Makalah transformasi fourier

PAPER

PAPER

TEKNIK PEMROSESAN SINYAL

TEKNIK PEMROSESAN SINYAL

“WA

“WAV

VEFOR

EFORM

M SPECT

SPECTRA”

RA”

OLEH OLEH

A

Arrddiiyyaan n HHaannddaayyaannii ((1133000011!!0033!!""

R#dian$% (13001!00"

R#dian$% (13001!00"

ELKOM 13 & ELKOM 13 &

'NIVERSI

'NIVERSITA

TAS

S NEERI

NEERI S'RA&AY

S'RA&AYA

A

FAK'LTAS TEKNIK 

FAK'LTAS TEKNIK 

)'R'SAN TEKNIK ELEKTRO

)'R'SAN TEKNIK ELEKTRO

*01

*01

A+ P#,-. Train

.,%/an 2#,-a  atau deretan 2#,-a adalah jenis non-sinusoidal gelombang  yang mirip

dengan gelombang persegi , tetapi tidak memiliki bentuk simetris terkait dengan gelombang  persegi yang sempurna. Ini adalah istilah umum untuk synthesizer  pemrograman, dan merupakan gelombang khas yang tersedia di banyak synthesizer. Bentuk yang tepat dari gelombang ditentukan oleh siklus  dari osilator  . Dalam banyak synthesizer, siklus dapat dimodulasi (kadang-kadang disebut pulse-width modulation) untuk timbre lebih dinamis. Gelombang pulsa juga dikenal sebagai gelombang persegi panjang, yang  periodik   ersi !ungsi persegi panjang.

"eri #ourier eksponensial untuk gelombang pulsa persegi panjang dengan periode T dan

waktu pulsaτ  adalah

komponen d$ dilihat diberikan dengan %

dan amplitudo n harmonik dengan %

Di sini an dan bn adalah koe!isien dide!inisikan sebagai integral dalam hal tertentu &(t).

Dalam antisipasi hasil berikutnya, bentuk persamaan untuk an mungkin akan dirubah sebagai  berikut. Dengan & ' n τ *+, kemudian dibiarkan sebagai latihan siswa untuk menampilkan

 bahwa

a

n

 '

2 Aτ  T  0 sin _x  x

!ungsi (sin &)& sering terjadi dalam belajar spektrum. ada saat & ' +, sehingga & ' k untuk k ' ,  /,... . dalam praktiknya persamaan diatas & adalah ariabel diskrit, dan k ' ' n τ *+ itu tidak 

semestinya utuh.

0arena adanya signi!ikansi dalam komunikasi digita, !ungsi (sin &)& diberikan nama khusus. Itu dikenal sebagai 1 sampling function2, ditulis "a(&) dimana

 "a(&) '

sin _x

 x

0adang ditandai dengan !ungsi yang behubungan dikenal sebagai 1 sinc function2, ditulis sin$

k, dimana

"in$ k '

sin kπ  kπ 

Dalam kenyataan ini hanya perbedaan dalam notasi, tapi kedua !ungsi se$ara luas digunakan dalam latihan, dan sehingga ini terbaik agar lebih mudah dipahami. 0edua !ungsi yang ada dalam gra!ik dan bentuk tabel. #ungsi sin$ akan digunakan dalam tulisan ini, dan dalam  persamaan dibawah ini

a

n

 '

2 Aτ 

T  0 sin$

nτ  T  0

&+ &..ra2a Sia$ '/#/ .,%/an P.ri%di4 

0etika menentukan spektrum untuk gelombang pendahulunya, si!at tertentu yang disimpulkan dari simetri gelombang. beberapa si!at dan lain-lain adalah sebagai berikut.

. 3ika salah satu siklus gelombang memiliki area yang sama atas dan di bawah sumbu waktu tidak akan ada istilah d$

/. 3ika gelombang simetris terhadap sumbu ertikal perluasan trigonometri hanya akan  berisi istilah $osinus. simetri ini mengharuskan bahwa bentuk gelombang menjadi

!ungsi, atau (-t) ' (t).

