi LinearBentuk umum :
m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan c adalah konstanta. Grafik fungsi linear berbentuk garis lurus.
A. Gradien
Garis lurus melalui titik A (x1, y1)
dan B (x2, y2)
m =
2 1
2 1
x x
y y
− −
atau m =
1 2
1 2
x x
y y
− −
B. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah:
1 2
1
y y
y y
− −
=
1 2
1
x x
x x
− −
C. Persamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik A (x1, y1) adalah:
y – y1 = m (x – x1)
D. Membuat persamaan garis lurus dari grafiknya
E. Hubungan dua buah garis
Dua garis yang bergradien m1 dan m2
dikatakan:
• sejajar jika m1 = m2
• tegak lurus jika m1 x m2 = –1
Fungsi Kuadrat
f(x) = ax2 + bx + c atau y = ax2 + bx + c dimana a, b, c ∈ R dan a ≠ 0.
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah:
a. Titik potong sumbu x ; y = 0 (belum tentu ada)
b. Titik potong sumbu y (pasti ada) (0 , c)
c. Sumbu simetri x =
a b
2 −
d. Koordinat titik balik atau titik puncak (x, y) dimana
x =
a b
2
− dan y =
a D
4
−
dengan D = b2 – 4ac.
e. Grafik terbuka ke bawah jika a < 0 dan terbuka ke atas jika a > 0
f(x) = mx + c atau y = mx + c
y y y
y y y
y
x a
b
y
x b
a
Dari grafik di atas, persamaan garisnya adalah bx + ay = ab
Dari grafik di atas, persamaan
garisnya adalah y =
a b
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Latihan 51. Persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 6), ialah ...
a. 2y + x – 10 = 0 c. 2y + x + 10 = 0 e. 2y – x – 10 = 0 b. y + 2x – 10 = 0 d. y – 2x – 10 = 0
2. Diketahui garis g dengan persamaan y = 3x + 1.
Garis h sejajar dengan garis g dan melalui A (2, 3), maka garis h mempunyai persamaan…
a.
3 11 3 1 +
−
= x
y c. y=3x−3 e. y=−3x+3
b. 6
2 3 +
−
= x
y d. y=3x+3
3. Nilai k yang membuat garis kx – 3y = 10 tegak lurus garis y = 3x – 3 adalah …
a. 3 c. –
3
1 e. -1
b.
3
1 d.1
4. Grafik fungsi kuadrat f(x) = 8 – 2x – x2 koordinat titik baliknya adalah … a. (−3,5) c. (−1,9) e. ( 2− ,9)
b. ( 2− ,10) d.( 1− ,5)
5. Persamaan kurva yang sesuai dengan grafik di samping adalah a. y = 3 + 2x – 2x2
b. y = 3 + 2x – x2 c. y = 3 – 2x – x2
d. y = 3 + x – x2
e. y = 3 – 3x – x2
6. Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1,–4 ) dan melalui titik (2, –3) persamaannya adalah …
a. y = x2 – 2x - 7 c. y = x2 –2x – 4 e. y = x2 + 2x – 7 b. y = x2 – x – 5 d. y = x2 – 2x – 3
7. Jika parabola f(x) = x2 – bx + 7 puncaknya mempunyai absis 4 , maka ordinatnya adalah …
a. 9− c. 0 e. 9
b. 8− d.8
8. Nilai minimum dari f(x) = 2x2 + 14x + 24 adalah …
a.
2 1
− c. – 24 e. 26−
b.
2 1
12
− d. – 25
9. Persamaan sumbu simetri pada grafik f(x) = –x2 + 2x + 15 adalah … a. x = 2,5 c. x = 1,5 e. x = 0 b. x = 2 d. x = 1
10. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x – 1)(x – 3) adalah …
a. (2 , −1) c. (–2 , −1) e. (1 , 3) b. (–1 , 3− ) d.(−2 , 1)
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
11. Persamaan garis yang melalui titik-titik A (2, 0) dan B (0, 4) adalah … a. y + 2x = 4 c. 2y + x = 4 e. 2y + x = −4 b. y – 2x = 4 d.2y – x = 4
12. Garis ax – y = 3 dan x + 2y = b berpotongan di (2, 1) jika … a. a = 2 dan b = 4 c. a = 2 dan b = –4 e. a = –
2
1 dan b = 4
b. a = –2 dan b = 4 d. a =
2
1 dan b = –4
13. 19. Persamaan garis melalui titik P(4, 6) dan sejajar garis 3x – 2y = 1 ialah … a. 3y – 2x = 0 c. 2y – 3x = 1 e. 2y + 3x = 0 b. 2y + 3x + 7 = 0 d.3x – 2y = 0
