Fisika Matematika 2

(1)

DERET FOURIER

Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n,

dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang

didefinisikan oleh sin nπxL dan cos nπxL juga berperioda 2L, maka :

n = bilangan asli (1,2,3,4,5,….)

dimana :

L = pertemuan titik

Bilangan-bilangan untuk a0, a1, a2, …

b0, b1, b2, …

disebut koefisien fourier dari

f(x) dalam (-L,L)

Contoh :

1.

Ekspansikan ke dalam deret fourier f(x) = -882<x<40<x<2

jawab :

a0 = 1L -LL fx dx

=

12 02 8 dx + 12 02-8 dx

=

12 8x20

+

12 8x42

=

12.8.2- 12.8.0+ -12.8.2-(-12.8.0)

=

8 + (-16) + 8

=

0

an = 1L -LL fx cosnπxLdx

=

12 02 8 cosnπx2dx+ 12 24- 8 cosnπx2dx nπx2 disubtitusikan → misal t= nπx2 dtdx= nπ2 dx= 2nπ dt

F(x) = 12a0 + n=1~an cosnπxL + bn sinnπxL

a0 = 1L -LL fx dx

an = 1L -LL fx cosnπxLdx bn = 1L -LL fx sinnπxLdx

(2)

=

12 02 8 cos t 2nπdt+ 12 24- 8 cos t 2nπdt

=

12 . 8 . 2nπ 02 cos t dt+ 12 . -8 . 2nπ 24 cos t dt

= 8nπsinnπx220- 8nπsinnπx242

= 8nπ sinnπ22-sinnπ02 - 8nπ sinnπ42-sinnπ22

= 8nπ 0 .0- 8nπ 0 .0

=

0

an

=

1L -LL fx sinnπxLdx = 12 02 8 sinnπx2dx+ 12 24- 8 sinnπx2dx = 12 02 8 sin t 2nπdt+ 12 24- 8 sin t 2nπdt = 12 . 8 . 2nπ 02 sin t dt+ 12 . -8 . 2nπ 24 sin t dt

= 8nπ-cos t20- 8nπ-cos t42

= -8nπ cos nπ22-cos nπ02 + 8nπ cos nπ42-cos nπ22

= -8nπ -1n-1n+ 8nπ 1n--1n

=

-16nπ-1n+ 16nπ1n

F(x) =

12a0 + n=1~an cosnπxL + bn sinnπxL

=

12 . 0 + n=1~0 cosnπxL + -16nπ-1n+ 16nπ1n sinnπxL

=

-161π-11+ 161π11 sin1πx2 + -162π-12+ 162π12 sin2πx2 + …

=

16π+ 16π sinπx2 + -16nπ+ 16nπ sin2πx2+ …

=

32π sinπx2+0+323π sin3πx2+0+325π sin5πx2+0+…

SOAL

(3)

2. fx=x -π≤0≤π(x)

Jawab.

1.

�0 = 1L -LLfxdx

=14 -40-x dx=+14 04x dx

= - 14 . 12x2 [-4 0 d+ 14 . 12 x2 ]0 4 = -18 x2 ]-40+ 18 x2 ]04

=(-18 02-(-18) (-4) ) - (18 4 – 18 0 )

=2+2

=4

a0=1L ∫-ll fxcosnπxL dx

=14 ∫40-x cos nπx4 dx+ 14 ∫04x cos nπx4 dx

intergal persial :∫

misal : u=-x dv=∫cos

du=dx →misal:t:nπx4

v=∫cos nπx4 dx

=∫cos L 4nπ dt=sinnπx4

=4nπxsinnπxx

=(uv-∫v du)+(uv-∫vdu)

=[-x4nπsinnπx4|40- ∫-404nπxsinnπx4-dx]+[x4nπsinnπx 4|04- ∫04 4nπsinnπx 4 dx]

=[-x4nπsinnπx4 |-40+4nπ∫-40sinnπx4dx]+[4xnπsinnπx4|04- 4nπ∫04sinnπx4dx]

=[(-04nπsinnπx4)---44nπsinnπ-44+4nπ-4nπ-cosnπx4

]-40+ [4.4nπsinnπx4-4.0nπsinnπ.44-4nπ.4nπ-cosnπx4 ]04

=[0+16-cosnπ nπx4]-40]+[0+16nπcosnπx4|04]

=[(-16nπcosnπ.04)-(-16nπcosnπ(-4)4)]+[(16nπcosnπ.44)-(16nπcosnn.0)]

=[-16nπ+16nπ]+1-1

=0+0 =0

bn=il∫-llfxsinnπx4dx

=14∫-40-x sinnπxldx+14∫04x sinnπxldx

(4)

Parsial→u=-x ; du =-dx ; t=nπxl

du=sin dx ;v =∫sinnπx4dx ; dx=4nπdt

=-4nπcosnπx4

=(uv∫v du)+(uv-∫v du)

=[-x · -4 nn cos nnx4 -40- -40- 4nn cos nnx4 dx] +[x·-4nn cos nnx4 |04- 04-4nn cos

nnx4]

=[4xnncosnnx4 |-40+4nn -40cosnnx4 dx] + [ -4xnn cos nnx4 |0 4+ 4nn 04cosnnx4

dx]

=[(4.0nncosnn.04 )-(4-4nncosnn-44 )+ 4nn ·4nn sin nnx4 |-40] +

[(-4.4nncosnn.44)--4.0nncosnn.o4+4nn·4nnsinnnx4|04]

=[(4nn-16nn)+(16nnsinnn.04-16nnsinnn-44)]+(16nn+4nn)+

(16nnsinnn.04-16nnsinnn.04]

=[-12nn=(0-0)]+[20nn+(0-0)]

= -12nn+20nn=-8nn

⥤ f(X)=12 ao+n=1~an cosnπxl=bn sinnπxl

=124+0+8nπsinnπx4

=2+8nπsinnπx4

a. Deret fourier dari fungsi genap dan ganjil

Deret fourier dari fungsi genap dan periode dua sukunyahanyalah terdiri dari konstans

dan kosinus, dan sebaliknya fungsi ganjil hanyalah sinus saja.

