• Tidak ada hasil yang ditemukan

Hendra Gunawan. 11 Oktober 2013

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Membagikan "Hendra Gunawan. 11 Oktober 2013"

Copied!
20
0
0

Teks penuh

(1)

MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra Gunawan

Semester I, 2013/2014 Semester I, 2013/2014

11 Oktober 2013

(2)

Latihan (Kuliah yang Lalu) Latihan (Kuliah yang Lalu)

Dengan memperhatikan:

d h l d d h h il

daerah asal dan daerah hasilnya,

titik‐titik potong dengan sumbu koordinat,

asimtot (bila ada)

asimtot (bila ada),

kemonotonan dan titik‐titik ekstrim lokalnya,

kecekungan dan titik titik beloknya (bila ada)

kecekungan dan titik‐titik beloknya (bila ada), gambarlah grafik fungsi berikut:

1. f(x) = x + 1/x (sudah dikerjakan) 2. g(x) x2 .  bahas sekarang!

2.  bahas sekarang!

10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 2

) 1

( x

g

(3)

Sasaran Kuliah Hari Ini Sasaran Kuliah Hari Ini

3 6 Teorema Nilai Rata‐Rata 3.6 Teorema Nilai Rata Rata

Menentukan nilai rata‐rata dari suatu fungsi yang diberikan; menggunakan Teorema Nilai yang diberikan; menggunakan Teorema Nilai Rata‐Rata untuk memecahkan masalah yang  relevan

relevan.

3.7 Menyelesaikan Persamaan Secara Numerik Menggunakan Metode Bagi Dua untuk

mencari akar suatu persamaan.p

(4)

3.6 TEOREMA NILAI RATA‐RATA

MA1101 MATEMATIKA 1A

Menentukan nilai rata‐rata dari suatu fungsi yang diberikan; menggunakan Teorema Nilai Rata‐Rata untuk memecahkan masalah yang  relevan.

10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 4

(5)

Jangan Berbohong, Nanti Ketahuan!

Pak Djono mengatakan bahwa dengan mobil baru yang dikendarainya ia telah mobil baru yang dikendarainya ia telah menempuh 112 km dalam 2 jam tanpa pernah melampaui 55 km/jam

pernah melampaui 55 km/jam. 

Ah, ia telah berbohong! Tetapi bagaimana

kit d t b ktik ?

kita dapat membuktikannya?

(6)

Teorema Nilai Rata‐Rata Teorema Nilai Rata Rata

Jika f kontinu pada [a b] dan mempunyai Jika f kontinu pada [a,b] dan mempunyai turunan pada (a,b), maka terdapat suatu c є (a,b)( , ) sedemikian sehinggagg

) . ( )

) ( (

' b a

a f

b c f

f

Catatan. [f(b) – f(a)]/(b – a) disebut nilai

t t f d [ b] S fi i

a b

rata‐rata f pada [a,b]. Secara fisis,  bayangkan kecepatan rata‐rata pada suatu selang waktu!

suatu selang waktu!

10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 6

(7)

Ilustrasi: Teorema Nilai Rata‐Rata Ilustrasi: Teorema Nilai Rata Rata

a c b

f’(c) = gradien garis singgung di c,

[f(b) – f(a)]/(b – a) = gradien ruas garis yang  h b k ( f( )) d (b f(b))

menghubungkan (a,f(a)) dan (b,f(b)).

(8)

Kebohongan Pak Djono Kebohongan Pak Djono

Untuk membuktikan bahwa Pak Djono bohong,  misalkan f(t) menyatakan jarak yang ditempuh dalam t jam. Maka f kontinu dan turunannya,   f ’(t), menyatakan kecepatan pada saat t. 

Menurut Teorema Nilai Rata‐rata, mestilah terdapat tє (0,2) sedemikian sehingga

f ’(t ) = [f(2) – f(0)]/(2 – 0) = 56 f  (t1) = [f(2) – f(0)]/(2 – 0) = 56.

Ini berarti bahwa Pak Djono pernah memacu mobilnya dengan kecepatan di atas 55 km/jam.

10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 8

(9)

Contoh 1 Contoh 1

Diketahui f(x) = x2,  x є [0,1]. Hitung nilai rata‐

rata f pada [0,1] dan tentukan c є (0,1) 

sedemikian sehingga f ’(c) sama dengan nilai rata‐rata f pada [0,1].

