Bahan Ajar Teorema Pythagoras

Disusun Oleh : Rita Purnamasari (1213021064)

BAHAN AJAR AR

MATEMATIKA

Materi Teorema Pythagoras

Kelas VIII SMP/MTs Sederajat

TEOREMA PYTHAGORAS

Pendahuluan

Teorema Pythagoras meruapakan salah satu teorema yang telah dikenal manusia sejak peradapan kuno. Nama teorema ini diambil dari nama seorang matematikawan Yunani yang bernama Pythagoras.

Pada bab ini kita akan membahas mengenai menentukan, menghitung dan memecahkan masalah yang berkaita dengan Teorema Pythagoras.

Tujuan Pembelajaran

 Siswa mampu memahami dan menemukan teorema Pythagoras.

 Siswa mampu menemukan hubungan antar sisi pada segitiga siku-siku khusus.

 Siswa mampu menyelesaikan permasalahan nyata dengan teorema pythagoras.

A. Memahami dan Menemukan Teorema Pythagoras

Apakah kalian tahu apakah kegunaan dari kita mempelajari teorema pythagoras? Suatu ilmu akan lebih terasa menarik bila ada keterkaitan dengan kegiatan dan kebermanfaatan dalam kehidupan sehari-hari . Misal, seorang pekerja bangunan sedang memeriksa kesikuan sebelum membuat desain pondasi suatu bangunan. Dalam memeriksa kesikuan ini mereka menggunakan Tripel Pythagoras, meski secara ilmiah Pak Tukang tidak mengerti alasan mengapa menggunakan itu. Nah, inilah salah satu penerapan Teorema Pythagoras dalam kehiduapan sehari-hari.

Terdapat beberapa cara dalam membuktikan teorema, yaitu dengan pendekatan luas persegi, luas segitiga sama sisi, luas trapesium, dan luas bentuk bangun datar lainnya.

Salah satu pembuktikan teorema adalah pembuktian yang diemukan oleh James A.

Garfield, Presiden ke-20 Amerika Serikat. Beliau membuktikan teorema ini dengan menggunakan luas teorema pytagoras.

Diberikan : Segitiga ABC

D a E

b

c B

a c

C b A

Buktikan : _a²_+b²_=c²

Kontruksi : Perpanjangan sisi AB sampai titik D sedemikian sehingga BD  CA.

Kontruksi ruas garis DE sehingga DE  CD dan DE  BC. Lukislah ruas garis BE dan AB.

Bukti : Segiempat ABCD adalah trapesium.

Mengapa? Luas trapesium ABCD adalah, L = 1

2 h(p + p’) = 1

2 (a + b)(a + b) = 1

2 (a² + 2ab + b²) ...(i)

Luas trapesium dapat dicari dengan menjumlahkan luas segitiga ACB, BDE, dan EBA.

Setelah membuktikan ABC  BDE dan 1  2, dapat ditunjukkan bahwa ABE adalah siku-siku. Mengapa? Karena ketiga segitiga tersebut memiliki sudut siku-siku, maka luasnya adalah

L(ACB) = 1 2 ab L(BDE) = 1

2 ab

L(BEA) = 1 2 c² Sehingga, diperoleh luas dari trapesium adalah

L = 1

2 ab + 1

2 ab + 1

2 c² = ab + 1

2 c² ...(ii)

Dengan mensubstitusikan persamaan (i) dan (ii), maka diperoleh 1

2 (a² + 2ab + b²) = ab + 1 2 c² a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c² (Terbukti)

Dari analisis di atas, dapat disimpulkan bahwa hubungan panjang sisi-sisi segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c tersebut dianamakan Teorema Pythagoras.

Segitiga siku-siku yang ketiga sisinya adalah bilangan asli disebut Tripel Pythagoras.

Lakukan pembuktian Teorema Pythagoras menggunakan pendekatan luas persegi pada LKPD(Lembar Kerja Peserta Didik) yang telah guru anda berikan.