Untuk fungsi genap/kosinus

a0= 2L 0Lfx dx

an= 2L 0LfxcosnπxL dx ∴fx= a02+ n+1~an cosnπxL

Untuk fungsi ganjil/sinus

bn= 2L 0LfxsinnπxL dx ∴fx=n+1~bn sinnπxL

Contoh :

(5)

Jawab :

Fungsi genap

a0= 2L 0Lfx dx = 2π -ππx dx = 2π . 12 x2 π-π = 2π .12 π2- 12 -π2 =0

atau

a0= 2L 0Lfx dx = 2π –ππx dx--ππx dx = 2π .0 = 0

(6)

an= 2L 0Lfx cosnπxL dx = 2π -ππxcos nx dx

parsial u=x dv=cosnx dx du=dx v=1nsinnx = 2π uv-v du = 2π x . 1nsinnx π-π- -ππ1nsinnx dx = 2π xnsinnx π-π- 1n -ππsinnx dx

Misal :

t=nx dt=n dx dx=dtn = 2π xnsinnx π-π- 1n -ππsint dtn = 2π xnsinnx π-π- 1n. 1n –ππsint dt = 2π xnsinnx π-π- 1n2-cos t π-π = 2π πnsinnπ--πnsinn(-π)+1n2cosnπ-1n2cosn π = 2π 0-0+ 1n2 -1n-1n2 1n = 2π 1n2 -1n-1n2 1n = 2πn2 -1n- 2πn2 1n

∴fx = a02+ n+1~an cosnπxL= 2πn2 -1n- 2πn2 1ncosnx+…

= 2πn2 -1n- 2πn2 1ncos1x+2πn2 -1n- 2πn2 1ncos2x+2πn2 -1n- 2πn2 1ncos3x = 2n - 2n cosx+ 0+-29π - 29π cos3x+0+… = -4πcosx+0--49πcos3x+0.-425π cos5x+0-…

Fungsi ganjil

2. fx=0 -π< &x<02 0<x< π

ao

= 1L -L Lfx dx

= 1n -n0 0 dx+ 1n 0π 2 dx

= 0 + 2xππ0

= 2ππ-2.0π=2

an

= -LLfx cosnπxL dx

(7)

= 1π-π00cosnπxπ dx+ 1π0π2cosnπxπ dx

= 0 + 2π0πcosnx dx

Misal: t=nx

dtdx= n dx=dtn

= 2π0πcost∙1ndt

= 2nπ0πcost dt

= 2nπsintπ0

= 2nπsinnπ-2nπn0

= 0-0 = 0

bn

= 1L-LLfxsinnπxL dx

= 1π-π00sinnπxπdx+1π0π2sinnπxπ dx

= 0 + 1π 2sinnx dx

Misal: t=nx

dtdx= n dx=1ndt

= 2π0πsint∙1n dt

= 2nπ0πsint dt

=- 2nπcostπ0

= -2nπcosn π+ 2nπcosn (0)

= -2nπ (-1)n+ 2nπ (-1)n

fx=12a0+n=1∞ancosnπxL+bnsinnπxL

= 12∙2+0+2nπ(1)n-2nπ(-1)nsinnπxπ

= 1 +

21π(1)1-21π(-1)1sin1x+22π(1)2-22π(-1)2sin2x+23π(1)3-23π(-1)3sin3x

= 1 + 4πsinx+0+43πsin3x+0+…

(8)

DERET FOURIER KOMPLEK

Bentuk cos nx dan sin nx dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial dengan

menghubungkan euler.

fx=ao2+n=1∞aneinx+e-inx2+bneinx+e-inx2

= ao2+n=1∞anan+ibn2einx+ n=1∞bnan-ibn2e-inx

Dimana:a0 = 12L-LLfxdx

an = 12L-LLfxeinπxL dx

bn = 12L-LLfxe-inπxL dx

Contoh soal:

1. fx=0 -π< &x<01 0<x< π

Jawab:

a0 = 12L-LLfxdx

= 12π-π00 dx+ 12π0π1 dx

= 1 2π0+12πx

= 0+ 12π∙π-12π∙0

= 12

an = 12L-LLfxeinπxL dx

` = 12π-π00 einπxπ+0π1einπxπdx

= 12π0+0πeinxdx

= 12π0πeinxdx

Misal : t=nx

dtdx=in

dx=dtin

= 12π0πetdx

= 12π∙1in0πet dt

(9)

= 12πin∙etπ0

= 12πin∙einxπ0

= 12πin(einπ-ein0)

= 12πin(einπ-1)

bn = 12L-LLfxe-inπxL dx

= 12π-π0einπxπdx+0π1 e-inπxπ dx

= 12π0πe-inxdx

Misal:t= -inx

dt dx= -in

dx= 1-in dt

= 1 2π0πet∙1-indt

= -12πin∙etπ0

= -12πin∙e-inxπ0

= -1 2πin(e-inπ-e-in0)

= - 12πin(e-inπ+1)

∴fx=12 2+ n=1∞12πineinπ-1einx+e-inx2+-12πin(e-inπ+1)einx-e-inx2

=

14+12πi.1ei1π-1ei1x+e-i1x2-12πie-i1π+1ei1x-e-i1x2+12πi.2ei2π- 1ei2x+e-i2x2-12πi.2ei2π+1ei2x-e-i2x2+12πi.3ei3π-1ei3x+e-i3x2-12πi.3ei3π+1ei3x-e-i3x2+…

(10)

“FUNGSI-FUNGSI”

1. FUNGSI GAMMA

Fungsi gamma (n) yang lazimnya di sajikan dalam symbol γ(n) di definisikan

γn=0∞xn-1 e-x dx

untuk n>0 keberadaan fungsi ini untuk setiap n>0 tidak

dapat disanksikan mengingat integral di ruas kanan konvergen jika n>0.

