MATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H

(1)

MATEMATIKA EKONOMI 1

Oleh :

Muhammad Imron H

UNIVERSITAS GUNADARMA 2015

(2)

(3)

Universitas Gunadarma Halaman 3

BAB I

HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur, anggota, elemen) yang dirumuskan secara jelas dan tegas, sehingga dapat dibeda-bedakan antara satu dengan yang lainnya.

Notasi himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital (misal A,B,C,...) dan elemen-elemennya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya huruf a,b,c.

Himpunan dituliskan dengan tanda kurung kurawal {}. Contoh :

Suatu himpunan tiga warna lampu lalu lintas. K = {merah, kuning, hijau}

B. Cara Penulisan Himpunan

Ada dua cara dalam penulisan himpunan

1. Cara pendaftaran/pendataan (roster method) yaitu menuliskan atau mencantumkan semua unsur yang menjadi anggota suatu himpunan

Contoh : A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} C = {2, 5, 8, 11, 14, 17}

2. Cara Pencirian (Rule Method) yaitu menuliskan atau menyebutkan karakteristik tertentu (syarat) dari obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut.

Contoh : A = {x | x ≤ 15, x ∈ Ganjil } B = {x | x <18, x ∈ Prima} C = {x | x = 3n – 1, n ∈ asli <7 } Latihan :

1) Tuliskan himpunan berikut dengan cara pendaftaran : a. A = {x|x <7, x bilangan asli}

b. G = {x| 0 < x < 16, x bilangan ganjil} c. W = {x| x2_{– 1 = 0 }}

d. Z = {nama binatang bertaring} e. K = {x| 2 < x ≤ 4, x bilangan riil}

2) Tuliskan himpunan berikut dengan cara pencirian : a. D = {1, 3, 5, 7, 9}

b. G = {1, 4, 9, 16} c. F = {2, 3, 5, 7,11} d. H = {2, 4, 9, 12, 35}

(4)

Universitas Gunadarma Halaman 4 C. Beberapa Istilah dalam Himpunan

1. Anggota (∈) dan Bukan anggota (∉)

Setiap obyek dalam suatu himpunan adalah merupakan anggota dari himpunan tersebut Contoh : x ∈ A dibaca “x anggota himpunan A”

“x unsur himpunan A” “x elemen himpunan A” x ∉ B dibaca “x bukan elemen himpunan B” 2. Bilangan Cardinal (Banyaknya Anggota Himpunan)

Menyatakan banyaknya anggota himpunan yang termasuk kedalam himpunan tersebut. Bilangan cardinal dari himpuna A dinotasikan dengan n(A).

Contoh : A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} maka n(A) = 7 B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} maka n(B) = 8 3. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.

Notasi untuk himpunan kosong biasanya dilambangkan dengan tanda kurung saja { } atau ∅.

Contoh : Himpunan siswa Sekolah Dasar yang berusia dibawah 3 tahun. 4. Himpunan Berhingga dan Tak berhingga

Himpunan berhingga adalah himpunan yang banyaknya anggota himpunan berhingga. Jika tidak demikian dikatakan himpunan tersebut tak berhingga.

Contoh : A={q, w, e, r, d} B={1, 2, 3, 4} → himpunan berhingga C={2, 4, 6, 8, ...} D={..., 5, 7, 9, ...} → himpunan takberhingga 5. Himpunan Sederajat

Dua himpunan A dan B dikatakan sederajat jika n(A) = n(B). 6. Himpunan Sama

Dua himpunan dikatakan sama jika kedua himpunan mempunyai anggota yang sama. Walaupun urutannya berbeda. (elemen-elemennya sama dan banyaknya anggota sama) 7. Himpunan Semesta / HIMPUNAN UNIVERSAL / HIMPUNAN BESAR

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan. Notasi dari himpunan semesta adalah S atau U.

(5)

Universitas Gunadarma Halaman 5 8. Disjoin (Himpunan yang saling lepas) adalah pasangan dua himpunan yang tidak

mempunyai anggota sekutu.

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (A//B), jika elemen A tidak termuat di B dan elemen B tidak termuat di A.

