Graf Ajaib (Super) dengan Sisi Pendan

Bab IV

Graf Ajaib (Super) dengan Sisi Pendan

Pada bab ini disajikan metode untuk membentuk graf ajaib (super) baru dari graf ajaib (super) yang sudah diketahui. Berdasarkan metode tersebut diperoleh graf ajaib (super) baru, beberapa di antaranya berupa graf pohon yang memberikan dukungan atas kebenaran Konjektur III.1 atau Konjektur III.2.

Membentuk graf ajaib (super) baru dapat dilakukan dengan berbagai cara. Salah satunya adalah dengan menghapus sisi dari graf ajaib (super) tertentu, seperti di-nyatakan pada dua lemma berikut.

Lemma IV.1 (Baca et al., 2001) Misalkan G adalah graf ajaib dengan f adalah pelabelan ajaib pada G. Jika ada e ∈ E(G) dengan f (e) = 1, maka G − e merupakan graf ajaib.

Lemma IV.2 (Muntaner-Batle, 2001) Misalkan G merupakan graf ajaib super de-ngan p titik dan f : V (G) → {1, 2, 3, . . . , p} adalah pemetaan yang dapat diperluas ke suatu pelabelan ajaib super pada G. Jika u, v, u0, v0 ∈ V (G) sehingga

f (u) + f (v) = maks{f (x) + f (y)|xy ∈ E(G)}

dan

f (u0) + f (v0) = min{f (x) + f (y)|xy ∈ E(G)}, maka G − uv dan G − u0v0 merupakan graf ajaib super.

Jika dua hasil diatas berkaitan dengan penghapusan sisi, maka hasil berikut ber-kaitan dengan penambahan sisi.

Lemma IV.3 (Muntaner-Batle, 2001) Misalkan G suatu graf ajaib super dengan p titik dan f : V (G) → {1, 2, 3, . . . , p} adalah pemetaan yang dapat diperluas ke suatu pelabelan ajaib super pada G. Jika u, v, u0, v0 ∈ V (G) sehingga

f (u) + f (v) = maks{f (x) + f (y)|xy ∈ E(G)} + 1

dan

f (u0) + f (v0) = min{f (x) + f (y)|xy ∈ E(G)} − 1, maka G + uv dan G + u0v0 merupakan graf ajaib super.

Membentuk graf ajaib (super) baru tidak hanya dapat dilakukan dengan menam-bah atau menghapus sisi dari suatu graf yang sudah diketahui ajaib (super), tetapi dapat juga dilakukan dengan cara menambah titik dan sisi sekaligus. Pada bagian ini, kami menyajikan metode membentuk graf ajaib (super) baru melalui operasi corona. Jika G suatu graf dan H ∼= nK1, maka G  H sama dengan membentuk

suatu graf baru dengan cara menambahkan n buah sisi pendan ke setiap titik di G. Di samping itu, kami juga akan membentuk graf ajaib (super) baru dengan cara menambahkan n buah sisi pendan ke beberapa titik (tidak semua titik) dari graf ajaib (super) G yang pelabelannya memiliki sifat tertentu. Berdasarkan metode tersebut, kami mendapatkan kelas graf ajaib (super) baru. Beberapa di antara kelas graf tersebut berupa graf pohon.

Operasi corona pada graf sudah dikaji oleh beberapa peneliti, misalnya Figueroa-Centeno et al. (2002) dan Baskoro et al. (2005).

IV.1

Graf ajaib dengan sisi pendan

Pada dua teorema berikut ditunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat posi-tif n, G  nK1 merupakan graf ajaib jika G adalah graf ajaib yang pelabelannya

Teorema IV.1  Misalkan G suatu graf dengan p titik dan q sisi, dimana q = p atau q = p − 1 dan p ganjil, p ≥ 3. Jika f1 adalah pelabelan ajaib pada G sedemikan

sehingga semua titik di V (G) mendapat label ganjil dan

{f1(x) + f1(y)|xy ∈ E(G)} = {3p − 2q + 1, 3p − 2q + 3, . . . , 3p − 1}, (IV.1)

maka G  nK1 merupakan graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n.