14. Persamaan garis melalui titik (0, 0) dan tegak lurus garis 2x – 3y = 5 … 3y – 2x = 0 c. 3y + 2x = 0 e. y = –
2 1
x
b. 2y –
2 1
x = 0 d.2y + 3x = 0
15. Grafik fungsi kuadrat di samping persamaannya adalah …
a. y = – 2x2 + 4x + 1 b. y = 2x2 – 4x + 5 c. y = – 2x2 – 4x + 1
d. y = – 2x2 + 4x – 5 e. y = – 2x2 – 4x +
16. Garis yang melalui titik (1, 1) dan (2, 3) adalah tegak lurus dengan garis ….
A.y = 2x + 1 D. y = –
2 1
x – 1
B.y = –2x + 1 E. y = x – 1
C. y = 2 1
x – 1
17. Nilai minimum fungsi kuadrat f(x) = 3x2 – 24x + 7 adalah… A. – 157 D. – 55
B. – 137 E. – 7 C. – 41
18. Persamaan garis lurus yang melelui titik (2, 1) dan membuat sudut 45° dengan sumbu x positif adalah….
A. 1
2 1 − = x
y D. y = x – 2
B. 2
2 1 − = x
y E. y = x – 1
C. y=x− 2
19. Dari grafik disamping, koordinat titik puncak P adalah….
A. (2, 3) D. (2, –2) B. (2, –3) E. (2, –4) C. (2, 4)
(0,1)
(1,3)
P
4 x
y
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
A. Sistem Pertidaksamaan LinearPertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya satu.
Gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear disebut sistem pertidaksamaan linear.
Hp suatu pertidaksamaan linear dua variabel adalah himpunan pasangan titik (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut.
Hp dari pertidaksamaan ax + by ≤ c dapat ditentukan dengan metode grafik dan
uji titik, dengan langkah-langkah sebagai berikut : (i) Gambar garis ax + by = c
(ii) Uji titik : ambil sembarang titik diluar garis ax + by = c kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ≤ c , jika :
a. BENAR, maka Hp adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
b. SALAH, maka Hp adalah daerah yang TIDAK memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
B. Program Linear dan Model Matematika
Program linear adalah bagian matematika terapan yang digunakan untuk
memecahkan masalah pengoptimalan (memaksimumkan / meminimumkan) suatu tujuan.
Dalam memecahkan pengoptimalan terdapat kendala-kendala / batasan-batasan yang harus diterjemahkan ke dalam suatu sistem pertidaksamaan linear (model
matematika).
C. Nilai Optimum bentuk Objektif
Dalam program linear bentuk objektif / fungsi objektif adalah fungsi f(x,y) = ax + by yang hendak dioptimumkan.
Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan dengan : (i) metode titik pojok (titik ekstrem)
Dilakukan dengan cara menghitung nilai fungsi objektif f(x,y) = ax + by untuk setiap titik pojok pada daerah himpunan penyelesaian.
(ii) garis selidik
Garis selidik dari fungsi objektif f(x,y) = ax + by mempubyai persamaan ax + by = k. Dengan mengambil beberapa nilai k akan diperoleh himpunan
garis-garis saling sejajar yang dinamakan garis selidik.
Satu diantara garis-garis selidik tersebut akan melalui suatu titik yang mengakibatkan nilai bentuk objektif mencapai optimum.
a
b y
x – a
b y
x
a
–b
y
x
– a –b
y x
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
Latihan 61. Nilai minimum dari z = 3x + 6y yang memenuhi syarat 4x + y≥20
x + y≤ 20
x + y≥ 10 adalah ... x≥ 0
y≥ 0
a. 50 b. 40 c. 30 d. 20 e. 10
2. Nilai maksimum untuk 20x + 30y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x + y≤ 4 , x + 3y ≤ 6 , x, y bilangan cacah adalah …
a. 60 b. 70 c. 80 d. 90 e. 100
3. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 8x + 6y dengan syarat : 4x + 2y≤ 60, 2x + 4y≤ 48, x≥ 0 , y≥ 0 adalah …
a. 132 b.134 c.136 d. 144 e. 152
4. Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m seorang penjahit akan membuat pakaian jadi. Mo-del I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain ber-garis, model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Jumlah total pakaian jadi akan maksi-mum, jika jumlah model I dan model II masing-masing a. 4 dan 8 d.8 dan 6
b. 5 dan 9 e. 7 dan 5 c. 6 dan 4
5. R(2,5)
S(0,3) Q6,3)
O P(8,0)
Jika segilima OPQRS merupakan himpunan penyelesaian program linier, maka maksimum fungsi sasaran x + 3y terletak di titik ...
