Turunan Fungsi Kompleks Dan Persamaan Cauchy Riemann

TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS DAN PERSAMAAN CAUCHY

RIEMANN

3.1. Turunan Fungsi Kompleks

Turunan dari fungsi kompleks f pada titik z0 di tuliskan f’(z0) di nyatakan dengan : f’(z0)= 0 0) ( ) ( lim 0 z z z f z f z z − − → Atau dapat di tuliskan : f(z0)= z z f z z f z ∆ − ∆ + → ∆ ) ( ) ( lim 0 0 0

fungsi f’(z) di sebut diferensial ( dapat di turunkan ) di z0 bila limit di atas ada. Contoh soal:

Tentukan turunan dari fungsi berikut : 1. f(z) = c Jawab : f’(z)= lim ( ) ( ) lim 0 0 0 ∆ = − = ∆ − ∆ + → ∆ → ∆ _z c c z z f z z f z z 2. f(z) = z2 Jawab :

(

z z

)

z z z z z z z z z f z z f z z f z f z z z z 2 2 lim ) ( 2 lim ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ' 0 2 0 2 2 0 0 = ∆ + = ∆ ∆ + ∆ = ∆ − ∆ + = ∆ − ∆ + = → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ _Atau

• gunakan sifat-sifat turunan : f(z)=z2 _{maka f’(z)= 2z}2-1

3. f(z) = 3 2 + z Jawab : f’(x) = _∆lim_z→0 z z f z z f ∆ − ∆ + ) ( ) ( = _∆lim_z→0 z z z z ∆ + − + ∆ + ( 3 2 3 ) ( 2 = _∆lim_z→0

{

}

{

}

z z z z z z z ∆ + + ∆ + + ∆ + − + ) 3 ( 3 ) ( 3 ) ( 2 ) 3 ( 2 = _∆lim_z→0

{

}

z z z z z z ∆ ∆ + + ∆ + ∆ − ) ( 3 ) ( 2 = _∆lim_z→0

_{

_(z+∆z)−₊2₃

_}

_(z+3) = _∆lim_{z→0 ( 3)}2 2 + − x

3.2. Persamaan Cauchy Riemann

A. Fungsi Analitik

• Suatu fungsi f(z) di katakan analitik di suatu domain D jika f(z) terdefinisi dan dapat di turunkan pada setiap titik dari D.

• Fungsi f(z) analitik pada z=z0 di D, jika f(z) analitik di dalam lingkungan dari z0.

• Jadi keanalitikan f(z) di z0 berarti bawa f(z) mempunyai turunan pada setiap titik di dalam suatu lingkaran dari z0 ( termasuk z0 sendiri)

B. Persamaan Cauchy Riemann

Andaikan suatu fungsi kompleks f(z) = u(x,y)+iv(x,y) mempunyai turunan pada titik z0 = (a,b) atau fungsi analitik, maka

f’(z)=ux+ivx terhadap x f’(z)=vy-ivy terhadap y Jadi :

Atau dapat di tulis :

Contoh soal:

Tunjukkan bahwa f(z) = z2_{+5i z+3-i analitik !} Jawab : Misal : z = x + iy f(z) = (x+iy)2 _{+ 5i (x+iy)+ 3 – i} f(z) =

(

x2 ₋y2 ₋5y₊3

)

₊

(

2xy₊5x₋1

)

i u v  U (x,y)=x2 _{– y}2 _{– 5y + 3} x x u 2 = ∂ ∂ dan =−2 −5 ∂ ∂ _y y u y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ terpenuhi  V (x,y)=2xy + 5x -1 _∂∂u_y =−_∂∂_xv terpenuhi 5 2 + = ∂ ∂ y x v dan x y v 2 = ∂ ℑ

Persamaan Cauchy Riemann ux = vy dan vx = -uy

Jadi, f(z) analitik memenuhi persamaan Cauchy Riemann

C. Turunan Fungsi Elementer

• Turunan Eksponensial (ez_{)’ = e}

• Fungsi Trigonometri dan hiperbolik 1. (cos z)’ = - sin z 2. (sin z)’ = coz z 3. (tan z)’ = sec2 _z 4. (cosh z)’ = sinh z 5. (sinh z)’ = cosh z 6. (tanh z)’ = sech2 _z Contoh soal:

