Penerapan Turunan Fungsi
Dalam Bidang Kimia
Kelompok 2 Asmiladita Pridilla Athiya Salma Avira Yunita Besafina Hanan Dicky Syahreza Dwi Bhakti Kusuma
PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN APLIKASINYA DALAM KIMIA A. Asal Usul Diferensial
Diferensial merupakan ilmu cabang dari kalkulus. Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", yang digunakan untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk danaljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melaluiteorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
a. Sejarah Perkembangannya
Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal.
Sejarah perkembangan kalkulus bisa dilihat pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral. Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawanIrak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik,
sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan sepertiSeki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama
sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".
b. Pengaruh Pentingnya Kalkulus
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton danGottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret tak terhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.
B. Pengertian Diferensial (Turunan)
Persamaan diferensial, yaitu suatu persamaan yang melibatkan suatu fungsi yang dicari dan turunannya.
Grafik dari sebuah fungsi (garis hitam) dan sebuah garis singgung terhadap fungsi (garis merah). Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik singgung.
Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengankemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Proses pencarian turunan
disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.
Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.
Laju perubahan value/nilai fungsi y = f(x) dalam interval ∆x mendekati atau menuju nol (∆x → 0) dinamakan fungsi derivatif atau diferensial atau yang sering kita dengar dengan nama turunan, dari y = f(x), diberi notasi y’, f’(x), atau dy/dt dinyatakan dengan :
Misalkan x dan y adalah bilangan real di mana y adalah fungsi dari x,
yaitu y = f(x). Salah satu dari jenis fungsi yang paling sederhana adalah fungsi
linear. Ini adalah grafik fungsi dari garis lurus. Dalam kasus ini, y = f(x) = m x + c, di mana m dan c adalah bilangan real yang tergantung pada garis mana grafik tersebut
ditentukan. m disebut sebagaikemiringan dengan rumus:
Namun, hal-hal di atas hanya berlaku kepada fungsi linear. Fungsi nonlinear tidak memiliki nilai kemiringan yang pasti. Turunan dari f pada titik x adalah pendekatan yang paling baik terhadap gagasan kemiringan f pada titik x, biasanya ditandai dengan f'(x) atau dy/dx. Bersama dengan nilai f di x, turunan dari f menentukan
pendekatan linear paling dekat, atau disebut linearisasi, dari f di dekat titik x.
Sifat-sifat ini biasanya diambil sebagai definisi dari turunan.
Sebuah istilah yang saling berhubungan dekat dengan turunan
adalah diferensial fungsi.
Garis singgung pada (x, f(x))
Bilamana x dan y adalah variabel real, turunan dari f pada x adalah kemiringan
dari garis singgung grafik f' di titik x. Karena sumber dan target dari f berdimensi
satu, turunan dari f adalah bilangan real. Jika x dan y adalah vektor, maka pendekatan linear yang paling mendekati grafik f tergantung pada bagaimana f berubah di beberapa arah secara bersamaan. Dengan mengambil
pendekatan linear yang paling dekat di satu arah menentukan sebuah turunan
parsial, biasanya ditandai dengan ∂y/∂x. Linearisasi dari f ke semua arah secara
bersamaan disebut sebagai turunan total. Turunan total ini adalah transformasi
linear, dan ia menentukan hiperbidang yang paling mendekati grafik dari f.
Hiperbidang ini disebut sebagai hiperbidang oskulasi; ini secara konsep sama
dengan mengambil garis singgung ke semua arah secara bersamaan.
C. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variable terikat terhadap satu atau lebih variable bebas disebut persamaan diferensial. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variable bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB), dan bila pada Persamaan Diferensial (PD) terdapat dua atau lebih variabel bebas yang tidak spesifik, maka persamaan tersebut dinamakan Persamaan Diferensial Parsial (PDP).
D. MACAM-MACAM TEOREMA DIFERENSIAL
Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan yakni dengan menyusun hasil bagi dengan selisih
dan menghitung limitnya dapat memakan waktu dan membosankan. Kita akan mengembangkan cara-cara yang akan memungkinkan kita untuk memperpendek proses yang berkepanjangan ini dan akan
memungkinkan kita untuk mencari turunan semua fungsi yang tampaknya rumit dengan segera.
