Tugas MP2 KB4

(1)

TUGAS MP 2 KB 4 TUGAS MP 2 KB 4 1.

1. MisalkanMisalkan

ℤℤ

++

himpunan semua bilangan bulat positif. Didefinisikan # dengan aturan x himpunan semua bilangan bulat positif. Didefinisikan # dengan aturan x # y = x +

# y = x + 2y dengan x, y di2y dengan x, y di

ℤℤ

++

. Tunjukkan bahwa # . Tunjukkan bahwa # merupakan operasi biner padamerupakan operasi biner pada

ℤℤ

++

! ! Penyelesaian:

Penyelesaian:

((

ℤℤ

++

,,##

), akan di buktikan bahwa operasi biner), akan di buktikan bahwa operasi biner Dimana x # y = x + 2y , Dimana x # y = x + 2y , x, y Єx, y Є

ℤℤ

++

Ambil sebarang a, b Є Ambil sebarang a, b Є

ℤℤ

++

a#b = a + 2b a#b = a + 2b 2 Є 2 Є

ℤℤ

++

, b Є, b Є

ℤℤ

++

maka 2b Єmaka 2b Є

ℤℤ

++

A Є A Є

ℤℤ

++

, 2b Є, 2b Є

ℤℤ

++

maka a + 2b Єmaka a + 2b Є

ℤℤ

++

Karena a, b Є

ℤℤ

++

dan a#b Єdan a#b Є

ℤℤ

++

dan berlaku untuk sebarang a, b Єdan berlaku untuk sebarang a, b Є

ℤℤ

++

maka ( maka (

ℤℤ

++

,,##

adalah operasi biner.

adalah operasi biner. (terbukti)(terbukti) 2.

2. DidefinisikanDidefinisikan a.

a. Jelaskan mengapaJelaskan mengapa b.

b. TunjukkanTunjukkan c.

c. Tunjukkan bahwaTunjukkan bahwa d.

d. Tunjukkan bahwaTunjukkan bahwa operasioperasi e.

e. Jika a diJika a di didi Penyelesaian:

Penyelesaian: a.

a. Langkah pertamaLangkah pertama Diketahui

Diketahui

ℤℤ

himpunan bilangan bulat himpunan bilangan bulat Didefinisilan

Didefinisilan

∗∗

dengan aturan a dengan aturan a

∗∗

b = −ab b = −ab Ambil sebarang a, b

Ambil sebarang a, b

∈∈ℤℤ

x x

ℤℤ

Berdasarkan sifat perkalian jelas bahwa

Berdasarkan sifat perkalian jelas bahwa – – abab ЄЄ

ℤℤ

Jadi untuk setiap a, b

∈∈ℤℤ

x x

ℤℤ

berlaku berlaku aa

∗∗

b = b = – – abab ЄЄ

ℤℤ

Langkah kedua,

Langkah kedua, Diketahui

Diketahui

ℤℤ

Didefinisilan

∗∗

b = −ab b = −ab Ambil a, b , c, d di

Ambil a, b , c, d di

ℤℤ

x x

ℤℤ

dengan (a, b) = (c, d). Karena (a, b) = dengan (a, b) = (c, d). Karena (a, b) = (c, d) maka a = c dan b =(c, d) maka a = c dan b = d sehingga

d sehingga – – ab = – ab = – cd.cd.

Jadi, untuk setiap a, b , c, d di

ℤℤ

x x

ℤℤ

dengan (a, b) = (c, d) berlaku dengan (a, b) = (c, d) berlaku – – ab =ab = – – cd.cd.

Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh perkalian merupakan operasi biner pada Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh perkalian merupakan operasi biner pada himpunan semua bilangan bulat

himpunan semua bilangan bulat

ℤℤ

.. b.

b. DiketahuiDiketahui

ℤℤ

Didefinisilan

∗∗

b = −ab b = −ab Akan ditunjukkan bahwa

Akan ditunjukkan bahwa

∗∗

assosiatif (a assosiatif (a

∗∗

b) b)

∗∗

c = a c = a

∗∗

( b ( b

∗∗

c ) c ) Ambil sebarang a, b, c Ambil sebarang a, b, c

∈∈ℤℤ

Ruas kiri Ruas kiri (a (a

∗∗

b) b)

∗∗

c = (- ab) c = (- ab)

∗∗

c c = - (- ab) c = - (- ab) c = abc = abc Ruas kanan Ruas kanan aa

∗∗

( b ( b

∗∗

c ) = a c ) = a

∗∗

(- bc) (- bc) = (-a)(- bc) = (-a)(- bc) dengan aturan a

dengan aturan a b = −ab dengan a dan b bilangan bulat.b = −ab dengan a dan b bilangan bulat. operasi biner pada

operasi biner pada !! assosiatif!

