PENERAPAN TURUNAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG

BAHAN PROYEK :

PENERAPAN TURUNAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG

1. Definisi Turunan dan Persamaan Garis Singgung

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan suatu pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Turunan dari fungsi f adalah fungsi lain f’ yang nilainya sembarang bilangan c dapat ditulis ;

𝑓^′(𝑐) = 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ

*jika limit fungsi f ada dan memiliki nilai maka dapat disebutkan bahwa fungsi tersebut terdiferensiasi di c.

Turunan memiliki beberapa notasi, hal ini disebabkan oleh turunan atau derivatif tidak semata-mata hanya digunakan dalam matematika saja tetapi di cabang ilmu lainnya. Berikut adalah notasi dari turunan;

Turunan ke- Notasi f Notasi y Notasi leibiniz Notasi D

1 𝑓^′(𝑥) 𝑦′ 𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝐷_𝑥𝑦

2 𝑓^′′(𝑥) 𝑦′′ 𝑑²𝑦

𝑑𝑥²

𝐷_𝑥²𝑦

3 𝑓^′′′(𝑥) 𝑦′′′ 𝑑³𝑦

𝑑𝑥³

𝐷_𝑥³𝑦

n, ≥ 4 𝐹^𝑛(𝑥) 𝑦^𝑛 𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛

𝐷_𝑥^𝑛𝑦 Persamaan garis adalah perbandingan antara selisih koordinat y (ordinat) dan koordinat x (absis) dari dua titik yang terletak pada garis itu. Selisih antara titik-titik tersebut dapat dibuat garis dalam bentuk grafik fungsi aljabar, dimana tidak hanya satu garis maupun satu titik tapi melibatkan banyak garis dan banyak titik.

Singkatnya, garis singgung ialah garis yang menyentuh titik tertentu pada suatu kurva.

Persamaan garis lurus yang melalui titik (𝑥1, 𝑦1) dengan gradien m adalah

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1). Sehingga Persamaan Garis Singgung di titik (𝑎, 𝑓(𝑎)) pada kurva adalah 𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)

2. Teorema-Teorema Turunan

Berikut teorema-teorema turunan fungsi;

• Teorema A : Aturan Fungsi Konstanta

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘, dimana k adalah konstanta maka untuk setiap x, 𝑓(𝑥) = 0 artinya 𝐷_𝑥(𝑘) = 0

• Teorema B : Aturan Fungsi Identitas

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥, maka 𝑓^′(𝑥) = 1 artinya 𝐷_𝑥(𝑥) = 1

• Teorema C : Aturan Pangkat

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥^𝑛, dimana n merupakan bilanan bulat positif , maka 𝑓(𝑥) = 𝑛𝑥^𝑛−1 artinya 𝐷𝑥(𝑥^𝑛) = 𝑛𝑥^𝑛−1

• Teorema D : Aturan Kelipatan Konstanta

Jika 𝑘 dan 𝑓 berturut-turut adalah konstanta dan suatu fungsi yang terdiferensiasi, maka (𝑘𝑓)^′(𝑥) = 𝑘. 𝑓′(𝑥) artinya 𝐷_𝑥[𝑘. 𝑓(𝑥)] = 𝑘. 𝐷_𝑥𝑓(𝑥)

• Teorema E : Aturan Jumlah

Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi yang terdiferensiasi, maka (𝑓 + 𝑔)’(𝑥) = 𝑓’(𝑥) + 𝑔’(𝑥) artinya 𝐷_𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝐷_𝑥𝑓(𝑥) + 𝐷_𝑥𝑔(𝑥)

• Teorema F : Aturan Selisih

Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi yang terdiferensiasi, maka (𝑓 − 𝑔)’(𝑥) = 𝑓’(𝑥) − 𝑔’(𝑥) artinya 𝐷_𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝐷_𝑥𝑓(𝑥) − 𝐷_𝑥𝑔(𝑥)

• Teorema G : Aturan Hasil Kali

Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi yang terdiferensiasi, maka (𝑓. 𝑔)’(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) artinya 𝐷_𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝐷_𝑥𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝐷_𝑥𝑓(𝑥)

• Teorema H : Aturan Hasil Bagi

Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi yang terdiferensiasi dengan 𝑔(𝑥) ≠ 0, maka (^𝑓

𝑔) ’(𝑥) =

𝑔(𝑥)𝑓’(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔’(𝑥)

𝑔²(𝑥) artinya 𝐷_𝑥[^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =^{𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)𝐷𝑥𝑔(𝑥)}

𝑔²(𝑥)

• Teorema : Aturan Rantai

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥), jika g terdiferensiasi di x dan f terdiferensiasi di 𝑢 = 𝑔(𝑥) , maka fungsi komposit 𝑓 ∘ 𝑔 didefinisikan sebagai (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), terdiferensiasi di x dan (𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) artinya 𝐷_𝑥𝑓(𝑔(𝑥)) =

𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) atau ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= ^𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥

3. Contoh Soal Persamaan Garis Singgung beserta Pembahasannya

1) Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 𝑦 = 𝑥⁴ − 3𝑥³ + 6𝑥 + 7 di titik yang berabsis 2!

Jawab :

• Menentukan turunan pertama dari 𝑦 = 𝑥⁴ − 3𝑥³ + 6𝑥 + 7 lalu masukkan nilai absis = 2.

𝑦 = 𝑥⁴ − 3𝑥³ + 6𝑥 + 7 𝑦^′= 4𝑥³− 3.3𝑥²+ 6 𝑦′ = 4𝑥³− 9𝑥²+ 6 𝑦^′= 4 ⋅ (2)³− 9(2)²+ 6 𝑦^′= 2

• Masukkan nilai absis = 2 kedalam persamaan y.

𝑦 = 𝑥⁴ − 3𝑥³ + 6𝑥 + 7 𝑦 = (2)⁴− 3(2)³+ 6(2) + 7 𝑦 = 11

• Masukkan kedalam persamaan 𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎).

𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) 𝑦 − 11 = 2(𝑥 − 2) 𝑦 = 2𝑥 + 7

2) Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva 𝑦 = 2𝑥²− 4𝑥 − 6 di titik A(4,-2)!

Jawab :

• Menentukan turunan pertama dari 𝑦 = 2𝑥²− 4𝑥 − 6 lalu masukkan x = 4.

𝑦 = 2𝑥²− 4𝑥 − 6 𝑦^′= 4𝑥 − 4 𝑦^′= 4(4) − 4 𝑦^′= 12

• Masukkan kedalam persamaan 𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎).

𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) 𝑦 − (−2) = 12(𝑥 − 4) 𝑦 = 12𝑥 − 50