Beberapa sifat dasar fungsi gamma :

•

Memenui γn+1= n.γ (n)

• γ 1= 1 , jika n bulat positif , maka γ n+1=! sebat itu fungsi , gamma sering

dinamakan fungsi factorial

•

Untuk n>0 , γ (n) memiliki asimtot tegak n=0 , artinya limn→∞γn= ∞

• γ(12 )= φ

Perluasan analitik untuk n<0 γn= γ (n+1)n

Contoh : 1.

γ 1=n>0

(11)

= 0∞x1-1e-x dx

= 0∞.e-xdx

= 0∞1.e-xdx

= - e-x∞0

=( -e-∞ -(-e-0)= -e-∞+ e0 =0+1=1

1.

γ=-212=n<0

γn=γ(n+1)n

γ-212=γ(-212+1)-212

γ-112=γ(-112+1)-212.-112

γ-12 = γ(12+1) -212.-112.-12

γ12 = π-52.-32.-12

=π-158

= -815π

2. 0∞e-3xdx => mis: t=3x ↔x=t3

dtdx=3

dx=dt3

0∞(t3)6e-tdt3

0∞(13)6.t613dt

0∞(13)7.t6e-tdt

=(13)70∞t6 dt

=(13)7 6!

=12187 .6.5.4.3.2.1

=7202187=0,329

3.

γ3.γ32γ92= 2!12 γ(12 ) 72 .52.32.γ(12)

=21058

(12)

=0,15

2. FUNGSI BETA

Fungsi beta βm,n, untuk m>0 dan n>0 adalah :

β ( m,n)= 01xm-1 (1-x)n-1dx

Hubungan antara F . beta dan gamma:

Fungsi γm = 0∞xm-1. exdx

Dapat γn = 2 0∞x2m-1. exdx

Sebab jika x = u

2

_maka

0∞xm-1. e-xdx = 0∞u2m-2. e-u2.2u. du

= 2 0∞u2m-1. e-u.du

Demikian pula :

γn= 0∞xn-1. e-xdx

= 2 0∞xn-1. e-xdx

= 2 0∞y2n-1. e-y2dy

Demikian pula:

γm. γn = 4 0∞x2m-1. e-x2dx

= 0∞y2n-1. e-y2dy

= 4 0∞0∞x2m-1. y2n-1. e-(x2+ y2)dxdy.

Jika kita gunakan transpormasi koordinat y=γcosθ, y= γsinθ, maka:

0∞0∞xm-1. y2n-1. e-(x2+ y2)dxdy.

Menjadi:

RG (γ , θ )d (x,y)d (γ,θ)dγdθ , dengan G ((γ , θ )

γ(cosθ)2m-1 γ(sinθ)2n-1 . e-r2= r2(m+n)-2cos2m-1θsin2m-1θ.

Pada daerah pengintegralan pada sistem coordinat (γ,θ) yang sesuai dengan

0≤x<∞;0≤y≤∞ dan yacorbian transformasi d(x,y)d(γ , θ ) adalah :

d(x,y)d(γ , θ )= dx/dγdy/dγ dx/dθdy/dθ = cosθγsinθsinθγcosθ = γ

Karna itu,

γm. γn= 40π2γ2m+n-2cos2m-1θ sin2n-1θ e-γ2γdγdθ =4 0π20∞γ2(m+n)e-r2cos2m-1θsin2n-1θ dγdθ

(13)

= 2 0∞r2m+n-1e-γ2dγ . 2 0π2cos2m-1θsin2n-1θ dθ =2 0∞γ2m+n-1e-γ2dγ) β(m,n)

Mengingat γm+n= 0∞xm+n-1e-xdx

= 0∞(z2)m+n-1e-z2d (z2)

= 2 0∞z2(m+n-1)ez2dz

Maka kita peroleh hub antara fungsi beta dan gamma.

γm. γn= γm+n β (m.n) atau, βm.n= γm. γ(n)γ(m+n)

Contoh:

1. β3,5

Jawab: γ3. γ(5)γ3+ γ(5)= 2!4!7!= 2! .4,3,2,17,6,5,4,3,2,1= 2210=

1105 . 2. 011-xx dx

Jawab: 011-xxdx = 011-x . x12dx

= 01(1-x)12dx

= γ32. γ(12)

= 12 γ12. π

= 12 π . π

= 12 π .

Aplikasi Deret Fourier

Persoalan fisika, terutama yang menyangkut tentang vibrasi getaran biasanya membawa kita

kepada besaran fisis berupa frekuensi, pannjang gelombang dan jenisnya.

Sebuah partikel bergerak dengan laju konstan sehingga lintasannya berupa lingkaran dengan

jari-jari A. Pada saat bersamaan partikel Q bergerak ke atas dan ke bawah sepanjang garis

lurus RS yang merupakan pencerminan terhadap sumbu y.

(14)

θ= ω . t

dimana :

ω = kecepatan anguler (rad/s)

t = waktu (s)

simpangannya :

Y = A sin ω.t

simpangan dapat didefinisikan sebagai jarak partikel dari titik keseimbangan, sehingga untuk

gerak P terhadap sumbu x dan sumbu y dapat ditulis :

x = A cos ω.t

dan

y = A sin ω.t

karena dalam bidang komplek

z = x + i y

z = A cos ω.t + i A sin ω.t

z = A ( cos ωt + i sin ωt )

z = A . eiωt dzdt=A . eiωt iω

dzdt=A . iω.eiωt

Dalam bentuk lain, maka simpangan Y dapat dinyatakan sebagai bentuk gelombang yang

bergerak ke kanan/ ke kiri.

Y=A sin2πT x-vt

Menyatakan simpangan Y merupakan fungsi periodik dari x ( untuk t yang sesuai ) dan

fungsi t ( dari x yang sesuai ).