B. Menentukan Hubungan Antar Sisi Pada Segitiga Siku-Siku Khusus

Teorema pythagoras dapat digunakan untuk meakukan penyelidikan terhadap sifat menarik dari segitiga khusus atau istimewa seperti segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga siku-siku yang besar sudutnya 30^o – 60^o – 90^o. Dalam sub bab ini kita akan

Apotema Teorema Pythagoras :

“Pada segitiga siku-siku, jumlah kuadrat sisi siku-sikunya sama dengan kuadrat sisi miringnya”.

menemukan hubungan antar panjang sisi pada segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga siku-siku yang besar sudutnya 30^o – 60^o – 90^o.

Pada pembelajaran kelas VII Semester 1 yang lalu, anda telah mempelajari bagaimana melukis sudut-sudut istimewa dengan menggunakan jangka dan penggaris bukan?

Berapakah besar sudut-sudut istimewa itu?

Pada segitiga siku-siku khusus dengan salah satu sudutnya istimewa terdapat perbandingan perbandingan diantara sisi-sisinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut!

Contoh 1 :

Perhatikan gambar di samping ini! E

Segitiga DEF siku-siku di E dan 5 cm

D = 45^o. Jika panjang EF = 5 cm

dan FD = 5

√

2 cm ,maka: F 5

√

2 cm D a. Tentukan besar F !

b. Tentukan panjang ED dengan menggunakan teorema Pythagoras !

c. Bandingkan panjang kedua sisi siku-sikunya, kesimpulan apa yang kamu peroleh?

d. Berdasarkan panjang sisi-sisinya dan besar sudut-sudutnya, disebut segitiga apakah segitiga DEF?

Penyelesaian :

a. Besar F = 180^o - D - E = 180^o - 90^o - 45^o = 45^o

b. panjang ED

ED² = DF² - EF² = (5

√

^{2)2 - 52}

= 50 – 25 ED² = 25 ED = 5 cm

c. perbandingan kedua sisi siku-siku adalah 1 : 1

Kesimpulanya :

Berdasarkan poin a) dan b) maka dapat disimpulkan bahwa perbandingan panjang sisi siku-sikunya yaitu 1 : 1 dan besar sudut DEF adalah 45^o – 90^o – 45^o .

d. Berdasarkan panjang siku-siku dan besar sudut pada segitiga EFD maka segitiga DEF disebut segitiga siku-siku khusus sama kaki.

Contoh 2 :

Perhatikan gambar di samping ini! P

Segitiga PQR siku-siku di Q dan R = 30^o 10 cm Panjang sisi-sisi QR = 5

√

3 cm, RP = 10 cm maka Q R

a. Tentukan besar P! 5

√

^{3 cm}

b. Tentukan panjang sisi PQ !

c. Bandingkan panjang sisi di depan sudut 30⁰ dengan hipotenusa PQR d. Kesimpulan apa yang dapat Anda peroleh ?

Penyelesaian:

a. Besar P = 180^o - Q - R = 180^o - 90^o - 30^o

= 60^o b. Panjang PQ

PQ² = PR² - QR² = 10² - (5

√

3)² = 100 – 75

PQ² = 25 PQ = 5 cm

c. Perbandingan panjang sisi di depan sudut 30⁰ dengan hipotenusa PQR adalah 1 : 2 d. Kesimpulannya :

Berdasarkan perbandingan panjang sisi di depan sudut 30⁰ dengan hipotenusa PQR nya 1 : 2 maka segitiga PQR disebut segitiga siku-siku khusus yang besar sudutnya 30^o – 60^o – 90^o.

C. Menyelesaikan Permasalahan Nyata dengan Teorema Pythagoras

Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan-permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Pythagoras. Contoh permasalahan- permasalahan tersebut antara lain adalah sebagai berikut :

Contoh 1 :

Rumah pak Widodo berlantai dua seperti gambar di bawah ini.

Jika alas tangga terletak 2 m dari tembok dan tinggi tembok 4,5 m, maka berapakah panjang tangga yang 4,5 m yang harus dibuat?

