Buku Ajar. Fisika Matematika I. Oleh: Elin Yusibani

(1)

Dicetak oleh :

Percetakan & Penerbit SYIAH KUALA UNIVERSITY PRESS

Darussalam, Banda Aceh

ElinYusibani mendapatkan gelar sarjana

p a d a D e p a r t e m e n F i s i k a , I n s t i t u t

Teknologi Bandung, Indonesia, pada

tahun 2002 lalu melanjutkan program

Magister pada Departemen Teknik Nuklir

di Tokyo Institut of Teknologi, Jepang,

pada tahun 2005.

G e l a r d o k t o r d i d a p a t k a n p a d a

Departemen Teknik Mesin di Kyushu University, Jepang, pada

tahun 2010. Sejak tahun 2006 menjadi dosen tetap pada Jurusan

Fisika, FMIPA pada Universitas Syiah Kuala, Indonesia.

Oleh:

Elin Yusibani

Fisika

Matematika I

(2)

Buku Ajar

Fisika Matematika I

E. Yusibani

Jurusan Fisika

Universitas Syiah Kuala

SYIAH KUALA UNIVERSITY PRESS 2017

(3)

ii

Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang

Dilarang keras memperbanyak, memfotocopy sebagian atau seluruh isi buku ini, serta memperjualbelikannya tanpa mendapat izin tertulis dari penerbit.

Diterbitkan oleh Syiah Kuala University Press Darussalam – Banda Aceh, 23111

Judul Buku :

Fisika Matematika I

Penulis : Elin Yusibani

Desain cover : Muhammad Rizky Maulana.

Penerbit : Syiah Kuala University Press Telp (0651) 801222 Email : [email protected]

Cetakan : Pertama, 2017 ISBN : 978-602-1270-68-4

(4)

iii

KATA PENGANTAR

Buku ajar ini dibuat sebagai pendamping untuk matakuliah Fisika Matematika I yang diajarkan untuk mahasiswa Program Studi Sarjana Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA), Universitas Syiah Kuala pada tahun kedua masa perkuliahannya (semester 3). Dengan adanya buku ajar ini diharapkan mahasiswa dapat lebih memahami aplikasi matematika untuk bidang fisika dan diharapkan dapat juga mengasah keterampilan analisis fisika menggunakan metode matematika.

Sistematika penulisan buku ajar ini terdiri dari deret takhingga pada bab satu selanjutnya bilangan kompleks, persamaan linear, vektor, matrik dan determinan, diferensiasi parsial pada bab empat, integral lipat dan terakhir adalah analisis vektor.

Semoga buku ajar ini dapat berguna bagi siapa saja yang bermaksud ingin mempelajari aplikasi matematika dalam fisika. Akhir kata, penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada berbagai pihak yang telah membantu terbitnya buku ajar ini, hanya Allah SWT saja yang dapat membalas semua kebaikan tersebut.

Banda Aceh, 2017 E. Yusibani

(5)

(6)

iv “Teruntuk Muhammad Rizky Maulana, Alyssa Meutia dan Alesya Nayla”

(7)

(8)

v

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... iii

DAFTAR ISI ... v

BAB 1 DERET TAKBERHINGGA ... 1

1.1 Deret Geometri ... 2

1.2 Deret Alternatif... 8

1.3 Deret Pangkat ... 9

1.4 Teknik Mendapatkan Ekspansi Deret Pangkat ... 11

1.5 Deret Harmonik ... 16

1.6 Definisi Dan Notasi ... 17

1.7 Deret Konvergen Dan Divergen ... 19

1.8 Tes Deret Divergen Dan Deret Konvergen ... 19

BAB 2 BILANGAN KOMPLEKS ... 25

2.1 Bidang Kompleks ... 26

2.2 Komples konjugasi ... 28

2.3 Aljabar Kompleks... 29

2.4 Konjungasi bilangan kompleks dan nilai absolutnya ... 31

2.5 Persamaan matematika bilangan kompleks ... 34

2.6 Aplikasi dalam ilmu fisika ... 35

2.7 Bilangan kompleks dalam deret tak hingga ... 37

2.8 Fungsi dasar dalam bilangan kompleks... 38

2.9 Formula Euleur ... 39

2.10 Akar dan pangkat bilangan kompleks ... 42

2.11 Fungsi ekponensial dan trigonometri dalam bilangan kompleks ... 45

2.12 Fungsi hiperbolik ... 46

2.13 Logaritma ... 47

2.14 Inverse fungsi trigonometri dan hiperbolic ... 48

BAB 3 PERSAMAAN LINIER, VEKTOR, MATRIK DAN DETERMINAN ... 52

3.1 Vektor ... 53

3.2 Pengurangan baris/ row reduction ... 57

3.3 Determinan (Cramer’s rule) ... 59

3.4 Matrix ... 66

(9)