Bukti: Misalkan V (G) = {xi|1 ≤ i ≤ p}. Misalkan pula f1 adalah pelabelan ajaib

pada G yang memenuhi syarat pada Teorema IV.1. Maka, konstanta ajaib dari f1

adalah k = 3p + 1. Asumsikan bahwa f1(xi) = 2i − 1 untuk setiap bilangan bulat i,

1 ≤ i ≤ p. Selanjutnya misalkan V (G  nK1) = V (G) ∪ {zij|1 ≤ i ≤ p dan 1 ≤ j ≤ n}, dan E(G  nK1) = E(G) ∪ {xiz j i|1 ≤ i ≤ p dan 1 ≤ j ≤ n}.

Sekarang definisikan pelabelan total

f2 : V (G  nK1) ∪ E(G  nK1) → {1, 2, 3, . . . , 2np + p + q}

sehingga f2(x) = f1(x) untuk setiap titik x di V (G), dan

f2(zij) =

 



2jp + p + 2i, untuk 1 ≤ i ≤ p−1₂ dan 1 ≤ j ≤ n, 2jp − p + 2i, untuk p+1₂ ≤ i ≤ p dan 1 ≤ j ≤ n. Dapat diperiksa bahwa semua titik di V (G  nK1) mendapat label ganjil.

Untuk setiap j, 1 ≤ j ≤ n, misalkan Sj _{= {f}

2(xi) + f2(zji)|1 ≤ i ≤ p}. Maka,

mj = min(Sj) = 2jp + p + 1, 1 ≤ j ≤ n,

dan

Mj = maks(Sj) = 2jp + 3p − 1, 1 ≤ j ≤ n.

Perhatikan bahwa m1 = 3p + 1, Mn = 2np + 3p − 1 dan mj+1 = Mj + 2 untuk

barisan aritmatika dengan beda 2. Jadi himpunan {f2(x) + f2(y)|xy ∈ E(G  nK1)}

membentuk suatu barisan aritmatika dengan suku pertama 3p − 2q + 1 dan beda 2. Jika didefinisikan

f2(uv) = 2np + 3p + 1 − f2(u) − f2(v), untuk setiap uv ∈ E(G  nK1),

maka f2 adalah pelabelan ajaib pada G  nK1 dengan konstanta ajaib 2np + 3p + 1.

2

Dapat ditunjukkan bahwa kelas-kelas graf berikut mempunyai pelabelan ajaib yang memenuhi syarat yang ditetapkan pada Teorema IV.1.

1. mCn untuk m dan n ganjil,

2. Pn untuk n ganjil,

3. mCn∪ Pn untuk m genap dan n ganjil.

Di samping itu beberapa kelas dari graf pohon berikut juga mempunyai pelabelan yang memenuhi syarat yang ditetapkan pada Teorema IV.1.

4. Caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan m sisi pendan, dengan m ≥ 2 genap, ke setiap titik dari graf lintasan P2k+1, k ≥ 1 (caterpillar seperti itu

dinotasikan dengan P1 2k+1,m),

5. caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan m − 1, m ≥ 1, sisi pendan ke satu titik dari graf lintasan P2k dan m sisi pendan ke titik yang lain dari P2k,

k ≥ 1 (dinotasikan dengan P_2k,m2 ),

6. caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan m ≥ 1 sisi pendan ke setiap titik dari P2k+1, k ≥ 1, kecuali satu titik yang berderajat satu (dinotasikan

dengan P3 2k+1,m),

7. caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan satu sisi pendan ke t − 1 titik dari Pt, t ≥ 2 (dinotasikan dengan Pt,14 ),

8. P_2k+1T , pohon-seperti-lintasan dengan jumlah titik ganjil. Berdasarkan Teorema IV.1 didapatkan akibat berikut.

Akibat IV.1  Pernyataan berikut adalah benar. 1. Lobster P1

2k+1,m nK1 adalah graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n,

2. lobster P_2k,m2  nK1 adalah graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n,

3. lobster P3

2k+1,m nK1 adalah graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n,

4. lobster P_t,14  nK1 adalah graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n,

5. PT

2k+1 nK1 adalah graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n. 2

Akibat IV.1 memberikan dukungan atas kebenaran Konjektur III.1. Sebagai ilus-trasi dari Teorema IV.1, perhatikan Gambar IV.1.