(15)

Line dan Surface Integral

1) Line Integral

F = gaya

F=f x,y

x=P x,y y=Q x,y j= limn→0i=1nF δ , n ∆li j= ABF dl

Dalam bentuk skalar :

j= ABx dx+y dy

j= ABP x,ydx+Q x,ydy

Line integral

:

j= ABP x,ydx+Q x,ydy

(16)

Dimana :

Fungsi P (x,y) dan Q (x,y)

Cara menghitung line integral :

x = Q (t)

y = P (t)

dxdt = QI t dydt = QI t x= QI t y= QI t j= LP (x,y) dx+Q x,ydy j= P Q t. Qt QI dt+Q Q t. Qt QI dt j= αβP Qt. Q t+Q Qt. Q t QI dt

Contoh soal :

1.

Hitung line integral ABy2 dx+2xy dy dimana L = busur lingkaran radius, R=a.

Jawab :

x=acost y =asint dxdt=-acost dydt=asint dx=-acost dt dy =asindt

0 ≤ t ≤ 2π

j= 02πy2dx+2xy dy

j= 02π( asint )2. -asint dt+2(acost ) asint acost dt j= 02πa2 sin2t. -asint dt+2 a3cos2t sint dt

j= 02π-a3 sin3t dt+2 a3cos2t sint dt j= 02πa3 sint -sin2t+2cos2tdt

j= a302π sint 2cos2t-sin2tdt

Misal :

u=sint du=cost dt dv=2cos2t-sin2t dt dv= 2cos2t-sin2tdt v=4costsint-2sintcost v=2costsint

(17)

j= a3u v- v du

j= a3 sint 2costsint- 02π2costsintcost dt j= a32costsin2t- 02π2cos2tsint dt

Misal :

z=2cos2t

dz= -4costsint dt dt= dz- 4costsint j= a32costsin2t- 02πzsint dz- 4costsint j= a32costsin2t+ 14cost02πz dz

j= a32costsin2t+ 14cost 12 z202π j= a3 2costsin2t+ 18cost (2cos2t)202π j= a3 2costsin2t+ 18cost 4cos4t02π j= a3 2costsin2t+ 12cos3t02π

j=a3 2cos2πsin22π+ 12cos32π- 2cos0sin20+ 12cos30 j=a3 2.1.0+ 12 1- 2.1.0+ 12 1

j= a3 12- 12 j=a3 . 0 j=0

2.

Hitunglah line intergral Ly dx-x dy

T = seluruh busur elips x2a2+y2b2=1

b

a

jawab :

x = a cos t

Y = b sin t dydt=bcost dy = b cos t dt

(18)

dxdt=-a sint

dx = -a sint t dt

0≤ +≤ 2 π

J = 02πy dx-x dy

=02πbsint . -asintdt- acost .bcostdt

=02π-absint dt-abcost dt

= 02π-ab sint+costdt

= -ab02π1 dt

= -ab . t |02π

= -ab (2π – 0 )

= -ab . 2π – (-ab) . 0

= -ab . 2π

3. Dari soal 2 dengan L garis lurus yang menghubungkan m ( 1,1) dan n ( 3,3 )

y-y1x-x1=y2-y1x2-x1 y-1x-1=3-13-1 y-1x-1=22 2y-2=2x-2 2y=2x y=x→dy=du

Jawaban :

13y dx-x dy atau 13y dx-x dy = 13y dy-x dx

=12y2-12x2 |13

=1232-1232-1202-1202 =0

1) Surface Integral

F=FP x,y,z .qx,y,z .Rx,y,z

fungsi continu di vP=x,y,zQ=x,y,zR=x,y,z

Bidang permukaan λada di dalam v dibatasi L jadi P,Q,R continu pada bidang λ

z

(19)

n=satuan normal n= n cosn,xcosn,ycosn,z

y n=1

x

Fi=F=Px,y,z.Qx,y,z.Rx,y,z ni=nicosni,yi.cosni,yi.cosni,zi

n=11Fi ni ∆Ti ;dimana ∆Ti L=11,2,….L limλ=0i=1lFi ni dλ= λF ni dλ

Rumus

→ disebut dengan permukaan ( surface integral)

Integral permukaan adalah integral lipatan yang dibatasi oleh tiga parameter yaitu koordinat

kortesian, silinder dan bola.

a.

Koordinat kartesian

z

s

permukaan s yang normal terhadap bidang xy

y

x

untuk pernyataan element vector luasnya

F

ns ∆s=n .ds ; n=vektor normal

ds=luas permukaan

Cara perhitungan

λF n dλ

(20)

1.

Untuk menghitung vector normal satuan n permukaan s yaitu ; untuk mencari

batas ( titik potong0 ∅x,y,z=c

N=v. ∅ maka n=v ∅v ∅ n x,y,z

2.

Pecahkan persamaan permukaan ∅x,y,z=0 bagi variable z hingga di peroleh

z=zx,y

3. Nyatakan vector u (x,y,z)=u (x,y,z (x,y)) = v (x,y)

nx,y,z=nx,y,zx,y=wx,y

4.

Elemen luas ds dinyatakan dalam dxdy secara geometri dxdy adalah proyeksi ds

jadi ds=dx, dyn .k=dx,dywx,y.k

5.

Hitung integral lipat dua I=dxdyvx,y.w x,ywx,ykdxdy atau l= lF . n ds

Contoh soal

1.

Jika F=x+y2i-2xj+2yzk dan s adalah bidang 2x+y+2z=6 hitung integral sFn ds

dalam oktan pertama.