a. O b. P c. Q d. R e. S
6. Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan … a. y≤ 4 ; 5y + 5x≤ 0 ; 8y + 4x≤ 0
b. y≥ 4 ; 5y + 5x≤ 0 ; y – 2x≤ 8 c. y≤ 4 ; y – x≥ 5 ; y – 2x≤ 8 d. y≤ 4 ; y + x≤ 5 ; y + 2x≤ 8 e. y≤ 4 ; y – x≥ 5 ; y – x≥ 4
0 4 5
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
7. Jika daerah yang diarsir pada digram di samping ini merupakan daerah penyelesaian untuk soal program linier dengan fungsi sasaran f(x,y) = x – y , maka nilai
maksimum f(x,y) adalah … a. f(3,1)
b. f(4,1) c. f(2,
3 5
)
d. f(3,2)
e. f(4,
2
5)
8. Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan … a. y≤ 4 ; 5y + 5x≤ 0 ; 8y + 4x≤ 0
b. y≥ 4 ; 5y + 5x≤ 0 ; y – 2x≤ 8 c. y≤ 4 ; y – x≥ 5 ; y – 2x≤ 8 d. y≤ 4 ; y + x≤ 5 ; y + 2x≤ 8 e. y≤ 4 ; y – x≥ 5 ; y – x≥ 4
9. Nilai maksimum f (x,y) = 5x + 10y di daerah yang di-arsir adalah …
a. 65
b. 40
c. 36 d. 20
e. 16
10.Seorang pedagang kaki lima menyediakan uang Rp. 165.000,00 untuk membeli kemeja dengan harga @ Rp 2.000,00 dan celana @ Rp 5.000,00. Jumlah kemeja yang ia beli tidak kurang dari 3 kali jumlah celana, Ia mengambil keuntungan Rp 300,00 untuk setiap potong celana. Jika barang-barang yang ia beli dengan cara tersebut di atas terjual habis, berapa keuntungan sebesar-besarnya yang ia peroleh …
a. Rp 25.000,00 d. Rp 28.500,00 b. Rp 26.500,00 e. Rp 29.500,00 c. Rp 27.500,00
11.Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kur-si. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa ba-gasi 60 kg sedang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp. 150.000,- dan kelas ekonomi Rp. 100.000,-. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesa-wat penuh mencapai maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah …
a. 12 b. 20 c. 24 d.25 e.30
12. Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m seorang penjahit akan membuat pakaian jadi. Mo-del I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain ber-garis, model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Jumlah total pakaian jadi akan maksi-mum, jika jumlah model I dan model II masing-masing a. 4 dan 8 d.8 dan 6
b. 5 dan 9 e. 7 dan 5 c. 6 dan 4
X y
-3
-2 0 1
2
X Y
0 4 5
4 5 8
Y
X 4
4 6
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
13.Nilai minimum f(x,y)= 2x + 3y untuk x,y di daerah yang diarsiradalah … a. 25
b. 15 c. 12 d. 10 e. 5
14. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut dapat memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan stiap pasang sepatu laki-laki Rp. 10.000,- dan setiap pasang sepatu wanita Rp. 5.000,-. Jika banyak sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka keuntungan terbesar diperoleh …
a. Rp. 2.750.000,- d. Rp. 3.500.000,- b. Rp. 3.000.000,- e. Rp. 3.750.000,- c. Rp. 3.250.000,-
15.Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah himpun-an penyelesaian suatu program linear. Himpunan penyelesaian itu adalah …
a. { (x , y) | y≤ 2 , x – y≤ 4 , 2x + y≥ 4 } b. { (x , y) | y≥ 2 , x + y≤ 4 , 2x + y≥ 4 } c. { (x , y) | y≤ 2 , x + y≥ 4 , 2x + y≥ 4 } d. { (x , y) | y≥ 2 , x + y≥ 4 , 2x + y≤ 4 } e. { (x , y) | y≥ 2 , x – y≤ 4 , 2x + y≤ 4 }
16. Untuk membuat roti jenis I dibutuhkan 50 gram terigu dan 50 gram mentega, sedang roti jenis II dibutuhkan 100 gram terigu dan 25 gram mentega. Tersedia 1,5 kg terigu dan 1 kg mentega. Jika banyaknya roti jenis I adalah x dan banyaknya roti jenis II adalah y maka model matematika dari masalah ini adalah…..