Gambar IV.1. (a) pelabelan titik dari P5,21 dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema

IV.1, (b) pelabelan titik dari P4

Jika syarat “semua titik di V (G) mendapat label ganjil” dalam Teorema IV.1 di-abaikan, maka kesimpulannya tidak seluruhnya benar. Sebagai contoh, perhatikan graf H pada Gambar IV.2(a). Jika H mempunyai pelabelan ajaib yang meme-nuhi syarat (IV.1), maka semua titik di V (H) harus mendapat label genap (karena himpunan (IV.1) hanya memuat bilangan genap dan H adalah graf terhubung). Hanya ada dua pelabelan seperti itu yang mungkin, seperti ditunjukkan pada Gam-bar IV.2(b) dan IV.2(c). Selanjutnya akan dibuktikan bahwa H  nK1 merupakan

graf ajaib jika dan hanya jika n = 1 (tidak untuk setiap n). Misalkan H  nK1 (H

mempunyai pelabelan seperti pada Gambar IV.2(b)) mempunyai pelabelan ajaib dengan konstanta ajaib k. Maka,

(5n + 5)k = 6n + 2(n + 2) + 8(n + 1) + 4(n + 2) + 10n + 10n+10 X i=1 i, atau k = 10n + 17 − 10 5n + 5.

Karena k bilangan bulat maka n = 1. Sebaliknya jika titik-titik pendan yang me-nempel pada titik-titik dengan label 2, 4, 6, 8, 10 berturut-turut diberi label 7, 9, 1, 3, 5, maka pelabelan titik tersebut dapat diperluas ke suatu pelabelan ajaibsuper dari H  K1. Oleh karena itu syarat bahwa semua titik di V (G) mendapat label

ganjil pada Teorema IV.1 adalah penting.

Gambar IV.2. Graf H dan pelabelan titiknya.

Jika teorema di atas mensyaratkan semua titik di V (G) mendapat label ganjil, teo-rema berikut mensyaratkan semua titik di V (G) mendapat label genap.

Teorema IV.2  Misalkan G suatu graf dengan p titik dan p sisi, dimana p ganjil, p ≥ 3. Jika G mempunyai pelabelan ajaib g1 sedemikian sehingga semua titik di

V (G) mendapat label genap dan

{g1(x) + g1(y)|xy ∈ E(G)} = {p + 3, p + 5, . . . , 3p + 1}, (IV.2)

Bukti: Misalkan himpunan titik dan himpunan sisi dari GnK1 dinotasikan seperti

pada Teorema IV.1. Karena semua label titik di V (G) genap, maka dapat dimisalkan g1(xi) = 2i untuk setiap i = 1, 2, . . . , p, dengan V (G) = {xi|1 ≤ i ≤ p}. Selanjutnya

definisikan pelabelan total g2 : V (G  nK1) ∪ E(G  nK1) → {1, 2, 3, . . . , 2np + 2p}

sebagai berikut.

g2(x) = g1(x) untuk setiap titik x di V (G),

g2(zji) =    2jp + p + 2i + 1, untuk 1 ≤ i ≤ p−1₂ dan 1 ≤ j ≤ n, 2jp − p + 2i + 1, untuk p+1₂ ≤ i ≤ p dan 1 ≤ j ≤ n, dan

g2(uv) = 2np + 3p + 2 − g2(u) − g2(v), untuk setiap uv ∈ E(G  nK1).

Dengan cara yang sama seperti pada bukti Teorema IV.1, dapat dibuktikan bahwa g2 adalah pelabelan ajaib pada G  nK1 dengan konstanta ajaib 2np + 3p + 2. 2

Dapat ditunjukkan bahwa graf siklus Cn dengan n ganjil mempunyai pelabelan

yang memenuhi syarat pada Teorema IV.2.

Begitu juga syarat “semua titik di V (G) mendapat label genap” pada Teorema IV.2 tidak dapat diabaikan. Untuk menunjukkan hal ini, perhatikan lagi graf H pada Gambar IV.1(a). Graf H hanya mempunyai dua pelabelan yang memenuhi syarat (IV.2) (lihat Gambar IV.4(a) and IV.4(b)). Dapat dibuktikan bahwa H  nK1

merupakan graf ajaib jika dan hanya jika n = 1 (tidak untuk semua n).

Gambar IV.3. Pelabelan titik dari H.

Pembentukan graf ajaib baru dari suatu graf ajaib dengan cara menambahkan sisi pendan ke setiap titiknya kecuali ke titik dengan label terbesar ditunjukkan pada teorema berikut.