Jawab: Nilai rata rata f pada [0 1] adalah Jawab: Nilai rata‐rata f pada [0,1] adalah

[f(1) – f(0)]/(1 – 0) = 1. 

Sementara itu f ’(x) = 2x = 1 jika dan hanya Sementara itu f  (x) = 2x = 1 jika dan hanya jika x = ½. Jadi, c = ½ adalah bilangan yang  kita cari

kita cari.

(10)

Contoh 2 Contoh 2

Buktikan ketaksamaan Buktikan ketaksamaan

|sin x – sin y| ≤ |x – y|

k i

untuk setiap x, y є R.

10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 10

(11)

Latihan Latihan

1. Diketahui g(x) = x3/3,  x є [‐2,2]. Hitung nilai rata‐rata g pada [‐2,2] dan tentukan c є (‐2,2)  sedemikian sehingga g’(c) sama dengan nilai rata‐rata g pada [‐2,2].

2. Buktikan jikaj f ’(x) = 0f ( ) untuk setiapp x є (a,b), ( , ), maka f(x) bernilai konstan pada selang (a,b).

(12)

WAWASAN

3.7 MENYELESAIKAN PERSAMAAN

MA1101 MATEMATIKA 1A WAWASAN

SECARA NUMERIK

Menggunakan Metode Bagi Dua untuk mencari akar suatu persamaan.

10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 12

(13)

Tidak semua persamaan dapat

d l k k k

diselesaikan secara eksak

Misalkan f(x) = x4 + x+ x + 1, 0 ≤ x ≤ 1.

Misalkan f(x)   x  x  x   1,  0 ≤ x ≤ 1. 

Menurut Teorema Nilai Rata‐Rata, ada c є (0,1)  sedemikian sehingga

f ’(c) = f(1) – f(0), yakni

yakni

4c+ 2c + 1 = 3 atau 2c+ c – 1 = 0

atau 2c + c – 1 = 0.

Berapa nilai c tersebut? Bukan hal yang mudah mencarinya! Ada tapi entah berapa :(

mencarinya! Ada, tapi entah berapa :( 

(14)

Menyelesaikan persamaan secara k

numerik

Persamaan 2c+ c – 1 = 0 dapat diselesaikan secarap numerik, misalnya dengan Metode Bagi Dua, 

sebagai berikut:

Misalkan p(x) = 2x3 + x – 1, 0 ≤ x ≤ 1. Ingin didapakan nilai c є (0,1) sehingga p(c) = 0.

didapakan nilai c є (0,1) sehingga p(c)   0.

Periksa bahwa p(0) = ‐1p( ) dan p(1) = 2. Jadi, p(0)p( ) , p( ) dan p(1) berbeda tanda. Karena p kontinu, menurut

Teorema Nilai Antara terdapat c є (0,1) sehingga p(c) = 0 Bilangan c tak lain adalah akar polinom p p(c) = 0. Bilangan c tak lain adalah akar polinom p.   

10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 14

(15)

Menyelesaikan persamaan secara k

numerik

Sekarang kita akan menentukan, apakah akar tsbg , p ada di [0,½] atau [½,1]. Dengan menghitung nilai p di x = ½:  p(½) = ‐¼ < 0, kita simpulkan bahwa akar tsb berada di [½ 1]

tsb berada di [½,1]. 

Selanjutnya kita bagi dua lagi selang [½,1]. Kita Selanjutnya kita bagi dua lagi selang [½,1]. Kita  hitung nilai p di x = ¾ : p(¾) = 19/32 > 0. Jadi, akar tsb berada di [½,¾].

Bila langkah ini kita lanjutkan, maka kita dapatkan tabel berikut:

tabel berikut:

(16)

Tabel Nilai p Tabel Nilai p

Perhatikan bahwa pada se‐

tiap langkah kita memeriksa

x 2x^3+x‐1

nilai p(x) di titik tengah; dan selanjutnya kita putuskan akar p ada di mana menggunakan

0 ‐1

1 2

0 5 0 25 p ada di mana, menggunakan Teorema Nilai Antara. Sebagai contoh, pada langkah ke‐3, 0.5 ‐0.25

0.75 0.59375

0.625 0.1132813 contoh, pada langkah ke 3,  nilai p(0.625) > 0, sedangkan p(0.5) < 0 dan p(0.75) > 0. Jadi 0 6 5 0 3 8 3

0.5625 ‐0.081543 0.59375 0.0123901

akar ada diantara x = 0.5 dan x = 0.625. 