Jawaban:

➢ 2x+y+z=6

2z=6-2x-y

z=3-x-12y

➢ ∅=2x+y+2z • V∅=iddx2x+y+2z+jddy2x+y+2z+kddz2x+y+2z

=i2+j1+k2

• V.∅=22+12+22=3=3 • n=V .∅V.∅ ↔ =2i+j+2k3 • ds=dxdyn.k=dxdy23=32dxdy ➢ I=sf.n ds

=0306-2xx+y2i-2xj+2yzk2i+j+2k3 .32dxdy

=0306-2xx+y2i-2xj+2y3-x-12yk2i+j+2k . 12dxdy

=120306-2x2x+y2-2x+4y3-x-12ydxdy

=120306-2x2x+2y2-2x+12y-4xy-2y2dxdy

=120306-2x12y-4xydydx

=120312 . 12y2-4x . 12y2|06-2xdx

=12036y2-2xy2|06-2xdx

=120366-2x2-2x6-2x2dx

=1203636-24x+4x2-2x36-24x+4x2dx

=1203216-144x+24x2-72x+48x2-8x3dx

=1203216-216x+72x2-8x3dx

=12 216x+2162x2+723x3+84x4|03

2x+y+0=6 y=6-2x 2x+0+0=6 2x= 6 x= 3 n k= kV ∅=23

(21)

=12216 .3+108 . 32+24.33-2.34-0

=12648-972+648-162

=12 .162

=0

b. Koordinat Silinder

Misal s adalah permukaan silinder x2 + y2 = a2 dengan z sebagai sumbu simetrinya, maka

koordinat sudut Ѳ dan z dapat dipilih sebagai parameter dengan r=a adalah x=a cosѲ;

y=a sinѲ; z=z. Sehingga kedudukan vektor

r(Ѳ,z)=(a cosѲ)i + (a sinѲ) j + zk .... (1)

Sehingga

drdѲ=-a sinѲi+a cosѲj ; drdz=k

Karena itu vektor elemen luas permukaan silinder s adalah:

n.dA=drdѲxdrdzdѲ dz

=ijk-a sinѲa cosѲ0001dѲ dz =a cosѲ i+sinѲ jdѲ dz

n.dA=xi+yja dѲ dz…(2)

Untuk menyederhanakan perhitungan , hitung dahulu F.n dalam sistem koordinat kartesian

yang menghasilkan medan saklar Ѳ (x,y,z)=F.n, kemudian sisipkan persamaan paramer.

Contoh soal:

F=zi+xj-3y2zk dan s adalah permukaan silinder x2+y2=16 yang terdapat didalam oktan

pertama abtara z=0 ; z=5. Hitunglah F.n.dA

Jawab:

x2+y2=a2

x2+y2=16 → a2=16 a=16=4

x=a cosѲ=4 cosѲ ; y=a sinѲ=4 sinѲ ; z=z n.dA=axi+yjdѲ dz

=4xi+yjdѲ dz

(22)

n.dA=zi+xj-3y2zk4xi+4yjdѲ dz =4xz+4xydѲ dz

050π2F.n.dA=050π24xz+4xydѲ dz =050π244z cosѲ+4 cosѲ 4 sinѲdѲ dz =050π244z cosѲ+16 cosѲ sinѲdѲ dz =050π244z cosѲ+16 12sin2ѲdѲ dz =050π244z cosѲ+8 sin2ѲdѲ dz =4054z sinѲ+8 12-cos2Ѳπ20dz =4054z (sinπ2-sin0)+4 (cos2π2-(cos2.0)dz =4054z 1-0-4 (-1-1)dz =4054z 1-0-4 (-1-1)dz =4054z+8dz =4412z2+8z50 =4252+8.5-(202+8.0) =4 (90) =360

c. Koordinat Bola

Misal s permukaan bola x2+y2+z2=a2 dengan pusat simetri dititik asal 0 (0,0,0) maka

koordinat sudut Ѳ dan ф dengan r=a. x = a sinѲ cosф; y=a sinѲ sinф; z=a cosѲ.

Vektor kedudukan:

r(Ѳ,ф) = asinѲ cosфi+(sinѲ sinф)j+cosѲ)k drdѲ = acosѲ cosфi+(cosѲ sinф)j+-sinѲ)k drdф = acosѲ-sinфi+(cosѲ cosф)j

Vektor elemen luas permukaan bola s:

n.dA=drdѲxdrdфdѲ dф

(23)

=ijka cosѲ cosфa cosѲ sinф-sinѲ-a cosѲ sinфa cosѲ cosф0dѲ dф =a2 sinѲcosф) i+(sinѲsinф j+cosѲksinѲ dѲ dz n.dA=xi+yj+zka sinѲ dѲ dz

Medan vektor s (x,y,z) pada permukaan bola z adalah xѲ,ф, yѲ,ф,z(Ѳ)=v(Ѳ,ф)

Untuk menyederhanakan perhitungan , hitung dahulu F.n dalam sistem koordinat kartesian

yang menghasilkan medan saklar Ѳ (x,y,z)=F.n

Contoh soal:

Hitung F.n.dA jika (x2+y2+z2)xi+yj+zk dan s adalah seluruh permukaan bola

x2+y2+z2=25.

Jawab:

x2+y2+z2=a2 x2+y2+z2=25→a=5 F.n.dA=0π02πx2+y2+z2xi+yj+zkxi+yj+zk5 sinѲ dѲ dф =0π02π5 x2+y2+z2x2+y2+z2 sinѲ dѲ dф =0π02π5 x2+y2+z22 sinѲ dѲ dф =0π02π5 252 sinѲ dѲ dф =0π312502πsinѲ dѲ dф =0π3125-cosѲ2π0dф =0π3125 (-cos2π-(-cos0)dф =0π3125 (-1+1)dф =0π0dф =0

(24)

Persamaan Diferensial Biasa

Definisi: suatu persamaan yang mengandung turunan atau diferensial dinamakan persamaan

diferensial.

Bilamanapun perubahan terbaik dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu fungsi satu

perubahan bebas, maka turunan yang muncul adalah turunan biasa dan persamaan

anini

merupakan persamaan diferensial biasa. Orede tingkat suatu persamaan diferensial adalah

tingkat atau pangkat tinggi turunan yang adalah persamaan.

Contoh soal:

1. d3ydx3 +sin x d2ydx2+y = cosx →ordo 3

2. d2vdx2 +d2vdy2 =0 →ordo 2

Jawabanya mana??

Ga ada….

1. Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah

Jika diberikan suatu fungsi f, dengan batas y =fx merupakan solusi suatu

persamaan diferensial (jika persamaan itu menjadi suatu

kesamaan). Jika y dan turunan digantikan dengan fx dan turunannya

yang menjadi perbedaan turunan y.

Contoh soal:

1. y=xlnx-x

Jawab:

Solusi dari persamaan diferensial: dydx= x+yx

dydx=u1 v+ v1- x1

dydx= lnx+ 1x x- x dydx=lnx+1-1=lnx

Substitusi y=xlnx-x, kedalam persamaan:

dydx = x+yx⇔d ( xlnx-x )dx= x+x ln x-xx u1.v+ v1.u-xdx = xx + xlnxx - xx

1 ∙lnx+ 1x ∙x=lnx lnx+1-1=lnx

(25)

lnx=lnx

2. Persamaan Diferensial Orde 1

a)

Persamaan Diferensial Eksak

Missal M dan N fungsi dua peubah sehingga M, N, M

y

, dan N

x

continu pada

suatu daerah siku R,

M (x,y) dx + N (x,y) dy …………..(1)

Adalah diferensial eksak suatu fungsi f yang nilainya Z = f

(x,y) dan hanya jika: dMdy = dNdx

Jika syarat dipenuhi, maka persamaan diferensial:

M ( x,y ) dx + N ( x,y ) dy = 0,

disubuteksak

dan solusi umum:

f ( x,y ) = c

Untuk memenuhi fungsi F:

dz = dfdx . dx+ dfdy . dy

Dan ruas kiri dz = 0,

dfdx=m ( x ,y

) :

dfdy=n x, y

Contoh soal:

1.

Tentukan solusi dari persamaan

3x2-2y+ex+ydx+ex+y-2x+4dy=0

Jawab:

•

Menguji ke eksakan dMdy=dNdx

dMdy3x2-2y+ex+y=-2ex+y=-2+e-x+y dNdx ex+y-2x+4=-2+e-x+y

dMdy= dNdx →-2x+ex+y=-2+ex+y(eksak)

• Untuk memenuhi fungus F

dfdx=3x2-2y+ex+y df=3x2-2y+ex+ydx df=3x2-2y+ex+ydx f =x3-2y+ex+y+C

=x3- 2yx + ex+y + C

dfdy= ex+y-2x+4 df = ex+y-2x+4 dy df=ex+y-2x+4 dy f = ex+y-2xy+4y+C

dz = dfdx dx+ dfdy dy

(26)

dz= x3- 2yx+ ex+y+ ex+y- 2xy+4y+C a)

Persamaan Diferensial Orde 1 Ruas Kanan ≠ 0

Bentuk umumnya adalah: dydx+ pxy=Q (x)

Untuk mencari solusi maka ruas kanan = 0

Mula-mula kita anggap Q (x) = 0

dydx+ pxy=0

→

dydx= -p x y (dipisahkan variable)

Dimana p (x) = I

dyy= -p xdx

dyy= -p xdx →Ln y= -p xdx+C

Selanjutnya depxdxdx

y= e-pxdx+C= e-I

dydx= dydx eI+ yeI dIdx dydx= eI dydx+ y . dIdx dydx= eI dydx+ Px.y ddx ye-I= eI Q(x) y= e-I eI Qx dx+De-I

…………..(2)

Contoh soal:

1. x2y'- 2xy= 1x

Jawab:

x2y'- 2xy= 1x

Dibagi dengan x2, sehingga menjadi:

y'- 2yx= 1x3

Dan 1x3=Qx

y'- 2yx= 0→ y'= 2x y I= Pxdx

I= P-2xdx= -2lnx

Untuk I= e-2lnx

e-1= x2

Jadi, y= e-1 QxeI dx+Ce-1

y= x2 1x3 . 1x2 dx+ Cx2

y= x2 1x5dx+ Cx2= x-3dx+ Cx2 y= -12 x-2+ Cx2

= - 12x2+ Cx2

(27)

a. Persamaan difererensial orde 2 dengan rumus kanan = 0

Persamaan diferensial orde 2 dikatakan linier jika persamaan

Y''+ PxY' +QxY=rx

Dimana rx = 0 maka, Y''+ PxY' +QxY=0

Contoh:

Selesaikan persamaan orde 2 dari d2YdX2+3dYdX+2Y=0

Jawab:

d2YdX2+3dYdX+2Y=0 D+2D+1Y=0

Maka,

D+2Y=0, D+1Y=0 D=ddx

Integralkan D+2Y=0

ddxY+2Y=0 dYdX=-2Y dY=-2Ydx dYY=-2dx

Ln Y = -2X

Y=e-2x D+1Y=0↔ddx+1Y=0 dydx+Y=0 dYdX=-Y↔dy=-Ydx dYY=-dx dyy=-dx

⇔

Ln y = -x  y=e-x

(28)

Aplikasi dalam fisika

Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan masalah fisika dalam bentuk persamaan

diferensial.

Contoh :

1. Tentukan bentuk persamaan gerak dari sebuah benda bila kepadanya dikerjakan gaya F

yang tetap dalam arah sumbu x.

Jawab:

H. Newton II

⇔

F = m.a

a = percepatan  a=vt=dvdt=dxdtdt=dx2dt2

maka, F=m.dx2dt2 ⇔ Fdt2=mdx2

2. Tentukan posisi sebagai fungsi waktu dari sebuah benda jatuh bebas. Diketahui

percepatan pada gerak jatuh bebas sama dengan percepatan gravitasi bumi g.