Teorema IV.3  Misalkan G suatu graf dengan p titik dan q = p atau q = p − 1 sisi, dengan p genap, p ≥ 2. Jika G mempunyai pelabelan ajaib h1 sedemikian

sehingga semua titik di V (G) mendapat label ganjil dan

{h1(x) + h1(y)|xy ∈ E(G)} = {3p − 2q, 3p − 2q + 2, . . . , 3p − 4, 3p − 2}, (IV.3)

maka graf H yang dibentuk dengan menambahkan n sisi pendan ke setiap titik di V (G) kecuali titik dengan label terbesar merupakan graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n.

Bukti: Misalkan V (G) = {xi|1 ≤ i ≤ p}. Misalkan h1 adalah pelabelan ajaib pada

G yang memenuhi syarat yang ditetapkan pada Teorema IV.3. Maka, konstanta ajaib dari h1 adalah k = 3p. Karena semua titik di V (G) mendapat label ganjil,

maka dapat dimisalkan bahwa h1(xi) = 2i−1 untuk setiap bilangan bulat 1 ≤ i ≤ p.

Misalkan H suatu graf dengan himpunan titik

V (H) = V (G) ∪ {yj_i|1 ≤ i ≤ p − 1 dan 1 ≤ j ≤ n},

dan himpunan sisi

E(H) = E(G) ∪ {xiyij|1 ≤ i ≤ p − 1 dan 1 ≤ j ≤ n}.

Dengan cara yang sama seperti pada bukti Teorema IV.1 dapat dibuktikan bahwa

h2 : V (H) ∪ E(H) → {1, 2, 3, . . . , 2n(p − 1) + p + q}

yang didefinisikan dengan h2(x) = h1(x), untuk setiap x ∈ V (G),

h2(yij) =    j(2p − 2) + p + 2i − 1, untuk 1 ≤ i ≤ p₂ dan 1 ≤ j ≤ n, j(2p − 2) − p + 2i + 1, untuk p+2₂ ≤ i ≤ p − 1 dan 1 ≤ j ≤ n, dan

h2(xy) = (2n + 3)p − 2n − h2(x) − h2(y), untuk setiap xy ∈ E(H),

merupakan pelabelan ajaib pada H dengan konstanta ajaib (2n + 2)(p − 1) + p + 2. 2

Dapat ditunjukkan bahwa beberapa graf berikut mempunyai pelabelan ajaib yang memenuhi syarat yang ditetapkan pada Teorema IV.3.

1. Lintasan P2k untuk k ≥ 1,

2. caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan m ≥ 1 sisi pendan ke setiap titik dari P2k, k ≥ 1 (dinotasikan P2k,m5 ),

3. caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan satu sisi pendan ke setiap titik dari P2k+1, k ≥ 1 (dinotasikan dengan P2k+1,16 ),

4. caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan satu sisi pendan ke satu titik berderajat satu dan m ≥ 1 sisi pendan ke titik yang lain dari P2k+1, k ≥ 1

(dinotasikan dengan P7 2k+1,m),

5. PT

2k, pohon-seperti-lintasan dengan jumlah titik genap.

Selain itu graf siklus dengan jumlah titik ganjil dan satu sisi pendan yang ditam-bahkan ke sebuah titiknya juga mempunyai pelabelan yang memenuhi syarat yang ditetapkan pada Teorema IV.3.

Misalkan L∗_2k, L5∗

2k,m, L6∗2k+1,1, L7∗2k+1,m, dan P2kT ∗ berturut-turut menyatakan graf

po-hon yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.3 pada P2k, P2k,m5 , P2k+1,16 ,

P7

2k+1,m, dan P2kT.

Berdasarkan Teorema IV.3 didapatkan akibat berikut.

Akibat IV.2  L∗2k, L5∗2k,m, L6∗2k+1,1, L7∗2k+1,m, dan P2kT ∗ merupakan graf ajaib.

Akibat IV.2 juga memberikan dukungan atas kebenaran Konjektur III.1.

Pelabelan titik dari P_5,16 dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.3 ke P6

5,1 berturut-turut ditunjukkan pada Gambar IV.4 (a) dan (b).