4. 3ika komponen a$ gelombang miring-simetris terhadap sumbu ertikal perluasan trigonometri hanya akan berisi istilah sinus. simetri ini mengharuskan bahwa komponen a$ menjadi !ungsi ganjil, atau (-t) ' -(t)

5. 3ika gelombang memiliki diskontinuitas yang terbatas (seperti transisi dari satu tingkat ke yang lain dalam gelombang persegi, atau perubahan mendadak di pun$ak  gelombang segitiga), maka spektrum akan berisi jumlah tak terbatas harmonik. enurunan ini dalam amplitudo setidaknya se$epat n.

C+ E52%n.n$ia, F%#ri.r

S.ri.-6osinus sudut dapat ditulis dalam syarat eksponensial %

6os 7 ' e

 jθ

+e− jθ❑

2

8mplitudo ini dua eksponensial istilah adalah sama di $n ' 8n/ dan sudut !ase berbeda dengan 9+. dengan menunjukkan eksponensial positi! sebagai !asor pada !rekuensi :n!+ dan eksponensial negati! pada !rekuensi ;n!+, bentuk eksponensial spektrum dibuat, . ini dikenal sebagai spektrum dua sisi, karena menggunakan !rekuensi positi! dan negati!. harus dipahami, bagaimanapun, bahwa komponen ini harus selalu datang berpasangan untuk  membuat istilah trigonometri yang sesuai pada nyata (positi!) !rekuensi nf 0.

Dengan satu modi!ikasi tambahan, seri #ourier trigonometri dapat ditulis bentuk eksponsial sangat padat. modi!ikasi adalah untuk menginterpretasikan komponen d$ sebagai istilah $osinus dari nol !rekuensi dan !ase nol sudut, yang kemudian memungkinkan persamaan untuk (t) bisa ditulis %

<ksponensial #ourier "eries menggunakan, bukan dasar dari sinus dan $osinus dari trigonometri #ourier "eries, sebuah basis setara !ungsi eksponensial. Basis ini mungkin terlihat seperti

di mana, seperti sebelumnya, w + adalah frekuensi dasar sinyal dan j ' =- ("ering terlihat

di tempat lain seperti i)

>ubungan antara ini dasar dan dasar trigonometri sebelumnya 8nda hanya melihat karena identitas yang sangat penting yang sering disebut E#,.r P.r-a/aan6

e i7 _{' $os (7) : saya sin (7)}

(Di mana i ' =-) atau . 78 _{9 :%- (8" ;  7 -in (8"} (Dimana j ' =-) (?ersi akrab bagi

insinyur listrik).

@rang tidak intuiti! mengasosiasikan eksponensial dengan perilaku ber!luktuasi sebagai salah satu tidak dengan !ungsi trigonometri. Aamun ketika bilangan kompleks yang terlibat dan <uler ersamaan dibesarkan, mereka menjadi setara. isalnya, eksponensial kompleks ini tidak busuk dari waktu ke waktu sebagai ersi yang sebenarnya tidak, melainkan berosilasi terus dengan kedua bagian real dan imajiner melakukannya. 3ika 8nda men$oba untuk  membayangkan ini, memikirkan ektor satuan dari asal dalam bidang dua dimensi, dengan ujungnya pada titik (:%- (8"< -in (8""  "ebagai meningkat 8 dalam waktu, ujung ektor 

terjadi di sekitar dan di sekitar titik asal.

Bentuk kompleks dan trigonometri dari #ourier "eries sebenarnya setara. >al ini dapat dilihat dengan sedikit ilmu aljabar. enggunakan identitas trigonometri :%- (=8" 9 :%- (8"< -in (= 8" 9 = -in (8" satu mendapatkan bahwa

e-j7 _{' $os (7) - j sin (7) dari e} j7 _{' $os (7) : j sin (7)}

menambahkan dua persamaan ini bersama-sama dan membaginya dengan / hasil $os (7) '

(< j7 _{: <} -j7) _{ /}

sementara mengurangkan mereka dan membaginya dengan /j hasil sin (7) ' (< j7 - < -j7) 

/j. Dengan demikian eksponensial kompleks dapat dinyatakan ber!ungsi sebagai trigonometri sementara !ungsi trigonometri dapat dinyatakan sebagai eksponensial kompleks. Insinyur 

listrik lebih suka ersi yang kompleks, sementara !isikawan dan insinyur mekanik lebih trigonometri tersebut.