A. 2x+y ≤30 , x+2y≥40 , x≥0 , y≥0 B. x+2y ≤30 , 2x+ y≤40 , x≥0 , y≥0 C. x+2y ≤30 , x+2y≥40 , x≥0 , y≥0 D. 2x+y ≤30 , 2x+ y≤40 , x≥0 , y≥0 E. 2x+ y≤30 , x+2y≤40 , x≥0 , y≥0
17. Harga pembungkus lilin A Rp 4.000,00 dan lilin B Rp 2.000,00. Jika pedagang mempunyai modal Rp 1.000.000,00 dan kiosnya mampu menampung 700 bungkus lilin maka model matematika dari persoalan adalah…
A. 700x+y≤ ; 2x+ y≤500 ; x≥0 ; y≥0
B. 700x+y≤ ; x+2y≤500 ; x≥0 ; y≥0
C. x+y≥700 ; 2x+ y≤500 ; x≥0 ; y≥0
D. x+y≥700 ; 2x+ y≥500 ; x≥0 ; y≥0
E. x+ y≤700 ; 2x+y≥500 ; x≥0 ; y≥0
2 5
4 5
0
X Y
0 2 4
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
γ
β
α
sin sin sinc b
a = =
Hubungan satuan Sudut
1 kali putaran lingkaran = 360° = 2π rad 1 rad = 57,30
Perbandingan Trigonometri
miring depan r
y =
= α
sin
miring samping r
x =
=
α
cos
samping depan x
y =
=
α
tan
samping miring y
r ec
α
= =cos
samping miring x
r =
=
α
sec
depan samping y
x =
=
α
cot
Nilai trigonometri sudut istimewa
0° 30° 45° 60° 90°
Sin α 0 21 2 2
1 3
2 1
1
Cos α 1 2 3
1 2
2 1
2 1
0
Tan α 0 3 3 1
1 3 –
Nilai pada ke-empat kuadran
Kuadran I = 0o < α < 90o Kuadran II = 90o < α < 180o Kuadran III = 180o < α < 270o Kuadran IV = 270o < α < 360o
Kw I Kw II Kw III Kw IV
Sin α + + – –
Cos α + – – +
Tan α + – + – Sudut berelasi
Kuadran I
Sin (90o – α ) = Cos α o Cos (90o – α ) = Sin α o Tan (90o – α ) = Cot α o
Kuadran II
Sin ( 180o – α o) = Sin α o Cos ( 180o – α o) = – Cos αo Tan ( 180o – α o) = – Tan α o
Kuadran III
Sin ( 180o + α o) = – Sin α o Cos ( 180o + α o) = – Cos α o Tan ( 180o + α o) = Tan α o
Kuadran IV
Sin (360o– α o) = – Sin α o Cos (360o– α o) = Cos α o Tan (360o– α o) = – Tan α o
Merubah koord. Cartesius ke kutub
P(x, y) →P(r, α o) = …..?
2 2
y x
r= + ; Tan α o
x y
=
α
o
= arc Tan ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
x y
Merubah Koord. kutub ke Cartesius
P(r, α o) →P(x, y) = …..?
y = r Sin α ° ; x = r Cos α °
Aturan Sinus
Aturan Cosinus
Perhatikan gambar pada aturan sinus a2 = b2 + c2 – 2 b c cos α b2 = a2 + c2 – 2 a c cos β
c2 = a2 + b2 – 2 a b cos γ
Luas segitiga
Luas 1 = ⋅a⋅t 2 1
Luas 2 = s(s−a)(s−b)(s−c)
dengan s =
2 1
(a+b+c)
Luas 3 sin
α
2
1⋅ ⋅ ⋅
= AB AC
A
B
C a
b c
α
β γ
berlaku : 2 2 y
x
r= +
x r y
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
Rumus Jumlah dan selisih sudut(
A+B)
Rumus sudut rangkap
a. sin2A=2sinA.cosA
Rumus perkalian sinus cosinus
B
Rumus jumlah selisih sinus cosinus D
2. Perhatikan gambar menara di samping yang terlihat dari titik
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
6. Pada segitiga ABC diketahui sisi a = 4 , sisi b = 6 dan sudut B = 450. Nilai kosinus sudut A adalah …
a.
6 1√
2 d.
3 1√
2
b.
6 1√
6 e.
3 1√
7
c.
6 1√
7
7. Dalam segitiga ABC diketahui
b = 8 cm , c = 5 cm dan sudut A = 600. Maka a = ….
a. √7 cm b. 7 cm c. 89 cm d. 49 cm e. √129 cm
8. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10 cm dan sudut A = 60o. Panjang sisi BC = … a. 2√19 cm
b. 3√19 cm c. 4√19 cm d. 2√29 cm e. 3√29 cm
9. Suatu segitiga ABC diketahui A = 1500, sisi a = 12 cm dan sisi c = 5 cm, maka luas segitiga ABC = … a. 12 cm2 d. 15 cm2 b. 13 cm2 e. 16 cm2 c. 14 cm2
10. Diketahui cos A = 32 , cos B = 52 .
A dan B lancip. Nilai dari cos (A + B) adalah ……
a.
15 2
(3 – 2√5)
b.
15 2
(3 – √5)
c.
15 2
(5 – √3)v
d.
15 2
(3 + √5)
e.
15 2
(5 + √3)
11. Bila sin α =
13
5 , cos β = 5
4 dengan α
dan β lancip, maka nilai dari tan (α + β) adalah …
a.
45 61
d.
33 56
b.
61 45
e.
56 33
c.
63 56
12. tan 750 = … a. 3 – √2 b. 3 + √2 c. 1 d. 2 – √3 e. 2 + √3
13. Diketahui sudut lancip A dengan
cos 2A =
3 1
. Nilai sin A = …
a. 3 3 1
d. 5 3 2
b. 2 2 1
e. 6 3 2
c. 6 3 1
14. Ditetahui tan A = p , maka cos 2A = …
a. 1 – p2
b.
1 2
2 1
+ −
p p
c.
1 2 2 + p
p
d.
1 2
2 + p
e.
1 2
1 2 2
+ +
p p
15. Diketahui sin A = 257 dan sudut A
lancip. Nilai dari sin 2A adalah …
a.
25 17
b.
25 14
c.
625 26
d.
625 168
e.