assosiatif!

komutatif. komutatif.

memuat elemen identitas untuk

memuat elemen identitas untuk .. maka tentukan z

(2)

= = abcabc

Karena hasil kedua ruas sama, untuk setiap a, b, c

∈∈ℤℤ

, maka berlaku, maka berlaku (a

(a

∗∗

b) b)

∗∗

c = a c = a

∗∗

( b ( b

∗∗

c) sehingga c) sehingga

∗∗

assosiatif. assosiatif. c.

c. DiketahuiDiketahui

ℤℤ

Didefinisilan

∗∗

b = −ab b = −ab Akan ditunjukkan bahwa

Akan ditunjukkan bahwa

∗∗

komutatif komutatif Ambil sebarang a, b Ambil sebarang a, b

∈∈ℤℤ

aa

∗∗

b = - ab b = - ab = - (ab) = - (ab) = - (ba) = - (ba) = - ba = - ba = b = b

∗∗

a a Untuk setiap a, b

Untuk setiap a, b

∈∈ℤℤ

, maka berlaku a, maka berlaku a

∗∗

b = b b = b

∗∗

a sehingga a sehingga

∗∗

komutatif. komutatif. d.

d.

ℤℤ

memuat elemen identitas untuk operasi * memuat elemen identitas untuk operasi * a * b =

a * b = – – abab ambil e

ambil e

∈∈ℤℤ

, maka, maka e e * * b b = = b b * * e e = = b,b,

∀∀

b b

∈∈ℤℤ

e e * * b b == – – eb = beb = b  –  – ebeb – – b b = = 00 – – b(e + 1) b(e + 1) = 0= 0 e e + + 1 1 = = 00 e e == – – 11 b * e

b * e == – – be = b be = b  – – be be – – b b = = 00 – – b(e + 1) b(e + 1) = 0= 0 e e + + 1 1 = = 00 e e == – – 11 Terbukti bahwa

Terbukti bahwa

ℤℤ

memuat elemen identitas untuk operasi memuat elemen identitas untuk operasi

∗∗

e.

e. Jika a diJika a di

ℤℤ

maka tentukan z maka tentukan z didi

ℤℤ

untuk operasi untuk operasi

∗∗

Ambil z’

∈∈ℤℤ

, sehingga, sehingga

 a * z’ = – a * z’ = – 1 1 (*)(*) a * z’ = –

a * z’ = – az az (**)(**) dari (*) dan (**) didapat dari (*) dan (**) didapat – – 1 =1 = –az’ –az’ z’ = 1/a z’ = 1/a  z’ * a = – z’ * a = – 11 z’ * a = –z’a z’ * a = –z’a

dari (*) dan (**) didapat dari (*) dan (**) didapat – – 1 =1 = –z’a –z’a z’ = 1/a z’ = 1/a Jadi z’ = 1/a Jadi z’ = 1/a 3.

3. MisalkanMisalkan dengan dengan aa

a. a. TunjukkanTunjukkan !! b. b. TunjukkanTunjukkan c. c. TunjukkanTunjukkan didefinisikan

didefinisikan pada pada himpunan himpunan bilangan bilangan real real b = ½ ab b = ½ ab merupakan

merupakan operasi operasi biner biner pada pada bersifat asosiatif!

bersifat asosiatif! bersifat komutatif bersifat komutatif

(3)

Penyelesaian:

a. Menunjukkan operasi biner

a

∗

b = ½ ab, karena a dan b anggota himpunan bilangan riil, maka ½ ab juga pasti bilangan riil. Jadi a

∗

b = ½ ab memenuhi sifat tertutup.

Ambil sembarang (a, b) dan (c, d) di

ℝ

dengan (a, b) = (c, d) sehingga a = c dan b = d c * d = ½ cd

= ½ ab (c= a dan d = b) = a * b

Terbukti a

∗

b = ½ ab operasi biner.

b. Ambil sembarang a, b, dan c dengan a, b, c anggota himpunan

ℝ

a

∗

(b

∗

c) = ½ a(b

∗

c)

= ½ a(½bc) = ½ .½ abc = ½ ( ½ ab)c = ½ (a

∗

b)c

= (a

∗

b)

∗

c (Memenuhi sifat asosiatif) c. Ambil sembarang a, b dengan a, b anggota himpunan

ℝ

a

∗

b = ½ ab = ½ ba

= b

∗

a (Memenuhi sifat komutatif)

4. Diketahui

∗

didefinisikan pada himpunna semua bilangan real

ℝ

dengan aturan a

∗

b = a + b + 2.

a. Tunjukkan

∗

merupakan operasi biner pada

ℝ

! b. Tunjukkan <

ℝ

,

∗

> merupakan grup!

