Landasan Teori Anova 2 Arah

BAB II BAB II

LANDASAN TEORI LANDASAN TEORI

2.1

2.1 Anova Anova Dua Dua ArahArah

Asumsi-asumsi dasar anova 2 arah adalah sebagai berikut. Suatu populasi Asumsi-asumsi dasar anova 2 arah adalah sebagai berikut. Suatu populasi menyebar normal, varians

menyebar normal, varians atau ragam dan atau ragam dan populasi populasi yang di yang di uji sama, sampel uji sama, sampel tidaktidak  berhubungan satu dengan yang lain (Walpole, 1995).

 berhubungan satu dengan yang lain (Walpole, 1995). Model anova dua arah

Model anova dua arah (two-way anova)(two-way anova)  yang di dalamnya hanya ada satu  yang di dalamnya hanya ada satu observasi setiap ruang lingkup sering di artikan sebagai

observasi setiap ruang lingkup sering di artikan sebagai randumized block design,randumized block design, karena adanya tipe khusus dalam penggunaan model ini. Dalam anova, karena adanya tipe khusus dalam penggunaan model ini. Dalam anova,  penggambungan

 penggambungan kelompok-kelompok kelompok-kelompok disebutdisebut blocks, blocks, dan karena kejadian individualdan karena kejadian individual atau tunggal ditentukan secara randum yang didasarkan atas identifikasi keanggotaan atau tunggal ditentukan secara randum yang didasarkan atas identifikasi keanggotaan blocks

blocks, bentuknya dikaitkan dengan, bentuknya dikaitkan dengan randomized blocks design.randomized blocks design.  Persamaan linier  Persamaan linier untuk model

untuk model two-way anova two-way anova tanpa  tanpa replikasi atau replikasi atau interaksi adalah (interaksi adalah (Subiyakto, Subiyakto, 1994).1994).

2.2

2.2 Pengujian Pengujian Klasifikasi Klasifikasi dua dua Arah Arah Tanpa Tanpa InteraksiInteraksi

Pengujian klasifikasi dua arah tanpa interaksi merupakan pen

Pengujian klasifikasi dua arah tanpa interaksi merupakan pen gujian hipotesisgujian hipotesis  beda tiga rata

 beda tiga rata

 _– 

 _– 

 rata atau lebih dengan dua faktor yang berpengaruh dan interaksi rata atau lebih dengan dua faktor yang berpengaruh dan interaksi antara dua faktor tersebut ditiadakan. Langkah

antara dua faktor tersebut ditiadakan. Langkah

 _– 

 _– 

 langkah pengujian klasifikasi dua langkah pengujian klasifikasi dua arah tanpa interaksi adalah sebagai berikut :

arah tanpa interaksi adalah sebagai berikut :

1.

1. Menentukan formulasi hipotesisMenentukan formulasi hipotesis a.

a. HH₀₀ : : αα₁₁  αα₂₂  αα₃₃ ... 00_{(pengaruh baris nol)(pengaruh baris nol)} ::

H

H₁₁ SekurangSekurang

 _– 

 _– 

 kurang nya satu kurang nya satu αα₁₁ tidak sama dengan nol tidak sama dengan nol  b.

 b. HH00:: ββ11  ββ22  ββ33 ... 00( pengaruh kolom nol )( pengaruh kolom nol )

:: H

H₁₁ SekurangSekurang

 _– 

 _– 

 kurang nya satu kurang nya satu ββ₁₁ tidak sama dengan nol tidak sama dengan nol 2.

Taraf nyata (

Taraf nyata (αα) dan F table ditentukan dengan derajat pembilang dan penyebut) dan F table ditentukan dengan derajat pembilang dan penyebut masing-masing :

masing-masing : a.

a. Untuk baris :Untuk baris : vv₁₁ = b = b

 _– 

 _– 

 1 dan 1 dan vv₂₂ = ( k = ( k

 _– 

 _– 

 1 ) ( b 1 ) ( b

 _– 

 _– 

 1 ) 1 )  b.

 b. Untuk kolom :Untuk kolom : vv₁₁ = k = k

 _– 

 _– 

 1 dan 1 dan vv₂₂ = ( k = ( k

 _– 

 _– 

 1 ) ( b 1 ) ( b

 _– 

 _– 

 1 ) 1 ) 3.