Diferensialkan fungsi-fungsi berikut : 1. sin 1_=sin

( )

−1      _z z maka; sin z z z z z 1 cos 1 1 cos 1 ' 1 2 2 ₌₋       − =       −

2. sinh (z2_{) maka; (sinh z}2_{)’=2z cosh z}

D. Persamaan Laplace dan Fungsi Harmonik

Andaikan suatu fungsi kompleks f(z)=u(x,y)+iv(x,y)yang analitik dalam domain D, maka memenihi persamaan Laplace jika :

Atau

Bila mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu dalam D. Maka fungsi kompleks tersebut merupakan fungsi harmonik.

0 2 2 2 2 2 ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ y u x u u ₂ 0 2 2 2 2 ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ y v x v v

Contoh Soal :

1. Selidiki bahwa f(u)=2x(1−y)harmonik! Jawab : 0 2 0 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 2 = ∂ ∂ ⇒ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒ − = ∂ ∂ − = y u x y u x u y x u xy x u f Persamaan Laplace : : ₂ 0 0 0 2 2 2 2 _{= + =} ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ y u x u u

∴

fungsi f(u)=2x(1−y) harmonik.

2. Selidiki apakah f(u)₌x2 ₋y2 ₋2xy₋2x₊3y _{harmonik atau tidak? Kemudian} tentukan f (z)_! Jawab : 0 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ − = ∂ ∂ ⇒ + − − = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒ − − = ∂ ∂ + − − − = y u x u u y u x y y u x u y x x u y x xy y x u f

Jadi f(u)merupakan fungsi harmonik. Persamaan Cauchy Riemann;

c y y xy v y y x v y y x v y v y x y v x u + − − = ∂ − − = ∂ − − = ∂ ∂ ∂ = − − ∂ ∂ = ∂ ∂

∫

2 2 ) 2 2 2 ( ) 2 2 2 ( 2 2 2 2

SOAL-SOAL LATIHAN 1. Carilah f (z) dengan menggunakan definisi :

a. f(z)₌z2 ₊3z b. f(z) =2z−1

2. Tunjukkan keanalitikan dari persamaan berikut : a. f(z)₌iz2 ₋4z₊3i

c. f(z)=z2 +5iz+3−i

3. Selidikilah apakah fungsi f(u)₌x2 ₋y2 ₊2xy₋3x₊2y

merupakan fungsi harmonik, lalu cari f(z)nya!

4. Tentukan fungsi analitik f(z)=u(x,y)+iv(x,y)apabila diketahui : a. u=x2 −y2 −y

b. _u=x4_−6x2_y2_+y4

5. deferensialkan fungsi berikut :

a. z z dz d cos sin = b. z z dz d _{tan =sec}2

Penyelesaian Soal – Soal Latihan 1. a. f(z) = z2 _{+ 3z} f(z + z∆ ) = (z + ∆z)(z +∆z)+3(z + z∆ )-(z2_+3z) = z2 _{+ 2z z∆ + z∆} 2_{+3z+3 z∆ -z}2_-3z = 2z∆z+_∆z2₊₃∆_z =

(

)

( )

z z f z z f z ∆ − ∆ + → ∆lim0 = z z z z z z ∆ ∆ + ∆ + ∆ → ∆ 3 2 lim 2 0

= _∆lim_z→0 2z+ z∆ +3 = 2z+3 b. f(z) = 2z – 1 f(z +∆z) = 2(z +∆z)-1 = 2z + 2 z∆ -1 = z z f z z f z ∆ − ∆ + → ∆ ) ( ) ( lim 0 = z z z z o z ∆ − − − ∆ + → ∆ ) 1 2 ( 1 2 2 lim = z z z z z ∆ + − − ∆ + → ∆ 1 2 1 2 2 lim 0 = 0 2. a. f(z)₌iz2 ₋4z₊3i Misal : z=x+iy i iy x iy x iy x i z f( )= ( + )( + )−4( + )+3 i iy x i y xy ix i iy x i y i y xi ix i iy x y i xiy x i 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − − − − = + − − + + = + − − + + = ₌(₋2xy₋4x)₊(x2 ₋y2 ₋4y₊3)i u v x xy y x u( , )=−2 −4 terpenuhi x v y v terpenuhi y v x v y y v x x v i y y x y x v x y u y x u ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂        − − = ∂ ∂ = ∂ ∂ = − − + − = ∂ ∂ − − = ∂ ∂ 4 2 2 ) 3 4 ( ) , ( 2 4 2 2 2