BAB 4 DIFERENSIASI PARSIAL ... 74

4.1 Notasi Persamaan Diferensial Parsial ... 75

4.2 Deret Pangkat Untuk Dua Variabel ... 77

4.3 Aturan Rantai Pada Diferensial Parsial ... 78

4.4 Implisit Differensial ... 80

4.5 Menentukan Nilai Minimum Dan Maksimum ... 87

BAB 5 PERKALIAN INTEGRAL ... 94

5.1 Integral Lipat Dua Dan Lipat Tiga ... 95

5.2 Aplikasi Integral: Integral Tunggal dan Perkalian Integral ... 103

5.3 Perubahan Variabel di Dalam Integral (Jacobian) ... 105

BAB 6 ANALISIS VEKTOR ... 109

6.1 Triple Scalar Product ... 110

6.2 Triple Vektor Product ... 110

6.3 Diferensiasi Vektor... 111

6.4 Gradien untuk Fungsi Skalar ... 112

6.5 Directional Derivative ... 112

6.6 Gradient untuk Fungsi Vektor ... 114

6.7 Integral Garis ... 115

6.8 Teorema Green dalam Bidang ... 121

6.9 Teorema Divergen ... 123 6.10 Hukum Gauss ... 125 6.11 Teorema Stokes ... 126 6.12 Hukum Ampere ... 128 Index... 130 vi

(10)

Deret Takhingga

1

BAB 1 DERET TAKHINGGA

Tujuan Instruksional Khusus:

1. Mampu mengenali deret takhingga dan melakukan ekspansi sebuah bilangan kepada sebuah deret.

2. Mampu melakukan uji konvergensi dan divergensi terhadap deret yang terbentuk menggunakan beberapa metode.

3. Mampu mengenali deret bolak balik dan deret pangkat, juga melakukan ekspansinya.

4. Mampu menggunakan metode ekpansi Taylor/deret Mclaurin untuk menjabarkan fungsi menjadi sebuah deret.

5. Mampu mengaplikasikan ilmu deret dalam kehidupan sehari-hari sehingga mendapatkan hasil yang lebih akurat.

Deskripsi singkat:

Di dalam sub pokok bahasan ini akan dibahas mengenai: deret geometri, notasi dan istilah, deret alternatif, uji konvergensi dan divergensi, deret bolak balik, deret pangkat, ekspansi fungsi dalam deret pangkat dan aplikasi deret.

(11)

Deret Takhingga

2

Kita banyak menemui persoalan didalam kehidupan sehari-hari dalam bentuk deret. Deret takhingga adalah sebuah rangkaian dari bilangan yang tiada akhirnya (takhingga). Persoalan deret takhingga banyak digunakan baik didalam ilmu murni matematika ataupun aplikasi mtematika. Deret takhingga (infinite series) adalah sebuah metode yang sangat berguna di dalam ilmu kalkulus.

Para ahli matematika menggunakan deret takhingga untuk mendefinisikan sebuah fungsi sebagai pendekatan dasar sebuah teori. Deret takhingga dapat juga digunakan dalam menganalisa sebuah persamaan diferensial. Konsep deret ini sebagai dasar untuk memahami konsep deret Fourier yang akan di bahas pada sub pokok bahasan lebih lanjut. Dengan menggunaan konsep deret takhingga, kita dapat menghitung sebuah fungsi menjadi lebih akurat. Kita juga dapat menggantikan sebuah fungsi-fungsi umum yang telah kita kenal menjadi sebuah deret. Sebuah deret dapat kita kali atau bagikan, dapat pula menggantikan sebuah fungsi integral. Didalam subpokok bahasan ini kita akan mengenal konsep deret lebih lanjut lagi.