3. Menentukan kriteria pengujianMenentukan kriteria pengujian a.

a. HH₀₀ diterima apabila diterima apabila FF_{00 α(vα(v ;;vv ))} 2 2 1 1 F F   0 0 H

H  ditolak apabila ditolak apabila FF_{00 α(vα(v ;;vv ))} 2 2 1 1 F F    b.

 b. HH₀₀ diterima apabila diterima apabila FF_{00 α(vα(v ;;vv ))} 2 2 1 1 F F   0 0 H

H  ditolak apabila ditolak apabila FF_{00 α(vα(v ;;vv ))} 2 2 1 1 F F   4.

4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVAMembuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA

Sumber Sumber Varians Varians Jumlah Jumlah Kuadrat Kuadrat Derajat Derajat Bebas Bebas Rata

Rata

 _– 

 _– 

 Rata Rata Kuadrat

Kuadrat FF00 Rata-rata

Rata-rata baris baris JKBJKB  b b11

db db JKB JKB ss₁₁22  2 2 3 3 2 2 1 1 ss ss f  f ₁₁  2 2 3 3 2 2 21 21 ss ss f  f ₂₂  Rata-rata Rata-rata kolom kolom JKKJKK k k 11 dbdb JKK  JKK  ss22₂₂  Eror JKE Eror JKE (k (k 1)(b1)(b1)1) db db JKE JKE ss22₃₃  Total JKT Total JKT kbkb11  b  b .. k  k  .. .... T T k  k  x x  b  b JKT JKT 2 2 1 1  j  j 2 2 ij ij 1 1 ii             kb kb .. .. T T k  k   b  b JKB JKB 2 2 1 1 ii _     

kb kb .. .. 2 2 T T  b  b k  k  .j .j T T JKK  JKK   j j 11 2 2        JKE = JKT JKE = JKT

 _– 

 _– 

 JKB JKB

 _– 

 _– 

 JKK JKK 5.

5. Membuat kesimpulanMembuat kesimpulan Menyimpulkan

Menyimpulkan HH₀₀ diterima atau ditolak dengan membandingkan antara langkah diterima atau ditolak dengan membandingkan antara langkah ke empat dengan kriteria pengujian pada langkah ke

ke empat dengan kriteria pengujian pada langkah ke

 _– 

 _– 

 3. 3.

2.3

2.3 Pengujian Pengujian klasifikasi klasifikasi dua dua arah arah dengan dengan interaksiinteraksi

Tiga hipotesis nol yang berbeda dapat diuji dengan anova dua arah dengan Tiga hipotesis nol yang berbeda dapat diuji dengan anova dua arah dengan interaksi

interaksi  (two-way analysis of variance with interaction, n observation per cell),  (two-way analysis of variance with interaction, n observation per cell), yaitu: tidak ada efek kolom (perbedaan rata-rata kolom tidak signifikan), tidak ada yaitu: tidak ada efek kolom (perbedaan rata-rata kolom tidak signifikan), tidak ada efek baris (

efek baris (perbedaan rata-rata baris perbedaan rata-rata baris tidak signifikan), tidak signifikan), tidak ada interaksi tidak ada interaksi diantaradiantara dua faktor baris dan kolom (dua faktor independen). Suatu efek interaksi yang dua faktor baris dan kolom (dua faktor independen). Suatu efek interaksi yang signifikan menunjukan bahwa efek klasifikasi bagi suatu faktor berubah ubah sesuai signifikan menunjukan bahwa efek klasifikasi bagi suatu faktor berubah ubah sesuai dengan tingkat tingkat faktor yang lain. Persamaan linier model

dengan tingkat tingkat faktor yang lain. Persamaan linier model two way anovatwo way anova dengan replikasi atau interaksi adalah (Subiyakto, 1993):

dengan replikasi atau interaksi adalah (Subiyakto, 1993):