0.578125 ‐0.035423 0.5859375 ‐0.011731

10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 16

(17)

Taksiran Akar dan Kesalahannya Taksiran Akar dan Kesalahannya

Bila kita taksir akar p dengan titik tengah x = 0.5, Bila kita taksir akar p dengan titik tengah x   0.5,  maka kesalahannya sama dengan 0.5. [Akar se‐

sungguhnya ada dalam selang [0.5–0.5 , 0.5+0.5]

alias selang [0,1].]

Pada langkah kedua, kita tahu bahwa akar ada dalam selang [0.5,1]. Bila kita taksir akar p

dengan titik tengah x = 0.75, maka kesalahannya

d 0 25

sama dengan 0.25.

Pada langkah ketiga, kita taksir akar p dengan

i ik h 0 625 d k l h 0 125

titik tengah x = 0.625, dengan kesalahan 0.125.

(18)

Taksiran Akar dan Kesalahannya Taksiran Akar dan Kesalahannya

Error* terjadi bil di k i

n x 2x^3+x‐1 error*

bila x dipakai sebagai

taksiran akar p.

0 0 ‐1 1

0 1 2 1

Sbg contoh, jika kita taksir akar p dengan

1 0.5 ‐0.25 0.5

2 0.75 0.59375 0.25

3 0 625 0 1132813 0 125 p dengan

x = 0.5859375,  maka

k l h

3 0.625 0.1132813 0.125 4 0.5625 ‐0.081543 0.0625

5 0 59375 0 0123901 0 03125 kesalahannya adalah

0.007813.

5 0.59375 0.0123901 0.03125 6 0.578125 ‐0.035423 0.015625 7 0 5859375 ‐0 011731 0 007813

10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 18

7 0.5859375 0.011731 0.007813

(19)

Catatan Catatan

Selain Metode Bagi Dua, ada beberapa Selain Metode Bagi Dua, ada beberapa metode lainnya untuk mencari akar

persamaan secara numerik. Yang cukup terkenal adalah Metode Newton, yang  melibatkan konsep turunan. 

Metode ini lebih ampuh daripada

Metode Bagi Dua, tetapi sedikit lebih

d l hi (lih

repot dalam perhitungannya (lihat buku Purcell & Varberg).

(20)

Latihan Latihan

Gunakan Metode Bagi Dua untuk menaksir akar Gunakan Metode Bagi Dua untuk menaksir akar persamaan x3 + 2x – 6 = 0 yang terdapat dalam selang [1 2] beserta kesalahannya Cek terlebih selang [1,2], beserta kesalahannya. Cek terlebih dahulu apakah betul ada akar dalam selang

tersebut! Setelah itu terapkan Metode Bagi Dua tersebut! Setelah itu, terapkan Metode Bagi Dua hingga diperoleh kesalahan < 0.01. 

10/11/2013 (c) Hendra Gunawan 20

Gambar

Tabel Nilai pTabel Nilai p

Referensi

Dokumen terkait

Departemen Manajemen Sumberdaya Perairan, Fakultas Perikanan dan Ilmu Kelautan, Institut Pertanian Bogor.. Field guide for fishery purposes: The marine fishery resources

 Berdasarkan kebijakan umum APBD yang telah disepakati, pemerintah daerah dan DPRD membahas Berdasarkan kebijakan umum APBD yang telah disepakati, pemerintah daerah dan DPRD membahas

Pemain angklung seklaigus menjadi penyanyi dalam arak-arakan, pemain juga berjalan sesuai dengan irama dari lagu atau nyanyian yang dimainkan dengan diiringi ”alok” atau

[r]

Dari hasil penelitian diperoleh rata-rata nilai tes siswa setelah tindakan dengan melakukan perkalian aljabar dengan menggunakan tabel adalah pada siklus 1 yaitu 31 pada siklus 2

[r]

Oleh karena Pulau Maputi diduga memiliki nilai biodiversitas tinggi, namun data mengenai ekosistem di pulau tersebut belum ada, maka pada tahun 2013 dilakukan