Penyelesaian:

 Akan dibuktikan bahwa operasi biner * bersifat asosiatif Ambil

,,∈

berlaku

∗∗=∗∗

_{=∗2}

=22

=22

=22

=∗2

=∗∗

Jadi

〈,∗〉

bersifat asosiatif

(4)

Ambil

∈

Pilih

=2∈

maka

∗=∗2

_{=22}

=

Jadi terdapat elemen identitas

=2

 Akan dibuktikan bahwa setiap elemen di R mempunyai invers untuk * pada R Ambil

∈

Pilih



−

=4∈

maka

∗

−

=∗4

=42

=42

_=2=

Jadi setiap elemen di R mempunyai invers



−

=4

 Dari poin a sampai b diperoleh kesimpulan bahwa

〈,∗〉

adalah grup. 5. Misalkan



×

∗∗

(

determinannya satu.

a. Tunjukkan perkalian matriks merupakan operasi biner pada



×

∗∗

( Penyelesaian:

Langkah pertama :

Ambil (P,Q)



×

∗∗

×

×

∗∗



sebarang Misalkan P =



















dan Q =



















dengan det(P) = 1 dan det(Q) = 1 Berdasarkan definisi perkalian matriks diperoleh :

PQ =



































































sehingga PQ



×

∗∗

(

ℝ

) . . . . i)

Berdasarkan sifat determinan det(PQ) = det(P).det(Q) dan diketahui det(P) = 1 , det(Q) = 1 diperoleh det(PQ) = 1.1 = 1 . . . .ii)

Akibatnya, dari i) dan ii) PQ



×

∗∗

(

ℝ

) Langkah kedua :

Ambil (A,B), (C,D) di



×

∗∗

× 

×

∗∗



dengan (A,B) = (C,D). Misalkan A =



















, B =

(















)

, C =

















, dan D =

(













)

Berdasarkan definisi perkalian matriks diperoleh :

AB =

(































































)

dan CD =

(































































)

) himpunan semua matriks 2 x 2 komponennya bilangan real dan

(5)

Karena (A,B) = (C,D) maka A = C dan B = D sehingga aij = cij dan bij = dij

untuk setiap i = 1, 2 dan j = 1, 2. Akibatnya AB = CD

Jadi untuk setiap (A,B), (C,D) di



×

∗∗

× 

×

∗∗



dengan (A,B)=(C,D) berlaku AB = CD

Berdasarkan sifat determinan det(AB) = det(A).det(B) dan diketahui det(A) = 1 , det(B) = 1 diperoleh det(AB) = 1.1 = 1

det (CD) = det (C). det (D) dan diketahui det (C) = 1, det (D) = 1 diperoleh det (CD) = 1.1. = 1

maka diperoleh det (AB) = det (CD) = 1

Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh perkalian matriks merupakan operasi biner pada himpunan



×

∗∗

(

b. Apakah perkalian matriks pada M2x2 bersifat komutatif? Jelaskan! Penyelesaian:

Ambil sebarang

=3 5

1 2

dan

=4 1

3 1∈

M2x2

∗∗ℝ

Jelas det(A)=1 dan det(B)=1

 =3 5

_{1 24 1}

_{3 1=27 8}

_{10 3}

=4 1

_{3 13 5}

_{1 2=13 22}

_{10 17}

Jelas bahwa

 ≠

Jadi, matriks pada M2x2

∗∗ℝ

tidak bersifat bersifat komutatif c. Tunjukkan <M2x2 ,x> merupakan grup!

Penyelesaian:

Misalkan diketahui M2x2

∗∗ℝ

adalah himpunan semua matriks 2 x 2 komponennya bilangan real dan determinannya satu.

Akan ditunjukkan <M2x2

∗∗ℝ

,x> merupakan grup 1)

)

∗∗

Ambil sebarang matrik 2 x 2

∈

M2x2

∗∗ℝ

,

= 

 

dan

=( 

 ℎ)

Maka det(A) = ad – bc = 1 dan det(B) = eh – fg = 1.

Akan ditunjukan bahwa A.B unsur di M2x2

∗∗ℝ

. Sekarang, perhatikan bahwa

. = 

_{ .( }

_{ ℎ)=( ℎ}

_{ ℎ)}

(6)

=.ℎℎ.=1

Jelas, komponen-komponen matriks det(AB) adalah bilangan-bilangan real. Ini menunjukkan bahwa, AB unsur di M2x2

∗∗ℝ

.

