FU NG SI G AM MA D AN BE TA
K E L O M P O K I V : A D R I W A N T O 8 2 2 6 1 7 6 0 0
N A N D A J U L F A R E Z E K I 8 2 2 6 1 7 6 0 0 5 N U R A F N I A B R . S U R B A K T I 8 2 2 6 1 7 6 0 0
PENDAHULUAN
• Fungsi Gamma dan Beta merupakan fungsi dalam bentuk pernyataan integral dan mudah untuk dipelajari.
• Kedua fungsi ini biasanya dibahas secara rinci dalam fungsi bilangan kompleks (di sini hanya dibahas secara definisi dan sifat-sifat sederhana yang dimiliki fungsi tersebut).
• Fungsi Gamma dan Beta merupakan fungsi dalam bentuk pernyataan integral dan mudah untuk dipelajari.
• Kedua fungsi ini biasanya dibahas secara rinci dalam fungsi bilangan kompleks (di sini hanya dibahas secara definisi dan sifat-sifat sederhana yang dimiliki fungsi tersebut).
FUNGSI FAKTORIAL
Untuk menentukan fungsi factorial diambil bentuk integral tertentu:
Untuk , maka:
=
=
=
Bila kedua sisi diturunkan
terhadap , maka:
Diturunkan lagi terhadap :
FUNGSI FAKTORIAL
Turunan berikutnya:
Secara umum:
Untuk , maka
Untuk n=0, persamaan di
samping menjadi:
-(0-1)= 0!
1 = 0!
jadi 0!=1
FUNGSI GAMMA
DEFENISI
Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut
Dalam aplikasinya fungsi Gamma ini digunakan untuk membantu menyelesaikan integral-integral khusus yang sulit dalam pemecahannya dan banyak digunakan dalam menyelesaikan permasalahan di bidang fisika maupun teknik.
Fungsi Gamma dinyatakan oleh yang didefinisikan sebagai :
Konvergen untuk n>0
Rumus rekursif dari fungsi gamma
Persamaan di atas harga Γ(n) bisa ditentukan untuk semua n>0 bila nilai-nilai untuk
Contoh soal:
1. Hitunglah menggunakan rumus rekursi Jawab :
2. Hitunglah menggunakan rumus rekursi Jawab :
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka;
untuk n<0 diperoleh bentuk
Contoh Soal : 1. Hitunglah
Jawab = 2 2. Hitunglah
Jawab
Bila n bilangan pecahan positif
dimana
Bila n bilangan pecahan negatif
Contoh soal:
1. Hitunglah Jawab :
2. Hitunglah Jawab : =
=
Fungsi Beta didefinisikan dalam bentuk :
=
konvergen untuk mdan n B (p,q) = dx
Sifat:
=
Bukti
Misal y = 1- x x = 1 - y
(terbukti)
FUNGSI BETA
HUBUNGAN BETA DENGAN GAMMA
=
,
Fungsi Gamma dinyatakan oleh
Contoh soal : 1. Hitunglah
Jawab :
Misal : y = 3x dx = dy jika x = 0 , y = 0
jika x = , y =
=
Dimana
Maka
= (
=
=
=
FUNGSI GAMMA
2. Hitung Jawab
Bentuk umum fungsi Beta =
= B (4,3)
=
=
=
=
FUNGSI BETA
3. Hitunglah I = dr Jawab
Bentuk umum fungsi beta yaitu B (p,q) = dr dengan I = dr , maka
P – 1 = 2 p = 3 P + q = 4 q = 1 Jadi :
I = B (3,1)
=
=
= =