Ingatlah kembali bahwa turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f’. Jika f(x) = x3+7x adalah rumus untuk f, makaf’(x) = 3x2+7 adalah rumus untuk f’. Ketika kita menurunkan f, artinya mendiferensiasikan f. Turunan mengoperasikan f untuk menghasilkan f’. Kita biasanya menggunakan simbol Dx untuk menandakan operasi diferensial. Simbol Dx menyatakan
bahwa kita mengambil turunan (terhadap peubah x). Maka kita menuliskan Dxf(x) = f’(x) atau Dx(x3+7x) = 3x2+7.
Aturan Konstanta dan Aturan Pangkat Teorema A Aturan Fungsi Konstanta
Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta, maka untuk sembarang x, f’(x) = 0; yakni
Dx f(x) = 0
Teorema B Aturan Fungsi Identitas
Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1; yakni Dx(x) = 1
Teorema C Aturan Pangkat
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan bulat positif, maka f’(x) = nxn-1;
yakni Dx(xn) = nxn-1
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi
Dx adalah Operator Linear Operator Dx berfungsi sangat baik bilamana diterapkan pada kelipatan konstanta fungsi atau pada jumlah fungsi.
Teorema D Aturan Kelipatan Konstanta
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka (kf)’(x) = k . f’(x); yakni, Dx[k . Dxf(x)] = k . Dxf(x)
Jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta k dapat
dikeluarkan dari operator Dx. Teorema E Aturan Jumlah
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f + g)’ (x) = f’(x) + g’(x); yakni, Dx[f(x) + g(x)] = Dxf(x) + Dxg(x)
Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah
dari turunan-turunan.
Teorema F Aturan Selisih
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f - g)’ (x) = f’(x) - g’(x); yakni, Dx[f(x) - g(x)] =Dxf(x) - Dxg(x)
Teorema G Aturan Hasilkali
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka
(f . g)’ (x) = f(x) . g’(x) + g(x) . f’(x); yakni, Dx[f(x) . g(x)] = f(x) Dxg(x)
+ g(x) Dxf(x)
Aturan ini hars dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut: Turunan
hasilkali dua fungsi adalah fungsi pertama dikalikan turunan fungsi yang kedua ditambah fungsi kedua dikalikan turunan fungsi yang pertama. Teorema H Aturan Hasilbagi
Sangat disarankan untuk menghafalkan ini dalam kata-kata, sebagai berikut: Turunan suatu hasilbagi adalah sama dengan penyebut dikalikan
turunan pembilang dikurangi pembilang dikalikan turunan penyebut, seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut.
Sifat-sifat Turunan Fungsi Trigonometri
y = a sin bx → y’ = ab cos bx y = a cos bx → y’ = - ab sin bx y = a tan bx → y’ = ab sec2 bx y = a cot bx → y’ = - ab cosec2 bx y = a sec bx → y’ = ab sec bx tan bx y = a cosec bx → y’ = - ab cosecbx cot bx
Optimasi Fungsi dengan Diferensial (Maksimum & Minimum)
Dalam persamaan y = f(x) Penggunaan diferensial pertama berguna untuk menentukan titik ekstrimnya, sedangkan diferensial kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim tersebut berupa titik maksimum maupun minimum.
1) Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrimnya pada y’ = 0.
2) Jika y” < 0 Maka bentuk parabola terbuka ke bawah & titik ekstrimnya adalah titik maksimum.
3) Jika y” > 0 Maka bentuk parabolanya akan terbuka ke atas dan titik ekstrimnya adalah titik minimum.
E. MANFAAT DIFERENSIAL Penerapan Turunan
1. Manfaat Turunan dalam Ilmu Kimia.
Salah satu aplikasi diferensial dalam ilmu kimia, yaitu laju reaksi. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan desain pabrik. Dengan menerapkan teori
permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baikuntuk perusahaan yang sedang bersaing.