9. Sub Set / Sub Himpunan / Himpunan Bagian

A adalah sub himpunan B (ditulis A ⊆ B) jika setiap elemen A merupakan elemen B Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {1, 2, 3, 5, 7}, dan C = {1, 3, 5}

Dikatakan B ⊆ A, C ⊆ B, dan C ⊆ A Beberapa sifat himpunan bagian :

a. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan b. Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari dirinya sendiri c. Jika A ⊆ B, dan B ⊆ A maka A = B.

d. Himpunan A dikatakan himpunan bagian sejati dari B (A ⊂ B) jika A adalah himpunan bagian dari B dan ada unsur B yang tidak termuat dalam A.

e. Himpunan semua himpunan bagian dari A disebut Himpunan Kuasa dari A Contoh himpunan kuasa :

Jika A = {2,3} maka himpunan kuasa dari A yaitu : {∅, {2}, {3}, {2,3}} Jika B = {a, b, c} maka himpunan kuasa dari B yaitu :

{∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} Latihan :

1) Tentukan himpunan kuasa dari C = {1, 3, 5, 7} 2) Tentukan himpunan kuasa dari D = {a, b, c, d, e}

Banyaknya anggota Himpunan kuasa dari suatu himpunan yang memiliki n anggota adalah sebanyak 2n_.

A

B

(6)

Universitas Gunadarma Halaman 6 D. Operasi Antar Himpunan

1. Union adalah gabungan dari dua himpunan atau lebih yang hasilnya merupakan seluruh anggota kedua himpunan tersebut.

Notasi dari union ini adalah

∪

(huruf u lepas) Misalnya :

A = {1,2,3} dan B ={3,4,5}

Maka, A ∪ B adalah {1,2,3,4,5}, atau A

∪

B = {x; x ∈ A atau x ∈ B} Diagram vennnya adalah sebagai berikut :

A

∪

B adalah terlihat pada bagian yang diarsir

2. Irisan adalah bagian yang serentak menjadi anggota kedua himpunan tersebut atau dengan kata lain Irisan adalah himpunan semua elemen dari kedua himpunan yang mempunyai unsur yang sama.

Notasi dari Irisan ini adalah

∩

(huruf en lepas). Misalnya :

A = {1,2,3} dan B = {3,4,5} Maka, A ∩ B = {x; x ∈A dan x ∈B}

Diagram vennnya adalah sebagai berikut :

A

∩

B adalah terlihat pada bagian yang diarsir

3. Set Pengurangan/set difference adalah selisih himpunan yang satu dengan himpunan yang lainnya.

Notasi dari set difference ini adalah – (tanda minus) Misalnya A = {3,4,5,6,7} dan B = {6,7,8,9,0}

Maka, A – B = {3,4,5}, yang diarsir kiri Dan B – A = {8,9,0}, yang diarsisr kanan Dimana, A – B = {x; x ∈ A dan x ∉ B} Dimana, B – A = {x; x ∉ A dan x ∈ B}

A

B

A – B

A

B

(7)

Universitas Gunadarma Halaman 7 4. Komplemen adalah penyisihan himpunan yang objeknya tidak merupakan unsur

himpunan tersebut, tetapi masih anggota himpunan universalnya. Notasi komplemen dari himpunan A adalah : A’ atau Ac_{atau Ā}

Misalnya :

S = {a,b,c,d,e,f,g} A = {a,b,c,d} B = {d,e,f,g} Maka, A’ = {e,f,g} dan B’ = {a,b,c}

5. Perkalian Himpunan (Cartesian Product)

Hasil kali himpunan A dan B (ditulis A x B) adalah suatu haimpunan yang elemennya terdiri dari pasangan berurutan (a, b) dengan a ∈A dan b ∈ B.

A x B = {(a,b) | a ∈A dan b ∈ B } Contoh : a. A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5} Maka A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} b. A = {x | 1 < x ≤ 3, x ∈ R} B = {y | 2 ≤ y < 5, y ∈ R} Maka A x B = {(x, y) | 1 < x ≤ 3 dan 2 ≤ y < 5 } Latihan :

1. Diketahui himpunan A, B, C. Manakah dari pernyataan berikut ini benar ? a. Jika A ⊂ B dan A ∩ C = ∅, maka B ∩ C = ∅

b. Jika A ⊂ B dan B ∩ C = ∅, maka A ∩ C = ∅ c. Jika A ⊂ B, maka A ∩ B = B d. Jika A ⊂ B, maka A ∩ B = A 2. Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {6, 8} Tentukan : a. A ∪ B b. A ∩ (B – C) c. (A ∪ B)’ – C d. C ∪ (A – B) e. (A ∩ B)’ ∪ (A ∩ C)’ 2 5 1 3

(8)

Universitas Gunadarma Halaman 8 3. Tentukan irisan dari pasangan himpunan berikut :

a. {x | –1 < x ≤ 5, x ∈ R} ∩ {x | 0 < x ≤ 7, x ∈ R} b. {x | 2 ≤ x < 4, x ∈ R} ∩ {x | 3 ≤ x < 8, x ∈ R}

4. Suatu asrama dihuni 50 mahasiswa dengan perincian 30 orang menguasai bahasa inggris, 25 orang menguasai bahasa Jerman, dan 10 orang menguasai bahasa Inggris dan Jerman. Berapa orang yang tidak menguasai bahasa Inggris dan Jerman?

