Sistem Persamaan Linear
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin 9
• Graphical Method
dari kedua persamaan tersebut dapat dicari nilai 𝑥
2:
Sehingga diperoleh garis lurus dengan fungsi 𝑥
2berdasarkan 𝑥
1Menyelesaikan SPL sederhana
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Permasalahan : Gunakan metode grafik untuk menyelesaikan persamaan
dengan menggunakan 𝑥
1sebagai absis, 𝑥
2dicari dengan
dan
11
dan
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Penggunaan Matriks untuk Sistem Persamaan Linear
Contoh Persamaan
3
2
2
3
8
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Untuk memudahkan dalam pemrograman, gunakan indeks, sehingga dapat ditulis ulang :
3
2
2
3
8
2
3 2 1 3 2 1 3 2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Menggunakan Matriks
2
1
1
1
1
3
1
2
1
=
3 2 1x
x
x
3
2
8
Eleminasi Gauss
• Memerlukan dua Tahap :
– Forward elimination, untuk mengurangi matriks sedemikian
hingga hanya segitiga bagian atas
– Back substitution untuk menemukan bagian yang belum diketahui
0
0
0
adalah angka yang tidak sama & diagonal tidak nol
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Tahap 1
• Eleminasi elemen baris matriks dengan mengalikan menggunakan
scaling factor dan menambahkan ke baris yang lain, dilakukan pada LHS
dan RHS
Tahap 1
• Jika menyelesaikan persamaan sederhana menggunakan
perhitung dapat memilih baris sesuka kita.
• Dengan menggunakan pemrograman, harus sistematik
– Artinya, kita harus menginstruksikan komputer untuk
melakukan perhitungan dengan urutan yang jelas
• Oleh karena itu, kita menggunakan baris 1 (R1) sebagai
“pivot equation” untuk membuat nol pada sisa elemen
Kolom 1 (C1)
• Menggunakan R2 as “pivot equation” untuk membuat
nol pada sisa elemen Kolom 1 (C2)
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Contoh
2
1
1
1
1
3
1
2
1
3
2
8
2
1
1
4
5
0
1
2
1
3
22
8
R2 – (3/1) *R1 pivot equation pivot elementR1
R2
R3
R1
R2
R3
Perthatikan bahwa biru untuk pivot element dan merah untuk pivot equation.
R3 - (1/1)*R1
3
1
0
4
5
0
1
2
1
11
22
8
2
1
1
4
5
0
1
2
1
3
22
8
R1
R2
R3
R1
R2
R3
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin R3 - (-1/-5)*R2
2
.
2
0
0
4
5
0
1
2
1
6
.
6
22
8
3
1
0
4
5
0
1
2
1
11
22
8
new pivot elementnew pivot equation
R1
R2
R3
R1
R2
R3
Hasil Akhir
Tahap 2: Diselesaiakan dengan menggunakan back substitution
2
.
2
0
0
4
5
0
1
2
1
6
.
6
22
8
3 2 1x
x
x
= -2.2 x3 = -6.6 -> x3 = 3 -5x2 + ( -4 * 3 ) = -22 -> x2 = 2 x1 + (2*2) + (3) = 8 -> x1 = 1Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Problems
• Permasalahan muncul ketika pivot adalah nol
– DIVISION BY ZERO
– Solusi : Mengubah urutan baris
Catatan
Eleminasi Gauss Dapat menyelesaiakn Sistem Persamaan Linear,
• Namun proses back substitution masih memerlukan ketelitian
• Kita dapat menyelesaikan permasalahan dengan lebih mudah
menggunakan eleminasi lanjutan untuk mengurangi koefisien matriks
menggunakan identity matrix
• Metode ini disebut :
Contoh Kasus
The upward velocity of a rocket is given at three different times
Time, t Velocity, v
s m/s
5 106.8 8 177.2 12 279.2
The velocity data is approximated by a polynomial as:
t
a
1t
2
a
2t
a
3,
5
t
12.
v
Example: Rocket Velocity
Assume
t a t a t a , 5 t 12. v 1 2 2 3
3 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 11
1
1
v
v
v
a
a
a
t
t
t
t
t
t
3 2 1Results in a matrix template of the form:
Using date from the time / velocity table, the matrix becomes:
2
.
279
2
.
177
8
.
106
1
12
144
1
8
64
1
5
25
3 2 1a
a
a
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Example: Rocket Velocity
Forward Elimination: Step 1
(
64
)
25
1
2
Row
Row
Yields
2
.
279
21
.
96
81
.
106
a
a
a
1
12
144
56
.
1
8
.
4
0
1
5
25
3 2 1Example: Rocket Velocity
(
144
)
25
1
3
Row
Row
0
.
336
21
.
96
8
.
106
a
a
a
76
.
4
8
.
16
0
56
.
1
8
.
4
0
1
5
25
3 2 1Yields
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Example: Rocket Velocity
Yields
(
16
.