Laju reaksi memiliki kemampuan untuk meramalkan kecepatan campuran reaksi mendekati keseimbangan. Untuk menghitung laju reaksi dalam orde reaksi dapat dgunakan secara praktis persamaan diferensial. Hukum laju reaksi adalah persamaan yang menyatakan laju reaksi v sebagai fungsi dari konsentrasi semua spesies yang ada, termasuk produknya.
2. Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu permasalahan.
Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan yang besar. Seorang dokter ingin memilih dosis terkecil suatu obat yang akan menyembuhkan penyakit tertentu. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya distribusi barangnya. Kadangkala salah satu dari masalah di atas dapat dirumuskan sehingga melibatkan pemaksimuman dan peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan yang rinci.
Jika f adalah fungsi yang dapat diturunkan pada R (atau interval terbuka)
dan x adalah maksimum lokalataupun minimum lokal dari f, maka turunan dari f di
titik x adalah nol; titik-titik di mana f '(x) = 0 disebut titik kritisatau titik pegun (dan
nilai dari f di x disebut nilai kritis). (Definisi dari titik kritis kadang kala diperluas sampai meliputi titik-titik di mana turunan suatu fungsi tidak eksis.) Sebaliknya, titik kritis x dari f dapat dianalisa dengan menggunakan turunan ke-dua dari f di x:
1. Jika turunan ke-dua bernilai positif, x adalah minimum lokal; 2. Jika turunan ke-dua bernilai negatif, x adalah maksimum lokal;
3. Jika turunan ke-dua bernilai nol, x mungkin maksimum lokal, minimum lokal, ataupun tidak kedua-duanya. (Sebagai contohnya, f(x)=x³ memiliki titik kritis di x=0, namun titik itu bukanlah titik maksimum ataupun titik minimum; sebaliknya f(x) = ±x4 mempunyai titik kritis di x = 0 dan titik itu adalah titik minimum maupun maksimum)
Ini dinamakan sebagai uji turunan ke dua. Sebuah pendekatan alternatif
Menurunkan fungsi dan mencari titik-titik kritis biasanya merupakan salah satu cara yang sederhana untuk mencari minima lokal dan maksima lokal, yang dapat
digunakan untuk optimalisasi. Sesuai dengan teorema nilai ekstremum, suatu fungsi
yang kontinu pada interval tertutup haruslah memiliki nilai-nilai minimum dan
maksimum paling sedikit satu kali. Jika fungsi tersebut dapat diturunkan, minimal dan maksimal hanya dapat terjadi pada titik kritis atau titik akhir.
Hal ini juga mempunyai aplikasi tersendiri dalam proses sketsa grafik: jika kita mengetahui minimal dan maksimal lokal dari fungsi yang dapat diturunkan tersebut, sebuah grafik perkiraan dapat kita dapatkan dari pengamatan bahwa ia akan meningkat dan menurun di antara titik-titik kritis.
Contoh aplikasi diferensial pada Kimia :
1. Laju pembentukan NO(g) dalam reaksi:
2NOBr(g) → 2NO(g) + Br2(g) adalah 1,6 x 10-4 ms-1, berapakah laju reaksi dan laju konsumsi NOBr?
Jawab:
Secara matematis, reaksi itu: 0 = -2NOBr(g) + 2NO(g) + Br2(g)
Sehingga v [NO] = +2 . Jadi, laju reaksi diperoleh dari persamaan 1, dengan d[NO]/dt = 1,6 x 10-4 ms-1:
v = 1/2 x (1,6 x 10-4 ms-1) = 8,0 x 10-5 ms-1
Karena v [NOBr]= -2 , maka laju pembentukan NOBr adalah: d[NOBr]/dt = -2 x (8,0 x 10-5 ms-1) = 1,6 x 10-4 ms-1:
sehingga laju konsumsinya adalah 1,6 x 10-4 ms-1
2. Hitung jumlah panas yang diperlukan untuk menaikkan 8 gram helium dari 298K ke 398 K pada tekanan tetap.
Jawab: 8 g helium = 2 mol Cp = Cv + R = 3/2 R + R = 5/2 R = 20.8 J K-1 mol-1 qp = ΔH = nCp ΔT
= 2 x 20.8 x (398 - 298) J = 4160 J
