• Tidak ada hasil yang ditemukan

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2019

Membagikan "PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU"

Copied!
26
0
0

Teks penuh

(1)

Definisi:

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x. Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut.

Contoh:

− =

− =

− =

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial

Contoh: A, B =konstanta sembarang

− −

− = −

Contoh:

Bentuk sebuah persamaan diferensial dari fungsi Solusi:

− −

dari persamaan diatas

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU

3'RUGHUVDWX 3'RUGHUGXD 3'RUGHUWLJD

(2)

− = −

− − − −

− =

Contoh: Bentuklah persamaan direfensial untuk Solusi:

− −

− = −

Substitusi =

− −

− −

Catatan:

Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua

Penyelesaian Persamaan Diferensial

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y.

(3)

Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk y’=f(x), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana

Catatan selanjutnya ditulis y ’ ditulis y “ Contoh:

− −

Contoh:

− = −

Contoh: Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan =

− − −

Masukkan nilai = −

− = −

Metode 2: Dengan pemisahan variabel

Bila persamaan yang diberikan berbentuk variabel di sisi kanan menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.

(4)

− −

Contoh:

− = −

Contoh: =

− = −

− = −

− −

Contoh: =

− −

Contoh:

− = −

(5)

Contoh:

− = −

PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI Contoh:

Persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan sisi kanan dan sisi kiri dalam bentuk “factor x” dan “factor y”. Dalam kasus ini kita menggunakan substitu si , dimana v adalah fungsi dari x.

Bila didefinisikan, maka

− = −

Sehingga

− − →

− = − − −

− = −

− −

− − = −

− = −

Catatan:

(6)

− −

− = − − −

− = − = −

− = −

Catatan:

Substitusi =

− −

− = −

− −

− = −

− −

Karena

− = −

− = −

Contoh:

(7)

− = −

− −

− = − −

− = −

− = −

− −

− = − = −

− = −

Keujudan dan Ketunggalan

Dibagian sebelumnya kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu terjadi dalam banyak model. Tentu saja model itu berguna bila persamaan diferensial yang dihasilkan dapat diselesaikan secara eksplisit, atau paling sedikit jika kita dapat menemukan teknik yang beraneka ragam untuk menyelesaikan suatu PD, akan sangat bermanfaat mengetahui apakah PD itu mempunyai penyelesaian atau tidak. Yaitu, apakah PD itu ujud? Sebagai contoh PD, tidak mempunyai penyelesaikan real, karena ruas kiri selalu positif,

Bentuk umum persamaan diferensial orde satu adalah

Bila kita ketahui nilai pada saat , atau

(8)

Syarat (2) disebut syarat awal; dan pers (1) dan syarat (2) disebut MASALAH NILAI AWAL (MNA) atau Initial Value Problem.

PERSAMAAN LINEAR – Penggunaan Faktor Integrasi Tinjau persamaan

Metode sebelumnya tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini.

= kalikan kedua sisi dengan

− −

Merupakan turunan dari

− = − −

Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan ini disebut persamaan linear orde pertama.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kalikan kedua sisi dengan sebuah factor integrasi yang selalu berbentuk . Hal ini akan mengubah sisi kiri menjadi turunan dari hasil kali.

Dari contoh sebelumnya P = 5

− = faktor integrasinya adalah .

Contoh: = (P=-1; Q=x)

Factor integrasi =

Jadi factor integrasi =

Kalikan kedua sisi dengan

= −

(9)

Integral disisi kanan dapat diselesaikan dengan integrasi perbagian.