1.1 Deret Geometri

Sebagai contoh untuk sebuah deret yang telah kita kenal sebelumnya adalah deret geometri (Geometry series), yakni serangkaian bilangan dimana deret selanjutnya merupakan perkalian dari sebuah bilangan yang konstan.

Dalam kehidupan sehari hari kita dapatkan sebuah deret sebagai berikut: 2, 4, 8, 16 ,32, … (1.1) ,... , , , , 1 16₈₁ 27 8 9 4 3 2 (1.2) a, ar, ar2, ar3, … (1.3)

Deret (1.1) merupakan contoh pertumbuhan bakteri yang didapatkan tiap jam, yakni bakteri tersebut akan bertambah jumlahnya dua kali

(12)

Bilangan Kompleks

25

BAB 2 BILANGAN KOMPLEKS

1. Mampu menggunakan bilangan kompleks dalam berbagai persoalan fisika

2. Mampu mengenal bilangan kompleks dalam deret, fungsi elementer, bentuk euleur bentuk pangkat dan akar

3. Mampu mengenal bilangan kompleks kedalam fungsi

eksponensial, fungsi hiperbolik dan logaritma

4. Mampu mengenal bilangan kompleks didalam fungsi

trigonometri dan aplikasi di dalam ilmu fisika

Pengenalan bilangan kompleks meliputi: Bagian ril dan imajiner, bidang kompleks, aljabar kompleks, deret kompleks, fungsi elementer bilangan kompleks, bentuk Euler, pangkat dan akar bilangan kompleks, deret kompleks, fungsi elementer bilangan kompleks, bentuk Euler, pangkat dan akar bilangan kompleks, fungsi eksponensial dan trigonometri dan fungsi hiperbolik, logaritma fungsi invers trigonometri dan hiperbolik, aplikasi fisika

(13)

Bilangan Kompleks

26

Akar-akar untuk persamaan kuadrat

dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus:

apabila determinan akar-akar tersebut lebih kecil dari NOL, maka akan terdapat angka negative didalam akar kuadrat. Untuk itu kita akan mengenalkan istilah baru untuk angka ini yang kita beri nama bilangan imajiner (-1=i) dimana i2 adalah -1, maka

i i i i       3 3 3 4 16

adalah bilangan imajiner

1 4 16 8 2 8 2 1 4 2 2           n i i i i i

adalah bilangan real

Gabungan dari bilangan imajiner dan bilangan real, kita namakan sebagai bilangan kompleks (1  i)

2.1 Bidang Kompleks

Gambar 2.1 Bidang kompleks (Argand diagram) 0 2   c bx ax a ac b b x 2 4 2 12    

(14)

Persamaan linier, Vektor, Matrik dan Determinan

52

BAB 3 PERSAMAAN LINIER, VEKTOR,

MATRIK DAN DETERMINAN

Tujuan Instruksional Khusus

Setelah mempelajari subbab ini mahasiswa diharapkan:

1. Mampu mengenal matrik, determinan dalam persamaan linier 2. Mampu mengenal determinan dan menggunakannya dalam

menyelesaikan persamaan linier

3. Mampu menggunakan aturan cramer, vektor garis dan bidang didalam matrik

4. Mampu mengoprasikan matrik dan matrik khusus, menyelesikan kombinasi linier, fungsi linier, operasi linier

Di dalam subbab ini akan membahas tentang: Himpunan persamaan linier, metode reduksi baris,, determinan, aturan Cramer, vektor, garis dan bidang, operasi matriks, kombinasi linier, fungsi linier, operator linier dan matriks khusus

(15)

Persamaan linier, Vektor, Matrik dan Determinan

53

3.1 Vektor

Notasi vektor A dapat dinyatakan dengan A, atau

A

, dimana

panjang dari vektor tersebut dinyatakan dengan

) dimensi 3 ( | | ) dimensi 2 ( | | 2 2 2 2 2 z y x y x A A A A A A A A A       

Vektor gaya F (Force) pada bidang xy dapat diproyeksikan pada sumbu x dan sumbu y

x y arc F F F F y x tan sin cos      

Jika Fx=3 N dan Fy=4N maka panjang F adalah

N F F F F _x _y 5 25 16 9 4 3 | | 2 2 2 2          A. Penjumlahan vektor

(16)