"elanjutnya, untuk setiap ! sinyal (t) lebih C+, * +, atau ! periodik (t) dengan periode * + kita

dapat menghitung eksponensial #ourier "eries. 0ita mulai dengan menulis

karena basis set kami sekarang . 0ita harus menemukan D + dan D n koe!isien

untuk menemukan <#" dari sinyal !.

"eperti sebelumnya dengan trigonometri #ourier "eries dan

"eri #ourier eksponensial se$ara luas telah digunakan di lebih teks lanjutan untuk  kemudahan yang memungkinkan manipulasi matematika untuk dilakukan. manipulasi seperti tidak akan diperlukan dalam teks ini, namun, sama-sama penting, seri #ourier eksponensial membentuk dasar untuk sebagian besar #ast #ourier *rans!orm program komputer yang digunakan untuk menentukan koe!isien #ourier. program ini tersedia se$ara luas, dan untuk  meman!aatkan se$ara e!isien, pengetahuan tentang latar belakang untuk metode ini diperlukan.

"eperti yang telah disebutkan, dalam situasi tertentu bentuk !ungsional untuk  (t) tidak akan diketahui. dalam situasi ini integral dari persamaan diealuasi dengan memperlakukannya sebagai suatu daerah di bawah kura dan mendapatkan nilai perkiraan untuk daerah, menggunakan aturan daerah seperti aturan persegi panjang. rogram ##* mengikuti pendekatan ini, dan ini memiliki pengaruh pada bagaimana data harus dimasukkan ke dalam program dan bagaimana hasilnya harus dita!sirkan, seperti yang akan ditampilkan segera.

>+ >ERET FORIER >AN TRANSFORMASI FORIER 

Dalam matematika,>.r.$ F%#ri.rmerupakan penguraian !ungsi periodik  menjadi

 jumlahan !ungsi-!ungsi berosilasi, yaitu !ungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial kompleks. "tudi deret #ourier merupakan $abang analisis #ourier . Deret #ourier  diperkenalkan oleh 3oseph #ourier (EF9-94+) untuk meme$ahkan masalah persamaan  panas di lempeng logam.

ersamaan panas merupakan persamaan di!erensial parsial. "ebelum #ourier,  peme$ahan persamaan panas ini tidak diketahui se$ara umum, meskipun solusi khusus

diketahui bila sumber panas berperi laku dalam $ara sederhana, terutama bila sumber banas merupakan gelombang sinus atau kosinus. "olusi sederhana ini saat ini kadang-kadang disebut sebagai solusi eigen. Gagasan #ourier adalah memodelkan sumber panas ini sebagai superposisi (atau kombinasi linear)gelombang sinus dan kosinus sederhana, dan menuliskan  peme$ahannya sebagai superposisi solusi eigen terkait. "uperposisi kombinasi linear ini

disebut sebagai deret #ourier.

eskipun motiasi awal adalah untuk meme$ahkan persamaan panas, kemudian terlihat jelas bahwa teknik serupa dapat diterapkan untuk sejumlah besar   permasalahan !isika dan matematika. Deret #ourier saat ini memiliki banyak penerapan di  bidang teknik elektro, analisis ibrasi, akustika, optika, pengolahan $itra, mekanika kuantum,

dan lain-lain. De!inisi %

Deret #ourier adalah salah satu $ara merepresentasikan bentuk sinyal ke domain !rekuensi. Deret #ourier hanya berlaku untuk sinyal periodik.

*rans!ormasi #ourier Diskrit (*#D) adalah $ara untuk merepresentasikan sinyal  periodik dan non-periodik ke domain !rekuensi.

"ehingga analisis !ourier ada dua ma$am, yaitu untuk !ungsi periodik menggunakan Deret #ourier, sedangkan untuk !ungsi non periodik menggunakan *rans!ormasi #ourier.

ada prinsipnya analisis #ourier untuk sinyal waktu-diskrit dapat dianalogikan dengan sinyal waktu-kontinyu sebab !ungsi diskrit dan kontinyu perbedaannya hanya pada

 pende!inisian pada waktunya saja, !ungsi kontinyu terde!inisi untuk semua waktu, sedangkan !ungsi diskrit hanya terde!inisi untukwaktu tertentu saja, sehingga notasinya  pun diubah, seperti t menjadi n dan bentuk integral (  ) menjadi sigma ( H ).