Jika syarat “semua titik di G mendapat label ganjil” pada Teorema IV.3 diabaikan, maka kesimpulannya tidak berlaku. Sebagai contoh, perhatikan graf G pada Gambar IV.5(a). Jika G mempunyai pelabelan ajaib yang memenuhi syarat (IV.3), maka semua titik di G harus mendapat label genap (karena (IV.3) hanya memuat bilangan

Gambar IV.4. Pelabelan titik dari P6

5,1, dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema

IV.3

genap dan G terhubung). Hanya ada dua pelabelan seperti itu yang mungkin (lihat Gambar IV.5(b) dan IV.5(c)). Misalkan H adalah graf yang terbentuk dengan menambahkan n sisi pendan ke setiap titik di V (G) kecuali titik dengan label 12 (label titik terbesar). Jika H adalah graf ajaib, maka konstanta ajaibnya adalah 10n + 19 −_5n+612 , yang bukan merupakan bilangan bulat untuk semua n. Akibatnya H tidak ajaib untuk semua n.

Gambar IV.5. Graf G dan pelabelan titiknya.

Masalah Terbuka IV.1 Tentukan kelas graf lain yang mempunyai pelabelan ajaib yang memenuhi syarat pada teorema-teorema di atas.

IV.2

Graf ajaib super dengan sisi pendan

Jika pada subbab sebelumnya telah disajikan metode membentuk graf ajaib baru, pada subbab ini disajikan metode membentuk graf ajaib super baru dari graf ajaib super tertentu. Pembentukan graf ajaib super baru dengan cara menambahkan sisi pendan pada setiap titik dari graf ajaib super tertentu kecuali pada titik-titik dengan label terbesar ditunjukkan pada teorema berikut.

Teorema IV.4  Misalkan G suatu graf dengan p titik, dimana p ganjil, dan p ≥ 3. Jika G mempunyai pelabelan ajaib super f sedemikian sehingga

maks{f (x) + f (y)|xy ∈ E(G)} = 1

2(3p − 1),

maka graf H yang dibentuk dengan menambahkan n sisi pendan ke setiap titik di V (G) kecuali titik u dan v dengan f (u) = p − 1 dan f (v) = p merupakan graf ajaib super untuk setiap bilangan bulat positif n.

Bukti: Misalkan f adalah pelabelan ajaib super pada G yang memenuhi syarat yang ditetapkan pada Teorema IV.4. Maka, konstanta ajaibnya adalah k = 1₂(5p + 1). Karena G adalah graf ajaib super, dapat diasumsikan bahwa f (xi) = i untuk setiap

1 ≤ i ≤ p, dimana V (G) = {xi|1 ≤ i ≤ p}.

Selanjutnya misalkan H adalah graf yang mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut.

V (H) = V (G) ∪ {y_ij|1 ≤ i ≤ p − 2, 1 ≤ j ≤ n},

dan

E(H) = E(G) ∪ {xiy j

i|1 ≤ i ≤ p − 2, 1 ≤ j ≤ n}.

Perhatikan pelabelan titik g : V (H) → {1, 2, 3, . . . , (n + 1)p − 2n} yang didefinisikan dengan g(x) = f (x), untuk setiap x ∈ V (G), dan g(yj_i) =    j(p − 2) + p − 2i + 2, untuk 1 ≤ i ≤ p−1₂ dan 1 ≤ j ≤ n, j(p − 2) + 2p − 2i, untuk p+1₂ ≤ i ≤ p − 2 dan 1 ≤ j ≤ n. Akan ditunjukkan bahwa g dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H. Untuk setiap j, 1 ≤ j ≤ n, misalkan Sj = {g(xi) + g(y

j i)|1 ≤ i ≤ p − 2}. Maka, mj = min(Sj) = j(p − 2) + 1 2(p + 5), 1 ≤ j ≤ n,

dan

Mj = maks(Sj) = j(p − 2) +

1

2(3p − 1), 1 ≤ j ≤ n.

Perhatikan bahwa m1 = 1₂(3p + 1), Mn = n(p − 2) + 1₂(3p − 1) dan mj+1 = Mj+ 1

untuk 1 ≤ j ≤ n − 1. Di samping itu untuk setiap 1 ≤ j ≤ n, Sj adalah himpunan bilangan bulat berurutan. Berdasarkan Lemma III.4, g dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H dengan konstanta ajaib k + 2n(p − 2). 2

Dapat ditunjukkan bahwa beberapa kelas graf pohon berikut mempunyai pelabelan yang memenuhi syarat pada Teorema IV.4.