5. Suatu kelompok dengan data sebagai berikut :

Nama Jenis kelamin Asal daerah Pendidikan

Amir L Bekasi SMK

Agus L Bekasi SMA

Bambang L Bogor SMA

Cici P Bekasi SMA

Carla P Bogor SMA

Darsono L Bogor SMA

Gendis P Bekasi SMA

Haris L Bogor SMK

Imbi L Bogor SMK

Jeriko L Bekasi SMA

Kurnia P Bekasi SMA

Listiana P Bogor SMA

Murtadho L Bekasi SMA

Zaki L Bogor SMK

Tuliskan Himpunan :

a. A = Mahasiswa berasal dari Bekasi b. B = Mahasiswa berasal dari Bogor c. C = Mahasiswa Laki-laki

d. D = Mahasiswa Perempuan e. E = Mahasiswa berpendidikan SMA f. F = Mahasiswa berpendidikan SMK

g. (C ∩ A) = Mahasiswa laki-laki dan berasal dari Bekasi h. (D ∩ F) = Mahasiswa perempuan dan berpendidikan SMK i. (E ∩ B) = Mahasiswa berpendidikan SMA dan berasal dari Bogor j. (A ∩ F) = Mahasiswa berasal dari Bekasi dan berpendidikan SMK

k. (C ∩ B ∩ E) = Mahasiswa laki-laki dan berasal dari Bogor dan berpendidikan SMA l. (C ∪ A) = Mahasiswa Laki-laki atau yang berasal dari Bekasi

m. (D ∪ E) = Mahasiswa Perempuan atau berpendidikan SMA n. (B ∪ E) = Mahasiswa berasal dari Bogor atau berpendidikan SMA

o. (D ∪ A ∪ F) = Mahasiswa Perempuan atau yang berasal dari Bekasi atau berpendidikan SMK

(9)

Universitas Gunadarma Halaman 9 E. Hukum – hukum Teori Himpunan

1. Hukum Komutatif adalah penggantian daripada himpunan yang satu dengan himpunan yang lainnya, akan memberikan penghasilan yang sama. Hukum komutatif dikelompokkan atas dua yaitu :

a. Komutatif untuk union ; A

∪

B = B

∪

A

∪

C = (A

∪

C)

∩

(B

∪

C) 2. A ∪ (B ∩ C) = (A∪B) ∩ (A∪C)

4. Hukum identitas adalah pasangan suatu himpunan dengan himpunan kosong. Hukum identitas dikelompokkan atas dua yaitu :

a. Identitas untuk union A ∪

φ

=

φ

∪ A = A b. Identitas untuk irisan ;

(10)

Universitas Gunadarma Halaman 10 5. Hukum Idempoten adalah penggabungan dua himpunan yang sama dan akan

menghasilkan himpunan yang sama pula. Hukum idempoten ada dua yaitu : a. Idempoten untuk Union :

A

∪

A = A

b. Idempoten untuk irisan : A

b. Kelengkapan untuk Irisan ; A ∩ A’ = Ø 8. Hukum Absorbsi A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A 9. Hukum Dominasi A ∪ S = S A ∩ Ø = Ø

(11)

Universitas Gunadarma Halaman 11 BAB II

Sistem Bilangan dan Pertidaksamaan A. Sistem Bilangan

Macam himpunan bilangan adalah sebagai berikut : 1. Bilangan asli

Sistem dasar dari bilangan adalah himpunan bilangan asli Himpunan bilangan asli A = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

2. Bilangan cacah

bilangan asli ditambah nol

Himpunan bilangan cacah C = {0, 1, 2, 3, 4, ... } 3. Bilangan Bulat

bilangan cacah ditambah negatif dari bilangan asli Himpunan bilangan Bulat B = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...} 4. Bilangan prima,

bilangan asli yang tepat mempunyai dua faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri. Himpunan bilangan Prima P = {2, 3, 5, 7, 11, ... }

5. Bilangan Komposit,

Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 (satu) yang bukan termasuk bilangan prima.