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
Geometri Dimensi 2 Geometri Dimensi 3
1. Persegi
Luas = s x s
Keliling = 4s
2. Persegi panjang
Luas = p x l
Keliling = 2(p + l)
3. Segitiga
Luas = 2 1
x a x t
Keliling = jumlah seluruh sisi
4. Trapesium
Luas = 2 1
x (a + b) x t,
dengan a dan b adalah sisi-sisi yang sejajar.
Keliling = jumlah seluruh sisi
5. Jajar genjang
Luas = a x t
Keliling = jumlah seluruh sisi
6. Belah ketupat
Luas = 2 1
x d1 x d2 ,
dengan d1 dan d2 adalah
masing-masing diagonal
Keliling = jumlah seluruh sisi
7. Layang-layang
Luas = 2 1
x d1 x d2 ,
dengan d1 dan d2 adalah
masing-masing diagonal
Keliling = jumlah seluruh sisi
8. Lingkaran
Luas = π r2 Keliling = 2 π r
1. Kubus
Volume = s3
Luas permukaan = 6 x s2
2. Balok
Volume = p x l x t
Luas perm = 2( pl + pt + lt)
3. Prisma
Volume = Lalas x t
Luas perm = 2 Lalas +Lselimut =2 Lalas+ (Kel alas x t)
4. Limas
Volume = 3 1
x Lalas x t
L perm= Luas seluruh sisi
5. Tabung
Volume = π r2 t
Luas permukaan =2 Lalas +Lselimut
= 2 π r2 + 2 π r t
= 2 π r (r + t)
6. Kerucut
Volume = 3 1
π r2 t
Luas permukaan = Lalas +Lselimut
= π r2 + π r s
= π r (r + s)
7. Bola
Volume = 3 4
π r3
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Latihan 81. Luas daerah yang diarsir pada gambar Di samping adalah …
A. 261 B. 262 C. 263 D. 264 E. 270
2. Keliling persegi panjang yang luas dan panjangnya berturut-turut 105 cm dan 15 cm adalah …
A. 7 D. 44
B. 23 E. 30
C. 30
3. Keliling daerah yang diarsir adalah…. A. 63 cm
B. 88 cm
C. 96 cm
D. 112 cm
E. 124 cm
4. Diketahui luas lingkaran adalah 314 cm2. Jika π = 3,14 maka keliling lingkaran tersebut adalah …cm.
A. 628 D. 62,8
B. 6,28 E. 31,4
C. 942
5. Diketahui prisma ABC.DEF seperti gambar berikut. Volume prisma adalah …
A. 288 cm2 B. 360 cm2 C. 268 cm2 D. 240 cm2 E. 576 cm2
6. Diketahui prisma ABC.DEF dengan alas segitiga siku-siku ABC.
Luas permukaan prisma adalah….
A. 288 cm2 D. 336 cm2
B. 312 cm2 E. 348 cm2
C. 318 cm2
7 cm
7 cm
7 cm 7 cm
30 cm 7 cm
19 cm
14 cm 21 cm
7 cm 7 cm
15 cm
6 cm
10 cm
12 cm
A
B
C
D F
E
6 cm
10 cm
12 cm
A
B
C
D F
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
7. Luas lingkaran yang kelilingnya 88 cm adalah …cm2. ( π =
7 22
)
A. 636 D. 566
B. 616 E. 561
C. 596
8. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah….
A. 131 cm2
B. 189 cm2
C. 224 cm2
D. 301 cm2
E. 385 cm2
9. Volum kerucut pada gambar di samping adalah….
A. 325 cm3
B. 528 cm3
C. 1.232 cm3
D. 3.696 cm3
E. 4.928 cm3
10. Volume bandul tersebut adalah….
A. π
3 1 1633 cm3
B. 2100π cm3
C. π
3 2 2766 cm3
D. π
3 1 2776 cm3
E. π 3 2 2776 cm3
11. Luas daerah yang diarsir pada gambar di samping adalah … cm2.
A. 84 B. 42 C. 124 D. 119 E. 157
7 cm 7 cm
14 cm 25 cm
9cm
18c
10 cm
14 cm
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
12. Keliling daerah yang diarsir pada gambar
berikut adalah …cm (π = 7 22
).
A. 54 B. 77 C. 21 D. 98 E. 121
13. Luas gambar di samping adalah … A.800 cm2
B. 817 cm2 C. 827 cm2 D.974 cm2 E. 984 cm2
14. Sebuah persegi panjang diketahui panjang diagonalnya adalah 100 cm. Jika lebar persegi panjang adalah 60 cm, maka kelilingnya adalah …cm.
A. 270 D. 360
B. 280 E. 380
C. 290
15. Volum bola terbesar yang dapat dimasukkan ke dalam kubus yang berusuk 12 cm adalah …
A. 691,72 cm3 D. 904,32 cm3 B. 772,21 cm3 E. 940,23 cm3 C. 813,40 cm3
16. Panjang suatu persegi panjang 5 cm lebih panjang dari lebarnya. Jika luasnya 24 cm2 maka kelilingnya adalah….
A. 23 cm D. 10 cm
B. 22 cm E. 8 cm
C. 11 cm
17. Gambar bak mandi berbentuk kubus tanpa tutup dengan rusuk 80 cm. Jika alas dan diding bak mempunyai ketebalan 10 cm
maka banyak air yang diperlukan untuk mengisi
bak hingga penuh adalah….