− −

Tinjau ; dimana P&Q fungsi dari x Faktor integral

Turunan dari

− −

Definisi Dasar Logaritma

Contoh:

Solusi: bagi kedua sisi dengan x

− = −

− −

Gunakan rumus

(10)

− − − − − −

− − −

Contoh:

Selesaikan persamaan diferensial tersebut

− = −

− −

− − − − −

− = −

− = −

Contoh: Selesaikan PD berikut

Solusi: Bagi kedua sisi dengan

− = − −

− − − −

− = −

− −

(11)

Solusi:

− =

− = − −

− −

− − − − −

− = − −

− = −

Contoh: carilah penyelesaian masalah nilai awal (MNA) atau Initial Value Problem

− −

Solusi: = −

− − −

− −

− −

− = −

− = − = −

Contoh: selesaikan PD berikut:

(12)

− = − −

− −

− − −

− = − −

Contoh: selesaikan persamaan jika diketahui untuk

Solusi: bagi kedua sisi

− − −

− −

− − − −

− − −

= −

− − = − = −

PERSAMAAN BERNOULLI Persamaan Bernoulli:

(13)

Masukkan =

Jika persamaan (1) dikalikan dengan menjadi

; dimana adalah fungsi dari x. selanjutnya dapat diselesaikan dengan menggunakan sebuah factor integrasi.

Contoh:

Selesaikan

Solusi: bagi kedua sisi dengan didapat

Bila

− = − −

Maka persamaan (*) menjadi

− = −

− = −

− − = → →

− − −

− = −

− − → − −

= −

(14)

− = → − −

− −

− −

− =sesuai dengan soal Contoh: selesaikan persamaan berikut

Solusi: =solusi dasar

Bagi kedua sisi dengan menghasilkan Bagi kedua sisi dengan

Misal =

Kalikan persamaan (*) dengan -3; maka

− = −

Selesaikan persamaan dengan metode

− − − − −

− = −

− −

(15)

− = −

Contoh: selesaikan

Solusi: bagi kedua sisi dengan

merupakan bentuk dasar

Bagi kedua sisi dengan

− − −

− −

Kalikan dengan =

− = −

Selesaikan dengan factor integral;

− − − −

− = − −

karena

− = − −

(16)

3.1 Masalah Dalam Mekanik

Misal

4

x

adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama

waktu

4

t

maka kecepatan rata-rata didenisikan

v

r

=

4

x

4

t

=

x

B

;

x

A

t

B

;

t

A

:

Selanjutnya kecepatan sesaat adalah

v

= lim

4!0

v

r

= lim

4t!0

4

x

4

t

v

=

dx

dt

(

m=dt

)

:

v

=

dv

dt

(

m=dt

2

)

Hukum 3.1.1 (Hukum Newton I)

Hukum ini juga disebut hukum

(17)

Hukum 3.1.2 (Hukum Newton II)

Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya

yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus (sebanding) dengan besar

gaya itu, dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu.

Se-cara matematis dapat ditulis sebagai

a

=

F=m

atau

F

=

ma

dimana

F

adalah

gaya dan

m

suatu massa.

Analog dengan hukum Newton II ini, gerak jatuh bebas suatu benda dengan

berat

W

tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah

W

=

mg:

F

dalam hal ini direpresentasikan dengan

W

dan

a

=

g

, sehingga bisa kita tulis

mg

=

W

ma

=

F

mdvdt

=

F

mdv

dx

dx

dt

=

F

mvdv

dx

=

F

adalah model dari PDB order satu.

Contoh 3.1.1

Benda dengan berat 8 newton dijatuhkan dari suatu ketinggian

tertentu, yang bearawal dari keadaan diam. Jika kecepatan benda jatuh itu

v

,

dan kecepatan gravitasi bumi adalah

g

= 10

m=dt

2

, serta gaya gesek udara adalah

(18)

Penyelesaian 3.1.1

Hukum newton mengatakan

F

=

ma

atau

Karena benda berawal dari keadaan diam maka

v

(0) = 0, sehingga model PDB

sekarang adalah

1

8

;

2

vdv

= 108

dt

v

(0) = 0

Integralkan kedua ruasnya didapat

;

Dengan memasukkan nilai awal

v

(0) = 0 maka

c

= 4 sehingga ekspresi kecepatan

adalah

(19)

sehingga model PDB sekarang adalalah

dx

dt

= 4

;