Himpunan bilangan Komposit K = {4, 6, 8, 9, 10, ...} 6. Bilangan rasional (Q)

bilangan yang dapat dinyatakan sebagai b

a_{dimana a dan b ∈ Bulat, dimana b ≠ 0} (a : pembilang dan b : penyebut )

Contoh bilangan rasional adalah bilangan bulat, pecahan biasa, pecahan campuran, bilangan pecahan desimal terbatas dan pecahan desimal berulang.

Misalnya : a. Bilangan bulat 6 = 2 12 1 6₌ b. Bilangan pecahan 3 4

c. Bilangan pecahan campuran

5 17 5 2 3 =

d. Bilangan pecahan desimal terbatas 2,345 = 1000 2345 e. Bilangan pecahan desimal berulang 1,333... =

3 4

(12)

Universitas Gunadarma Halaman 12 7. Bilangan Irrasional, bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai

b

a_{(a, b ∈ Bulat)} Misalnya : - bentuk akar : 2, 3

- π = 3,1415926535897932384626433832795...

- bilangan desimal takterbatas takberulang 2,36543455... 8. Bilangan riil (R),

bilangan yang dibentuk oleh bilangan rasional dan bilangan irrasional. 9. Bilangan imajiner,

bilangan yang apabila dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif. Satuan bilangan imajiner dinyatakan dengan huruf i =

−

1

Misalnya : −5= i 5

10. Bilangan Kompleks, bilangan yang digabung antara bilangan riil dengan bilangan imajiner.

Misalnya : 1 + −2 = 1 + i 2

4 – 3 −1= 4 – 3i

Skema Himpunan Bilangan

Garis bilangan (Bilangan Real)

Pada garis bilangan, semua bilangan diletakkan berurutan dengan skala rapi. Bilangan yang lebih kecil disebelah kiri dan bilangan yang lebih besar di sebelah kanan.

a < b atau b > a

a b

Bilangan

Riil Bilangan Imajiner

Bilangan

Irrasional Bilangan Rasional Bilangan

Pecahan Bilangan Bulat Bilangan

(13)

Universitas Gunadarma Halaman 13 Interval Terbuka dan Tertutup

Perhatikan semua bilangan antara a dan b. Himpunan semua bilangan yang terletak antara a dan b disebut Interval dengan a merupakan batas bawah terbesar dan b merupakan batas atas terkecil.

Interval dapat dituliskan dengan tanda <, >, ≤, ≥ atau dengan tanda kurung (), dan []. a. Interval terbuka

a < x < b dapat ditulis dengan (a, b) ( ) b. Interval tertutup

a ≤ x ≤ b dapat ditulis dengan [a, b] [ ] c. Interval terbuka kiri (interval tertutup kanan)

a < x ≤ b dapat ditulis dengan (a, b] ( ] d. Interval terbuka kanan (interval tertutuk kiri)

a ≤ x < b dapat ditulis dengan [a, b) [ ) e. Interval takberhingga

{x | x ∈ R } dapat ditulis dengan (– ∞, ∞) Contoh : 1. {x | –1 < x < 3 } = (–1, 3) 2. {x | –1 ≤ x < 3 } = [–1, 3) 3. {x | –1 < x ≤ 3 } = (–1, 3] 4. {x | –1 ≤ x ≤ 3 } = [–1, 3] 5. {x | x < 3 } = (– ∞, 3) 6. {x | x ≥ –2 } = [–2, ∞) 7. (–1, 5) ∪ (0, 7] = (–1, 7] 8. (–1, 5) ∩ (0, 7] = (0, 5) Latihan : Diketahui interval-interval A = (–2, 6], B = (0, 8], C = [2, 4), D = [3, 9) Tentukan : a. A ∪ B c. A ∪ C e. A ∪ D g. B – D b. A ∩ B d. A ∩ C f. A – D h. A – C a b a b a b a b

(14)

Universitas Gunadarma Halaman 14 B. Pertidaksamaan

Sebelum membahas pertidaksamaan, perlu diketahui hal-hal sebagai berikut :

 Kalimat tertutup merupakan kalimat yang sudah dapat diketahui nilai kebenarannya.

Contoh : 2 + 4 = 6 benar

8 – 3 = 4 salah

Jakarta adalah ibu kota Indonesia benar Gunung merapi terletak di jawatimur salah

 Kalimat terbuka merupakan kalimat yang belum dapat diketahui nilai kebenarannya. Contoh : Buah jeruk itu manis

Yogyakarta ada di pulau x 3x = 12

9 – x = 4

 Kesamaan : kalimat tertutup yang menggunakan tanda hubung sama dengan (=)  Ketidaksamaan : kalimat tertutup yang menggunakan tanda hubung >, <, ≥, ≤.  Persamaan : kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung sama dengan (=)  Pertidaksamaan : kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung >, <, ≥, ≤.