Jawab:

a = g

d2Ydt2=g⇔ ddtdydt=g dydt=g.ddt⇔dydt=g.t

dy = g.t.dt

dy=gt+Cdt ⇔ y=12gt2+Ct

Hukum fisika gerak jatuh bebas y=12gt2

Latihan

Selesaikan persamaan diferensial linier :

1. y'+y=ex

jawab:

rubah bentuk y'menjadi bentuk diferensial : dy+ydx=exdx y=e-IeIQxdx+D.eI ⇔ Px=I y=e-exedxexdx+C.e-exdx

=e-xex.exdx+C.ex

=e-xe2xdx+exC misal, t=2x dtdx=2 dx=12dt

(29)

=e-xet12dt+exC =e-x12et+exC =12e-xe2x+exC =12ex+exC=ex12+C

2. Selesaikan PDF berikut cara terpisah

a. x3dx+y+12dy=0

Jawab:

Menguji keeksakan

dNdy=x3=0 dNdy=y+12=0 dNdy=dNdx=0 ↔eksak

Fungsi F :

dfdx=x3 ⇔ df=x3dx df=x3dx f=14x4+C dfdy=y+12=y2+2y+1 df=y2+2y+1dy df=y2+2y+1dy f=13y3+y2+y+C

Jadi,

dz=dfdxdx+dfdy dy =14x4+C+13y3+y2+y+C =14x4+13y3+y2+y+C

1. dydx= 4yx y-3 jawab∶ x y-3dy=4y dx x y-3dy- 4y dx=0 ke eksakan∶ dMdy= -4y= -4 dNdx=x y-3=xy-3x=x-3 dMdy= dNdx -4=x-3⟹tidak eksak

(30)

Funfsi f dfdx= -4y df= -4y dx df= - 4y dx f= -4yx+ ∁ dfdy=x y-3 df= xy-3xdy

df= xy-3xdy

f= 12 xy2- 3xy+ ∁

∴dz= -4yx+ ∁+ 12 xy2-3xy+ ∁

= -4yx+ ∁+ 12 xy2-3xy+ ∁

Penerapan Persamaan Diferensial Biasa Dalam Fisika a.Persamaan Bernoulli

adalah pengembangan dari Persamaan Diferensial Biasa Linier. Persamaan Diferensial

Biasa Bernoulli ini ruas kirinya sama dengan ruas kiri PDB Linier dan ruas kanannya

adalah ruas kanan PDB Linier yang dikalikan dengan yn, jadi bentuk PDB Bernoulli :

dydx+ Pxy=Q xyn

dari rumus diatas ini bukan PDB Linier orde satu, tapi dapat diubah menjadi persamaan

linier orde satu dengan melakukan substitusi∶Z= y1-n dzdy=1-n.y1-n-1

= 1-n y-n dz= 1-ny-ndy

∴ dydx+ P xy=Q xyn dikali 1-ny-ndy 1-ny-ndy+ 1-ny1-nP xdx= 1-nQxdx atau

(31)

dz+ 1-nZ P xdx=1-nQxdx contoh:

1.Selesaikan PDB z x y y1=y2- 2x3 jawab:

z x y y1=y2- 2x3

zxy dy=y2dx - 2x3dx dibagi 2xy dy=12yx-1dx - x2ydx

dy- 12yx-1dx - x2y-1dx Z= y1-n

Z= y1-(-1)= y2⇔ dzdy=2y⇔dz=2ydy

∴dy-12yx-1dx - x2y-1dx = -x2y-1dx dikali 2y 2ydy-y2x-1dx= -2x2dx dz-zx-1dx= -2x2dx y=e-IQxdx+De-I Z=y2e-x-1dxex-1dx-2x2dx+∁.ex-1dx y2=xx-1-2x2dx+∁ x

=x-2xdx+∁ x

=-x . =x2+ ∁ x

= -x3+ ∁ x

b. Cara Langrage

fxdydx+yϕx=ψ(x)

Persamaan tereduksi (ruas kiri)

fxdydx+ yϕx=0

dydx+ϕ(x)f(x) dx=0 dyy+ϕ(x)f(x) dx=0 Lny+ϕ(x)f(x)dx=Ln C y=C.e-ϕ(x)f(x)dx

(32)

Merupakan penyelesaian umum dari persamaan tereduksi, C1 dalam penyelesaian umum

persamaan tereduksi dipandang sebagai fungsi dari x.

1ydydx+Φ(x)f(x)=1CdCdx fxdydx+yϕx=y f(x)C dCdx

Didapat

fxdydx+yϕx=fxe-ϕxfxdx.dCdx

Maka

e-ϕ(x)fx dCdx=ψ(x) dCdx= ψ(x)f(x) e-ϕ(x)f(x)dx C1=ϕ(x)f(x) e-ϕ(x)f(x)dx+C

Jadi persamaan

y=C.e-ϕ(x)f(x)dx+e-ϕ(x)f(x)dxψ(x)f(x) e-ϕ(x)f(x)dx dx

Contoh

x1-y2dydx+y2x2-1=0

Jawab

x1-y2dydx+y2x2-1=0 dyy+2x2-1x1-x2=0 dyy+2x2-1x1-x2dx=0 Ln y+2x2-1x1-x2dx=Ln C

Missal

u=2x2-1 dudx=4x du=4xdx dv=x1-x2dx dv=x1-x2dx

Missal:

t=1-x2

(33)

dtdx= -2x dx=dt-2x v=xtdt-2x=-12 t dt=-1212 t2=-14 1-x22 ∴2x2-1x1-x2dx=uv-vdu =2x2-1-14 1-x22--141-x224xdx =-142x2-11-2x2+x4)+14 41-x22dx =-142x2-4x4+2x6-1+2x2-x4+xt2dt-2x = -x2+54x4-12x6+14-12t2dt = -x2+54x4-12x6+14-1213t3 = -x2+54x4-12x6+14-161-x23 Ln Y=-x2+54x4-12x6+14-161-x23=Ln C Y= C e-x2+54x4-12x6+14-161-x23…..(1) 1ydydx+Φ(x)f(x)=1CdCdx

1ydydx+2x2-1x1-x2dx=1CdCdx dikali yx1-x2 yx1-x2ydy+2x2-1x1-x2 yx1-x2 dx= yx1-x2C dCdx x1-x2dy+y2x2-1dx=yx1-x2C dCdx dyy+2x2-1x1-x2dx=yx1-x2C dCdx Y= C e-x2+54x4-12x6+14-161-x23=yx1-x2C dCdx C e-x2+54x4-12x6+14-161-x23=yx1-x2dx dCC = dCCyx(1-x2)dx =Ln C 1yx(1-x2) dx