Jadi f(z) analitik memenuhi persamaan Cauchy Riemann b. f(z) = 3z2 _+4iz-5+i

maka :

= 3(x2+2xiy+i2y2)+4ix+4i2y−5+i = 3x2+6xiy+i2y2)+4ix+4i2y−5+i = 3x2+6xiy−y2 +4ix−4y−5+i = (3x2₋y2 ₋4y₋5)₊(6xy₊4x₊1)i u v = ) , (x y u _3x2_−y2 ₋4_y−5 terpenuhi x v y v terpenuhi y v x v y y v y x v x xy y x v y y u x x u ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂        = ∂ ∂ + = ∂ ∂ = + + − − = ∂ ∂ = ∂ ∂ 6 4 6 1 4 6 ) , ( 4 2 6

Jadi f(z) analitik memenuhi persamaan Cauchy Riemann c. f(z) = z2₊5iz_{+3 - i} misal : z = x + iy f(z) =

(

x+iy

)

2 +5i

(

x+iy

)

+3−i f(z) = (x2₋y2 ₋5y₊3)₊(2xy₊5x₋1)i • u(x,y) = x2_−y2 ₋5_y+3 terpenuhi x v y v terpenuhi y v x v y y v y x v x xy y x v y y u x x u ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂        = ∂ ∂ + = ∂ ∂ = + + − − = ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 5 2 1 5 2 ) , ( 5 2 2

Jadi, f(z) analitik karena memenuhi persamaan Cauchy Rieman. 3. f(u)₌x2 ₋y2 ₊2xy₋3x₊2y Maka: f(u) = x2₋y2 ₊2xy₋3x₊2y 3 2 2 + − = ∂ ∂ _{x y} x u 2 2 y u ∂ ∂ ⇒ = 2 2 2 2 + + − = ∂ ∂ _{y x} y u 2 2 2 − = ∂ ∂ ⇒ y u

2 2 2 2 2 y u x u u ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ = 2 + ( - 2 ) = 0

Jadi, fungsi f(x) fungsi harmonic

• Persamaan Cauchy Riemen

u_x =_∂∂_yv ∂ ∂ ⇒2x + 2y – 3 = _∂∂_yv ∂v =(2x+2y−3)∂y v =

∫

(2x+2y−3)∂y v = 2xy + y2 _{- 3y +} jadi, f(z) = u + iv = (x2_−y2₊2_xy−3_x+2_y)₊(2_xy+y2₋3_y+c) 4. a. u = x2−y2 −y x x u 2 = ∂ ∂ =−2 −1 ∂ ∂ _y y u

Konjugat harus memenuhi _∂∂u_x =_∂∂_yv dan ∂_∂u_y =−_∂∂_xv, Sehingga; x x u 2 = ∂ ∂ =2 +1 ∂ ∂ _y x v Jadi, v = 2xy + 1 = 2xy + x + c

Fungsi analitik : f(z) = u (x,y) + iv (x,y)

= x2_−y2 _−y+i(2_xy+x+c)

b. u = x4_−6x2_y2 _+y2 _4x3 _12xy2 x u _{= −} ∂ ∂ 12x2y 4y3 y u + − = ∂ ∂

Konjugat harus memenuhi u_x =_∂∂_yv ∂ ∂ dan u_y =−_∂∂_xv ∂ ∂ , Sehingga; _4x3 _12xy2 y v − = ∂ ∂ v = 4 ( ) 3 12_x2_{y− xy}3_{+h y} , h(y) = o maka; v = 4x3y−₄xy3 +c

fungsi analitik : f(z) = u (x,y) + iv(x,y)

f(z) = _x4 ₋6_x2_y2_+y4 _+i(4_x3_y−4_xy3_+c) = z4 _{+ ic} 5. a. z z dz d cos sin = Sin z = cos z b. z z dz d ₂ sec tan = z z z dz d _sec2 cos sin ₌       Missal: u = sin z v = cos z u’= cos z v’= - sin z maka: 2 ' ' v u v v u − = z z z z z 2 cos ) )(sin sin ( ) )(cos (cos − −