8
)
8
.
4
2
3
Row
Row
735
.
0
21
.
96
8
.
106
a
a
a
7
.
0
0
0
56
.
1
8
.
4
0
1
5
25
3 2 1This is now ready for Back Substitution
Example: Rocket Velocity
Back Substitution: Solve for a
3using the third equation
735
.
0
7
.
0
a
3
7
0
735
0
.
.
a
3
050
1.
a
3
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Example: Rocket Velocity
Back Substitution: Solve for a
2using the second equation
21
.
96
56
.
1
8
.
4
2
3
a
a
8
.
4
56
.
1
21
.
96
3 2
a
a
8
4
050
1
56
1
21
96
.
-.
.
.
-a
2
70
19.
a
2
Example: Rocket Velocity
Back Substitution: Solve for a
1using the first equation
8
.
106
5
25
a
1
a
2
a
3
25
5
8
.
106
2 3 1a
a
a
25
050
.
1
70
.
19
5
8
.
106
1
a
2900
.
0
1
a
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Example: Rocket Velocity
Solution:
The solution vector is
050
.
1
70
.
19
2900
.
0
3 2 1a
a
a
The polynomial that passes through the three data points is then:
t
a
1t
2a
2t
a
3v
12
5
,
050
.
1
70
.
19
2900
.
0
t
2
t
t
Example: Rocket Velocity
Solution:
Substitute each value of t to find the corresponding velocity
.
s
/
m
1
.
165
050
.
1
5
.
7
70
.
19
5
.
7
2900
.
0
5
.
7
v
2
.
s
/
m
8
.
201
050
.
1
9
70
.
19
9
2900
.
0
9
v
2
.
s
/
m
8
.
252
050
.
1
11
70
.
19
11
2900
.
0
11
v
2
.
/
69
.
129
050
.
1
6
70
.
19
6
2900
.
0
6
2s
m
v
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Permasalahan utama pada Eleminasi gauss adalah :
• Pembagian dengan 0
• Error akibat Pembulatan yang besar
35
Pembagian dengan nol
9
5
5
11
3
2
6
3
7
10
3
2
1
3
2
1
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
9
11
3
5
1
5
3
2
6
7
10
0
3 2 1x
x
x
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin 37
Pembagian dengan Nol
28
5
24
14
3
5
6
15
7
10
12
3 2 1 3 2 1 3 2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
28
14
15
5
1
24
3
5
6
7
10
12
3 2 1x
x
x
2
5
.
6
15
19
21
12
5
.
6
0
0
7
10
12
3 2 1x
x
x
Dari persamaan SPL berikut :
Nilai Exactnya :
Error akibat pembulatan yang besar
9
751
.
1
45
3
1
5
7
249
.
2
3
10
15
20
3 2 1x
x
x
1
1
1
3 2 1x
x
x
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Dari persamaan SPL berikut :
Hasil dari eleminasi gauss :
Dengan Pembulatan 6 Digit
Dengan pembulatan 5 Digit
39
Error akibat pembulatan yang besar
9
751
.
1
45
3
1
5
7
249
.
2
3
10
15
20
3 2 1x
x
x
999995
.
0
05
.
1
9625
.
0
3 2 1x
x
x
99995
.
0
5
.
1
625
.
0
3 2 1x
x
x
• Menambah digit significan
– Mengurangi besarnya error
– Tetap memiliki kemungkinan pembagian dengan Nol
• Partial Pivoting
– Menghindari Pembagian dengan Nol
– Mengurangi galat akibat pembulatan
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin 41
Partial Pivoting
pk
a
Disetiap awal iterasi ke
k
pada eleminasi maju, tentukan
nilai maksimum
nk k k kka
a
a
,
1,,...
...,
Jika nilai maksimumnya adalah
Pada baris
p
, dimana
k
p
n
,
Contoh dari persamaan berikut :
Baris mana yang ditukar ?
Contoh partial pivoting
3
9
8
6
5
43
11
12
17
0
8
6
23
9
0
11
1
12
4
0
2
1
6
7
0
6
7
.
3
1
.
5
14
6
5 4 3 2 1x
x
x
x
x
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin 43
Contoh partial pivoting
6
9
8
3
5
2
1
6
7
0
8
6
23
9
0
11
1
12
4
0
43
11
12
17
0
6
7
.
3
1
.
5
14
6
5 4 3 2 1x
x
x
x
x
• Mempunyai solusi yang unik,
• Mempunyai banyak solusi
• Tidak ada solusi sama sekali.