Diferensiasi Parsial

74

BAB 4 DIFERENSIASI PARSIAL

1. Mampu mengenali persamaan diferensial parsial, dan

menjabarkan deret pangkat menggunakan dua variabel

2. Mampu mendiferensiasikan persamaan diferensial secara total untuk setiap variabelnya

3. Mampu menggunakan aturan rantai dan diferensiasi implisit 4. Mampu mengaplikasikan penyelesaian persamaan diferensial

parsial dalam masalah pencarian nilai maksimal dan minimum

5. Mampu menggunakan metode pengali lagrange untuk

menyelesaikan persamaan diferensial parsial

6. Mampu menggunakan penyelesaian persamaan diferensial

parsial dalam aplikasi titik batas,perubahan variabel dan diferensiasi integral

Prinsip fungsi diferensiasi, notasi diferensiasi parsial, deret pangkat dengan dua variabel, diferensial total, perhitungan pendekatan, aturan rantai, diferensiasi implisit, aplikasi pada masalah maksimum dan minimum, metode pengali Lagrange, masalah titik batas, perubahan variabel dan diferensiasi integral.

(17)

Diferensiasi Parsial

75

Dalam Matematika, kita mengenal dengan istilah persamaan diferensial, yang mana terdapat dua macam yakni Persamaan Diferensial Umum (Ordinary Differential Equations, ODEs) dan Persamaan Diferensial Parsial (PDEs). Persamaan Diferensial Parsial (Partial Differential Equations, PDEs) adalah sebuah persamaan differensial yang terdiri dari banyak fungsi variable yang tidak diketahui bersama dengan turunannya secara parsial. Berbeda dengan ODEs yang hanya terdiri dari satu variabel bersama turunannya. PDEs digunakan untuk memformulasikan sebuah masalah yang terdiri dari banyak variabel yang dapat diselesaikan secara analitik ataupun dengan pemodelan komputer. PDEs banyak digunakan untuk mendeskripsikan banyak fenomena didalam ilmu fisika seperti: suara, panas, listrik statik, listrik dinamik, aliran fluida, elastisitas atau mekanika kuantum,

4.1 Notasi Persamaan Diferensial Parsial

Apabila kita memiliki persamaan ) (x

f y 

Turunan dari fungsi tersebut (df/dx) bisa berarti kemiringan (slope) atau luas alas bidang dibawah grafik atau sebuah kelajuan (rate) sebuah sistem. Kelajuan banyak kita temukan didalam fisika, misalnya kecepatan (dx/dt), percepatan (dv/dt), laju penurunan suhu sebuah benda yang panas (dT/dt), laju perubahan volume pada sebuah perubahan tekanan (dV/dP) atau penurunan jumlah bahan bakar sebuah kendaraan terhadap jarak dan banyak lagi. Persamaan matematika yang berhubungan dengan kelajuan (persamaan diferensial) kerap kali membutuhkan penyelesaian (solusi) dan biasanya diikuti oleh banyak variabel.

Untuk menunjukkan bahwa fungsi f tersebut diturunkan terhadap x saja dan y bernilai konstan (juga sebaliknya) kita tuliskan sbb:

y f x f y x f z       ( , ) ,

(18)

Integral Lipat

94

BAB 5 INTEGRAL LIPAT

Mampu menggunakan dan menyelesaikan integral lipat dalam menghitung berbagai parameter fisika seperti luas permukaan, volume, massa, momen inersia, dan lain-lain dalam persoalan perkalian integral lipat dua dan tiga.

Pada pokok bahasan kali ini akan membahas tentang: pengenalan tentang integral lipat, integral lipat dua dan tiga, aplikasi dalam fenomena fisika, perubahan variabel di dalam integral (Jacobian) dan integral permukaan

(19)

Integral Lipat

95

Di dalam kalkulus dan fisika dasar kita sudah sering berinteraksi dengan persaman integral, sebagai contoh kita menggunakan integral untuk pencarian luas area dibawah grafik, volume, mass, momen inersia dan banyak lagi. Kali ini akan dipelajari bagaimana menyelesaikan integral tersebut apabila terdapat integral lipat dua dan lipat tiga, bagaimana menyelesaikannya secara sistematis.