Penyelesaian :

Panjang tangga =

√

^4,52+22

=

√

^24,25

≈ 4, 92 m

Jadi, panjang tangga rumah pak Widodo yang 4,5 m yang harus dibuat adalah

√

24,25 m ≈ 4, 92 m

Contoh 2:

Pak Budi mempunyai kebun berbentuk segitiga dengan panjang sisi–sisinya adalah 8 m, 15 m, dan 17 m, maka

a) berbentuk segitiga apakah kebun pak Budi ? b) dapatkah kamu menentukan luas kebun pak Budi ? Penyelesaian :

a) 17² = 289 15² = 225 8² = 64

Karena 17² = 15² + 8^{2 ,} maka ketiga bilangan tersebut memenuhi tripel pythagoras.

Segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

b. Dapat, yaitu

luas kebun pak Budi = 1

2 ( 8 x 15 )

= 60 m²

Jadi, segitiga tersebut luasnya adalah 60 cm².

Contoh 3 :

Seorang anak mempunyai tinggi badan 150 cm. Ia berdiri 12 m dari tiang bendera. Jika jarak antara kepala anak tersebut dengan puncak tiang bendera adalah 13 m, maka hitunglah tinggi tiang bendera tersebut!

Penyelesaian :

Pada contoh soal di atas jika kita gambarkan adalah sebagai berikut

^{12 m}

Gambar 1 Gambar 2

Untuk menghitung tinggi tiang bendera, langkah yang pertama harus dihitung dulu nilai x. Nilai x dapat dicari dengan memperhatikan Gambar 2, maka

x =

√

^132−122

=

√

169−144 =

√

²⁵

= 5 m

Jadi, tinggi tiang bendera dapat diperoleh 5 m + 1,5 m = 6,5 m

LATIHAN:

1. Diketahui KLM siku-siku di L, jika panjang hipotenusa KLM adalah 20 cm dan

MKL = 30⁰ , tentukan luas segitiga KLM !

2. Perhatikan segitiga siku-siku di samping. Q

Jika panjang PQ = 7cm dan panjang 7 cm 7

√

3 cm

QR = 7

√

3 cm, maka: P R

a. Tentukan panjang PR!

b. Tentukan besar P dan R !

3. Pada segitiga ABC, diketahui panjang AB = 6 cm, AC = 8 cm dan BC = 10 cm.

Berbentuk apakah segitiga ABC tersebut? Mengapa?

4. Pesawat tim SAR berhasil menemukan lokasi kecelakaan helikopter yang jatuh di daerah A. Lokasi tersebut ditemukan setelah terbang 25 km ke arah Barat Laut dari bandara, kemudian membelok ke Selatan sejauh 18 km. Berapa kilometerkah jarak lokasi kecelakaan dari bandara?

5. Sebuah kuda-kuda atap rumah berbentuk segitiga sama kaki dengan panjang kaki – kakinya 10 meter dan panjang alasnya 16 meter seperti tampak pada gambar di bawah ini !

10 m 10 m

16 m

Bila seluruh rangka kuda-kuda tersebut terbuat dari kayu dan harga kayu Rp.

45.000,00 untuk tiap 4 meter, berapakah biaya untuk membuat kuda-kuda atap tersebut?

RANGKUMAN

 Pada segitiga siku-siku, sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring atau juga disebut hipotenusa.

 Teorema Pythagoras: “Pada segitiga siku-siku, jumlah kuadrat sisi siku-sikunya sama dengan kuadrat sisi miringnya”.

 Jika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku dengan a, b dan c bilangan asli, maka a, b, c disebut bilangan Tripel Pythagoras.

 Jika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga yang memenuhi persamaan a² + b² = c² dengan c adalah sisi terpanjang, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

 Jika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan c sisi terpanjang tetapi a, b dan c tidak memenuhi bilangan Tripel Pythagoras, terdapat dua kemungkinan bentuk segitiga :

− Jika a² + b² < c², maka ΔABC segitiga tumpul

− Jika a² + b² > c², maka ΔABC segitiga lancip.