Dengan: Dengan:

μ

μ : : rata-rata rata-rata keseluruhan keseluruhan tanpa tanpa memperhatikan memperhatikan banyaknya banyaknya klasifikasiklasifikasi

 j  j β

β _{: : efek efek klasifikasi klasifikasi j j dalam dalam dimensi dimensi B B (baris)(baris)}

k  k  α

α _{: : efek efek klasifikasi klasifikasi k k dalam dalam dimensi dimensi A A (kolom)(kolom)}

 jk   jk  ee  jk   jk  ll k  k  α α  j j β β μ μ  jk   jk  X X     

 j jk k 

ll _{: : efek efek intraksi intraksi diantara diantara klasifikasi klasifikasi j j (dari (dari faktor faktor B) B) dan dan klasifikasi klasifikasi k k (dari(dari}

faktor A). faktor A).

 jk   jk 

ee _{: : kesalahan kesalahan randum randum sehubungan sehubungan dengan dengan smpling.smpling.}

Ringkasan anova dua sisi dengan replikasi dapat dilihat pada tabel di bawah ini. Ringkasan anova dua sisi dengan replikasi dapat dilihat pada tabel di bawah ini. Formulasi

Formulasi

 _– 

 _– 

  formulasi yag ada di dalam tabel tersebut didasarkan atas anggapan  formulasi yag ada di dalam tabel tersebut didasarkan atas anggapan  bahwa ada sautu kesamaan jumlah observasi dalam semua sel (Subiyakto, 1993).  bahwa ada sautu kesamaan jumlah observasi dalam semua sel (Subiyakto, 1993).

Pengujian klasifikasi dua arah dengan interaksi merupakan pengujian beda Pengujian klasifikasi dua arah dengan interaksi merupakan pengujian beda rata-rata atau lebih dengan dua faktor yang berpengaruh dan pengaruh interaksi rata-rata atau lebih dengan dua faktor yang berpengaruh dan pengaruh interaksi kedua faktor tersebut diperhitungkan. Langkah-langkah pengujian klasifikasi dua kedua faktor tersebut diperhitungkan. Langkah-langkah pengujian klasifikasi dua arah dengan interaksi ialah sebagai berikut (Hasan, 2002):

arah dengan interaksi ialah sebagai berikut (Hasan, 2002): 1.

1. Menentukan formuasi hipotesisMenentukan formuasi hipotesis a.

a. HH₀₀ ::αα₁₁ αα₂₂ αα₃₃ ...αα _b b 00 H

H11 : : Sekurang-kurangnya Sekurang-kurangnya satusatu ααii 00  b.

 b. HH₀₀ ::ββ₁₁ ββ₂₂ ββ₃₃ ...ββ_k k  00 H

H11 : : Sekurang-kurangnya Sekurang-kurangnya satusatu       j  j  00

c.

c. HH₀₀ ::



 

αβαβ

 

₁₁₁₁ 

 

αβαβ

 

₁₂₁₂ 

 

αβαβ



₁₃₁₃ ...



 

αβαβ  _bk  bk  00 H

H11 : Sekurang-kurangnya satu : Sekurang-kurangnya satu

  

αβαβ _iijj 00

2.