1+ >.r.$ F%ri.r 'n$#4 Wa4$# K%n$iny#

enurut teori #ourier setiap !ungsi periodik dengan !rekuensi + dapat di ekspresikan

sebagai perjumlahan dari !ungsi sinus ataupun kosinus. #ungsi eriodik%

Deret #ourier%

6ontoh% *entukan deret #ourier dari sinyal di bawah ini%

Dengan * ' / dan Bentuk persamaan gelombang%

3awab%

Dengan menggunakan rumus deret #ourierJ

Deret #ourier untuk sinyal diskrit dengan perioda A dapat ditulis%

Dengan 6k  adalah%

6ontoh% *entukan konstanta #ourier $k   dari sinyal waktu-diskrit periodik dengan

 perioda A ' 5 dan &(n) ' K, , +, +) 3awab%

Dengan rumus%

*rans!ormasi #ourier dari &(n) dide!inisikan sebagai %

"e$ara !isis, L() menyajikan isi !rekuensi sinyal &(n). Dengan kata lain, L() adalah dekomposisi &(n) menjadi komponen-komponen !rekuensinya.

Iners dari trans!ormasi #ourier diskrit dapat dinyatakan dengan %

erbedaan antara trans!ormasi #ourier waktu kontinyu dengan trans!ormasi #ourier  waktu diskrit%

. *rans!ormasi #ourier sinyal waktu-kontinyu kisaran !rekuensinya (-M,M), sedangkan kisaran !rekuensi trans!ormasi #ourier sinyal waktu-diskrit kisaran !rekuensinya(-, ) atau ekialennya adalah (+, /).

/. 0arena sinyal adalah diskrit dalam waktu, maka trans!ormasi #ouriernya adalah  penjumlahan (sigma) sebagai ganti dari integral. 0arena L() adalah !ungsi  periodik dengan ariabel !rekuensi , ia mempunyai espansi deret #ourier, yang

diekspresikan sebelumnya memenuhi. Dari de!inisi L() terlihat L() mempunyai bentuk deret #ourier dengan koe!isienkonstanta #ourier adalah &(n). 0arena bentuk trans!ormasi #ourier adalah deret tak berhingga, maka akan ada  persoalan konergensi. "uatu deret tak berhingga dikatakan konergen jika dan hanya  jika deret tersebut nilainya tidak tak berhingga ( N M ).

aka dapat dikatakan suatu trans!ormasi #ourier dari suatu sinyal waktu-diskrit ada (da2a$ di$.n$#4an"  jika dan hanya jika deret tak berhingganya konergen, atau

se$ara matematis ditulis %

"ehingga seharusnya setiap kita akan men$arimenghitung suatu trans!ormasi #ourier  dari sebuah sinyal waktu-diskrit, pertama-tama harus diselidiki terlebih dahulu kekonergenan dari sinyal tersebut.

6ontoh%

. *entukan trans!ormasi #ourier dari %

3awab%

0arena OaO N , barisan &(n) dapat dijumlahkan se$ara absolut (konergen)%

0arena itu trans!ormasi #ourier dari &(n) da2a$ di?i$#n dan diperoleh dengan

de!inisi trans!ormasi #ourier %

/. *entukan trans!ormasi #ourier dari %

3awab%

"elidiki dulu konergensi barisannya.

0arena itu x(n) dapat dijumlahkan se$ara absolut (konergen), maka trans!ormasi

#ouriernyaada. "elanjutnya kita hitung trans!ormasi #ourier sinyal tersebut %

Pntuk menyederhanakan deret tersebut, terlebih dahulu deret tersebut kita perpanjang sampai n ' M, seperti dibawah ini %

3umlah keseluruhan untuk deret tersebut dengan menggunakan !ormula penjumlahan geometri adalah%

dan jumlah untuk deret mula sampai

maka jumlah deret pada persamaan trans!ormasi #ourier diatas adalah%

*able trans!ormasi !orier Q

>i4.$a?#i $.rda2a$ -inya, -.2.r$i .ri4#$6

P.ri%d. -inya, 9 T09 *+