Jadi, M2x2

∗∗ℝ

tertutup 6. Misalkan

={  

 |ℝ,≠}

a. Tunjukkan perkalian matriks merupakan operasi biner pada himpunan A! Penyelesaian:

Langkah pertama, ambil

, ∈ 

×

ℝ ×

×

ℝ sebarang

Misalkan

 = 0

0 0

dan

 = 0

0 0

Berdasarkan definisi perkalian matriks diperoleh :

= 0

_{0 0 0}

_{0 0}

=0 00

_{00 00}

= 0

_{0 0}

sehingga

 ∈ 

×

ℝ

Jadi, untuk setiap

, ∈ 

×

ℝ ×

×

ℝ

berlaku

 ∈ 

×

ℝ

Langkah kedua, ambil

,,, ∈ 

×

ℝ ×

×

ℝ

dengan (C, D) = (E, F). Misalkan

= 0

0 0

,

 = 0

0 0

,

 = 0

0 0

, dan

 =  0

0 0

. Berdasarkan definisi perkalian matriks diperoleh :

= 0

_{0 0 0}

_{0 0}

=0 00

_{00 00}

= 0

_{0 0}

= 0

_{0 0  0}

_{0 0}

=0 00

_{00 00}

= 0

_{0 0}

Karena (C, D) = (E, F) maka C = E dan D = F sehingga





=





dan





=





untuk setiap i = 1, 2 dan j = 1, 2 akibatnya CD = EF.

Jadi, untuk setiap

,,, ∈ 

×

ℝ ×

×

ℝ

dengan (C, D) = (E, F) berlaku CD = EF.

(7)

Berdasarkan dua langkah tersebut diperoleh perkalian matriks merupakan operasi biner pada himpunan



×

ℝ

b. Apakah perkalian matriks pada A bersifat komutatif? Jelaskan! Penyelesaian:

 = 0

_{0 0}

,

 = 0

0 0

= 0

_{0 0 0}

_{0 0}

=0 00

_{00 00}

= 0

_{0 0}

= 0

_{0 0 0}

_{0 0}

=0 00

_{00 00}

= 0

_{0 0}

karena

=

maka perkalian matriks pada A bersifat komutatif

c. Tentukan elemen identitas untuk perkalian matriks pada A! Penyelesaian: Misalkan

A =  0

0 0

Pilih

I = 1 0

0 0

Maka

 0

0 01 0

0 0=1 0

0 0 0

0 0= 0

0 0

Jadi elemen identitas

I = 1 0

0 0

d. Tentukan Inver element

 

 ∈

untuk perkalian pada A! Penyelesaian:

Terdapat invers dari A sehingga

 × 

−

= 

−

×=

Pilih







0 0 0∈ 

−

5 0

_{0 0}

15 0

_{0 0= }

15 0

_{0 0}

5 0

_{0 0= 1 0}

_{0 0}

Jadi invers dari

5 0

0 0

adalah







0 0 0

(8)

e. Tunjukkan <A, x> merupakan grup! Penyelesaian:

 Bersifat tertutup dibuktikan di jawaban a  Asosiatif

 0

_{0 0∈}

,

 0

0 0∈

,

 0

0 0∈

[ 0

_{0 0 ×  0}

_{0 0] ×  0}

_{0 0=  0}

_{0 0 0}

_{0 0}

=  0

_{0 0}

 0

_{0 0 × [ 0}

_{0 0 ×  0}

_{0 0]=  0}

_{0 0 0}

_{0 0}

=  0

_{0 0}

Jadi berlaku sifat asosiatif

 Terdapat



′

∈

dengan e berupa elemen identitas yaitu

= = 1 0

0 0

Telah dibuktikan di c

 Terdapat invers sehingga

 × 

−

= 

−

×=

 0

_{0 0∈}

sehingga







0 0 0∈ 

−

Sehingga

 0

_{0 0}

1 0

_{0 0= }

1 0

_{0 0}

 0

_{0 0= 1 0}

_{0 0}

Karena memenuhi keempat aksioma maka dinamakan grup.

7. Misalkan n himpunan semua bilangan

rasional, dan himpunan semua bilangan real. Tunjukkan bahwa n merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan!

Penyelesaian : # Misalkan n

a. operasi biner penjumlahan “+” bersifat asosiatif, yaitu

∀

a, b, c

∈

nZ berlaku (a

∗

b)

∗

c = a

∗

(b

∗

c), contoh : (2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6) = 12

b. terdapat elemen identitas e

∈

nZ untuk penjumlahan “+” pada nZ, yaitu

∃

e

∈

nZ

∋

e

∗

x = x

∗

e = x,

∀

x

∈

nZ,

contoh : 0 + 2 = 2 + 0 = 2, 0 adalah elemen identitas penjumlahan.

c. setiap elemen di nZ tidak mempunyai invers untuk penjumlahan “+” pada nZ, yaitu

∀

a

∈

nZ

∄

a ′

∈

nZ

∋

a

∗

a ′ = e = a ′

∗

a.

