Fungsi Konveks dan Konkaf

(1)

(2)

Bagi himpunan   R

• _Himpunan  _R_konveksjika_{x., y} 

z= (i-t) x + t y  , t  [0, 1 ]

(3)

(4)

(5)

TEOREMA 1

Jika f(x) konveks pada  maka lokaI minimum adalah global minimum,

(6)

TEOREMA 2

(fungsi konveks yang dapat diturunkan satu kali) adalah konveks pada  jika dan hanya jika:

•

(7)

(fungsi konkafyang dapat diturunkan satu kali) adalah konkaf pada  jika dan hanya jika:



•

(8)

TEOREMA3:

• _{(fungsi konveks yang dapat diturunkan dua kali) adalah}

fungsi konveks jika dan hanya jika:

• _{(fungsi konkaf yang dapat diturunkan dua kali) adalah}

fungsi konkaf jika dan hanya jika:

(9)

Contoh:

(10)

f(x) = adalah fungsi konkaf

(11)

(12)

Dimana

Adalah vektor gradien

(13)

Matriks Hessian suatu fungsi

(14)

TEOREMA:

• _{Jika bersifat positif semi definit maka f adalah fungsi}

konveks dalam

• _{Jika bersifat positif definit maka f adalah fungsi konveks}

ketat dalam Definisi:

• _Matriks_A_{berukuran nx n adaiah matriks positif semi}

definit jika:

Q(x) = x’Ax > 0 x  0

• _{Bersifat positif definit jika:}

Q(x) = x’Ax > 0 x  0

(15)

TEOREMA:

• _{Jika bersifat negatif semi definit maka f adalah fungsi}

konkaf dalam

• _{Jika bersifat negatif definit maka f adalah fungsi konkaf}

ketat dalam Definisi:

• _Matriks_A_{berukuran nx n adaiah matriks negatif semi}

definit jika:

Q(x) = - x’Ax > 0 x  0

• _{Bersifat nagatif definit jika:}

Q(x) = - x’Ax > 0 x  0

(16)

Definisi:

• _{Minor utama ke}_i_{dari matriks nx n adalah determinan}

dari matriks i x i yang diperoleh dari penghapusan n-i baris dan n-i kolom yang bersesuaian dari matriks

(17)

TEOREMA:

• _{Suatu matriks A dikatakan positif semi definit jika seluruh}

minor utama dari A bernilai >0 (non negatif)

• _{Suatu matriks A dikatakan positif definit jika seluruh minor}

utama dari A bemilai >0 (positif)

• _{Suatu matriks A dikatakan negatif semi definit jika minor}

utama ke-i dari A bernilai 0 atau bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n.

• _{Suatu matriks A dikatakan negatif definit jika seluruh}

(18)

Dari teorema sebelumnya berlaku:

• _{Jika f(x) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinyu}

pada  x  ,maka f(x) adalah fungsi konveks pada  jika seluruh minor utama dari adalah >0 (konveks ketat jika seluruh minor utama dari adalah >0).

• _{Jika f(x) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinyu}

pada  x  , maka f(x) adalah fungsi konkaf pada  jika seluruh minor utama dari bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n atau

sama dengan 0 ( konkaf ketat jika seluruh minor utama dari bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n)