A. 828 liter
B. 882 liter
C. 282 liter
D. 228 liter
E. 288 liter
7 cm
7 cm
16 cm 20
25
80cm 80cm
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
Pengertian dan Penulisan vektorVektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Vektor OA pada ruang dimensi 2 ditulis :
⎟⎟
Vektor OP pada ruang dimensi 3 ditulis :
⎟
Besar/Panjang vektor
Panjang vektor ⎟⎟ ⎠
Panjang vektor
⎟
Vektor AB dan panjang vektor AB
Vektor AB pada ruang dimensi 2 ditulis :
Panjang vektor AB dirumuskan :
2
dirumuskan :
e =
Penjumlahan dan Pengurangan Diketahui vektor dalam dimensi 2 yaitu :
a = ⎟⎟
Perkalian vektor dengan skalar
Diketahui : a = ⎟⎟
Perkalian skalar dua vektor (dot)
Diketahui : a = ⎟⎟
Cosinus sudut dan Sudut diantara dua vektor
b
Vektor pada dimensi 3 Vektor pada dimensi 2
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Bila M merupa-kan titik tengah AB, maka vektor posisi M adalah …A. ⎟⎟ Besar vektor yang diwakili AB adalah.. A. 7 D.15
B. 12 E.17 C. 13
4. Jika koordinat titik P (6, –2) dan Q (2, 5), maka komponen vektor yang diwakili oleh QP adalah …
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
adalah saling tegak lurus. Nilai x
adalah …
A. 5 D.1
B. 1 E.5
C. 0
15.Diketahui dua buah vektor
⎟
17. Diketahui vektor-vektor :
k
Jika vektor →ategak lurus terhadap
vektor →bdan vektor →ctegak lurus
sudut antara AB dan AC adalah … A.
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
A.Pengisian Tempat (Filling Slots)Apabila suatu peristiwa pertama dapat dikerjakan dengan k1 cara yang berbeda,
peristiwa kedua dapat dikerjakan dengan k2 yang berbeda dan seterusnya sampai
peristiwa ke-n, maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut adalah K, di mana : K = k1 x k2 x . . . x kn
B.Faktorial
n faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n. n ! = 1 . 2 . 3 . . . (n – 2) . (n – 1) . n
C.Permutasi unsur beda
Adalah susunan k objek yang berbeda dari n objek yang tersedia di mana k ≤ n. Banyak permutasi k objek dari n objek di tulis nPk dapat dirumuskan :
)! (
!
k n
n Pk
n = −
D. Permutasi yang memuat unsur yang sama
Banyaknya permutasi nPn di mana ada a objek yang sama, b objek yang sama,
dan seterusnya ditulis P, dirumuskan :
.... ! !
! ⋅ ⋅ =
b a
n P
E. Permutasi siklik
Jika ada n objek yang berbeda dan disusun dalam bentuk siklik (melingkar), maka
banyaknya susunan yang terjadi (permutasi siklik atau Psiklik)adalah: P siklik = (n – 1)!
F. Kombinasi
Susunan k objek dengan urutan tidak diperhatikan dari n objek yang tersedia di mana k ≤ n sering dipopulerkan dengan istilah Kombinasi k objek dari n objek yang tersedia.Banyaknya kombinasi k objek dari n objek di tulis nCk dirumuskan:
! )! (
!
k k n
n Ck
n = −
G.Peluang
Nilai yang menunjukan kemungkinan terjadinya suatu perustiwa. Dirumuskan :
) (
) ( ) (
S n
A n A
P = ; Nilai peluang 0 ≤ P(A) ≤ 1
H.Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan suatu kejadian Fh dari suatu percobaan adalah hasil kali peluang P(A) dengan banyaknya percobaan n : Fh = P(A) x n
I. Peluang Komplemen Suatu Kejadian )
( 1 )
(A P A
P c = −
J. Peluang kejadian majemuk
) ( ) ( ) ( )
(A B P A P B P A B
P ∪ = + − ∩
K. Peluang dua kejadian saling lepas/saling asing
) ( ) ( )
(A B P A P B
P ∪ = +
L. Peluang dua kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
M. Peluang kejadian bersyarat
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
Latihan 101. Sebuah kotak berisi enam boneka berwarna merah dan empat boneka berwarna kuning. Jika diambil sebuah boneka sebanyak dua kali secara acak tanpa pengembalian, maka peluang terambilnya boneka pertama dan kedua berwarna kuning adalah …
A. 45
1
D.
15 2
B. 45
5
E.