Contoh : 2 + (-2) = 0 =(-2) + 2 , -2

∉

nZ

himpunan semua bilangan bulat kelipatan n,

, dan himpunan semua bilangan bulat kelipatan n.

(9)

Jadi nZ bukan merupakan grup dalam operasi penjumlahan bilangan karena

∀

a

∈

nZ

∄

a ′

∈

nZ

∋

a

∗

a ′ = e = a ′

∗

a.

# Misalkan Q himpunan semua bilangan bulat kelipatan n.

a. operasi biner penjumlahan “+” bersifat asosiatif,

yaitu

∀

a, b, c

∈

Q berlaku (a

∗

b)

∗

c = a

∗

(b

∗

c), contoh : (2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6) = 12

∈

R untuk penjumlahan “+” pada Q,

yaitu

∃

e

∈

Q

∋

e

∗

x = x

∗

e = x,

∀

x

∈

Q,

contoh : 0 + 2 = 2 + 0 = 2, 0 adalah elemen identitas penjumlahan. c. setiap elemen di Q mempunyai invers untuk penjumlahan “+” pada Q,

yaitu

∀

a

∈

Q

∃

a ′

∈

Q

∋

a

∗

a ′ = e = a ′

∗

a. Contoh : 2 + (-2) = 0 =(-2) + 2 , -2

∊

Q

Jadi Q merupaakan grup dalam operasi penjumlahan bilangan.

# Misalkan R himpunan semua bilangan bulat kelipatan n.

a. operasi biner penjumlahan “+” bersifat asosiatif,

yaitu

∀

a, b, c

∈

R berlaku (a

∗

b)

∗

c = a

∗

(b

∗

c), contoh : (2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6) = 12

∈

R untuk penjumlahan “+” pada R,

yaitu

∃

e

∈

R

∋

e

∗

x = x

∗

e = x,

∀

x

∈

R,

contoh : 0 + 2 = 2 + 0 = 2, 0 adalah elemen identitas penjumlahan. c. setiap elemen di Q mempunyai invers untuk penjumlahan “+” pada R,

yaitu

∀

a

∈

R

∃

a ′

∈

R

∋

a

∗

a ′ = e = a ′

∗

a. Contoh : 2 + (-2) = 0 =(-2) + 2 , -2

∊

R

Jadi R merupaakan grup dalam operasi penjumlahan bilangan.

8. Misalkan +_{himpunan semua bilangan rasional positif,} *_{himpunan semua bilangan}

asional tak-nol, +_{himpunan semua bilangan real positif dan} *_{himpunan semua}

bilangan real tak-nol. Tunjukkan bahwa +, *, +, dan * merupakan grup terhadap operasi perkalian bilangan!

Penyelesaian:

1) Himpunan semua bilangan rasional positif

ℚ

+

merupakan Grup terhadap operasi perkalian bilangan

〈ℚ

+

,∗〉

dengan

∗=

 Operasi biner * bersifat asosiatif Ambil

,,∈ℚ

+

berlaku

∗∗=∗

_=

=∗

=∗∗

Jadi

〈ℚ

+

,∗〉

bersifat asosiatif  Terdapat elemen identitas

∈ℚ

+

Ambil

∈ℚ

+

(10)

∗=∗1

_=1

==

=1

 Setiap elemen di

ℚ

∗

mempunyai invers Ambil

∈ℚ

+

Pilih



−

=





∈ℚ

+

maka

∗

−

=∗

_



=





=1=

Jadi setiap elemen di

ℚ

+

mempunyai invers



−

=





Dari poin a sampai c diperoleh kesimpulan bahwa

〈ℚ

+

,∗〉

adalah grup.

2) Himpunan semua bilangan rasional tak nol

ℚ

∗

〈ℚ

∗

,∗〉

dengan

∗=

a. operasi biner * bersifat asosiatif Ambil

,,∈ℚ

∗

berlaku

∗∗=∗

_=

=∗

=∗∗

Jadi

〈ℚ

∗

,∗〉

bersifat asosiatif b. terdapat elemen identitas

 ∈ℚ

∗

Ambil

∈ℚ

∗

Pilih

=1∈ℚ

∗

maka

∗=∗1

_=1

==

=1

c. setiap elemen di

ℚ

∗

mempunyai invers

Ambil

∈ℚ

∗

Pilih



−

=





∈ℚ

∗

maka

∗

−

=∗

_



=



_

=1=

ℚ

∗

mempunyai invers



−

=





〈ℚ

∗

,∗〉

adalah grup.

