Definisi:
Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x. Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut.
Contoh:
− =
− =
− =
Proses Pembentukan Persamaan Diferensial
Contoh: − A, B =konstanta sembarang
− −
− = −
Contoh:
Bentuk sebuah persamaan diferensial dari fungsi − Solusi: − −
− −
dari persamaan diatas
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
3'RUGHUVDWX 3'RUGHUGXD 3'RUGHUWLJD
− = −
− − − −
− =
Contoh: Bentuklah persamaan direfensial untuk − Solusi:
− −
− = −
Substitusi = −
− −
− −
Catatan:
Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua
Penyelesaian Persamaan Diferensial
Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y.
Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung
Bila persamaan dalam bentuk y’=f(x), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana
Catatan selanjutnya ditulis y ’ ditulis y “ Contoh:
−
− −
−
Contoh:
−
− = −
−
Contoh: Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan − = −
− − −
Masukkan nilai − = −
− = −
−
Metode 2: Dengan pemisahan variabel
Bila persamaan yang diberikan berbentuk − variabel di sisi kanan menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.
− −
Contoh:
−
−
− = −
Contoh: − = −
− = −
− = −
− −
Contoh: − = −
− −
Contoh: −
− = −
Contoh: −
− = −
−
PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI − Contoh: −
Persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan sisi kanan dan sisi kiri dalam bentuk “factor x” dan “factor y”. Dalam kasus ini kita menggunakan substitu − si , dimana v adalah fungsi dari x.
Bila − didefinisikan, maka
− = −
Sehingga
− − →
− = − − −
− = −
− −
− − = −
− = −
Catatan: − →
− −
− = − − −
− = − = −
− = −
−
Catatan: − →
Substitusi − = −
− −
− = −
− −
− = −
− −
−
Karena
− = −
− = −
Contoh: −
− = −
− −
− = − −
− = −
− = −
− −
− = − = −
− = −
Keujudan dan Ketunggalan
Dibagian sebelumnya kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu terjadi dalam banyak model. Tentu saja model itu berguna bila persamaan diferensial yang dihasilkan dapat diselesaikan secara eksplisit, atau paling sedikit jika kita dapat menemukan teknik yang beraneka ragam untuk menyelesaikan suatu PD, akan sangat bermanfaat mengetahui apakah PD itu mempunyai penyelesaian atau tidak. Yaitu, apakah PD itu ujud? Sebagai contoh PD, − tidak mempunyai penyelesaikan real, karena ruas kiri selalu positif,
Bentuk umum persamaan diferensial orde satu adalah
−
Bila kita ketahui nilai pada saat , atau
−
Syarat (2) disebut syarat awal; dan pers (1) dan syarat (2) disebut MASALAH NILAI AWAL (MNA) atau Initial Value Problem.
PERSAMAAN LINEAR – Penggunaan Faktor Integrasi Tinjau persamaan −
Metode sebelumnya tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini.
= kalikan kedua sisi dengan
− −
Merupakan turunan dari
− = − −
−
Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk − persamaan ini disebut persamaan linear orde pertama.
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kalikan kedua sisi dengan sebuah factor integrasi yang selalu berbentuk . Hal ini akan mengubah sisi kiri menjadi turunan dari hasil kali.
Dari contoh sebelumnya − P = 5
− = faktor integrasinya adalah .
Contoh: − = − (P=-1; Q=x)
Factor integrasi = − −
Jadi factor integrasi =
Kalikan kedua sisi dengan
= −
Integral disisi kanan dapat diselesaikan dengan integrasi perbagian.
−
− −
−
Tinjau − ; dimana P&Q fungsi dari x Faktor integral − −
−
Turunan dari
−
−
− −
Definisi Dasar Logaritma
− − −
− − −
− − − −
Contoh: −
Solusi: bagi kedua sisi dengan x
− = −
− −
Gunakan rumus −
− − − − − −
− − −
Contoh: −
Selesaikan persamaan diferensial tersebut
− = −
− −
− − − − −
− = −
− = −
−
Contoh: Selesaikan PD berikut
−
Solusi: Bagi kedua sisi dengan
− = − −
− − − −
− = −
− −
−
−
Solusi:
− =
− = − −
− −
− − − − −
− = − −
− = −
Contoh: carilah penyelesaian masalah nilai awal (MNA) atau Initial Value Problem
− −
Solusi: − = − −
− − −
− −
− −
− = −
− = − = −
−
Contoh: selesaikan PD berikut:
−
− = − −
− −
− − −
− = − −
−
Contoh: selesaikan persamaan − jika diketahui − untuk −
Solusi: − bagi kedua sisi
− − −
− −
− − − −
− − −
= −
− − = − = −
−
PERSAMAAN BERNOULLI Persamaan Bernoulli:
−
Masukkan − = −
Jika persamaan (1) dikalikan dengan menjadi
−
− ; dimana adalah fungsi dari x. selanjutnya dapat diselesaikan dengan menggunakan sebuah factor integrasi.