Misal:

t=1-x2 dt= -2x dx dx=dt-2x =Ln C1yxt dt -2x

(34)

=Ln C 1-2x2ydtt

= Ln C 1-2x2dtt =Ln C 1-2x2y Ln t =Ln C Ln 1-x2-2x2y Y= C e-x2+54x4-12x6+14-16x23+C e-x2+54x4-12x6+14-16x23-Ln C Ln 1-x2-2x2y =2C e-x2+54x4-12x6+14-161-x23+Ln C Ln 1-x2-2x2y

PENERAPAN PDB DALAM FISIKA

A. PEGAS

Hukum newton II : F=m.a

Hukum Hooke : F =- k.x

Hokum newton II = Hukum hooke

m.a = -k.x

m.

x

k

dt

dv

.

−

=

kx dt x d m. 2₂ =−

Ordo 1

(35)

Dimana : r

2

₌

dt x d2

m. r

2

_{+ k.x =0}

fungsi karakteristik F (r) =0

m. r

2

_{+ k =0}

m. r

2

_=k

r

2

₌

m

k

r =

m

k

Persamaan gerak

m

k

m

k

=

⇔

=

ω

2

t

c

t

c

x

=

₁

cos

ω

+

₂

sin

ω

∴

Ordo 2

Fungsi Karakteristik

mr

2

_+br+k=0

t

m

k

c

t

m

k

c

x

=

₁

cos

.

+

₂

sin

.

(36)

mk

b

m

b

r

4

2

1

2

2 2 . 1

±

−

=

Dimana :

mk

b

m

4

2

1

2

₋

=

α

t m b t m b

Be

e

A

x

    − ₊      − ₊

+

=

_.

2 α 2 α

[

t t

]

m b

e

B

e

A

e

2 

_.

α.

_.

−α.     −

+

=

Persamaan gerak

B. Rangkaian Listrik

Rangkaian listrik yang dihubungkan seri terdiri dari sumber tegangan v (t),

tahanan (R), kapasitor (C), inductor (L). Pada saat t=0, maka Q=Q

0

dan

LC

Dimana

t

v

C

Q

dt

dQ

R

dt

Q

d

L

1 :

)

(

0 2

=

+

ω

1 2 1 2

0 t

t

Q

t

Q

dt

dQ

dt

dQ

i

−

=

(

)

(

)

    ₊ = −_m b − mkt − b − mkt b e c e c e x 4 2 4 1 2 2 2

(37)

Persamaan gerak

Contoh:

1. Massa 5 kg digantungkan pada pegas yang tergantung dan mempunyai tetapan

pegas 1000N/m. Carilah persamaan geraknya dan hitung persamaan gerak jika

t=0!

Diket :m=5kg

K=1000N/m

Dit : x…….?

x…….? t=0

t

m

k

C

t

m

k

C

x

=

₁

cos

⋅

+

₂

sin

⋅

t

C

t

C

⋅

+

⋅

=

5 1000

sin

5 1000

cos

₂ 1 0 200 sin 0 200 cos ₂ 1 ⋅ + ⋅ =C C x

=C

1

cos 0 +C

2

sin 0

=C

1

. 1+C

2

. 0

=C

1

2. Sebuah massa 20gr digantungkan pada ujung sebuah sistem pegas ,dan panjang

pegas berubah 4cm dari keadaan semula.tidak ada gaya luar yang bekerja pada

massa pegas dan tahanan udara diabaikan.nyatakan pers gerak yang terjadi jika













+

=

 − −     − L t C L R L t C L R t L R

e

B

e

A

e

t

i

.2 4 2 . 4 2 2 2

.

)

(

(38)

massa tertarik ke bawah 1cm dari keadaan setimbang dan pada massa diberikan

kecepatan awal 0,5 cm/dt arah keatas .

Diket : m=20 gr =2x10

-2

_kg

x=4cm =4x10

-2

_kg

dit : x……?

jawab :

F = m.g

=2x10

-2

_kg.10

_kg

=2x10

-1

_N

x

K

F

=

⋅

⇔

m N x F K 0,5 10 5 10 4 10 2 1 2 1 = × = × × = = ₋−

t

m

k

C

t

m

k

C

x

=

₁

cos

⋅

+

₂

sin

⋅

t

⋅

×

+

⋅

×

=

₋₂ ₋₂

10

2

5 sin

01 ,

0

10

2

5 cos

01 ,

0

3.

Sebuah rangkaian listrik LRC, yang tidak menggunakan sumber tegangan terdiri

dari tahanan 6 Ω, kapasitor 0,02 F, inductor 0,1 H. hitunglah arus pada rangkaian

jika saat rangkaian dihubungkan t = 0, arus (I

0

) = 0 dan kapasitor telah bermuatan

o,1 C.

Diketahui : R = 6 Ω

C = 0,02 F

L = 0,1 H

I

0

= 0

(39)

(40)

Ditanyakan : i (t) = …?

Jawab : i (t) =℮-R2L.tA . ℮ R24LC . t2L +B . ℮R24LC . t2L

=℮-62.0,1.0A . ℮ 624 . 0,10,02 . 02.0,01 +B . ℮624 . 0,10,02 . 02.0,01

=℮-0A . ℮ 0 +B . ℮0

=-1A . 1 +B . 1

= -1 A+B

= -A-B

i= Qt

= 0,1t

= ~

4. Gunakan persamaan Bernoulli

2x3y2=yy2+3x2 2x3dy=y2+3x2y 2x3dy=y3dx+3x2y dx : 2x3 dy=12y3x-3 dx+ 32 x-1 y dx dy-12y3x-3 dx= 32 x-1 y dx dy-32x-1y dx = 12 y3 x-3 dx z =y1-n= y1-3= y-2