3) Himpunan semua bilangan real positif

ℝ

+

〈ℝ

+

,∗〉

dengan

∗=

(11)

Ambil

,,∈ℝ

+

berlaku

∗∗=∗

_=

=∗

=∗∗

Jadi

〈ℝ

+

,∗〉

∈ℝ

+

Ambil

∈ℝ

+

Pilih

=1∈ℝ

+∗

maka

∗=∗1

_=1

==

=1

c. setiap elemen di

ℝ

+

mempunyai invers

Ambil

∈ℝ

+

Pilih



−

=





∈ℝ

+

maka

∗

−

=∗

_



=





=1=

ℝ

+

mempunyai invers



−

=





〈ℝ

+

,∗〉

adalah grup.

4) Himpunan semua bilangan real tak nol

ℝ

∗

〈ℝ

∗

,∗〉

dengan

∗=

a. operasi biner * bersifat asosiatif Ambil

,,∈ℝ

∗

berlaku

∗∗=∗

_=

=∗

=∗∗

Jadi

〈ℝ

∗

,∗〉

 ∈ℝ

∗

Ambil

∈ℝ

∗

Pilih

=1∈ℝ

∗

maka

∗=∗1

_=1

==

=1

c. setiap elemen di

ℝ

∗

mempunyai invers

Ambil

∈ℝ

∗

Pilih



−

=





∈ℝ

∗

maka

(12)

=





=1=

ℝ

∗

mempunyai invers



−

=





〈ℝ

∗

,∗〉

adalah grup. 9. Misalkan < G,*> grup yang memenuhi x * x = e ,

komutatif (abelian)! Penyelesaian:

Misal a,b

∈

G. Kemudian kita punya e = (a*b)*(a*b), karena b*a

∈

G b*a = (a*b)*(a*b)*(b*a) b*a = a*b*a*(b*b)*a b*a = a*b*a*e*a b*a = a*b*(a*a) b*a = a*b*e b*a = a* b

Karena a*b = b*a untuk semua a,b

x G. Tunjukkan G grup

G, maka G itu abelian

10. Misalkan < G

∗=

−

∗

−

⟺∗=∗ !

Penyelesaian :

> grup dan a, b di G. Tunjukkan



Misal



grup dan



elemen identitas di



. Ambil sebarang

,∈



serta



−

dan



−

berturut-turut invers dari



dan



. Akan ditunjukkan

∗=

−

∗



−

⟺∗=∗

. Dalam hal ini, ekuivalen menunjukkan bahwa

∗

−

∗

−

=



−

∗

−

∗=

. Perhatikan,

∗

−

∗

−

=∗

−



−

=∗

−



−

=∗

−

=∗

−

=

Perhatikan juga,



−

∗

−

∗=

−



−

∗

=

−



−

∗

=

−

∗

=

−

∗

=

Jadi,

∗

−

∗

−

= 

−

∗

−

∗=

. Dari sini, berdasarkan definisi invers

suatu elemen, dapat disimpulkan bahwa

∗=

−

∗

−

⟺∗=∗

.

11. Buatlah tabel grup yang mempunyai 4 elemen Penyelesaian:

(13)

Grup pada himpunan yang terdiri atas empat elemen, yaitu {e, p, q, r }. Perhatikan bahwa setiap elemen pada grup harus muncul tepat satu kali di setiap baris dan kolom. Jadi, tabel grup {e, p,q, r } adalah sebagai berikut.

* e p q r

e e p q r

p p e r q

q q r e p

r r q p e

Grup pada himpunan yang terdiri atas empat elemen, yaitu {e, a, b, c}. Perhatikan bahwa setiap elemen pada grup harus muncul tepat satu kali di setiap baris dan kolom. Jadi, tabel grup {e, a,b, c} adalah sebagai berikut.

* e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

Himpunan bagian {1, -1, i,-i} dari bilangan kompleks adalah grup terhadap perkalian kompleks. -1. Perhatikan bahwa setiap elemen pada grup harus muncul tepat satu kali di setiap baris dan kolom. Jadi, tabel grup {1, -1, i, -i} adalah sebagai berikut.

* 1 -1 i -i 1 1 -1 i -i -1 -1 1 -i i i i -i 1 -1 -i -i i -1 1

U (n) himpunan semua bilangan bulat positif kurang dari n dan relatif prima dengan n, untuk setiap n > 1. U (n) adalah grup bawah perkalian modulo n. Untuk n = 10, maka diperoleh

U (10) = {1, 3, 7, 9} modulo 10. Jadi, tabel grup U (10) = {1, 3, 7, 9} perkalian modulo 10 adalah sebagai berikut.