⇒ z z z 2 2 2 cos sin cos + _{= sec}2 _z ⇒ z 2 cos 1 = sec z2 ⇒sec z2 _{= sec z}2

PERTANYAAN-PERTANYAAN SAAT DISKUSI 1. Pertanyaan dari Riyani (2008121311)

a. Tunjukkan keanalitikan dari persamaan f(z) = (1 + i )z2 Jawab : Misal : z = x + iy i y x xy xy y x z f iy xy ix y xyi x z f y xyi x i z f iy x i z f z i z f ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2 2 ) ( ) 2 )( 1 ( ) ( ) )( 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − + + − − = − − + − + = − + + = + + = + = Misal : 2 2 2 2 2 2 y x xy v xy y x u − + = − − = Untuk u₌x2 ₋y2 ₋2xy

) ( ) ( 2 2 2 2 2 ) , ( 2 2 2 2 2 ) , ( 2 2 2 2 terpenuhi x v y u dan terpenuhi y v x u x y y v ydan x x v xy y x y x v x y y u ydan x x u xy y x y x u ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂         − − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − − = − − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − − =

Jadi f(z) analitik karena memenuhi persamaan Cauchy Riemann

b. Tentukan fungsi analitik f(z) = u(x,y) + v(x,y) apabila diketahui u = y2 _{- x}2 Jawab : 2 2 ) (u y x f = − 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = ∂ ∂ ⇒ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ ⇒ − = ∂ ∂ y u x u u y u y y u x u x x u

Jadi f(u) merupakan fungsi harmonic Persamaan Cauchy Riemann

) 2 ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 _{x i xy c} y z f iv u z f c xy v y x v y x v y u x y u x u + − + − = + = + − = ∂ − = ∂ − = ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ = ∂ ∂

∫

Diketahui f(z) = cos z. Tentukan turunan dari fungsi tersebut dengan menggunakan rumus z z f z z f z f z ∆ − ∆ + = → ∆ ) ( ) ( lim ) ( ' 0 Jawab : z z f z z f z f z z z z z z f z z z z f z ∆ − ∆ + = ∆ − ∆ = ∆ + ∆ + = ∆ + → ∆ ) ( ) ( lim ) ( ' sin . sin cos . cos ) ( ) cos( ) ( 0 z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z sin 1 ). (sin 0 ). cos ( sin sin cos 1 cos ( lim sin . sin ) cos 1 ( cos lim cos ) sin . sin cos . (cos lim 0 0 0 − = − − = ∆ ∆ − ∆ ∆ − − = ∆ ∆ − ∆ − − = ∆ − ∆ − ∆ = → ∆ → ∆ → ∆

3. pertanyaan dari Nurlena (2008121310) Carilah f’(z) dengan menggunakan definisi : a. i z i z z f 2 2 ) ( + − = b. f(z)₌z3 ₋2z Jawab : a. f z z _zz _zz i_i 2 ) ( ) ( 2 ) ( + ∆ + − ∆ + = ∆ + = i z z i z z 2 2 2 + ∆ + − ∆ + z z f z z f z f z ∆ − ∆ + = → ∆ ) ( ) ( lim ) ( ' 0

2 0 0 2 2 2 0 2 2 2 0 0 ) 2 ( 5 ) 2 )( 2 ( 5 lim ) 2 )( 2 ( 5 lim ) 2 )( 2 ( 2 4 2 2 2 4 2 2 lim ) 2 )( 2 ( 2 4 2 2 ( 4 4 2 2 lim 2 2 2 2 2 lim i z i i z i z z i z i z i z z z i z i z i z z z i zi zi z z z i zi zi z z z z i z i z z i z i zi zi z z z z i zi zi z z z z i z i z i z z i z z z z z z z + = + + ∆ + = ∆ + + ∆ + ∆ = ∆ + + ∆ + − ∆ + + − ∆ − − + + − ∆ + = ∆ + + ∆ + − ∆ − − + ∆ + − ∆ + + − ∆ + = ∆ + − − + ∆ + − ∆ + = → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ b. f(z)₌z2 ₋2z f(z+∆z)=(z+∆z)(z+∆z)(z+∆z)−2(z+∆z) z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ∆ − − ∆ + ∆ + ∆ + = ∆ − − ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + = ∆ − − ∆ + ∆ + ∆ + = 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 ) )( 2 ( 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 2 2 z z f z z f z f z ∆ − ∆ + = → ∆ ) ( ) ( lim ) ( ' 0 2 3 2 ) 0 ( 3 3 2 3 3 lim 2 3 3 lim ) 2 ( 2 2 4 3 3 lim 2 2 2 2 0 3 2 2 0 3 3 2 2 3 0 − = − + = − ∆ + ∆ + = ∆ ∆ − ∆ + ∆ + ∆ = ∆ − − ∆ − − + ∆ + ∆ + = → ∆ → ∆ → ∆ z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