Contoh:
Selesaikan −
Solusi: bagi kedua sisi dengan didapat −
Bila − − −
− = − −
−
Maka persamaan (*) menjadi
− = −
− = −
− − = → →
− − −
− = −
− − → − −
= −
− = → − −
− −
−
− −
− =sesuai dengan soal Contoh: selesaikan persamaan berikut
−
Solusi: =solusi dasar −
Bagi kedua sisi dengan menghasilkan − Bagi kedua sisi dengan
−
Misal − − = − −
Kalikan persamaan (*) dengan -3; maka
− = −
Selesaikan persamaan dengan metode − −
− − − − −
− = −
− −
− = −
−
Contoh: selesaikan −
Solusi: bagi kedua sisi dengan
− merupakan bentuk dasar −
Bagi kedua sisi dengan
− − −
− −
Kalikan dengan =
− = −
Selesaikan dengan factor integral; − −
− − − −
− = − −
− karena −
− = − −
3.1 Masalah Dalam Mekanik
Misal
4x
adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama
waktu
4t
maka kecepatan rata-rata didenisikan
v
r=
4
x
4
t
=
x
B;
x
A
t
B;
t
A
:
Selanjutnya kecepatan sesaat adalah
v
= lim
4!0
v
r= lim
4t!04
x
4
t
v
=
dx
dt
(
m=dt
)
:
v
=
dv
dt
(
m=dt
2)
Hukum 3.1.1 (Hukum Newton I)
Hukum ini juga disebut hukum
Hukum 3.1.2 (Hukum Newton II)
Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya
yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus (sebanding) dengan besar
gaya itu, dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu.
Se-cara matematis dapat ditulis sebagai
a
=
F=m
atau
F
=
ma
dimana
F
adalah
gaya dan
m
suatu massa.
Analog dengan hukum Newton II ini, gerak jatuh bebas suatu benda dengan
berat
W
tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah
W
=
mg:
F
dalam hal ini direpresentasikan dengan
W
dan
a
=
g
, sehingga bisa kita tulis
mg
=
W
ma
=
F
mdvdt
=
F
mdv
dx
dx
dt
=
F
mvdv
dx
=
F
adalah model dari PDB order satu.
Contoh 3.1.1
Benda dengan berat 8 newton dijatuhkan dari suatu ketinggian
tertentu, yang bearawal dari keadaan diam. Jika kecepatan benda jatuh itu
v
,
dan kecepatan gravitasi bumi adalah
g
= 10
m=dt
2, serta gaya gesek udara adalah
Penyelesaian 3.1.1
Hukum newton mengatakan
F
=
ma
atau
Karena benda berawal dari keadaan diam maka
v
(0) = 0, sehingga model PDB
sekarang adalah
1
8
;2
vdv
= 108
dt
v
(0) = 0
Integralkan kedua ruasnya didapat
;
Dengan memasukkan nilai awal
v
(0) = 0 maka
c
= 4 sehingga ekspresi kecepatan
adalah
sehingga model PDB sekarang adalalah
dx
dt
= 4
;2
e
; 5
2 t
x
(0) = 0
Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu
adalah
x
(
t
) = 4
t
;4
5
e
5
2 t
+ 45
3.2 Pertumbuhan dan Peluruhan
Jika
Q
menunjukkan jumlah, kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu
t
,
maka perubahan (bertambah=pertumbuhan atau berkurang=peluruhan) yang
disimbulkan dengan
dQdt
berbanding lurus dengan kuantitas
Q
, dengan kata lain
dQ
dt
=
rQ pertumbuhan
dQ
dt
=
;rQ peluruhan
3.2.1 Pertumbuhan Populasi
Jika
y
adalah jumlah populasi dalam waktu
t
,
k
adalah konstanta proportionalitas
atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah
dy
dt
=
ky
Selanjutnya bila
k
berubah-ubah maka dapat kita ganti dengan
h
(
y
) yang dapat
dipilih
h
(
y
) =
r
;ay
maka model pertumbuhan menjadi
dy
PDB ini dikenal dengan persamaan
Verhulstatau persamaan
Logistik. Solusi
kualitatif persamaan ini untuk
r
dan
K
positip adalah tertera dalam Gambar
3.1.
Gambar 3.1: Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi.