15 3
C. 15
1
2. Suatu tim bulutangkis terdiri dari 10 pemain. Banyaknya pasangan pemain ganda yang dapat dibentuk dari tim tersebut adalah …
A. 5 D. 45
B. 10 E. 90
C. 20
3. Sebuah keluarga merencanakan ingin mempunyai 3 orang anak. Peluang keluarga tersebut mempunyai anak paling sedikit dua laki-laki adalah …
A. 4 3
D.
4 1
B. 8 5
E.
8 3
C. 2 1
4. Dari 5 orang finalis salah satu cabang olahraga akan dipilih juara I, II, dan III. Banyaknya susunan berbeda yang mungkin terjadi adalah …
A. 20 D. 48
B. 24 E. 60
C. 36
5. Seorang peñata tari menampilkan suatu tarian yang terdiri dari 4 orang. Peluang komposisi penari terdiri dari 3 perempuan dan 1 laki-laki adalah …
A. 8 3
D.
5 1
B. 8 5
E.
8 1
C. 4 1
6. Sebuah dadu dilempar sebanyak 120 kali. Frekuensi harapan munculnya mata 4 pada percobaan tersebut adalah …kali.
A. 20 D. 80
B. 30 E. 180
C. 40
(UNAS ULANG SMK 09-10)
(UNAS SMK 02-03)
(UNAS SMK 02-03)
(UNAS SMK 04-05)
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
7. Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilemparkan bersama-sama satu kali. Peluang munculnya angka pada uang logam dan bilangan prima pada mata dadu adalah …
A. 6 1
c. 4
1
E. 2
1
B. 3 1
D. 5
1
8. Lima staf akuntan masuk ke ruang rapat dan terdapat delapan ruang duduk kosong. Banyaknya cara kelima orang tersebut duduk adalah …
A. 120 cara C.5040 E. 40320 cara B. 336 cara D.6720
9. Banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata ‘KAKAK’ adalah … A. 20 C.10 E. 5
B. 14 D.8
10. Dari 6 siswa akan diambil 3 orang untuk mengikuti lomba debat bahasa Inggris. Banyaknya susunan peserta yang dapat dibentuk adalah …
A. 120 C.20 E. 720
B. 40 D.360
11. Tiga buah dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang munculnya angka yang sama pada ketiga dadu adalah …
A. 36
1
C. 36
3
E. 36
5
B. 36
2
D. 36
4
12. Akan disusun bilangan yang terdiri dari dua angka dari angka-angka 4, 5, 6, dan 7 yang tersedia. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat jika tidak boleh ada angka yang berulang adalah …
A. 16 C. 9 E. 4 B. 12 D.24
13. Suatu organisasi akan memilih ketua, wakil, sekretaris, bendahara, dan humas. Jika ketua dan wakil ketua dipilih dari 5 orang, sedangkan sekretaris, bendahara dan humas dipilih dari 7 orang yang lain. Banyak cara menyusun pengurus organisasi tersebut adalah ..
A.42 C. 221 E.30240 B.210 D. 4200
14. Suatu perkumpulan terdiri dari 7 pria dan 5 wanita akan mengirim utusan untuk mengikuti rapat yang hanya terdiri dari 3 pria dan 2 wanita. Banyak susunan utusan tersebut adalah…
A.28 C.350 E. 4200 B.147 D.792
15. Suatu kantong berisi 5 bola Merah dan 4 bola Putih. Peluang terambilnya 3 bola Merah, dengan pengambilan sekaligus secara acak adalah …
A. 84
4
C. 84
8
E. 84
10
B. 84
7
D.
84 9
(UNAS SMK 07-08)
(UNAS ULANG SMK 09-10)
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
Definisi:
Lim
f
x
L
a
x→
(
)
=
, mempunyaiarti jika x mendekati a maka nilai f(x) mendekati L.
Teorema Limit
Untuk setiap a bilangan Real dan k konstanta berlaku :
1. k k
Cara menyelesaikan limit Aljabar
1.Substitusi langsung
5
2.Pemfaktoran dan penyederhanaan
1
Jawab : Dengan subtitusi langsung:
0
Dengan cara memfaktorkan:
1
3. Mengalikan dengan faktor sekawan
Cara menyelesaikan limit Aljabar di x→∞
1.Bentuk
Definisi Limit Trigonometri
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Latihan 11MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Definisi Turunan fungsiJika f(x) terdefinisi maka
) (x
fl didefinisikan sebagai :
h x f h x f x
f
h
l( ) lim ( ) ( )
0
− + =
→
Rumus-rumus turunan Aljabar
Untuk k konstanta ; U dan V fungsi dalam x
1. f(x) = k ⇒ fl(x)=0
2. f(x) = kxn ⇒ fl(x)=k⋅n⋅xn−1
3. f(x) = kU ⇒ fl(x)=k⋅n⋅Ul
4. f(x) = U ±V ⇒ fl(x)=Ul ±Vl
5. f(x)=U⋅V ⇒ fl(x)=Ul⋅V +Vl ⋅U
6.