1. P_2k+1,m1 , P_2k,m2 , P_2k+1,m3 , P_n,14 , dan P_2k+1T ,

2. lobster yang dibentuk dari caterpillar P2n+1K1dengan menambahkan sebuah

sisi pendan ke setiap titik pendan dari P2n+1 K1 (dinotasikan L2n+1,1),

3. lobster yang dibentuk dari caterpillar P2n K1 dengan menambahkan sebuah

sisi pendan ke setiap titik pendan dari P2n K1 kecuali titik pendan paling

kanan atau kiri (dinotasikan L2n,1),

4. graf bintang ganda yang didapatkan dari menghubungkan center dari dua graf binatang K1,n dan K1,n+1 (dinotasikan Sn,n+1).

Misalkan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.4 pada P_2k+1,m1 , P2

2k,m, P2k+1,m3 , Pn,m4 , dan P2k+1T berturut-turut dinotasikan dengan L12k+1,m, L22k,m,

L3_2k+1,m, L4_n,m, dan T_2k+1T . Misalkan pula graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.4 pada L2n+1,1, L2n,1, dan Sn,n+1 berturut-turut dinotasikan dengan

T2n+1,1, T2n,1, dan Ln,n+1. Maka diperoleh akibat berikut.

Akibat IV.3  L1

2k+1,m, L22k,m, L32k+1,m, Ln,m4 , T2k+1T , T2n+1,1, T2n,1, dan Ln,n+1

merupakan graf ajaib super.

Akibat IV.3 memberikan dukungan atas kebenaran Konjektur III.1 dan III.2.

Beberapa kelas graf ajaib super berikut juga memenuhi syarat pada Teorema IV.4. Pm ∪ K1,1 untuk 4 ≤ m ≡ 1, 3 (mod 4) (Figueroa-Centeno, 2005, Teorema 10),

P2 ∪ K1,n untuk n ≡ 0 (mod 2) (Figueroa-Centeno, 2005, Teorema 5), Pm ∪ K1,2

untuk n ≡ 0 (mod 4) (Figueroa-Centeno, 2002, Teorema 9).

Lintasan dengan jumlah titik ganjil juga mempunyai pelabelan ajaib super seperti yang disyaratkan pada Teorema IV.4.

Pelabelan titik pada graf L5,1 dan P6 ∪ K1,2 yang memenuhi syarat Teorema IV.4

dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.4 pada kedua graf terse-but berturut-turut ditunjukkan pada Gambar IV.6 (a) dan (b).

Gambar IV.6. Pelabelan titik dari graf L5,1 dan P6∪ K1,2yang memenuhi Teorema IV.4 dan graf

yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.4.

Pembentukan graf ajaib super baru dengan menambahkan sisi pendan pada setiap titik dari suatu graf ajaib super dengan pengecualian pada titik-titik yang mendapat label terkecil ditunjukkan pada tiga teorema berikut.

Teorema IV.5  Misalkan G suatu graf dengan p titik dengan p genap, p > 2. Jika G mempunyai pelabelan ajaib super f sedemikian sehingga

maks{f (x) + f (y)|xy ∈ E(G)} = 1

2(3p + 2),

maka graf H yang dibentuk dengan menambahkan n sisi pendan ke setiap titik di G kecuali titik u dengan f (u) = 1 merupakan graf ajaib super untuk setiap bilangan bulat positif n.

Bukti: Misalkan pelabelan f dalam Teorema IV.5 mempunyai konstanta ajaib k. Dapat diasumsikan bahwa f (xi) = i untuk setiap i, 1 ≤ i ≤ p, dimana V (G) =

{xi|1 ≤ i ≤ p}.

Notasikan

V (H) = V (G) ∪ {yj_i|2 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n}, dan

E(H) = E(G) ∪ {xiyij|2 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n}.

Selanjutnya definisikan pelabelan titik g : V (H) → {1, 2, 3, . . . , p + (p − 1)n} sedemikian sehingga

g(x) = f (x) untuk setiap titik x ∈ V (G),

dan g(yj_i) =    1 2(2i + p) + j(p − 1), untuk 2 ≤ i ≤ p 2 dan 1 ≤ j ≤ n, 1 2(2i + 2 − p) + j(p − 1), untuk p 2 + 1 ≤ i ≤ p dan 1 ≤ j ≤ n.