4. Pertanyaan dari Rani Tartillah (2008121313)

Buktikan apakah f(u)₌e−x(xsiny₋ycosy)_{merupakan fungsi harmonic?}

Jawab : ) cos sin ( ) (u e x y y y f ₌ −x ₋

y e y y y x e x

u ₌ −x_{( sin − cos )+} −x_sin

∂ ∂ ⇒

e x y y y e y e y

x

u x_{( sin cos )} x_sin x_sin 2 2 − − − _{− − −} = ∂ ∂ ) sin 2 cos sin ( sin 2 ) cos sin ( y y y y x e y e y y y x e x x x − − = − − = − − − ) sin cos cos (x y y y y e y u ₌ x _{− +} ∂ ∂ ⇒ −

₌e−x(₋xsiny₊2siny₊ ycosy)

0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u _⇒ harmonik

5. Pertanyaan dari Mita Parlia Sari

Tunjukan apakah f(z)=cos2zanalitik! Jawab : Misal : )) ( 2 cos( ) (z x iy f iy x z + = + = i y x iy x iy x ) 2 (cos 2 cos 2 cos 2 cos ) 2 2 cos( + = + = + = Misal : u = cos 2x v = cos 2y

y y v x v y u x x u 2 sin 2 0 0 2 sin 2 − = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ dan u_{y x}v y v x u ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ ≠ ∂ ∂ ⇒ ) (z f ∴ tidak analitik

6. Pertanyaan dari Indah Marta Kumala Dewi (2008121328)

Selidiki bahwa f(u)=2x2+y2 +4xy+2x+y _{harmonic atau tidak dan tentukan f(z)!} Jawab : 2 1 4 2 4 2 4 4 2 2 2 2 = ∂ ∂ ⇒ + + = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒ + + = ∂ ∂ y u x y y u x u y x x u 6 2 4 2 2 2 2 _{= + =} ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ y u x u u

Jadi f(u) bukan fungsi harmonic Persamaan Cauchy Riemann

∫

+ + ∂ = ∂ + + = ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ = ∂ ∂ y y x v y y x u y v y x y v x u 2 4 4 2 4 4 2 4 4 =4xy+2y2+2y+c f(z) = u + iv i c y y xy y x xy y x z f( )₌(2 2₊ 2 ₊4 ₊2 ₊ )₊(4 ₊2 2₊2 ₊ )

7. Pertanyaan dari Yaumil Agus Akhir(2008121301)

Buktikan apakah _f(v)=3x2_y+2x2 _−y3 _−2y2 _{merupakan fungsi harmonic lalu cari} f(z)nya!

Jawab : 4 6 4 3 3 4 6 4 6 2 2 3 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 − − = ∂ ∂ ⇒ − − = ∂ ∂ − − = ∂ ∂ ⇒ + = ∂ ∂ − − + = y y v y y x y v y y v x xy x v y y x y x v f y x y v x v v ₂ 6 6 2 2 2 2 _{= −} ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇

Jadi f(v) bukan merupakan fungsi harmonic Persamaan Cauchy Riemann 2

) 2 2 3 ( ) 4 6 ( ) ( ) ( 4 6 4 6 4 6 4 6 2 3 2 2 2 2 y y x y x i c xy xy z f iv u z jadif c xy xy u y x xy u y x xy u y v x xy y v x u − − + + + + = + = + + = ∂ + = ∂ + = ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ = ∂ ∂

∫

8. hhhh