V U x f( )=
2
) (
V U V V U x f
l l
l = ⋅ − ⋅
⇒
dengan syarat V≠ 0
Turunan Fungsi Trigonometri
1. a. f(x)=sinx⇒ fl(x)=cosx
b. f(x)=k⋅sinU⇒ fl(x)=k⋅Ul⋅cosU
2. . a. f(x)=cosx⇒ fl(x)=−sinx
b.f(x)=k⋅cosU⇒ fl(x)=−k⋅Ul⋅sinU Aturan Rantai
1. f(x) = Un⇒ fl(x)=n⋅Un−1⋅Ul
2.Jika y = f(u) ; u = f(v) ; dan v = f(x)
maka
dx dy
yl = dirumuskan :
dx dv dv du du dy dx
dy = ⋅ ⋅
Contoh soal :
1. y = (2x + 7)6 , tentukan yl
Jawab
Misal U = 2x + 7 ⇒Ul =2 y = U6
yl =6⋅U6−1⋅Ul
=6⋅(2x+7)5⋅2
=12(2x+7)5
2. y = sin3(4x) , tentukan yl
Jawab Misal
y = u3 ; u = sin v ; v = 4x
dx dy yl =
dx dv dv du du dy⋅ ⋅
=
=3u2⋅cosv⋅4
=3sin2(4x)⋅cos(4x)⋅4
=12sin2(4x)cos(4x)
Tafsiran geometris dari turunan
1.Gradien garis yang melalui titik (x1 , y1) pada kurva f(x) adalah m.
Dirumuskan : m= fl(x1)
2.Persamaan garis singgung kurva f(x) di titik (x1 , y1) dirumuskan :
y−y1=m(x−x1) ;
dengan )m= fl(x1
3.Kurva naik / turun / stasioner:
a. Jika fl(x)>0 pada selang I, maka kurva f(x) naik pada selang I.
b. Jika fl(x)<0 pada selang I, maka kurva f(x) turun pada selang I. c. Jika fl(x)=0 pada selang I,
maka kurva f(x) stasioner (tidak naik tidak turun) pada selang I.
4. Turunan kedua dan titik balik maksimum/minimum/titik belok.
Diketahui fungsi f(x) dan titik (x1 , y1) pada kurva f(x)
a. Jika fl(x1)=0 dan fll(x1)<0, maka titik (x1 , y1) disebut
titik balik maksimum.
b. Jika fl(x1)=0 dan fll(x1)>0, maka titik (x1 , y1) disebut
titik balik minimum.
c. Jika fl(x1)=0 dan fll(x1)=0, maka titik (x1 , y1) disebut
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
Latihan 121. Bila F(x) = 2x3 – 3x2 + x – 10 maka
F'(x) = … A. 2x2 – 3x + 1 B. 6x3 – 6x2 + x
C. 6x2 – 6x – 10 D. 6x2 – 6x + 1 E. 6x2 – 6x – 9
2. Turunan pertama dari fungsi F(x) =
2 5 x
adalah F′(x)= … A.
2 5 x
B.
x 10 −
C. 103 x −
D. 53 x
E. 15x3
3.
( )
=2 1 2
3
' maka , 4 = )
(x x f
f …
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 E. 18
4. Turunan dari
) x ( f(x)
1 4
4 +
= adalah
f׳(x) = A. 2
(
2x+1)
B. 8
(
4x+1)
C. −8
(
4x+1)
D.
(
)
3 1 42 + −
x
E.
(
)
3 1 48 + −
x
5. Diketahui f (x) = 3x2 – 5x + 2 dan g (x) = x2 + 3x – 3 Jika h (x) = f (x) – 2g (x), maka h′(x) adalah …
A. 4x – 8 B. 4x – 2 C. 10x – 11 D. 2x – 11
E. 2x + 1
6. Apabila f(x) = x2 –
x
1 + 1 maka f'(x)
adalah … A. x – x–2
B. x + x–2
C. 2x – x–2 + 1 D. 2x – x–2 – 1 E. 2x + x–2
7. Turunan pertama dari fungsi f yang ditentukan oleh
f(x) =
(
)
3 5 32− x adalah f′(x) = …
A. 35
(
)
3 2 3 2− xB. –83
(
)
3 8 3 2− xC. 83
(
)
3 8 32− x (2 – 3x)8/3
D. –5
(
)
3 2 3 2− xE. 5
(
)
3 2 3 2− x8. y = (x2 + 1) (x3 – 1) maka y ' = … A. 5x3
B. 5x3 + 3x
C. 2x4 – 2x
D. x4 + x2 – x
E. 5x4 + 3x2 – 2x
9. Turunan pertama dari
y = (x + 1)2 (x + 2) adalah .. A. 2x2 + 8x + 2
B. 3x2 + 8x + 2 C. 3x2 + 8x + 7 D. 2x2 + 6x + 7 E. 3x2 + 3x + 2
10.Turunan pertama dari fungsi yang dinyatakan dengan
f (x) =
5 5 + − x x
adalah f ’(x) = …
A.
(
)
2 5 10 + − xB.