Dapat ditunjukkan bahwa semua titik pendan mendapat label berurutan dan paling sedikit p + 1. Dengan argumen yang sama seperti pada bukti Teorema IV.4, dapat ditunjukkan bahwa pelabelan titik g dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H dengan konstanta ajaib k + 2n(p − 1). 2

Pelabelan titik dari graf P8 ∪ K1,3 yang memenuhi Teorema IV.5 dan graf yang

dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.5 pada graf P8∪ K1,3 ditunjukkan pada

Gambar IV.7. Graf ajaib super P8∪ K1,3 dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema

IV.5.

Teorema IV.6  Misalkan G suatu graf dengan p = (c+1)(m+1)+1 titik, dimana m ≥ 2, dan c ≥ 1. Jika G mempunyai pelabelan ajaib super f sehingga

maks{f (x) + f (y)|xy ∈ E(G)} = (2m + 1)(c + 1) + 1,

maka graf H yang dibentuk dengan menambahkan n sisi pendan ke setiap titik di G kecuali titik-titik dengan label 1, 2, 3, . . . , m(c + 1) − c − 3 merupakan graf ajaib super untuk setiap bilangan bulat positif n.

Bukti: Misalkan G suatu graf yang memenuhi syarat pada Teorema IV.6 dengan V (G) = {xi|1 ≤ i ≤ p}. Definisikan pelabelan ajaib super f dengan konstanta ajaib

k sehingga f (xi) = i untuk setiap 1 ≤ i ≤ p. Selanjutnya definisikan graf H sebagai

berikut:

V (H) = V (G) ∪ {yj_i|m(c + 1) − c − 2 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n}, dan

E(H) = E(G) ∪ {xiyij|m(c + 1) − c − 2 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n}.

Dengan cara yang sama seperti pada bukti Teorema IV.4 dapat dibuktikan bahwa pelabelan titik h : V (H) → {1, 2, 3, . . . , p + (2c + 5)n} yang didefinisikan dengan h(x) = f (x), untuk setiap x ∈ V (G), dan

h(yj_i) =    a + i + c + 3, untuk b − c − 2 ≤ i ≤ b − 1 dan 1 ≤ j ≤ n, a + i − c − 2, untuk b ≤ i ≤ p dan 1 ≤ j ≤ n,

dimana a = j(2c + 5) dan b = m(c + 1), dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H dengan konstanta ajaib k + 2n(2c + 5). 2

Graf Pm ∪ K1,3, untuk m ≡ 0 (mod 4), mempunyai pelabelan yang memenuhi

syarat Teorema IV.5, graf K1,m∪ K1,n, untuk n kelipatan m + 1, mempunyai

pela-belan seperti yang diminta pada Teorema IV.6 (lihat, Figueroa-Centeno et al., 2005, Teorema 10 dan Teorema 5). Contoh pembentukkan graf ajaib super baru seperti dinyatakan dalam Teorema IV.6 ditunjukkan pada Gambar IV.8.

Gambar IV.8. Graf ajaib super K1,8∪ K1,3dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema

IV.6.

Teorema IV.7  Misalkan G adalah graf dengan 2t titik, dengan t ganjil, dan t > 1. Jika G mempunyai pelabelan ajaib super g sedemikian sehingga

maks{g(x) + g(y)|xy ∈ E(G)} = 1

2(7t + 1),

maka graf H yang dibentuk dengan menambahkan n sisi pendan pada t titik yang mendapat label t + 1, t + 2, . . ., dan 2t, merupakan graf ajaib super untuk setiap bilangan bulat positif n.

Bukti: Misalkan g suatu pelabelan ajaib super pada G dengan konstanta ajaib k. Asumsikan g(xi) = i untuk setiap bilangan bulat i dengan 1 ≤ i ≤ 2t, dan

V (H) = V (G) ∪ {z_ij|t + 1 ≤ i ≤ 2t dan 1 ≤ j ≤ n}, dan

E(H) = E(G) ∪ {xizij|t + 1 ≤ i ≤ 2t dan 1 ≤ j ≤ n}.