Contoh 3.2.1
Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut
dx
dt
= 1
100
x
;1
(10)
8x
2
Bila tahun 1980 jumlah populasinya 100,000 maka
1. berapa besar populasi tahaun 2000
2. tahun berapa jumlah populasi akan menjadi
2
tahun 1980
Penyelesaian 3.2.1
Bila tahun 1980 jumlah populasi 100,000 maka dapat dikatakan
x
(1980) = 100
000 sehingga model PDB sekarang adalah
dx
Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah
1
Integralkan kedua ruasnya
Z
Terapkan nilai awal
x(1980) = 100
000 didapat
c=
(10)Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut
1. jumlah populasi tahun 2000 artinya
t= 2000. Substitusikan nilai
tini
kedalam persamaan 3.1 didapat
x= 119
495. Dengan demikian jumlah
2. jumlah populasi 2
tahun 1980, berarti
x= 200
000. Substitusikan nilai
x
ini kedalam persamaan 3.1 didapat
t= 2061. Dengan demikian jumlah
populasi akan dua kali lipat tahun 1980 dicapai pada tahun 2061.
3. Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas (
t !1) berarti
x
= lim
t!110
61 + 9
e19:8;t=100
x
= lim
t!110
61 + 9
e 19:8e t=100
x
= 10
6
= 1
000
000
Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak
ter-batas adalah satu juta orang.
3.2.2 Peluruhan Radioaktif
Contoh 3.2.2
Radioaktif isotop Thorium-234 meluruh pada tingkat yang
seband-ing dengan jumlah isotop. Jika 100 mg dari material meluruh menjadi 82.04 mg
dalam satu minggu, maka
1. tentukan ekspresi jumlah pada saat tertentu
2. tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari
jumlah semula.
Penyelesaian 3.2.2
Gunakan rumus peluruhan. Misal
Qjumlah isotop
Thorium-234 maka dalam waktu
tmodel peristiwa peluruhan itu adalah
dQ
dt
=
;rQKemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh
Q
(
t) = 100
e ;rtKemudian terapkan sarat kedua, yakni dalam satu minggu (7 hari) isotop
men-jadi 82.04 mg artinya
Q(7) = 82
:04 mg akan didapat nilai
r, sedemikian hingga
ekspresi jumlah terhadap waktu (hari) adalah
Q
(
t) = 100
e;0:02828t
:
Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan
pertanyaan-pertanyaan diatas. (Teruskan sebagai latihan.)
3.3 Hukun Pendinginan Newton
Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan
sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya. Dengan
demikian bila Suhu benda itu adalah
xdan suhu sekitarnya itu adalah
xs
maka
proses pendinginan Newton terhadap waktu
tdigambarkan dengan
dx
dt
=
k(
x;xs
)
k >
0
dimana
kadalah konstanta tingkat pendinginan.
Contoh 3.3.1
Suatu benda dengan suhu
80
o
C
diletakkan diruangan yang bersuhu
50
oC
pada saat
t= 0
. Dalam waktu 5 menit suhu benda tersebut menjadi
70
oC
,
maka
1. tentukan fungsi suhu pada saat tertentu
3. kapan suhu menjadi
60
o CPenyelesaian 3.3.1
Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses
pendinginan dapat ditulis sebagai
dx
dt
=
k(
x;50)
x
(0) = 80
dan x(5) = 70
Solusi dari persamaan itu adalah
ln(
x;50) +
cMasukkan nilai awal maka nilai
c= 30 sehingga persamaan menjadi
x
= 50 + 30
e ktDan masukkan kondisi kedua didapat
e
sehingga ekspresi terakhir menjadi
x
(
t) = 50 + 30
Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini.
3.4 Campuran
saat tertentu, maka perubahan
Q
terhadap
t
ditunjukkan dengan
dQdt
. Kemudian
bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang
keluar, dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju
jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka
dQ
dt
=
IN
;OUT
K= L liter Q(0) = Q_0 gram v =r liter/min
k =s gram/liter
v =r liter/min
Gambar 3.2: Proses campuran dalam tangki.
Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka
IN
=
kv
=
sr gram=liter
OUT
=
Kv
Q
=
Qr
L gram=liter
Contoh 3.4.1
Suatu tangki mula-mula berisi 200 liter larutan yang mengandung 100 gram garam.
Larutan (lain) yang mengandung garam dengan konsentrasi 1 gram/liter masuk
kedalam tangki dengan laju 4 liter/menit dan bercampur dengan sempurna,
ke-mudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju 4 liter/menit.
2. Tentukan jumlah garam
Q
setiap saat.
Penyelesaian 3.4.1