(14)

mod 10 1 3 7 9 1 1 3 7 9 3 3 9 1 7 7 7 1 9 3 9 9 7 3 1

Buatlah tabel grup yang mempunyai 5 elemen Penyelesaian:

〈ℤ



,〉

+

0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

Perhatikan tabel Cayley

〈ℤ



,〉

Tersebut di atas, mempunyai sifat (1) Tertutup

Karena hasil operasi penjumlahan elemen-elemen di

ℤ



adalah elemen

ℤ



sendiri. (2) Asosiatif

Karena operasi penjumlahan bersifat asosiatif.

(3)

∃ 0∈ℤ



∋ 0 ̅= ̅ = ̅ 0,∀̅∈ℤ



. Sehingga

0

merupakan elemen identitas. (4)

∀̅∈ℤ



,∃̅∈ℤ



∋̅ ̅= 0= ̅̅

. Sehingga semua elemen di

ℤ



memiliki invers.

Jadi

〈ℤ



,〉

suatu grup.

12. A. Tunjukkan S {0, 2, 4} adalah merupakan subgroup dari Penyelesaian:

Akan ditunjukkan S = {0, 2, 4}memenuhi syarat-syarat suatu grup: a. Tertutup

(15)

Pada daftar Cayley

ℤ

6 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} sebagai berikut + 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4

Ambil sebarang nilai dari S Misalkan 0, 2, 4  S 0 + 0 = 0 0 + 2 = 2 0 + 4 = 4 2 + 2 = 4 2 + 4 = 0 4 + 4 = 2

karena hasil 0, 2, 4

∈

S, maka tertutup terhadap S. b. Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari S Misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 (a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2 a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2

sehingga (a + b) + c = a + (b + c) = 2 maka S assosiatif c. Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari S Misalkan 4 S

4 + e = 4 + 0 = 4 e + 4 = 0 + 4 = 4

sehingga 4 + e = e + 4 = 4

maka S ada unsur satuan atau identitas d. Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari S Misalkan 4 S

4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e (-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e

Sehingga 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e, maka S ada unsur balikan atau invers

Jadi, S = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu grup, sehingga S = {0, 2, 4} merupakan subgroup dari

ℤ

6 terhadap penjumlahan.

12.B. Tunjukkan

Perhatikan grup bilangan bulat modulo 6, Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Sekarang kita perhatikan grup bilangan bulat modulo 12, Z12 dengan tabel Cayley berikut :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 4 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 5 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5

(16)

7 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 8 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 9 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Berdasarkan tebel diperoleh subgrup dari Z12 yaitu <2> = {0,2,4,6,8,10}, <3> = {0,3,6,9>, <4>

= {0,4,8} dan <6> = {0,6}. Dengan demikian Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} bukan merupakan subgrup

dari Z12.

13. Tunjukkan bahwa himpunan bagian tak-kosong H dari grup G merupakan subgrup G jika dan hanya jika ab-1

Penyelesaian:

Misalkan (G,*) grup dan H subset tak kosong dari G, H subgrup dari G jika hanya jika untuk setiap a, b

∈

berlaku ab-1

∈

Dalam hal ini, ambil sembarang p, q

∈

dan akan ditunjukan bahwa pq-1

∈

Karena

∈

maka

=



,∈

Karena

∈

maka

 =



,∈

, sedangkan



−

=





−

=

−

,∈

Sehingga



−

=



.

−

=



−

,∈

Jadi



−

∈

H untuk setiap a, b di H!

14. Tunjukkan irisan dua buah subgroup dari esbuah grup merupakan subgroup! Penyelesaian:

Misalkan diberikan



grup. Jika



dan



subgrup



, maka

∩

merupakan subgrup



.

Bukti.

Karena



dan



subgrup maka



dan



memiliki elemen identitas yaitu

 ∈

dan

∈

, berakibat

∈∩

. Jadi,

∩≠0

. Ambil sebarang

, ∈∩

, berakibat

, ∈

,

. Karena



dan



merupakan subgrup



berakibat



−

∈

dan



−

∈

, sehingga diperoleh



−

∈∩

. Berdasarkan teorema subgrup berakibat

∩

merupakan subgrup.

Teorema Subgrup

Diberikan



grup dan

 ⊆G

yang tak kosong. Maka



subgrup dari



jika dan hanya jika untuk setiap

,∈

berlaku



−

∈

.

15. Diketahui r dan s bilangan bulat positif dan H ={nr + ms | n, m di }. Tunjukkan H

subgrup dari grup semua bilangan bulat penjumlahan!