5.1 Integral Lipat Dua dan Lipat Tiga

Mengingat kembali didalam kalkulus yakni apabila terdapat sebuah persamaan integral

_

ydx_

_

bf xdx

a b

a ( ) , maka dapat kita selesaikan

dengan mencari luas area dibawah persamaan kurva tersebut pada selang jarak x (Gambar 5.1), sehingga hasil integralnya nanti adalah penjumlahan dari luas sebuah persegi panjang pada syarat batas a sampai b

Gambar 5.1 integral



ydx



b f x dx

a b

a ( ) _{adalah mencari luas dibawah kurva yang}

terbentuk

Berdasarkan definisi diatas maka kita akan melakukan hal yang sama apabila kita akan mencari volume dibawah kurva yang terbentuk pada sebuah bangun silinder menjadi integral lipat dua (Gambar 5.2). Yang kita lakukan adalah kita potong bidang (x,y) menjadi sebuah bidang

(20)

Analisis Vektor

109

BAB 6 ANALISIS VEKTOR

Tujuan Instruksional Khusus

1. Mampu mengenali perkalian vektor, triple product, diferensiasi vektor, medan, gradien, operator delldan integral garis

2. Mampu mengenal teori green pada bidang, divergensi dan teorema divergensi, curl dan teorema stokes

Deskripsi Umum

Didalam subbab ini akan dibahas tentang Perkalian vektor, triple product, diferensiasi vektor, medan, gradient, operator del, integral garis teorema Green pada bidang, divergensi dan teorema divergensi, curl dan teorema stokes

(21)

Analisis Vektor

110

Pada subbab sebelumnya kita telah membahas tentang vektor ajabar. Pada subbab ini akan kita lanjutkan terhadap pokok bahasan vektor kalkulus. Turunan dan integral dari sebuah fungsi vektor sangat penting didalam setiap aplikasi matematika dan fisika seperti mekanika, mekanika kuantum, elektrodinamik, teori dari panas dan hidrodinamik, optik dan masih banyak lagi.

6.1 Triple Scalar Product

Definisikan A, B dan C adalah sebuah vektor. Apabila kita lakukan perkalian skalar (dot product) dan vektor (cross product) kita akan dapatkan sebagai berikut.





 





 





 





  z y x z y x z y x x y y x z x z z x y y z z y x z y x z y x x y y x x z z x y z z y z z y y x x z y x x z y x x z y x x C C C B B B A A A C B A B A B A A B A B A A B A B A A C B A C C C B B B k j i C B B A B A k B A B A j B A B A i C B B A B A B A B A kC jC C i C kB jB B i B kA jA A i A                                  ; ;

6.2 Triple Vektor Product

Definisikan A, B dan C adalah sebuah vektor. Apabila kita lakukan perkalian vektor (cross product) dan skalar (dot product) kita akan dapatkan sebagai berikut.

 





 



 











 

y x x y x y y x z y x y y x x y x z y x y y x x y x y x x x y x x x y x x x x z y x x C B jA C B iA C B A C B A i C B A j C B A k k C B A k j C B A k i C B A C kB C B k C B C B j i C B i i C B jC C i C B i B kA jA A i A                             0 0 ; ;

(22)

Analisis Vektor

129

Daftar Pustaka

1. Mary L. Boas, John Wiley and Sons, 1983, “Mathematical

Methods in Physical Science”, (Chapter, 6)

2. George B. Arfken and Hans J. Weber, Harcourt Academic Press, “Methematical Methods for Physicists”

3. Richard Haberman, Pearson, 2013, ”Applied Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems” 4. David S. Tartakoff, Springer, “Non-Elliptic Partial Differential

(23)

(24)

Index 130

Index

Akar 47 eksponensial 44 trigonometri 44 hiperbolik 45 logaritma 46 Cramer rule 59 Diferensial parsial 78 implisit 80 Directional derivatif 112 Deret Alternatif 8 geometri 2-7 pangkat 9,11, 77 harmonik 16 konvergen 19 divergen 19 Formula euleur 39 Hukum gauss 125 ampere 128 Integral lipat dua 95 lipat tiga 95 tunggal 103 perkalian 103 garis 115 Jacobian 105 Kompleks 25 konjugasi 28 aljabar kompleks 29 konjungasi 28 absolute 31 persamaan kompleks 34 deret kompleks 37

kompleks funngsi dasar 38 bidang kompleks 26 Linier 72 Matrik 66 Nilai maximum 87 minimum 87 Row reduction 57 Scalar 110 Teorema green 121 divergen 123 stokes 126 Vektor 53, 109, 110 viferensiasi 111 gradien 112