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin 45
Kemungkinan Solusi SPL
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Eleminasi Gauss Jordan
Rangkuman Gaussian Elimination
• Dapat menyelesaikan / memberikan solusi dari sistem persamaan
linear
• Namun masih memerlukan
back substitution
• Dapat digantikan dengan menggunakan elminasi lanjutan untuk
menghasilkan menemukan koefisien matriks
– Matriks Identitas
• Metode tersebut dinamakan :
Gauss-Jordan Elimination
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin 49
Hasil Akhir yang Diharapkan
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
3 2 1x
x
x
c
b
a
Didapatkan vector hasil berupa yang merupakan solusi SPL!
c
b
a
Gauss-Jordan Elimination
31
8
3
5
7
7
5
3
36
5
4
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Misalkan diketahui sebuah sistem persamaan linear :
Augmented matriks dari persamaan tersebut adalah :
31
8
3
5
7
7
5
3
36
5
4
2
51
Gauss-Jordan Elimination
31
8
3
5
7
7
5
3
36
5
4
2
31
8
3
5
7
7
5
3
36
5
4
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Langkah 1: Eleminasi koef. x pada persamaan 2 dan 3.
121
5
.
20
13
61
5
.
14
36
5
4
2
121
5
.
20
13
0
61
5
.
14
1
0
36
5
4
2
z
y
z
y
z
y
x
Gauss-Jordan
Elimination
672
168
0
0
61
5
.
14
1
0
36
5
4
2
672
168
61
5
.
14
36
5
4
2
z
z
y
z
y
x
4
1
0
0
61
5
.
14
1
0
18
5
.
2
2
1
Langkah 2: Eleminasi koef. y pada persamaan
ketiga.
13R’2+R’3 R’’3Langkah 3:
0.5R’1 R’1 -R’2 R’’2 (1/168)R’’3 R’’’3
4
61
5
.
14
18
5
.
2
2
z
z
y
z
y
x
53
Gauss-Jordan Elimination
) 2 ( ) 5 . 14 ( ) 3 ( 2 Row Row row
4
1
0
0
61
5
.
14
1
0
18
5
.
2
2
1
4
61
5
.
14
18
5
.
2
2
z
z
y
z
y
x
Langkah 4: Eleminasi z pada persamaan kedua
4
1
0
0
3
0
1
0
18
5
.
2
2
1
4
3
18
5
.
2
2
z
y
z
y
x
Gauss-Jordan Elimination
1 ) 1 ( ) 2 ( ) 2(Row Row NewRow
4
1
0
0
3
0
1
0
18
5
.
2
2
1
4
3
18
5
.
2
2
z
y
z
y
x
Langkah 5-1: Eleminasi y pada persamaan kesatu
4
1
0
0
3
0
1
0
12
5
.
2
0
1
4
3
12
5
.
2
z
y
z
x
55
Gauss-Jordan Elimination
1 ) 1 ( ) 5 . 2 ( ) 3(Row Row NewRow
4
1
0
0
3
0
1
0
12
5
.
2
0
1
4
3
12
5
.
2
z
y
z
x
Langkah 5-2: Eleminasi z pada persamaan pertama
4
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
4
3
2
z
y
x
Cara tersebut dapat juga digunakan untuk menemukan
inverse
dari
sebuah matriks
• Dari perkalian matiks, kita tahu bahwa :
– CC
-1= I
• Jadi, jika kita merubah
– C menjadi matriks I
(Menggunakan operasi baris)
• Saat yang bersamaan kita akan melakukan operasi
– I menjadi C
–1(menggunakan operasi baris yang sama)
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin 57
Invers Matriks
nn n n n n nn n n n n J Gp
p
p
p
p
p
p
p
p
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
I
I
A
...
1
...
0
0
...
...
...
...
...
....
...
...
...
0
...
1
0
...
0
...
0
1
1
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
1
0
...
0
...
0
1
...
2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1 6 . 0 2 . 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 2 . 0 4 . 0 0 0 0 1 6 . 0 2 . 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2 0 1 3 1 0 5 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 3 5 3 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 3 5 3 0 0 0 1 2 1 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 1 0 3 0 0 1 2 1 1Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Iterative Method
Gauss - Seidel
i
x
x
x
k i k i k i
,
) 1 ( ) ( ) 1 (
Iterative Method
• Gauss (dan Gauss-Jordan) memunculkan banyak
error akibat pembulatan.
• Iterasi diawali dengan memberikan nilai perkiraan
untuk semua variabel.
• Iterasi berhenti jika :
) 0 ( ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 0...
nx
x
x
x
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin n n nn n n n n n n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
...
...
...
2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11Gauss-Seidel Method
nn k n nn k n k n n k n k n n k k k k n n k ka
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
) ( 1 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 22 ) ( 2 ) ( 3 23 ) 1 ( 1 21 2 ) 1 ( 2 11 ) ( 1 ) ( 2 12 1 ) 1 ( 1...
...
...
Contoh
;
2
;
2
;
1
15
5
2
21
8
4
7
4
) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5
2
15
8
4
21
4
7
) 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 3 ) ( 3 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) 1 ( 1
k k k k k k k k kx
x
x
x
x
x
x
x
x
Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