Daftar Pustaka

- Wisnu Siwi Satiti. 2012. Web Based Lesson: Pythagorean Theorem

- Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia, Buku Guru Matematika SMP Kelas VIII Kurikulum 2013, Teorema Pythagoras, Cetakan ke-1, 2014 Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.

- Sukino, Wilson Simangunsong: 1994, Matematika SLTP, jilid 2A, Erlangga, Jakarta.

Kunci Jawaban Latihan

1. Diketahui : KLM siku-siku di L panjang hipotenusa 20 cm

MKL = 30⁰

Ditanya : Tentukan luas segitiga KLM ! Penyelesaian :

LMK = 180⁰ - KLM - MKL

M = 180⁰ - 90⁰ - 30⁰

20 cm = 60⁰

KLM merupakan segitiga siku-siku

L K khusus yang memiliki sudut 30^o–60^o–90^o,

sehingga perbandingan panjang sisi di depan sudut 30⁰ dengan hipotenusa KLM adalah 1 : 2. Jadi diperoleh panjang ML adalah 10 cm.

Selanjutnya, dicari panjang KL =

√

^202−102

=

√

400−100 =

√

³⁰⁰

= 10

√

^{3 cm}

Maka, luas KLM = 1

2 x 10

√

^{3 x 10}

= 50

√

^{3 cm2}

2. Diketahui : Panjang PQ = 7cm panjang QR = 7

√

^{3 cm}

Ditanya : a. Panjang PR ? b. Besar P dan R ?

a. Panjang PR =

√

⁷²⁺⁽⁷

^√

³⁾²

=

√

⁴⁹⁺¹⁴⁷

=

√

169 = 14 cm

b. Karena telah didapat panjang PR = 14 cm(poin a) dan perbandingan panjang sisi di depan sudut R dengan hipotenusa PQR adalah 1 : 2, maka besar R = 30^o. Jadi, besar P = 180^o - Q - R

= 180^o - 90^o - 30^o = 60^o

3. Diketahui : Segitiga ABC dengan panjang AB = 6 cm, AC = 8 cm dan BC = 10 cm.

Ditanya : Berbentuk apakah segitiga ABC tersebut? Mengapa?

Penyelesaian :

AB² = 36, AC² = 64, BC² = 100

Segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku sembarang, karena ketiga bilangan tersebut memenuhi tripel pythagoras, yaitu _BC² = _AB² + _AC² .

4. Diketahui : Letak pesawat terjatuh, yang sebelumnya terbang 25 km ke arah Barat laut dari bandara kemudian membelok ke Selatan sejauh 16 km

Ditanya : Berapa km jarak lokasi kecelakaan dari bandara?

Penyelesaian :

Jarak lokasi kecelakaan =

√

^252−162

=

√

^625−256

=

√

³⁶⁹

= 3

√

41 km ≈ 19,21 km

5. Diketahui : Sebuah kuda-kuda atap rumah berbentuk segitiga sama kaki dengan panjang kaki–kakinya 10 meter dan panjang alasnya 16 meter Ditanya : Bila seluruh rangka kuda-kuda tersebut terbuat dari kayu dan harga

kayu Rp. 45.000,00 untuk tiap 4 meter, berapakah biaya untuk membuat kuda-kuda atap tersebut?

Penyelesaian : C C

A D B D 8 m B 16 m

Panjang CD =

√

¹⁰²⁻⁸²

=

√

100−64

=

√

³⁶

= 6 m

Karena sisi CD dari ADC dan sisi CD dari BDC berimpit, maka panjang CD hanya dihitunng sekali.

Sehingga panjang kuda-kuda atap rumah berbentuk segitiga sama kaki tersebut panjang AB + panjang BC + panjang CA + panjang CD = 10 + 16 + 10 + 6

= 42 m

Harga kayu Rp. 45.000,00 untuk tiap 4 meter, maka harga per-meter adalah Rp.

11.250. Jadi, biaya untuk membuat kuda-kuda atap tersebut adalah 42 x Rp. 11.250 = Rp. 472.500