2. Menentukan taraf nyataMenentukan taraf nyata

  

αα dan F tabeldan F tabel Taraf nyata

Taraf nyata

  

αα  dan F dan F tabel ditemukan derajat pembilang dan penyebut masing-tabel ditemukan derajat pembilang dan penyebut masing-masing:

masing: a.

a. Baris Baris : : VV11= b= b

 – 

 – 

 1 dan V 1 dan V22= kb (n= kb (n

 – 

 – 

 1) 1)

 b.

 b. Kolom Kolom : : VV11 = K = K

 – 

 – 

 1 dan V 1 dan V22 = kb (n = kb (n

 – 

 – 

 1) 1)

c.

c. Interaksi : VInteraksi : V11= (k= (k

 – 

 – 

 1)(b 1)(b

 – 

 – 

 1) dan V 1) dan V22= kb (n= kb (n

 – 

 – 

 1) 1)

3.

3. Menentukan kriteria pengujianMenentukan kriteria pengujian a.

a. Untuk Baris:Untuk Baris: H

H00 diterima apabila diterima apabila FF00 _{α(vα(v ;;vv ))}

2 2 1 1 F F  

H

H00 ditolak apabila ditolak apabila FF00 _{α(vα(v ;;vv ))}

2 2 1 1 F F    b.

 b. Untuk Kolom:Untuk Kolom: H

H00 diterima apabila diterima apabila FF00 _{α(vα(v ;;vv ))}

2 2 1 1 F F   H

H00 ditolak apabila ditolak apabila FF00 _{α(vα(v ;;vv ))}

2 2 1 1 F F   c.

c. Untuk Interaksi:Untuk Interaksi: H

H00 diterima apabila diterima apabila FF00 _{α(vα(v ;;vv ))}

2 2 1 1 F F   H

H00 ditolak apabila ditolak apabila FF00 _{α(vα(v ;;vv ))}

2 2 1 1 F F   4.

4. Membuat analisi varians dalam bentuk tabel anovaMembuat analisi varians dalam bentuk tabel anova Sumber Sumber varians varians Jumlah Jumlah kuadrat kuadrat Derajat Derajat bebas bebas Rata-rata Rata-rata kuadrat kuadrat FF00 Rata-rata Rata-rata  baris  baris JKB JKB b-1b-1 dbdb JJKBKB = = ss₁₁22 2 2 4 4 2 2 1 1 1 1 ss ss = = f  f  2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 ss ss = = f  f  2 2 4 4 2 2 3 3 3 3 ss ss = = f  f  Rata-rata Rata-rata kolom kolom JKK JKK k-1k-1 dbdb JKK  JKK  = = ss22₂₂ Interaksi

Interaksi JKI JKI (b-1)(k-1)(b-1)(k-1)

db db JKI JKI = = ss22₃₃ Eror

Eror JKE JKE bk(n-1)bk(n-1)

db db JKE JKE = = ss2244 Total JKT Bkn-1 Total JKT Bkn-1 n n .. k  k  ..  b  b ... ... T T x x JKT JKT 2 2 n n 1 1 cc 2 2 ij ij cc k  k  1 1  j j  b  b 1 1 ii                  b.k  b.k.n.n ... ... T T k. k.nn T T JK JKBB 2 2  b  b 1 1 ii 2 2 ii       

 b.  b.k.nk.n .. .. .. T T  b.  b.nn T T JKK  JKK  2 2  b  b 1 1  j j .j .j 2 2         b.k.  b.k.nn .. .... T T  b.n  b.n .j .j T T k  k  k.n k.n T T  b.n  b.n T T JKI JKI 2 2 2 2 1 1  j j  b  b 1 1 ii 2 2 ii k  k  1 1  j j 2 2 ij ij  b  b 1 1 ii                      JKI JKI JKK  JKK  JKB JKB JKT JKT JKE JKE   

 b = baris, k = kolom, n = ulangan percobaan  b = baris, k = kolom, n = ulangan percobaan 5.

5. Membuat kesimpulanMembuat kesimpulan Menyimpulkan H

Menyimpulkan H00 diterima atau ditolak, dengan membandingkan antara langkah diterima atau ditolak, dengan membandingkan antara langkah

k-4 dengan kriteria pengujian pada langkah k-3. k-4 dengan kriteria pengujian pada langkah k-3.