Pada kalimat terbuka 3x = 12 bernilai benar jika x diganti dengan 4 dan bernilai salah jika diganti dengan selain 4. Selanjutnya x disebut dengan Variabel, sedangkan 3 dan 12 disebut

konstanta dan 4 disebut dengan penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut.

Pada kalimat x2_{= 25. Jika variabel x diganti dengan –5 atau 5 maka kalimat x}2_{= 25 akan}

bernilai benar. Dalam hal ini x = –5 atau x = 5 adalah penyelesaian dari kalimat terbuka x2₌

25. Jadi, himpunan penyelesaian dari kalimat x2_{= 25 adalah {–5, 5}.}

Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar

Penulisan pertidaksamaan dan interpretasinya dapat dilihat pada tabel berikut : Ketidaksamaan

atau

Pertidaksamaan Interpretasi

2 < 7 2 kurang dari 7

x > 99 Nilai x lebih besar dari 99

2 < x < 21 Nilai x lebih besar dari 2 dan kurang dari 21 6x ≥ 18 6x lebih besar atau sama dengan 18

5 + x ≤ 23 5 + x kurang dari atau sama dengan 23

merupakan kalimat tertutup

(15)

Universitas Gunadarma Halaman 15 Sifat-sifat pertidaksamaan :

1. a < b ≅ b > a

2. Jika a > b maka : Jika a < b maka : • a ± c > b ± c • a ± c < b ± c

• ac > bc jika c > 0 • ac < bc jika c > 0 • ac < bc jika c < 0 • ac > bc jika c < 0 3. Jika a > b dan b > c maka a > c

4. Jika a > b dan c > d maka a + c > b + d 5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 maka ac > bd 6. Jika a > b > 0 maka :

• a2_{> b}2

• 1/a < 1/b

7. Jika a/b < 0 dimana b ≠ 0 maka ab < 0 8. Jika a/b > 0 dimana b ≠ 0 maka ab > 0 Penyelesaian pertidaksamaan

Menemukan jawaban pertidaksamaan adalah menentukan daerah yang memenuhi hubungan pertidaksamaan yang dinyatakan. Penulisan himpunan jawaban pertidaksamaan dapat dalam bentuk interval yang telah didefenisikan di atas.

Contoh 1 : tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3 ≥ –5 Jawab: 2x + 3 ≥ –5

2x ≥ –5 –3

x ≥ – 4; jadi himpunan penyelesaiannya {x|x ≥ – 4} = [–4,∞) Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

2 x _{< 3} Jawab : 2 x _{< 3} 2 x _{. 2 < 3 . 2}

x < 6 jadi himpunan penyelesaiannya {x|x< 6} = (– ∞, 6) Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

3 − x _{< 4} Jawab : 3 − x _{< 4} 3 − x _{. (–3)}_>_{4 . (–3)}

(16)

Universitas Gunadarma Halaman 16 Contoh 4 : tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan –3 < x – 2 < 2,

Jawab: –3 < x – 2 < 2

–3 + 2 < x < 2 + 2 (masing-masing ruas ditambah 2)

–1 < x < 4; jadi penyelesaiannya dalam interval (–1,4)

Contoh 5 : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1 2 + x ≤ – 4 Jawab : 1 2 + x ≤ – 4 bermakna x + 1 < 0 1 2 + x . (x + 1) ≥ – 4 . (x + 1) dan x + 1 < 0 2 ≥ – 4x – 4 x < –1 4x ≥ – 4 – 2 4x ≥ – 6 x ≥ 2 3

− jadi penyelesaiannya dalam interval [ 2 3 − , –1)

Contoh 6: tentukan himpunan jawaban pertidaksamaan (x – 2)(x – 3) ≤ 0, Jawab: (x – 2)(x – 3) ≤ 0;

memiliki titik nol; (x – 2) = 0, atau (x – 3) = 0 x = 2, x = 3

Daerah yang memenuhi adalah negatif “–“ sehingga penyelesaiannya dalam interval [2, 3]

Latihan :

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut :

1. x – 3 < 6 6. 2 3x _{> 7 – 2x} 2. x +5 ≥ 2 7. 4 x _{– 5 ≤ 6} 3. 6x – 5 > 7 – 2x 8. 2 1 3 3 2 − ≥ + x x 4. 8 + 5x ≤ 7x – 6 9. x2_{– 3x < 10} 5. 5 2x _{< 8} _{10. x}2_{≥ – 4x – 3} 2 3 + – +