BAB II
FUNGSI-FUNGSI KHUSUS
Kelompok 4 :
Marlina Puji Rahayu (140210102018)
Fungsi Gamma dan Beta merupakan fungsi dalam bentuk pernyataan integral dan mudah untuk dipelajari.
Kedua fungsi ini biasanya dibahas secara rinci dalam fungsi bilangan kompleks (di sini hanya dibahas secara definisi dan sifat-sifat sederhana yang dimiliki fungsi tersebut).
FUNGSI FAKTORIAL
Untuk menentukan fungsi factorial diambil bentuk integral tertentu:
∞ −
Untuk > , maka:
∞ − = − − ∞
= − − ∞ − − .
= − ∞ − =
Bila kedua sisi diturunkan terhadap , maka:
∞ −�� = −
∞
− − = −�−
∞ − = �−
Diturunkan lagi terhadap :
∞ . − . − = − �−
∞ . − = �−
FUNGSI FAKTORIAL
Turunan berikutnya:
∞
. − = !
Secara umum:
∞
Untuk n=0, persamaan di samping menjadi:
DEFENISI
Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut
Dalam aplikasinya fungsi Gamma ini digunakan untuk membantu menyelesaikan integral-integral khusus yang sulit dalam pemecahannya dan banyak digunakan dalam menyelesaikan permasalahan di bidang fisika maupun teknik.
Fungsi Gamma dinyatakan oleh Γ yang didefinisikan sebagai :
Γ = ∞ − − = lim→∞ − −
Rumus rekursif dari fungsi gamma
Γ + = Γ
Persamaan di atas harga Γ(n) bisa ditentukan untuk semua n>0 bila nilai-nilai untuk
≤ ≤
Contoh soal:
1 . Hitunglah Γ menggunakan rumus rekursi
Jawab : Γ = Γ + = Γ =
FUNGSI GAMMA
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka;
Γ + = !
untuk n<0 diperoleh bentuk
Γ = Γ +
FUNGSI GAMMA
■ Bila n bilangan pecahan positif
Γ = − . − . … Γ
dimana < <
■ Bila n bilangan pecahan negatif
Γ = Γ +
Contoh soal:
1. Hitunglah Γ
2. Hitunglah Γ − Jawab :
Γ − = Γ −−77+ =
Γ − −7
= Γ − +−7 − =
Γ
Fungsi Beta didefinisikan dalam bentuk :
� , = − − −
konvergen untuk m> dan n> B (p,q) = ∞ −
+ + dr Sifat:
Bukti
� , = − − −
Misal y = 1- x → x = 1 - y
= − − −
= − − −
= � ,
2. Hitung − Jawab
Bentuk umum fungsi Beta
− = − − −
= B (4,3) = Γ Γ
Γ +
= ! ! !
=
Soal Latihan
1. Buktikan Γ = 1 2. Hitunglah Γ
3. Hitunglah Γ −
4. Hitunglah Γ Γ
5. Hitung ∞ − dx
6. Hitung fungsi beta dari I = ∞
+ 7 dx
7. Hitung fungsi beta dari I = − dx
Soal Latihan
8. Hitunglah Γ Γ , Γ ,
9. Hitunglah Γ 7 Γ
10. Hitunglah ∞ −
dx
11. Hitung fungsi Beta dari −
1. Buktikan Γ = 1 Jawaban :
Diket: Γ = 1
Γ = ∞ − − = lim→∞ − −
= lim→∞ − = lim→∞ − −
2. Hitunglah Γ = . . . . Jawaban:
Diket : Γ
Γ n + = n!
Γ = Γ + = ! =
3. Hitunglah Γ −
Jawaban :
Diket : Γ −
Γ = Γ n+
Γ − = Γ − +−
Jawaban
10. Hitunglah ∞ − dx
Jawaban :
Bentuk umum: ∞ − − = Γ(n)
n-1=
n= +
n=
∞ − dx
= Γ(n) dengan n =
= Γ( )
Jawaban
12. Hitunglah Γ Γ
Jawaban:
Γ
Γ =
∙ Γ
∙ Γ
= ∙
∙