Misalkan h : V (H) → {1, 2, 3, . . . , 2t+tn} adalah pelabelan titik pada H sedemikian sehingga h(x) = g(x) untuk setiap titik x di G, dan

h(zj_i) =  



(j + 4)t + 2(1 − i), untuk t + 1 ≤ i ≤ 3t+1₂ dan 1 ≤ j ≤ n; (j + 5)t + 2(1 − i), untuk 3t+3₂ ≤ i ≤ 2t dan 1 ≤ j ≤ n.

Dengan cara yang sama seperti pada bukti Teorema IV.4 dapat dibuktikan bahwa h dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H dengan konstanta ajaib k + 2nt. 2

Graf Petersen diperumum P (n, 1) dan P (n, 2), untuk n ≥ 3, (lihat (Fukuchi, 2001) dan (Ngurah dan Baskoro, 2003)) mempunyai pelabelan ajaib super yang meme-nuhi syarat Teorema IV.7. Graf Petersen diperumum P (9, 3) juga memememe-nuhi syarat tersebut (lihat Gambar IV.9). Namun demikian, untuk n > 9 ganjil, kami belum dapat menentukan apakah graf Petersen diperumum P (n, 3) memenuhi syarat pada Teorema IV.7.

Gambar IV.9. Pelabelan titik pada graf P (9, 3).

Masalah Terbuka IV.2 Untuk n ganjil, n > 9, tentukan apakah graf Petersen diperumum P (n, 3) mempunyai pelabelan yang memenuhi syarat pada Teorema IV.7.

Pada teorema berikut ditunjukkan pembentukan graf ajaib super baru dengan cara menambahkan sisi pendan hanya pada tiga titik (yang mendapat 3 label terbesar) dari suatu graf yang diketahui ajaib super.

Teorema IV.8  Misalkan G suatu graf dengan p ≥ 3 titik. Jika G mempunyai pelabelan ajaib super f sedemikian sehingga

maks{f (x) + f (y)|xy ∈ E(G)} = 2p − 1,

maka graf H yang dibentuk dengan menambahkan n sisi pendan ke titik di G yang mendapat label p, p − 1,dan p − 2, merupakan graf ajaib super untuk setiap bilangan bulat positif n .

Bukti: Misalkan V (G) = {xi|1 ≤ i ≤ n}. Definisikan pelabelan ajaib super f pada

G dengan konstanta ajaib k sedemikian sehingga f (xi) = i untuk i = 1, 2, . . . , p.

Selanjutnya definisikan graf H sebagai berikut:

V (H) = V (G) ∪ {z_ij|p − 2 ≤ i ≤ p dan 1 ≤ j ≤ n},

dan

E(H) = E(G) ∪ {xizji|p − 2 ≤ i ≤ p dan 1 ≤ j ≤ n}.

Kemudian perhatikan pelabelan titik g : V (H) → {1, 2, 3, . . . , p + 3n} sedemikian sehingga g(x) = f (x) untuk setiap titik x di G, dan

g(z_ij) =          p + 3j − 1, untuk i = p dan 1 ≤ j ≤ n; p + 3j − 2, untuk i = p − 1 dan 1 ≤ j ≤ n; p + 3j, untuk i = p − 2 dan 1 ≤ j ≤ n.

Untuk menunjukkan bahwa g dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H, perhatikan himpunan berikut:

Sp = {g(xp) + g(zpj)|1 ≤ j ≤ n} = {2p + 3j − 1|1 ≤ j ≤ n},

Sp−1 = {g(xp−1) + g(zp−1j )|1 ≤ j ≤ n} = {2p + 3j − 3|1 ≤ j ≤ n}, dan

Jelas bahwa, Sp∪ Sp−1∪ Sp−2 adalah himpunan bilangan bulat berurutan dengan

suku pertama 2p. Berdasarkan Lemma III.4, g dapat diperluas menjadi suatu pela-belan ajaib super pada H dengan konstanta ajaib 6n + k. 2

Beberapa kelas graf diketahui memenuhi syarat Teorem IV.8, misalnya graf kipas Fn, untuk n ≤ 6, graf bintang K1,n, untuk setiap n (Figueroa-Centeno, 2001), dan

K1,n+ K1 untuk setiap n (Chen, 2001). Sebagai contoh Teorema IV.8, perhatikan

Gambar IV.10.

Gambar IV.10. Graf ajaib super K1,8dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.8.

Masalah Terbuka IV.3 Tentukan kelas graf lain yang mempunyai pelabelan ajaib super yang memenuhi syarat pada teorema-teorema di atas.