2

e

; 5

2 t

x

(0) = 0

Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu

adalah

x

(

t

) = 4

t

;

4

5

e

5

2 t

+ 45

3.2 Pertumbuhan dan Peluruhan

Jika

Q

menunjukkan jumlah, kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu

t

,

maka perubahan (bertambah=pertumbuhan atau berkurang=peluruhan) yang

disimbulkan dengan

dQ

dt

berbanding lurus dengan kuantitas

Q

, dengan kata lain

dQ

dt

=

rQ pertumbuhan

dQ

dt

=

;

rQ peluruhan

3.2.1 Pertumbuhan Populasi

Jika

y

adalah jumlah populasi dalam waktu

t

,

k

adalah konstanta proportionalitas

atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah

dy

dt

=

ky

(20)

Selanjutnya bila

k

berubah-ubah maka dapat kita ganti dengan

h

(

y

) yang dapat

dipilih

h

(

y

) =

r

;

ay

maka model pertumbuhan menjadi

dy

PDB ini dikenal dengan persamaan

Verhulst

atau persamaan

Logistik

. Solusi

kualitatif persamaan ini untuk

r

dan

K

positip adalah tertera dalam Gambar

3.1.

Gambar 3.1: Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi.

Contoh 3.2.1

Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut

dx

dt

= 1

100

x

;

1

(10)

8

x

2

Bila tahun 1980 jumlah populasinya 100,000 maka

1. berapa besar populasi tahaun 2000

2. tahun berapa jumlah populasi akan menjadi

2

tahun 1980

(21)

Penyelesaian 3.2.1

Bila tahun 1980 jumlah populasi 100,000 maka dapat dikatakan

x

(1980) = 100

000 sehingga model PDB sekarang adalah

dx

Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah

1

Integralkan kedua ruasnya

Z

Terapkan nilai awal

x

(1980) = 100

000 didapat

c

=

(10)

Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut

1. jumlah populasi tahun 2000 artinya

t

= 2000. Substitusikan nilai

t

ini

kedalam persamaan 3.1 didapat

x

= 119

495. Dengan demikian jumlah

(22)

2. jumlah populasi 2

tahun 1980, berarti

x

= 200

000. Substitusikan nilai

x

ini kedalam persamaan 3.1 didapat

t

= 2061. Dengan demikian jumlah

populasi akan dua kali lipat tahun 1980 dicapai pada tahun 2061.

3. Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas (

t !1

) berarti

x

= lim

t!1

10

6

1 + 9

e

19:8;t=100

x

= lim

t!1

10

6

1 + 9

e 19:8

e t=100

x

= 10

6

= 1

000

000

Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak

ter-batas adalah satu juta orang.

3.2.2 Peluruhan Radioaktif

Contoh 3.2.2

Radioaktif isotop Thorium-234 meluruh pada tingkat yang

seband-ing dengan jumlah isotop. Jika 100 mg dari material meluruh menjadi 82.04 mg

dalam satu minggu, maka

1. tentukan ekspresi jumlah pada saat tertentu

2. tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari

jumlah semula.

Penyelesaian 3.2.2

Gunakan rumus peluruhan. Misal

Q

jumlah isotop

Thorium-234 maka dalam waktu

t

model peristiwa peluruhan itu adalah

dQ

dt

=

;rQ

(23)

Kemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh

Q

(

t

) = 100

e ;rt

Kemudian terapkan sarat kedua, yakni dalam satu minggu (7 hari) isotop

men-jadi 82.04 mg artinya

Q

(7) = 82

:

04 mg akan didapat nilai

r

, sedemikian hingga

ekspresi jumlah terhadap waktu (hari) adalah

Q

(

t

) = 100

e

;0:02828t

:

Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan

pertanyaan-pertanyaan diatas. (Teruskan sebagai latihan.)