Penyelesaian:

Jelas bahwa bilangan bulat positif merupakan himpunan bagian bilangan bulat. Jadi jelas H himpunan bagian

ℤ

Terdapat r dan s bilangan bulat positif jelas H tidak kosong. i. Tertutup

(17)

nr 1 + ms1 , nr 2 + ms2 H maka (nr 1 + ms1) + (nr 2 + ms2) = nr 1+ nr 2 + ms1 + ms2 = n (r 1 + r 2) + m (s1+ s2) H ii. Invers  nr + ms  H, -nr + -ms Sehingga nr + ms + (-nr + -ms) = 0r + 0s H

Karena tertutup dan invers maka H  (

ℤ

, +)

16. Tunjukkan bahwa grup bilangan bulat modulo 7 terhadap penjumlahan modulo 7 tidak mempunyai subgrup nontrivial sejati!

Penyelesaian:

Diberikan grup Z7 = {0,1,2,3,4,5,6} terhadap operasi penjumlahan modulo 7. S={0,1,2,3,4} 1) S≠

∅

2) Berdasarkan tabel Caley

+ 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 6 3 3 4 5 6 0 4 4 5 6 0 1

∃

2,3

∈

S sedemikian sehingga 2+3 = 5

∉

S

∴

S tidak tertutup

3) Ambil sebarang 1,2,3

∈

S, akan ditunjukkan bahwa (1+2)+3 = 1 + (2+3)

(1+2) +3 = 3+3 = 0 1 + (2+3) = 1+5 = 0

∴

S berlaku sifat Asosiatif

4)

∃

0

∈

S

⇒

a +0 = 0+a = a,

∀

a

∈

S

∴

S mempunyai identitas 5)

∀

A

∈

S,

∃

2+a ≠ 0

∴∃

a

∈

S yang tidak mempunyai invers

Berdasarkan 1,2,3,4,5; 2 dan 5 tidak memenuhi def inisi subgrup,

∴

S

≰

Z7dan grup Z7 tidak mempunyai subgrup nontrivial sejati.

(18)

a. Tentukan order xy jika order x dan y berturut-turut 3 dan 4! Penyelesaian:

Karena order elemennya berturut-turut bilangan 3 dan 4 yang merupakan bilangan saling prima, maka nilai order xy = 3 4 = 12

b. Tentukan order xy jika order x dan y berturut-turut 4 dan 6! Penyelesaian:

Karena order elemennya berturut-turut bilangan 4 dan 6 dan bukan merupakan bilangan saling prima, maka order xy adalah KPK dari bilangan 4 dan 6 yaitu 12

c. Bagaimana menentukan order xy? Penyelesaian:

Sesuai Teorema perkalian order elemen abelian grup. G adalah grup abelian dengan elemen identitas 1.

a, bElemen dari G dengan order x dan y .

 Jika x dan y adalah saling prima maka order elemen ab adalah xy

 Jika x dan y bukan bilangan yang saling prima, maka order elemen ab adalah KPK dari order x dan y

18. Misalkan





























0 0 1 0 1 0 1 0 0 dan 1 0 0 0 0 1 0 1 0 B A

Tentukan order A, order B dan order AB Penyelesaian:

a. Order A

Pandang semua matriks 3x3 dengan komponen bilangan real dan determinan tak nol )

( 3 3 * _R

M _x _{terhadap operasi perkalian matriks dan matriks} _A_ ₍ ₎

3 3 * _R M _x 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1





























A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2























































A Akibatnya



























































1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 Jadi, elemen 1 0 0 0 0 1 0 1 0













 M *₃_x₃( R)berorder 2.

(19)

b. Order B

Pandang semua matriks 3x3 dengan komponen bilangan real dan determinan tak nol ) ( 3 3 * _R M

x terhadap operasi perkalian matriks dan matriks B 3 3( ) * _R M x 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1





























B 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 2























































B Akibatnya



























































1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 Jadi, elemen 0 0 1 0 1 0 1 0 0













 M *₃_x₃( R)berorder 2 c. Order AB

Pandang semua matriks 3x3 dengan komponen bilangan real dan determinan tak nol )

( 3 3 * _R

M _x _{terhadap operasi perkalian matriks dan matriks} _AB_ ₍ ₎

3 3 * _R M _x









































0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 AB





























0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 AB 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 2 2























































AB 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 3 3























































AB Akibatnya







































































1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 0 1 0 0 0 1 1 0 0 , 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0

(20)

Jadi, elemen













0 0 1 1 0 0 0 1 0  M *₃ x₃( R)berorder 3

19. Misalkan G grup dan a di G.

Tunjukkan order a sama dengan order invers a. Penyelesaian:

Order elemen dari suatu grup adalah selalu sama dengan order dari inversnya.

Bukti : Misal (G,o) adalah grup, maka akan ditunjukkan bahwa |a|=|a^(-1) | untuk setiap a