3.3 Hukun Pendinginan Newton

Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan

sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya. Dengan

demikian bila Suhu benda itu adalah

x

dan suhu sekitarnya itu adalah

x

s

maka

proses pendinginan Newton terhadap waktu

t

digambarkan dengan

dx

dt

=

k

(

x;x

s

)

k >

0

dimana

k

adalah konstanta tingkat pendinginan.

Contoh 3.3.1

Suatu benda dengan suhu

80

o

C

diletakkan diruangan yang bersuhu

50

o

C

pada saat

t

= 0

. Dalam waktu 5 menit suhu benda tersebut menjadi

70

o

C

,

maka

1. tentukan fungsi suhu pada saat tertentu

(24)

3. kapan suhu menjadi

60

o C

Penyelesaian 3.3.1

Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses

pendinginan dapat ditulis sebagai

dx

dt

=

k

(

x;

50)

x

(0) = 80

dan x

(5) = 70

Solusi dari persamaan itu adalah

ln(

x;

50) +

c

Masukkan nilai awal maka nilai

c

= 30 sehingga persamaan menjadi

x

= 50 + 30

e kt

Dan masukkan kondisi kedua didapat

e

sehingga ekspresi terakhir menjadi

x

(

t

) = 50 + 30

Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini.

3.4 Campuran

(25)

saat tertentu, maka perubahan

Q

terhadap

t

ditunjukkan dengan

dQ

dt

. Kemudian

bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang

keluar, dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju

jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka

dQ

dt

=

IN

;

OUT

K= L liter Q(0) = Q_0 gram v =r liter/min

k =s gram/liter

v =r liter/min

Gambar 3.2: Proses campuran dalam tangki.

Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka

IN

=

kv

=

sr gram=liter

OUT

=

Kv

Q

=

Qr

L gram=liter

Contoh 3.4.1

Suatu tangki mula-mula berisi 200 liter larutan yang mengandung 100 gram garam.

Larutan (lain) yang mengandung garam dengan konsentrasi 1 gram/liter masuk

kedalam tangki dengan laju 4 liter/menit dan bercampur dengan sempurna,

ke-mudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju 4 liter/menit.

(26)

2. Tentukan jumlah garam

Q

setiap saat.

Penyelesaian 3.4.1

Formula campuran adalah

dQ

dt

=

IN

;

OUT:

Diketahui

s

= 1

gram=literr

= 4

liter=menitL

= 200

liter

dan

Q

(0) = 100

didapat

IN

=

kv

=

s gram=liter

r liter=menit

= 4

gram=liter

OUT

=

Kv

Q

=

K gram=liter

Q

r liter=menit

= 4

Q

200

gram=liter

Sehingga

1. Model PDBnya adalah

dQ

dt

= 4

;

4

Q

200 = 4

;

Q

50

Q

(0) = 100

2. Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat

Referensi

Dokumen terkait

Ini adalah bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial eksak, dan dikatakan bahwa variable – variabelnya terpisah... Bambang Hutomo,

diferensial seperti pada Tabel 5.1. Setiap fungsi percobaan ditandai koefisien tak-tentu. Jumlah semua fungsi percobaan disubstitusikan kedalam persamaan diferensial, akan diperoleh

variabel bebas yang memenuhi sebuah persamaan diferensial biasa yang disbut dengan solusi eksak. Akan tetapi tidak semua persamaan diferensial biasa dapat

 Pada pembahasan ini akan dibahas pers diferensial biasa orde satu dimulai dengan cara mengidentifikasi persamaan... Teknik mencari

konstan, maka persamaan disebut persamaan diferensial linear koefisien variabel.. Diferensial

Bila persamaan diferensial linear homogen memiliki koefisien constant, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metoda aljabar (seperti yang telah dijelaskan

Persamaan diferensial linier homogen orde tiga dengan koefisien peubah dapat diselesaikan dengan metode deret kuasa dengan syarat persamaan diferensial tersebut

Selanjutnya dibentuk persamaan diferensial linear nonhomogen orde n yang koefisiennya melibatkan koefisien matriks yang sudah dibentuk dan diselesaikan dengan metode